數(shù)字信號(hào)處理作業(yè)

1、2-13 已知xa(t)=2 cos(2f0t)， 式中f0=100 Hz， 以采樣頻率fs=400 Hz對(duì)xa(t)進(jìn)行采樣， 得到采樣信號(hào)和時(shí)域離散信號(hào)x(n)， 試完成下面各題： （1） 寫出的傅里葉變換表示式Xa(j)； （2） 寫出和x(n)的表達(dá)式； （3） 分別求出的傅里葉變換和x(n)序列的傅里葉變換。 解解： (1)(txa)(txa)(txa)(txatttttxXtttttaade ee de )cos(2de )()j ( jjjj0j00)()(2)j ( 00aX（2） )()cos(2)()()(0nnaanTtnTnTttxtxnnTnx- )cos(2)(0m

2、s 5 . 21 rad 2002s00fTf（3） )()(2 )jj (1)(s00ksksaakkTkXTjX式中rad/s 8002ssf)2()2(2e ee e )cos(2e )cos(2e )()e (00jjjj0j0jj00kknnTnxXknnnnnnnnnn式中0=0T=0.5 rad2-16 已知112122113)(zzzX求出對(duì)應(yīng)X(z)的各種可能的序列表達(dá)式。 解解： X(z)有兩個(gè)極點(diǎn)： z1=0.5, z2=2， 因?yàn)槭諗坑蚩偸且詷O點(diǎn)為界， 因此收斂域有三種情況： |z|0.5，0.5|z|2， 2|z|。 三種收斂域?qū)?yīng)三種不同的原序列。 1( )3 (

3、)2 2 (1)2nnx nun= - + - -(2)收斂域0.5|z|2:（1）收斂域|z|0.5：) 1(22)()21(3)(nununxnn（3）收斂域|z|2: )(22213)( nunxnn3-13 已知序列x(n)=anu(n)， 0a1, 對(duì)x(n)的Z變換X(z)在單位圓上等間隔采樣N點(diǎn)， 采樣序列為j2 /e( )( )|0,1,1k NzX kX zkN求有限長(zhǎng)序列IDFTX(k)N。 解解:)()()(IDFT)(nRnxkXnxNNlNnRlNnx)()(lNlNnnRlNnua)()(由于0nN1， 所以000 0 1)(lllNnlNnu即因此0( )( )(

4、 )1nnlNNNNNlaxnaaRnRna3-14 兩個(gè)有限長(zhǎng)序列x(n)和y(n)的零值區(qū)間為x(n)=0 n0, 8ny(n)=0 n0, 20n對(duì)每個(gè)序列作20點(diǎn)DFT， 即X(k)=DFTx(n) k=0, 1, , 19Y(k)=DFTy(n) k=0, 1, , 19試問在哪些點(diǎn)上f(n)與x(n)*y(n)值相等, 為什么？解解: 設(shè) fl(n)=x(n)*y(n)，而f(n)=IDFTF(k)=x(n) 20 y(n)。 fl(n)長(zhǎng)度為27， f(n)長(zhǎng)度為20。 由教材中式（3.4.3）知道f(n)與fl(n)的關(guān)系為mlnRmnfnf)()20()(20只有在如上周期延

5、拓序列中無(wú)混疊的點(diǎn)上， 才滿足f(n)=fl(n),所以 f(n)=fl(n)=x(n)*y(n) 7n193-18 用微處理機(jī)對(duì)實(shí)數(shù)序列作譜分析， 要求譜分辨率F50 Hz， 信號(hào)最高頻率為 1 kHz， 試確定以下各參數(shù)： (1) 最小記錄時(shí)間Tp min； (2) 最大取樣間隔Tmax； (3) 最少采樣點(diǎn)數(shù)Nmin； (4) 在頻帶寬度不變的情況下， 使頻率分辨率提高1倍（即F縮小一半）的N值。 解解: （1） 已知F=50 Hz， 因而s02. 05011minpFT（2）ms5 . 010212113maxminsmaxffT（3）pminmin3max0.02s400.5 10T

6、NT（4） 頻帶寬度不變就意味著采樣間隔T不變， 應(yīng)該使記錄時(shí)間擴(kuò)大1倍， 即為0.04 s， 實(shí)現(xiàn)頻率分辨率提高1倍（F變?yōu)樵瓉?lái)的1/2）。80ms0.5s04. 0minN3-19 已知調(diào)幅信號(hào)的載波頻率fc=1 kHz， 調(diào)制信號(hào)頻率fm=100 Hz， 用FFT對(duì)其進(jìn)行譜分析， 試求： (1) 最小記錄時(shí)間Tp min; (2) 最低采樣頻率fs min; (3) 最少采樣點(diǎn)數(shù)Nmin。解解： 調(diào)制信號(hào)為單一頻率正弦波時(shí)， 已調(diào)AM信號(hào)為x(t)=cos(2fct+jc)1+cos(2fmt+jm)所以， 已調(diào)AM信號(hào)x(t) 只有3個(gè)頻率： fc、 fc+fm、 fcfm。 x(t)

7、的最高頻率fmax=1.1 kHz， 頻率分辨率F100 Hz（對(duì)本題所給單頻AM調(diào)制信號(hào)應(yīng)滿足100/F=整數(shù)， 以便能采樣到這三個(gè)頻率成分）。 故ms10s01. 010011minpFT(1)(2)sminmax22.2 kHzFf(3)22102 . 2101033minpmaxpminfTTTN5-1. 已知系統(tǒng)用下面差分方程描述:) 1(31)()2(81) 1(43)(nxnxnynyny試分別畫出系統(tǒng)的直接型、 級(jí)聯(lián)型和并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。 式中x(n)和y(n)分別表示系統(tǒng)的輸入和輸出信號(hào)。 解解： 將原式移項(xiàng)得) 1(31)()2(81) 1(43)(nxnxnynyny將上式進(jìn)行

8、Z變換， 得到121)(31)()(81)(43)(zzXzXzzYzzYzY21181431311)(zzzzH (1) 按照系統(tǒng)函數(shù)H(z)， 根據(jù)Masson公式， 畫出直接型結(jié)構(gòu)如題1解圖（一）所示。題1解圖（一）(2) 將H(z)的分母進(jìn)行因式分解： )411)(211 (31181431311)(111211zzzzzzzH按照上式可以有兩種級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu): 1114111 211311)(zzzzH畫出級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題1解圖（二）（a)所示。 111411311 2111)(zzzzH畫出級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題1解圖（二）（b)所示。 題1解圖（二）(3) 將H(z)進(jìn)行部分分式展開： )41

9、1)(211 (311)(111zzzzH4121)41)(21(31)(zBzAzzzzzH310)21()41)(21(3121zzzzzA37)41()41)(21(3141zzzzzB413721310)(zzzzH11411372113104137)21(310)(zzzzzzzH根據(jù)上式畫出并聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題1解圖（三）所示。題1解圖（三）5-6 題6圖中畫出了10種不同的流圖， 試分別寫出它們的系統(tǒng)函數(shù)及差分方程。解解： 圖(c) H(z)=a+bz1+cz2( )( )(1)(2)y nax nbx ncx n圖（i） 13221122110111)(zazazazbzbbzH13

10、13223012( )() (1)() (2)(3)( )(1)(2)y naay na aay na a y nb x nb x nb x n6-5 已知模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)如下： a21( )1Hsss (1)(2)a21( )231Hsss試采用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法將其轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。 設(shè)T=2 s。 解解: . 用脈沖響應(yīng)不變法(1)a21( )1Hsss Ha(s)的極點(diǎn)為121313j,j2222ss a1313jj22221133jj33( )1313jj232233jj33( )1 e1 eTTHsssH zzz 將T=2代入上式， 得1 j 311 j 311111

11、2233jj33( )1 e1 e2 3e sin331 2ecos 3eH zzzzzz 21112112111( )|1 e1 e111 e1 eTTTH zzzzz或通分合并兩項(xiàng)得12112132(ee )( )1 (ee )ezH zzz(2)a2111( )123112Hsssss 用雙線性變換法（1） 11a22111,21111 21 2111 21221( )( )|11111(1) (1)(1)(1)(1)12 3zsTTzH zHszzzzzzzzzzzz(2)11a21111111 21 221 21211( )( )|1123111(1)2(1)3(1)(1) 12 6

12、2zszH zHszzzzzzzzzzz7-8 題8圖中h1(n)和h2(n)是偶對(duì)稱序列， N=8， 設(shè) H1(k)=DFTh1(n) k=0， 1， ， N1 H2(k)=DFTh2(n) k=0， 1， ， N 1 （1） 試確定H1(k)與 H2(k)的具體關(guān)系式。 | H1(k)|=| H2(k)|是否成立？為什么？（2） 用h1(n)和h2(n)分別構(gòu)成的低通濾波器是否具有線性相位？群延時(shí)為多少？題8圖解解： （1） 由題8圖可以看出h2(n)與h1(n)是循環(huán)移位關(guān)系： h2(n)=h1(n+4)8R8(n)由DFT的循環(huán)移位性質(zhì)可得)() 1()(e)()(11j1482kHk

13、HkHWkHkkk| )(| )(| )(|11482kHkHWkHk(2) 由題8圖可知， h1(n)和h2(n)均滿足線性相位條件： h1(n)=h1(N1n)h2(n)=h2(N1n)所以， 用h1(n)和h2(n)構(gòu)成的低通濾波器具有線性相位。 直接計(jì)算FTh1(n)和h2(n)也可以得到同樣的結(jié)論。 設(shè) )(jg11j11e )()(FT)e (HnhH27) 1(21)()(21N)(jg22j22e )()(FT)e (HnhH所以， 群延時(shí)為27d)(d1127-13. 用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)一個(gè)線性相位低通FIRDF， 要求通帶截止頻率為/4 rad， 過渡帶寬度為8/51 rad，

14、 阻帶最小衰減為45 dB。 （1） 選擇合適的窗函數(shù)及其長(zhǎng)度， 求出h(n)的表達(dá)式。 （2*） 用MATLAB畫出損耗函數(shù)曲線和相頻特性曲線。 解： （1） 根據(jù)教材7.2.2節(jié)所給步驟進(jìn)行設(shè)計(jì)。 根據(jù)對(duì)阻帶衰減及過渡帶的指標(biāo)要求， 選擇窗函數(shù)的類型， 并估計(jì)窗口長(zhǎng)度N。 查表可知， 本題應(yīng)選擇哈明窗。 因?yàn)檫^渡帶寬度Bt=8/51， 所以窗口長(zhǎng)度N為N6.6/Bt=42.075， 取N=43。 窗函數(shù)表達(dá)式為)(12cos46. 054. 0)(HmnRNnnN 構(gòu)造希望逼近的頻率響應(yīng)函數(shù)Hd(ej):jj(1)/2ddg(e)( )eNHHjcce0 0 式中tcp1421, 0.08

15、332251BN 求hd(n):jjjjddc11( )(e)edeed22sin() ()ccnnh nHnn 加窗:cdsin()2( )( ) ( )0.540.46cos( )()1Nnnh nh n w nRnnN題13解圖7-14. 要求用數(shù)字低通濾波器對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行濾波， 要求： 通帶截止頻率為10 kHz， 阻帶截止頻率為22 kHz， 阻帶最小衰減為75 dB， 采樣頻率為Fs=50 kHz。 用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器。 （1） 選擇合適的窗函數(shù)及其長(zhǎng)度， 求出h(n)的表達(dá)式。 （2*） 用MATLAB畫出損耗函數(shù)曲線和相頻特性曲線。 解解： （1） 根據(jù)教材7.2.2節(jié)所給步驟進(jìn)行設(shè)計(jì)。 根據(jù)對(duì)阻帶衰減及過渡帶的指標(biāo)要求， 選擇窗函數(shù)的類型， 并估計(jì)窗口長(zhǎng)度N。 本題要求設(shè)計(jì)的FIRDF指標(biāo)： 通帶截止頻率： ps210 00022 rad50 0005pfFss222 000222rad50 00025sfF阻帶截止頻率： 阻帶最小衰減： s=75 dB16rad225spcwwpw+=3 dB通帶