國中低學(xué)習(xí)成就班的雙環(huán)數(shù)學(xué)教學(xué)

1、國中低學(xué)習(xí)成就班的雙環(huán)數(shù)學(xué)教學(xué)張靜嚳國立彰化師範(fàn)大學(xué) 科學(xué)教育研究所(投稿日期：85年5月15日，接受日期：88年6月21日)科學(xué)教育學(xué)刊 Chinese Journal of Science Education1999, 第七卷第三期摘 要傳統(tǒng)教學(xué)之下，國中低學(xué)習(xí)成就學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)常常沒有發(fā)生，因為數(shù)學(xué)概念抽象，抽象的概念愈講愈抽象，這些學(xué)生常常聽不懂，學(xué)不來而放棄學(xué)習(xí)。本研究於一班國二低學(xué)習(xí)成就班的數(shù)學(xué)課進(jìn)行一年期符合社會建構(gòu)主義和NCTM標(biāo)準(zhǔn)理念的雙環(huán)教學(xué)，即，讓學(xué)生從解題和對談中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。結(jié)果發(fā)現(xiàn)若干傳統(tǒng)教學(xué)沈痾，在雙環(huán)教學(xué)之下，漸獲解套。許多原本放棄學(xué)習(xí)的學(xué)生慢慢恢復(fù)學(xué)習(xí)興趣。連教師

2、也產(chǎn)生了教學(xué)的樂趣。關(guān)鍵詞：低成就，雙環(huán)教學(xué)，社會建構(gòu)主義。壹、緒論一、引言國中低學(xué)習(xí)成就班 (俗稱後段班) 是很多教師想逃離的地方。後段班的教學(xué)讓很多教師有很深的無助感 (helplessness)。一九九三年元月，一位國中教師，李(化姓)老師，請筆者幫她改進(jìn)後段班的數(shù)學(xué)教學(xué)，因為她覺得教不動，說破嘴了學(xué)生也不想聽，也不想學(xué)。她用盡辦法就是毫無作用，後段班的數(shù)學(xué)課成為她最想逃避的工作。她說每當(dāng)要上後段班的課，她的兩腿就不想往教室走。李老師是在彰化師大校園舉辦的一日數(shù)理教學(xué)研習(xí)會 (張惠博，張靜嚳，段曉林，王國華，1993) 上聽筆者介紹以問題為中心 (problem centered)(Wh

3、eatley, 1991) 的學(xué)習(xí)模式之後，作了上述求助的表示。她以前曾幫助一位碩士班研究生進(jìn)行教學(xué)實驗，做法類似問題中心教學(xué)，上課把學(xué)生分成小組，老師再把事先設(shè)計好的問題讓學(xué)生小組去做。學(xué)習(xí)的效果不錯只可惜實驗結(jié)束後，她就不知道如何再繼續(xù)做下去，因為她當(dāng)時只是照著吩咐做，不知道小組教學(xué)背後的道理，也不知道如何設(shè)計教學(xué)問題。她一直很想再用這種教法來改進(jìn)後段班的教學(xué)，但求助無門。這次研習(xí)讓她重燃希望，希望筆者能幫助她改進(jìn)教學(xué)，而且要教她背後的道理和如何設(shè)計問題。當(dāng)時筆者正在進(jìn)行國科會一項以問題為中心的數(shù)學(xué)教學(xué)研究計畫，需要有意願的國中教師參與研究。李老師成了最佳人選。二年期的計畫早已順利完成，也

4、得到很好的研究結(jié)果。第一年，我們成功訓(xùn)練李老師進(jìn)行以問題為中心的教學(xué)，同時問題中心教學(xué)模式經(jīng)由實踐和不斷改進(jìn)，演化成問題中心雙環(huán) (problem centered double cycles或PCDC) 教學(xué)模式，或簡稱雙環(huán)教學(xué)模式 (張靜嚳，1995，1996)。第二年，在新的班級進(jìn)行一整學(xué)年的雙環(huán)教學(xué)，目的在探討雙環(huán)教學(xué)的成效。本文在報告第二年教學(xué)實驗的一些結(jié)果。二、雙環(huán)教學(xué)的基本理念雙環(huán)教學(xué)的理念與傳統(tǒng)教學(xué)很不一樣，而且?guī)缀跏浅窒喾吹挠^點(diǎn)。傳統(tǒng)教學(xué)是教師用講的把知識傳輸給學(xué)生。故，在知識上，傳統(tǒng)教學(xué)把數(shù)學(xué)看成是現(xiàn)成的東西，即，由那些固定不變的記號，符號和規(guī)則 (signs, symbo

5、ls, and rules) 的組成。在學(xué)習(xí)心理上，傳統(tǒng)教學(xué)把學(xué)習(xí)看成是刺激和反應(yīng)的連結(jié)，即，要學(xué)生看到題目能作出正確的反應(yīng)。所以，傳統(tǒng)教師教學(xué)主要是告訴學(xué)生那些數(shù)學(xué)記號，符號和規(guī)則的意義和用法；學(xué)生則經(jīng)由聆聽，模仿和練習(xí)來熟記那些數(shù)學(xué)的形式(forms)及其操作和應(yīng)用。目的在應(yīng)付考試和得高分。相反的，雙環(huán)教學(xué)是教師設(shè)計教學(xué)活動，和引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)由解題和對談活動來建構(gòu)學(xué)生的數(shù)學(xué)知識。故，在知識上，雙環(huán)教學(xué)把數(shù)學(xué)看成是人的活動 (Freudenthal, 1991) 包含了探索問題情境 (problem situation)，形成問題或猜測，解決問題或證實或推翻猜測；同時整個活動還包含了不斷的與人溝

6、通和討論，由此發(fā)展數(shù)學(xué)概念，進(jìn)而形成數(shù)學(xué)的形式 (記號，符號和規(guī)則) (NCTM, 1989, 1991；Romberg, 1991)。在學(xué)習(xí)心理上，雙環(huán)教學(xué)把學(xué)習(xí)看成是學(xué)習(xí)者主動的從事個人或小組合作做數(shù)學(xué)的活動，在這些個人解題和小組合作解題與群體討論的社會互動的活動中，建構(gòu)個人的數(shù)學(xué)知識。學(xué)習(xí)者是基於個人原有的知識和經(jīng)驗來建構(gòu)新的知識和了解。建構(gòu)新知識的作用在適應(yīng)學(xué)習(xí)者個人的經(jīng)驗世界和已有的知識結(jié)構(gòu)，不是在發(fā)現(xiàn)真理或本體的現(xiàn)實(ontological reality) (von Glaserfeld, 1987, 1995)。再者，雙環(huán)教學(xué)認(rèn)同Ernest(1991)的主張：數(shù)學(xué)知識包括個人

7、大腦意識中的主觀知識，和社會已接受的客觀知識 (例如，課本中的數(shù)學(xué)形式知識)，而且主觀和客觀知識兩者是不斷互相創(chuàng)造的循環(huán)歷程。所以，張靜嚳(1995)主張教師教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)在讓Ernest的數(shù)學(xué)知識創(chuàng)造環(huán) (即學(xué)生的學(xué)習(xí)環(huán)) 在教室重現(xiàn)，讓它在教室運(yùn)轉(zhuǎn)，動起來。即，老師教學(xué)應(yīng)針對課本的客觀知識設(shè)計或選擇適當(dāng)?shù)膯栴}，讓學(xué)生經(jīng)由個人或小組解題形成個人的主觀知識，再經(jīng)由小組和全班討論磋商形成客觀知識，而班上的客觀知識在教師的引導(dǎo)之下最後與課本中的客觀知識產(chǎn)生連結(jié)，而完成學(xué)習(xí)。最後，在解決雙環(huán)教學(xué)問題上，有關(guān)個人主觀知識部分以Piaget (1970) 和von Glaserfeld (1987, 199

8、5)的根本建構(gòu)主義 (radical constructivism)來引導(dǎo)；有關(guān)客觀知識部分則以Vygotsky (1972，1978)的社會建構(gòu)主義和Mead(1934)符號互動論(symbolic interactionism)來引導(dǎo)；在小組合作技巧上則參考了Cohen(1994)的小組策略。在第一年的教學(xué)實驗中發(fā)現(xiàn)，實驗教師很容易仿效Wheatley(1991)的問題中心教學(xué)模式，即，上課時把學(xué)生分成小組，讓學(xué)生分組討論問題，再由組代表報告，與全班分享小組合作解題的結(jié)果。問題，小組，分享三要素，實驗教師施行容易，但常常流於形式，或誤用或迷失或不知如何精進(jìn)，而未能讓問題中心教學(xué)發(fā)揮實質(zhì)讓學(xué)

9、生從做中學(xué)的作用。簡言之，即，未能讓知識的創(chuàng)造環(huán)在教室重現(xiàn)。為了解決此一問題，張靜嚳(1995)參酌美國NCTM(1991)的數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)標(biāo)準(zhǔn)，採用任務(wù)，引導(dǎo)，環(huán)境，和分析四項教學(xué)要領(lǐng)組成雙環(huán)教學(xué)的教學(xué)環(huán)。利用教學(xué)環(huán)來帶動學(xué)習(xí)環(huán)，即，讓知識創(chuàng)造環(huán)在教室動起來。故，教師採用雙環(huán)教學(xué)時要把握教學(xué)環(huán)的四項要領(lǐng)，即，設(shè)計適當(dāng)?shù)娜蝿?wù)讓學(xué)生個人或小組合作解題，引導(dǎo)學(xué)生朝向預(yù)定的教學(xué)目標(biāo)前進(jìn)，並創(chuàng)造有利於學(xué)生建構(gòu)學(xué)習(xí)的教室環(huán)境。這種讓學(xué)生從做中學(xué)的教學(xué)經(jīng)常會出現(xiàn)新的教學(xué)問題，教師要經(jīng)由分析自己的教學(xué)，找出問題癥結(jié)所在，進(jìn)行改進(jìn)。教師分析自己教學(xué)問題的重點(diǎn)就在上述四項要領(lǐng)：任務(wù)，引導(dǎo)，環(huán)境和分析。分析它們那裡

10、有問題，再進(jìn)行改進(jìn)。如此以不斷檢查和分析自己的教學(xué)來改進(jìn)自己的教學(xué)的教學(xué)。用雙環(huán)來規(guī)範(fàn)和精進(jìn)問題中心教學(xué)是雙環(huán)教學(xué)的特色。目的在促進(jìn)學(xué)生的思考和了解，不只是為獲得最後的形式知識或考試分?jǐn)?shù)而已。筆者綜合上述的理念和考量傳統(tǒng)教學(xué)的缺失及參酌教學(xué)實踐的經(jīng)驗，為雙環(huán)教學(xué)擬定三項教學(xué)原理如下 (張靜嚳，1996)：§ 教學(xué)在引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)知識，不在也不可能傳輸學(xué)生知識； § 教學(xué)的目的在促進(jìn)學(xué)生的思考和了解，不在記背知識與技巧； § 學(xué)習(xí)是做中學(xué)，談中懂，寫中通等多元互動的社會建構(gòu)，不是聆聽，練習(xí)等單元，單向，被動的接受。 雙環(huán)教學(xué)與傳統(tǒng)教學(xué)主要不同之處在：傳統(tǒng)教學(xué)，老師是教

11、學(xué)的起點(diǎn)，教學(xué)生數(shù)學(xué)；雙環(huán)教學(xué)，學(xué)生是起點(diǎn)，從做數(shù)學(xué)開始，老師則引導(dǎo)學(xué)生做數(shù)學(xué)。傳統(tǒng)教學(xué)活動的主體是老師，主要在秀知識，讓學(xué)生模仿；雙環(huán)教學(xué)活動的主體是學(xué)生，學(xué)生做老師看，學(xué)生說老師聽。傳統(tǒng)教學(xué)的數(shù)學(xué)是固定不變的，只有數(shù)學(xué)的形式結(jié)果，概念和技巧；雙環(huán)教學(xué)的數(shù)學(xué)是動態(tài)的，是在數(shù)學(xué)內(nèi)容與形式之間往往返返的活動，是逐漸數(shù)學(xué)化的過程 (Freudenthal, 1991)。傳統(tǒng)教學(xué)的學(xué)習(xí)，學(xué)生是被動的接受 (記憶)；雙環(huán)教學(xué)的學(xué)習(xí)，學(xué)生是主動的建構(gòu) (個人解題和社會互動的討論) 他們自己的知識。傳統(tǒng)教學(xué)目的是為分?jǐn)?shù)；雙環(huán)教學(xué)目的是參與，了解，和思考，並非只是為了考試或分?jǐn)?shù)而已。三、雙環(huán)數(shù)學(xué)教學(xué)計畫雙環(huán)

12、數(shù)學(xué)教學(xué)計畫原為問題中心數(shù)學(xué)教學(xué)計畫於1992年九月開始，先與一位教常態(tài)班的國中數(shù)學(xué)教師合作，在一班國中二年級常態(tài)班進(jìn)行問題中心教學(xué)實驗。後來於1993年元月李老師加入，在一班國二後段班進(jìn)行相同的教學(xué)實驗。李在另一所國中任教。這段時間兩位教師和研究人員經(jīng)常在一起定期討論如何在國內(nèi)的環(huán)境進(jìn)行問題中心教學(xué)，而且針對國中數(shù)學(xué)三、四冊發(fā)展了許多可供學(xué)生小組討論的問題或活動 (張靜嚳，1993)。次年則以新的國二班級，一班常態(tài)班和一班後段班，進(jìn)行雙環(huán)教學(xué)實驗。本文只報告後段班的部分。(一) 班級背景雙環(huán)教學(xué)的後段班，為全校二年級十三班後段班當(dāng)中的一班，編制有四十五人，但經(jīng)常有學(xué)生缺課或流動，比較穩(wěn)定出席

13、的有三十八人。全校二年級還有一班資優(yōu)班，和六班前段班，全校國二共有二十班。所以，這些後段班大約是智育成績後65% (13/20) 的學(xué)生以常態(tài)或混合編成。該校為一市區(qū)中型且升學(xué)率較優(yōu)的國中。學(xué)生家庭背景以工人居多，家長沒有時間照顧小孩，也不怎麼重視子女的教育，反正讓子女上學(xué)就算了。子女讀不讀書家長也不管。教這種班級教師較無升學(xué)壓力也較無家長的助力。老師只能要求學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)在教室發(fā)生，很難期望學(xué)生回家還會去讀數(shù)學(xué)。(二) 教師訓(xùn)練李教師是參與一日的問題中心教學(xué)研習(xí)之後，自願參與教學(xué)實驗研究。李教師為科班出身，有三、四年的教學(xué)經(jīng)驗。李教師除了上述一日的研習(xí)之外，在真正進(jìn)行教室教學(xué)之前，研究人員先

14、與實驗學(xué)校溝通，取得學(xué)校對實驗教學(xué)的了解和支持。並與實驗教師做多次教學(xué)理念的溝通，觀看教學(xué)錄影帶，討論如何設(shè)計教學(xué)活動，如何分組，如何進(jìn)行小組合作解題，如何評量等問題。同時提供實驗教師可資利用的教學(xué)資源，例如，數(shù)學(xué)教學(xué)法 (張靜嚳、念家興，1992)，問題中心教學(xué)模式Wheatley (1991)，英國空中大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)錄影帶。本研究訓(xùn)練教師主要特色是以問題中心教學(xué)的模式來訓(xùn)練教師，且是長期的追蹤和支持，並讓實驗老師成為研究者與研究人員合作來解決新教學(xué)遭遇的問題。所以，實驗教師是與研究人員一起合作設(shè)計小組討論的問題和思考如何引導(dǎo)小組合作解題與討論。在教學(xué)實務(wù)輔導(dǎo)方面，開始採密集式，研究人員每週一

15、到三次到數(shù)學(xué)教室觀察，並於課前和課後與實驗教師進(jìn)行觀念溝通，問題討論，教學(xué)檢討，必要時提供實驗教師適當(dāng)?shù)闹гc協(xié)助。並定期每二週一次研究工作會議，綜合討論過去兩週所遭遇的問題，以及計畫未來進(jìn)行教學(xué)實驗有關(guān)的問題，例如，教具，分組，如何鼓勵小組合作解題等。(三) 雙環(huán)教學(xué)教室活動雙環(huán)教學(xué)的教室教學(xué)活動，形式上與以問題中心的教學(xué)模式差不多，不過在老師心中則多了教學(xué)環(huán)和學(xué)習(xí)環(huán)，老師是利用教學(xué)雙環(huán)來駕馭以問題為中心的教學(xué)。在實驗教室典型的問題中心數(shù)學(xué)課是讓學(xué)生以六人為一小組合作完成老師給予的任務(wù)。教學(xué)活動以學(xué)生活動為主，活動主要包含二部分，第一是小組合作解題；第二是經(jīng)驗分享與問題討論。前者經(jīng)常持續(xù)約1

16、5到25分鐘，後者持續(xù)約15到20分鐘。以六人為一小組的做法與Wheatley二人為一小組的做法不同。改為六人為一小組並讓每一組員有不同的任務(wù)，所負(fù)任務(wù)會因小組討論問題不同而有所差異，但通常有主持人，報告員，記錄員，協(xié)調(diào)員，計時員等。小組合作解題除了解題之外，希望由此讓所有成員有共同參與的機(jī)會。後段班有些同學(xué)程度不好，害怕數(shù)學(xué)，讓他們從周邊參與次要工作和觀察組員合作解題開始，由此改變他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的態(tài)度，再慢慢讓他們進(jìn)入解題的核心參與。如此可以減輕程度較差同學(xué)的心理和實際工作的負(fù)擔(dān)，而較能提高他們參與小組活動的意願。小組合作解題時，教師主要是巡視小組，鼓勵並促進(jìn)小組討論解題。全班經(jīng)驗分享與討論時

17、，教師主持讓各組把不同的理念和解題經(jīng)驗表達(dá)與全班分享，並由此達(dá)成全班的共識。小組討論是達(dá)成小組的共識；全班討論是要達(dá)成全班的共識。教師引導(dǎo)則希望達(dá)成與教科書的概念達(dá)成共識。教學(xué)內(nèi)容是國中數(shù)學(xué)三、四冊，內(nèi)容主要是代數(shù)，有乘法公式，高商定理，多項式運(yùn)算，因式分解，方程式，不等式，等差和等比級數(shù)，近似值與方根以及簡單的資料整理或記述統(tǒng)計。這些數(shù)學(xué)內(nèi)容對後段學(xué)生而言，是枯燥乏味，抽象難懂，且沒有用。加上他們過去許多不愉快的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗，他們對數(shù)學(xué)課一點(diǎn)興趣也沒有。本研究為了讓後段學(xué)生恢復(fù)學(xué)習(xí)的興趣且讓他們真的能夠?qū)W習(xí)，故在教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)方法上做了較大的調(diào)整和改變。學(xué)校教學(xué)有統(tǒng)一的教材，進(jìn)度，和評量。因

18、此，本研究基本上是在學(xué)校這些限制之下做最大可能的調(diào)整和改變。一些重要的改變?nèi)缦拢涸诮虒W(xué)目標(biāo)上是參與第一，讓學(xué)生參與學(xué)習(xí)活動為優(yōu)先，學(xué)生只要參與有沒有學(xué)到數(shù)學(xué)先不計較，先有接觸參與才有機(jī)會學(xué)習(xí)。了解第二，讓學(xué)生了解比教學(xué)進(jìn)度優(yōu)先，因為沒有了解或沒有學(xué)習(xí)的進(jìn)度是空的。在教法上，基本上是先讓學(xué)生小組合作解題和對談來學(xué)習(xí)。如果討論半天，學(xué)生還是沒有討論出老師期待的數(shù)學(xué)，此時教師再教。不過，一定要先讓學(xué)生以問題中心學(xué)習(xí)為第一優(yōu)先，而且此時教師的教也不是很傳統(tǒng)的教，而是當(dāng)成與同學(xué)分享的方式介紹。(四) 教學(xué)活動內(nèi)容舉例以下舉二個例子簡單說明實際教學(xué)情形。例一：近似值，講測量時，老師不直接告訴學(xué)生如何測量，

19、而是要學(xué)生小組合作自己做三種不同單位的尺去量數(shù)學(xué)課本的長度。接著組代表報告，再全班討論量得長度不同的原因。由此大家一起來建構(gòu)測定值和實際值的範(fàn)圍的概念。例二：有時為了刺激學(xué)生思考，要學(xué)生看數(shù)學(xué)式編故事，老師舉例題：張無忌出題7-3=4，小昭編的故事是：張無忌練乾坤大挪移共七層招式，現(xiàn)已練成了三層，問還剩幾層就大功告成了。然後出一些數(shù)學(xué)式子要學(xué)生編故事。(五) 第一年試探結(jié)果第一年新教學(xué)試探結(jié)果令人驚奇。1993年三月在一班國二下的後段班，於第一次段考結(jié)束後，開始在數(shù)學(xué)課試行以問題為中心的教學(xué)實驗。原本放棄學(xué)習(xí)的學(xué)生慢慢恢復(fù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，段考成績及格人數(shù)遞增，三次段考數(shù)學(xué)成績從一人及格，增至四

20、人，再暴增至23人及格。三次段考數(shù)學(xué)平均分?jǐn)?shù)依序為：20, 26, 58。第一次的20分是傳統(tǒng)教學(xué)的結(jié)果。第二次的26分是試行問題中心教學(xué)六週的結(jié)果。第三次的58分是再試行問題中心六週後的結(jié)果。成績比傳統(tǒng)教學(xué)提高了38分，進(jìn)步顯著。期末問卷發(fā)現(xiàn)有65% 的學(xué)生贊成新教學(xué)，贊成的理由是可以就近問同學(xué)，參與性高，上課活潑，可以知道別人的看法，可以互相討論。另有35% 的學(xué)生反對新教學(xué)，他們的理由是排桌椅花時間，老師講課時間少，好像沒有學(xué)到什麼，進(jìn)度較落後，秩序較差，沒有補(bǔ)充課外題，題目沒看過，覺得很難 (張靜嚳，1993)。實驗教師覺得新教學(xué)雖非特效藥，但有強(qiáng)勁的後續(xù)效果。很多原本放棄數(shù)學(xué)的學(xué)生，

21、自從採用新教學(xué)之後慢慢對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生興趣。實驗教師親身體驗學(xué)生學(xué)習(xí)態(tài)度從排斥放棄轉(zhuǎn)向接受和喜歡，從冷眼旁觀轉(zhuǎn)向熱烈參與。教師本身對教後段班態(tài)度也從過去的逃避轉(zhuǎn)向當(dāng)下的期待上課 (張靜嚳，1995)。四、第二年實驗效果評估第一年的實驗教學(xué)，李老師是在摸索問題中心教學(xué)的階段，有研究人員大量的介入活動，不易評估李老師問題中心教學(xué)的成效。故有必要於第二年讓研究人員退出，由此來評估雙環(huán)教學(xué)和師資訓(xùn)練的成效。本研究原本是要幫助李老師解決她在後段班的數(shù)學(xué)教學(xué)難題，而李老師的教學(xué)難題是：學(xué)生教不動和不想學(xué)。經(jīng)由文獻(xiàn)探討，晤談李老師和她的學(xué)生，訪談某一中學(xué)十二位老、中、青數(shù)學(xué)教師，以及調(diào)查彰化師大科學(xué)教育研究所

22、四十學(xué)分班一班四十三位資深中學(xué)數(shù)理教師的意見之後，發(fā)現(xiàn)造成這些難題主要的障礙是：(一)成就低。後段班學(xué)生的數(shù)學(xué)段考成績往往是愈考愈低。學(xué)生因而失去學(xué)習(xí)的興趣，動機(jī)和信心；(二)程度差。有些學(xué)生連九九乘法表都不會背，很多學(xué)生小學(xué)數(shù)學(xué)就沒學(xué)好，老師通常不知如何教這些學(xué)生學(xué)習(xí)國中數(shù)學(xué)，在傳統(tǒng)教學(xué)之下，這些學(xué)生通常只有陪人上課的份；(三)不了解或聽不懂。很多學(xué)生上課常常聽不懂，跟不上，最後放棄學(xué)習(xí)；(四)沒興趣。很多後段學(xué)生覺得數(shù)學(xué)枯燥乏味，與他們的生活無關(guān)，難學(xué)又無用。傳統(tǒng)教學(xué)之下，往往引不起他們學(xué)習(xí)的興趣；(五)恐懼?jǐn)?shù)學(xué)。低學(xué)習(xí)成就學(xué)生的學(xué)校數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗往往是負(fù)面的多，他們對數(shù)學(xué)的誤解，不了解和失

23、敗造成他們對數(shù)學(xué)的恐懼 (Bell, Costello, & Kuchemann, 1985；Frankenstein，1989；Dean，1982；Costello，1991)本研究以上述五個傳統(tǒng)教學(xué)難題的改善作為教學(xué)改變成效的評估標(biāo)準(zhǔn)。這些問題的改善，符合李老師改進(jìn)教學(xué)的期望，也符合我國國中數(shù)學(xué)課程的目標(biāo) (教育部，1995)。根據(jù)教育部頒布的國中數(shù)學(xué)課程五項目標(biāo)是：(一)提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；(二)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)；(三)培養(yǎng)學(xué)生的解題能力；(四)啟發(fā)學(xué)生的思考，推理和創(chuàng)造能力；(五)培養(yǎng)學(xué)生主動學(xué)習(xí)和欣賞數(shù)學(xué)的能力。由此可見，前述五個教學(xué)難題的改進(jìn)應(yīng)有助於這些課程目標(biāo)的現(xiàn)實。貳

24、、方法一、研究設(shè)計這是探索性的研究。一位接受半年雙環(huán)教學(xué)訓(xùn)練的數(shù)學(xué)教師，在一班原本是傳統(tǒng)教學(xué)的國中二年級後段班，於數(shù)學(xué)課採用雙環(huán)教學(xué)一年 (國二上學(xué)期中因?qū)嶒灲處煯a(chǎn)假期間，代課教師恢復(fù)傳統(tǒng)教學(xué)曾稍有中斷)。其他科目照舊。經(jīng)由質(zhì)的深入分析和量的比較，來探討雙環(huán)教學(xué)在後段班數(shù)學(xué)課施行的成效。二、資料收集資料收集包含教室觀察，場記，教學(xué)原案；教師座談和晤談，教師的心得報告；期末對四名學(xué)生進(jìn)行深入晤談。段考試題和段考成績。段考成績包含教學(xué)實驗學(xué)生的個別成績，和全校十三班後段班學(xué)生的四次段考(每學(xué)期的第一和第二次) 數(shù)學(xué)平均成績。三、過程教室觀察，教師座談和晤談，是整個學(xué)年定期或不定期的進(jìn)行。段考是依學(xué)

25、校行事曆進(jìn)行，每一學(xué)期舉行三次。教師的期末心得是在第二學(xué)期末於一週內(nèi)完成。四名學(xué)生的晤談於第二學(xué)期末，選取代表數(shù)學(xué)成就較高和較低的男、女生各一位，共四位，施以半結(jié)構(gòu)性的個別晤談。晤談問題主要是學(xué)生對雙環(huán)教學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的感受，心得和建議。四、資料分析量的資料，段考成績是用SPSS分析。質(zhì)的資料分析主要是以轉(zhuǎn)錄教學(xué)原案，座談，晤談，和觀察場記內(nèi)容做三角校正。除了經(jīng)由研究小組 (包含教授一，研究生二，和國中數(shù)學(xué)教師二) 長期討論以達(dá)共識之外，並將分析結(jié)果與文獻(xiàn)作比較，不斷反思和對照的結(jié)果。參、結(jié)果國中低學(xué)習(xí)成就班數(shù)學(xué)教學(xué)主要的障礙是：(一)低成就；(二)低程度；(三)不了解；(四)沒興趣；(五)恐懼

26、數(shù)學(xué)。這些障礙，在傳統(tǒng)教學(xué)之下，逐日惡化。本研究改用雙環(huán)教學(xué)之後，這些障礙非但未見惡化且有逐漸改善的現(xiàn)象。以下逐項報告本研究的發(fā)現(xiàn)。一、低成就的問題由表一，四次段考z分?jǐn)?shù)依序為：.66, .05, 2.19, 2.21。這表示，在十三個後段班當(dāng)中，實驗班的四次數(shù)學(xué)段考成績的排序依序為：中上，中，上上，上上。顯示實驗班數(shù)學(xué)段考成績雖然開始於上學(xué)期曾有退步，但一整個學(xué)年，從上學(xué)期到下學(xué)期，有非常顯著的進(jìn)步。因為z=2.19和2.21已落在前2%之內(nèi) (林清山，1997)。以國際選取前5%-10%的學(xué)生為資優(yōu)生的標(biāo)準(zhǔn) (Feldhusen, van Tassel-Baska, Selley, 198

27、9)來看，實驗班在上學(xué)期只是十三個後段班當(dāng)中的普通班，到下學(xué)期則躍升為十三個後段班中的極資優(yōu)班。至於上學(xué)期，.66到.05的退步，根據(jù)期末與學(xué)生晤談資料發(fā)現(xiàn)，此一退步與傳統(tǒng)教學(xué)有關(guān)。以下是期末與學(xué)生晤談的片斷 (問表研究者晤談學(xué)生的問話，低男表男生且數(shù)學(xué)成績較低者，其餘類推)：高男：上學(xué)期有一段時間不是李老師教的 (註：指代課老師)，那時候我的數(shù)學(xué)不會很好。問：李老師產(chǎn)假時代課教師是不是又恢復(fù)傳統(tǒng)教學(xué)？高男：是?。∮行﹩栴}我問同學(xué)，同學(xué)有時候也不知道那時我還沒有補(bǔ)習(xí)。高男是段考二數(shù)學(xué)第一名的學(xué)生。上述對話透露李老師不在時，代課老師恢復(fù)傳統(tǒng)教學(xué)，高男的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)遭遇困難且無法解決，而求助於補(bǔ)習(xí)。所

28、以，上學(xué)期的退步應(yīng)是代課教師恢復(fù)傳統(tǒng)教學(xué)所致，與雙環(huán)教學(xué)無關(guān)。表一、段考成績的莖葉圖、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差和Z分?jǐn)?shù)上學(xué)期下學(xué)期段考一段考二段考三段考四(雙環(huán)教學(xué))(傳統(tǒng)教學(xué))(雙環(huán)教學(xué))(傳統(tǒng)教學(xué))莖葉圖莖葉莖葉莖葉莖葉933979002225577791166823467788980582247802222778712378870114599700455773860112339645624899602379504575125675264558943784255740448931233699307733678202111223425278991069112551007199003699907009M

29、(SD)(23.11)(27.96)(27.11)(26.75)z.66.05註：Z分?jǐn)?shù)以N=13計算。(上、下學(xué)期均不包含第三次段考成績)再由表一，四次段考平均分?jǐn)?shù) (M) 依序為：63, 41, 64, 57 (取整數(shù))。因上學(xué)期63到41的退步是代課教師恢復(fù)傳統(tǒng)教學(xué)造成的。所以，四次段考分?jǐn)?shù)的意義應(yīng)為：李老師雙環(huán)教學(xué)六週 (註：第二年的實驗教學(xué)是從國二上開學(xué)第一天開始)，學(xué)生數(shù)學(xué)成績?yōu)?3分。代課教師恢復(fù)傳統(tǒng)教學(xué)，成績下降22分變成41分。國二下，李老師回來又恢復(fù)雙環(huán)教學(xué)，六週後學(xué)生成績又回升23分變成64分，恢復(fù)到國二上段考一的水準(zhǔn)。再六週得57分，略降7分，但z分?jǐn)?shù)從到未降反而略升，

30、此一情形可能是兩次試題目難易不同或其他因影響所致，而非學(xué)生退步。所以，雙環(huán)教學(xué)之下，實驗班數(shù)學(xué)段考成績是穩(wěn)定維持在六十分上下，無退步和不穩(wěn)定，也沒有繼續(xù)進(jìn)步的現(xiàn)象。實驗班三次雙環(huán)教學(xué)之段考成績?yōu)?3, 64, 57並無進(jìn)步，但是它們的z分?jǐn)?shù)為則有進(jìn)步。又，據(jù)筆者於在教室觀察實驗班數(shù)學(xué)課看到的是學(xué)生討論熱烈，認(rèn)真學(xué)習(xí) (參考稍後結(jié)果的其他部分)。根據(jù)筆者教學(xué)多年經(jīng)驗判斷，實驗班的數(shù)學(xué)段考成績應(yīng)有進(jìn)步才是。李老師在期末心得報告表示學(xué)生學(xué)業(yè)成績普遍提高，以下是李老師報告中的片斷：去年的實驗班是二年級才中途接班，所以，實施以問題為中心的教學(xué)後，學(xué)生的反應(yīng)較為突顯，有贊同，亦有反對的；學(xué)業(yè)成就方面，進(jìn)步

31、者多，退步者少。今年實驗班是從一年級就任其導(dǎo)師及數(shù)學(xué)老師，所以，實施以問題為中心的教學(xué)之後，同學(xué)表現(xiàn)較不突顯，而呈穩(wěn)定狀態(tài)，學(xué)業(yè)成就普遍提高而無較特殊個案 (註：指第一年的佳佳)。對於以問題為中心的教學(xué)，學(xué)生幾百分之百喜歡。然而，雙環(huán)教學(xué)之下，段考成績到底可以提高幾分？因為第二年李老師於一開始就採用雙環(huán)教學(xué)，缺乏像第一年先採用傳統(tǒng)教學(xué)到第一次段考後才改變教學(xué)。所以，無法確知第二年的實驗教學(xué)真正提高數(shù)學(xué)段考成績多少分。不過，從代課教師恢復(fù)傳統(tǒng)教學(xué)下降22分和李老師回來恢復(fù)雙環(huán)教學(xué)又提高23分來看，第二年的雙環(huán)教學(xué)應(yīng)可比傳統(tǒng)教學(xué)高出22分以上。最後，段考一63分的z分?jǐn)?shù)只有.66，顯示仍有不少傳統(tǒng)

32、教學(xué)的班級他們的段考一成績高過雙環(huán)教學(xué)的實驗班。何以如此，從以下期末與學(xué)生的晤談似可窺豹一斑：問：會不會擔(dān)心比傳統(tǒng)式教學(xué)的班級學(xué)得少？低女：數(shù)學(xué)很難，大部分人除非碰到比較好的老師，他們班老師有施壓或做什麼才會去學(xué)，.我們會就是會啊，不會就去討論，不會像別的老師：你一定要給我考幾分問：我知道，考不到幾分就要受罰。低女：是啊，但是我們班不會，我們班很好。傳統(tǒng)教學(xué)靠施壓得高分，較難以持久。這或許是為何到下學(xué)期實驗班段考三的64分已可名列前茅了，但上學(xué)期段考一的63分只得中上?？傊?，實驗班在雙環(huán)教學(xué)之下學(xué)生的數(shù)學(xué)段考表現(xiàn)是：(一)成績提高且維持在六十分左右。(二)成績提高至少有二十分以上。(三)成績雖

33、然維持在六十分左右，但排名從上學(xué)期的中上至下學(xué)期躍升為名列前茅。二、程度低的問題後段班有很多學(xué)生小學(xué)數(shù)學(xué)就沒學(xué)好，有的甚至連九九乘法表都不會背。參加本計畫之前，李老師不知道如何來教這些學(xué)生。這些學(xué)生在班上往往處於陪讀的狀態(tài)。小學(xué)數(shù)學(xué)沒學(xué)好要直接學(xué)習(xí)國中課本中形式又抽象的數(shù)學(xué)，有實際上的困難。然而，雙環(huán)教學(xué)把數(shù)學(xué)活動化之後，程度低的教學(xué)難題得以解套，這些學(xué)生終於有了參與學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的機(jī)會。例如，教資料處理單元時，讓學(xué)生玩擲銅板的活動，有人投擲，有人記錄，有人上臺說明，是一種社會建構(gòu)的活動 (張靜嚳，1995)。這樣的數(shù)學(xué)活動，所有的學(xué)生都有參與的機(jī)會，即使是連九九乘法表都不會背的學(xué)生，他或她可以幫助

34、擲銅板，或數(shù)正反面次數(shù)?？傊?，無論學(xué)生的程度有多差，他或她都可以找到他們可以參與的地方，只要他們開始參與做數(shù)學(xué)的活動，他們都有學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的機(jī)會，也許在開始他們並不知道何謂次數(shù)(frequency)，但他們總有學(xué)到其他較低層次或較原始或非正式的數(shù)學(xué) (informal mathematics)，例如，正面出現(xiàn)多少次，而且在小組合作做數(shù)學(xué)活動的過程中，學(xué)生還有很多機(jī)會聽別人怎麼說，如此從很多人，從不同的角度和不同的層次來討論數(shù)學(xué)。學(xué)生在這樣的學(xué)習(xí)活動中有機(jī)會來經(jīng)驗和覺察擲銅板與資料處理的關(guān)連。這樣的學(xué)習(xí)可能還有學(xué)生沒有建構(gòu)出形式的數(shù)學(xué) (formal mathematics)知識，例如，次數(shù)的概念，

35、但已經(jīng)有一些非正式的(informal )次數(shù)概念，例如，正面出現(xiàn)多少次。再者，從發(fā)展基本數(shù)學(xué)能力的角度來看本實驗教學(xué)，則幾乎所有的學(xué)生都有學(xué)習(xí)的機(jī)會，因為在這些做數(shù)學(xué)的活動中，學(xué)生有很多探索，猜測，溝通，推理的機(jī)會。以下是一位低程度學(xué)生的在實驗教室的經(jīng)驗：問：對這種新的教學(xué)方式，你的看法如何？低男：雖然功課不太會進(jìn)步，可是理解力可以變得比較強(qiáng)，因為可以討論。所以，雙環(huán)教學(xué)之下，程度再差的學(xué)生也有參與和學(xué)習(xí)的機(jī)會，不用再陪讀，而且學(xué)生覺得理解力增強(qiáng)了。三、不了解或聽不懂的問題傳統(tǒng)教學(xué)之下，低成就學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)主要的障礙之一是老師講，學(xué)生聽不懂，不了解。雙環(huán)教學(xué)基本上老師不教學(xué)生數(shù)學(xué)，學(xué)生必須靠自

36、己做數(shù)學(xué)以及和同學(xué)或和老師討論做數(shù)學(xué)的方式來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。所以，雙環(huán)教學(xué)之下，老師講，學(xué)生聽不懂的問題就大量消失，甚至不存在了。在雙環(huán)教學(xué)之下，學(xué)生要自己解題，要和同學(xué)討論。所以，學(xué)生自己做，自己想，講給同學(xué)聽，或聽同學(xué)講，取代了傳統(tǒng)教室的學(xué)生聽，老師講。在期末晤談中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生成就無論高或低都表示，自己做，自己想，聽同學(xué)講比較容易了解，以下是晤談的片斷：問：對這種新的教學(xué)方式，你的看法如何？低男：雖然功課不太會進(jìn)步，可是理解力可以變得比較強(qiáng)，因為可以討論。低女：很好啊！. (不會像) 傳統(tǒng)式的老師在黑板上一直教、一直教，都聽無(臺語).朋友 (組員) 比較了解你，可以看出你的錯誤，而且，比較親密嘛

37、，態(tài)度比較自然，就不會像你是老師，我是學(xué)生。.這種教學(xué)的優(yōu)點(diǎn)是比較容易理解。如果這一題老師在教，你不會，可以跟老師講，老師會給你一段時間討論，可以叫好朋友教你。高男：有不會的，可以直接問老師或同學(xué)。建議討論的時間久一點(diǎn)。高女：這種方式，對數(shù)學(xué)更清楚。由此可見，雙環(huán)教學(xué)之下，老師講的機(jī)會減少了，學(xué)生了解的機(jī)會反而增加了。當(dāng)學(xué)生不會時，學(xué)生需要的往往不是重複或施壓，反而是討論，支持和鼓勵。問：你在這種新式教學(xué)最大的收穫是什麼高女：我覺得，在數(shù)學(xué)題目不會的時候，可以和同學(xué)討論。有時像辯論一樣.別人有的想法，我可以加點(diǎn)意見。問：會不會擔(dān)心比傳統(tǒng)式教學(xué)的班級學(xué)得少？低女：數(shù)學(xué)很難，大部分的人除非碰到比較

38、好的老師，他們班老師有施壓力或做什麼才會去學(xué)，當(dāng)然功課會比較好啊。我們因為沒有老師施壓力，.我們會就是會啊，不會的就去討論，這樣子很自然，不會像別的老師：你一定要給我考幾分。雙環(huán)教學(xué)之下，另一項有助於克服學(xué)生不了解的策略是把數(shù)學(xué)活動化。例如，上節(jié)擲銅板的例子和以下測量的例子。在近似值單元介紹測定值和誤差。李老師給小組的任務(wù)是：設(shè)計三種不同單位的尺來量課桌的長度。小組活動約十到十五分鐘之後，老師要求小組把他們量得的長度寫在黑板上，並說明是如何得到的，如何記錄的？不能恰好量盡時是怎麼處理的？老師主持全班討論，全班分享各組不同的想法，測量方法，和測量結(jié)果，在討論中如何異中求同。最後，全班的共識是採取

39、四捨五入來表示課桌子的長度，而最大可能誤差是最小度量單位的一半。數(shù)學(xué)活動化之後，學(xué)生上數(shù)學(xué)課不覺得他們是在上數(shù)學(xué)課，而是在玩遊戲和討論。學(xué)生表示：這種教學(xué)的優(yōu)點(diǎn)是比較容易理解?？傊?，雙環(huán)教學(xué)之下，數(shù)學(xué)活動化，學(xué)生從自己做和討論中，反而比單純聽老師講更容易了解，且較無聽不懂的問題。四、沒興趣的問題傳統(tǒng)教學(xué)之下，學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)往往是愈學(xué)愈沒興趣，雖然國中課程目標(biāo)第一項就是要提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。然而，最近教育部的調(diào)查結(jié)果恰好相反，學(xué)生最不喜歡的科目是數(shù)學(xué)，且從國小到高中學(xué)生逐年失去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。然而，在本教學(xué)實驗，李老師採用雙環(huán)教學(xué)之後，表示學(xué)生幾乎百分之百喜歡數(shù)學(xué)課。以下是本研究發(fā)現(xiàn)一些促進(jìn)學(xué)生

40、產(chǎn)生興趣的地方。學(xué)生對發(fā)生在他們生活週遭的事物比較有興趣，例如，侏羅紀(jì)公園和張無忌。若以這些事物作為任務(wù)的背景較能引起學(xué)生的興趣，以下是教比例單元時李老師使用的任務(wù)之一：任務(wù)：侏羅紀(jì)公園的恐龍爺爺有320隻，恐龍孫子有720隻，恐龍爺爺們的總重量為16000公噸，恐龍孫子的總重量為20160公噸：恐龍孫子和恐龍爺爺?shù)臄?shù)目比為？恐龍孫子和恐龍爺爺?shù)目傊亓恐葹?？若長老恐龍爺爺和小不點(diǎn)恐龍孫子，它們兩個發(fā)揮愛心，想建立侏羅小學(xué)，共投資1300萬元，且爺爺和孫子是按6：4的比例投資，請問爺爺和孫子各投資多少元？若嬌嬌恐龍奶奶也得知此愛心計畫，想加入投資的行列，已知奶奶和孫子按按5：3的比例投資，其它

41、條件同3.則此時爺爺，奶奶，孫子各投資多少元？其次，小組討論也是引起學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的地方。無論學(xué)生程度高或低，學(xué)生喜歡上課自由活潑的氣氛，不喜歡高壓的氣氛。期末晤談時，低女如此說：數(shù)學(xué)很難， 他們班老師有施壓力或做什麼才會去學(xué)，當(dāng)然功課會比較好啊。我們因為沒有老師施壓力，.我們會就是會啊，不會的就去討論，這樣子很自然，不會像別的老師：你一定要給我考幾分。以下是另一些引發(fā)學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)樂趣的地方：討論時產(chǎn)生了解，發(fā)表意見時同學(xué)們的掌聲和認(rèn)同，以及自己把問題解出來時的成就感。發(fā)表的樂趣常常在教室觀察時看到。討論和解題的樂趣是於期末和學(xué)生晤談時發(fā)現(xiàn)的。以下是期末晤談時對話的片斷：問：你覺得數(shù)學(xué)是什麼？低

42、男：蠻好玩的，(微笑).因為一個人將題目能夠解出來的時候就會很高興。問：你有這種經(jīng)驗嗎低男：(點(diǎn)頭)傳統(tǒng)教學(xué)教室常常是師生都期待早點(diǎn)下課，但在本研究的實驗教室，經(jīng)常會出現(xiàn)學(xué)生熱烈討論忘了下課。有時甚至下課了，還有學(xué)生一面奔出教室還一面談?wù)撋险n未討論完的話題，筆者就曾目睹，學(xué)生在爭論1是不是質(zhì)數(shù)？李老師不提供學(xué)生答案，隨著鈴聲下課，兩位學(xué)生一面衝出教室，一面繼續(xù)爭論他們的觀點(diǎn)。這種場面即使在前段班也少見，出現(xiàn)在後段班給人印象加倍深刻。從李老師在期末報告也可以看到，實驗班學(xué)習(xí)興趣在雙環(huán)教學(xué)之下有長足的進(jìn)展。李老師報告的部分內(nèi)容如下：對於問題中心教學(xué)，學(xué)生幾乎是百分之百的喜歡。在教學(xué)實驗過程中覺察以

43、下的六項因素會影響學(xué)習(xí)的氣氛和效果：1.天氣煩悶或涼爽。五、六月天氣悶熱，學(xué)生討論氣氛不佳，個個顯得懶洋洋的。即使，問題多麼生活化、活發(fā)化，其效果亦大打折扣。反之，若天氣涼爽，一個平凡的題目，其討論學(xué)習(xí)盛況，令人佩服感動。2.問題難易度。同一年級，同一題目，在不同的班級就有不同的反應(yīng)，甚至在不同的組就有不同的討論狀況。程度差的學(xué)生喜歡問題生活化，簡易化，明顯化，單一化。程度較好的學(xué)生，則喜歡生活化，深度，廣度，加深加廣的題型。所以，不同的班需要不同的問題來刺激。3.問題的時事性。設(shè)計題目如果切合時事 (如電視節(jié)目內(nèi)容，或流行趨勢潮流，則較能引起共鳴，引發(fā)興趣，若是不配合時事而涉及古早的情事如小

44、叮噹，大雄則興趣缺缺。4.教師的態(tài)度。如果教師能著眼於大處 (真正要同學(xué)學(xué)到的東西)，而忽略小處(如同學(xué)們偶爾的談話) 盡量維持和諧、喜悅、接納、分享的氣氛，對整個學(xué)習(xí)效果最有助益。因為實驗班是導(dǎo)師班，常常有一些常規(guī)要重複叮嚀，甚至要嚴(yán)重糾正，而這些冷場面必須常利用數(shù)學(xué)課進(jìn)行，我覺得利用下課前幾分鐘再進(jìn)行待人處事教育較不會破壞氣氛，若事態(tài)嚴(yán)重需要上課立刻處理，處理後亦應(yīng)立刻緩和氣氛，才不會嚴(yán)重破壞學(xué)習(xí)興緻。5.教室小組的安排。學(xué)生討論熱絡(luò)與否，以及興緻高昂與否都和小組安排有相當(dāng)?shù)年P(guān)係。尤其小組若有會帶動的人，常是這一組積極參與活動的原因。在千變?nèi)f化的小組安排方式中，我覺得由學(xué)生自己挑選組別，最

45、能發(fā)揮學(xué)習(xí)效果。但日子一久，往往秩序難以維持，所以，安排座位前應(yīng)與學(xué)生約法三章，只要達(dá)到要求就可以做他們喜歡的事，若不能，則只好照規(guī)定來做，由老師排位置。這樣對學(xué)習(xí)情況才能有效掌握。從李老師的報告中可以看到，雙環(huán)教學(xué)之下，學(xué)生的需要和興趣受到老師前所未有的注意和重視，學(xué)生成為教室中學(xué)習(xí)的主體。報告中顯示影響學(xué)生學(xué)習(xí)興趣多且複雜，從天氣的好壞，題目的背景和難易度，老師的態(tài)度，到教室社會活動環(huán)境的佈置不一而足?？傊p環(huán)教學(xué)之下，不但學(xué)生恢復(fù)學(xué)習(xí)的興趣，連老師也恢復(fù)教學(xué)的興趣。李老師曾多次表示，以前是最想逃避後段班的教學(xué)，現(xiàn)在反而會期待上課時間的到來。五、恐懼?jǐn)?shù)學(xué)的問題後段班教學(xué)實驗初期需要解決往

46、往不是數(shù)學(xué)的教學(xué)問題，而是學(xué)生負(fù)面的學(xué)習(xí)態(tài)度 (例如，恐懼，排斥，拒絕，沒有信心) 需要改變的問題。因為這些負(fù)面的學(xué)習(xí)態(tài)度不改，再好的教學(xué)活動也難以施展。本研究於第一年就已經(jīng)發(fā)展出一些改進(jìn)的策略。這些策略在第二年繼續(xù)發(fā)揚(yáng)光大，且得到很好的效果。以下是這些策略的重建與反思。首先，不打草驚蛇。根據(jù)第一年的經(jīng)驗，李老師進(jìn)教室若與學(xué)生寒暄不談數(shù)學(xué)，學(xué)生表現(xiàn)還算正常。寒暄完畢。老師若提到數(shù)學(xué)二字，或與數(shù)學(xué)有關(guān)的東西，教室氣氛馬上逆轉(zhuǎn)，學(xué)生笑容收歛，臉色慘白，表情浮現(xiàn)害怕，排斥與嫌惡之情，教室氣氛立陷僵局與沈寂；不久，吵鬧之聲漸起，終至無法上課。李老師不得不停下來維持秩序。後來，李老師依筆者建議上課盡量不

47、提數(shù)學(xué)二字，甚至先不必想要上數(shù)學(xué)。先從學(xué)生有興趣的話題開始，想辦法讓學(xué)生在不知不覺的情況下上數(shù)學(xué)。有時，整節(jié)課只有從事一些非數(shù)學(xué)的活動，李老師因而焦慮進(jìn)度怎麼辦，筆者以進(jìn)度應(yīng)以學(xué)生的進(jìn)度為進(jìn)度說服李老師。因為老師有進(jìn)度，學(xué)生沒學(xué)習(xí)，進(jìn)度還是等於零。而且為了與學(xué)生建立友善和互信的關(guān)係，這樣做是非常值得的。當(dāng)學(xué)生的心理還沒準(zhǔn)備好接受老師時，對老師還不信任時，老師勉強(qiáng)推動，阻力大且效果差。當(dāng)李老師調(diào)整心態(tài)，以學(xué)生為本位，以學(xué)生為主體，不再是以數(shù)學(xué)或老師為本位，為主體之後，師生關(guān)係不再緊張，學(xué)生態(tài)度開始逆轉(zhuǎn)，參與教室活動的情況逐漸增加，而排斥，抗拒和迴避的情況逐漸減少。然而，不提數(shù)學(xué)，不打草驚蛇，只是

48、避免學(xué)生關(guān)閉他們的心靈而已。當(dāng)老師以非數(shù)學(xué)的方式佈題，大多數(shù)學(xué)生對問題背景有興趣，一旦佈題完畢要開始做問題時，很多學(xué)生還是退怯了。學(xué)生退怯的主要原因有二：(一)沒信心，他們不相信自己有能力，可以做問題。傳統(tǒng)教學(xué)之下，他們經(jīng)歷太多學(xué)習(xí)失敗的經(jīng)驗，他們對數(shù)學(xué)充滿誤解和不了解。學(xué)生的理由是：我不會，再怎麼讀，也考不好，小學(xué)數(shù)學(xué)就沒學(xué)好，現(xiàn)在太遲了。後段學(xué)生有很深的習(xí)得無助感(learned helplessness)(吳幸宜，1996)。(二)不安全。後段學(xué)生沒信心，因而更害怕犯錯，犯錯在傳統(tǒng)教學(xué)裡往往帶來難堪，懲罰，或丟臉。他們早已學(xué)會不做不錯的道理。所以，當(dāng)他們面對問題時，很自然的反應(yīng)就是避開不

49、做，以免犯錯丟臉，受罪，受罰。為治療學(xué)生的恐懼，害怕或無信心，本教學(xué)實驗慢慢發(fā)展出三管齊下的策略：(一)心理建設(shè)。老師明白告訴學(xué)生，犯錯是被允許的，犯錯是很正常的，人是在錯誤中學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)的重點(diǎn)在思考和了解，不在結(jié)果和對錯。即，你怎麼想？，你的意思是什麼？比你學(xué)到什麼？，對或錯來得重要。此時，老師的心態(tài)調(diào)整很重要，老師要言行一致，不可說一套做一套，告訴學(xué)生犯錯沒關(guān)係，卻又老注意學(xué)生的錯誤，且頻頻糾正學(xué)生的錯誤。當(dāng)學(xué)生說錯或做錯時，比較符合建構(gòu)主義的做法可能是，老師心平氣和讓學(xué)生解釋他們的意思和想法，引導(dǎo)他們自我檢查或先聽聽其他同學(xué)有何不同的想法，經(jīng)由反思或與同學(xué)討論來發(fā)現(xiàn)自己的錯誤和加以修正。在

50、教室創(chuàng)造探究的文化小世界。讓說錯或不會，變得很自然，錯了就去發(fā)現(xiàn)錯在那裡，不會就去討論。雙環(huán)教學(xué)之下，學(xué)生面對不會的態(tài)度似乎有了很大的轉(zhuǎn)變。以下是期末晤談的片斷：低女：這種教學(xué)的優(yōu)點(diǎn)是比較容易理解。如果這一題老師在教，你不會，可以跟老師講，老師會給你一段時間討論，可以叫好朋友教你。問：你對這種新式的教學(xué)方式有何看法？高男：有不會的，可以直接問老師或同學(xué)。建議討論的時間久一點(diǎn)。低女：.我們會就是會啊，不會的就去討論，這樣子很自然。問：你在這種新式的教學(xué)最大的收穫是什麼？高女：我覺得，題目不會的時候可以和同學(xué)討論。有時像辯論一樣 別人有的想法，我可以加點(diǎn)意見。(二)正向評量。為了鼓勵學(xué)生參與學(xué)習(xí)，

51、本研究採取盡量肯定學(xué)生的策略。 雙環(huán)教學(xué)強(qiáng)調(diào)學(xué)生的參與，了解和思考。所以，只要學(xué)生在參與，在思考，或有所了解，老師都給予肯定和鼓勵。做錯了，鼓勵勇於嘗試和思考。做對了，讚許和肯定學(xué)生的努力。既使學(xué)生完成的東西多麼微不足道，老師也可以找到值得肯定和鼓勵的地方。這對甚少曾被注意，被肯定，被讚美的低成就學(xué)生有神奇的效果。例如，在測量單元，玉祥量出課桌的長度。老師說：玉祥，請你告訴大家，你是怎麼做的？當(dāng)玉祥詳細(xì)描述測量課桌的過程和結(jié)果。老師說玉祥做得很好。當(dāng)微小的成就也會受到老師的重視和鼓勵，這對旁觀看的學(xué)生也有躍躍欲試。特別是當(dāng)數(shù)學(xué)很差的同學(xué)參與做數(shù)學(xué)活動，不但沒有不良的後果，還會受到老師的讚賞或鼓

52、勵時，一些原本冷眼旁觀的同學(xué)也開始主動參與數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)活動。(三)成功經(jīng)驗。傳統(tǒng)教學(xué)之下，低成就學(xué)生甚少有學(xué)習(xí)成功的經(jīng)驗。他們不相信自己有能力學(xué)習(xí)。為了恢復(fù)學(xué)生的信心，老師要創(chuàng)造機(jī)會讓學(xué)生成功，特別是依靠自己的力量成功的經(jīng)驗，這樣的經(jīng)驗對恢復(fù)學(xué)生的信心有很好的效果。例如，教複利時，李老師發(fā)現(xiàn)有一位平時表現(xiàn)不怎麼樣的學(xué)生金標(biāo)，好像很懂標(biāo)會的樣子，於是李老師要金標(biāo)下次上課來告訴大家如何標(biāo)會。李老師回憶金標(biāo)的表現(xiàn)令她印象深刻，李老師原本對金標(biāo)並無特別印象，想不到金標(biāo)能把標(biāo)會說得一清二楚。李老師說她是從金標(biāo)的報告才學(xué)到有關(guān)標(biāo)會的知識，例如，內(nèi)標(biāo)，外標(biāo)，如何標(biāo)，何時標(biāo)最有利等等。金標(biāo)的報告得到不少同學(xué)的尊

53、敬，金標(biāo)受到此一成功經(jīng)驗的影響，從此金標(biāo)上數(shù)學(xué)課變得比較積極參與，人也變得比較有自信。不過，要治療學(xué)生對數(shù)學(xué)的恐懼和無助，還是需要做數(shù)學(xué)問題成功的經(jīng)驗。這種經(jīng)驗在雙環(huán)教學(xué)之下，不但發(fā)生在成績較高的學(xué)生身上，也發(fā)生在成績較低的學(xué)生身上。從以下的期末晤談對話，可以發(fā)現(xiàn)這位低成就的學(xué)生不再恐懼?jǐn)?shù)學(xué)，還覺得數(shù)學(xué)蠻好玩的：問：你覺得數(shù)學(xué)是什麼？低男：蠻好玩的，(微笑).因為一個人將題目能夠解出來的時候就會很高興。問：你有這種經(jīng)驗嗎低男：(點(diǎn)頭)總之，要治療學(xué)生害怕數(shù)學(xué)，先不打草驚蛇，再創(chuàng)造安全的學(xué)習(xí)環(huán)境和創(chuàng)造學(xué)習(xí)成功的經(jīng)驗，以恢復(fù)信心，特別是學(xué)生自己克服困難解題成功的經(jīng)驗尤其有效。肆、討論本研究的目的在

54、評估雙環(huán)教學(xué)的成效。以下就上述的研究結(jié)果，從成就，程度，了解，興趣，恐懼五方面來加以討論。一、成就根據(jù)上述結(jié)果，雙環(huán)教學(xué)之下，實驗班數(shù)學(xué)段考成績上下學(xué)期穩(wěn)定維持在六十分上下。第一年也有類似的結(jié)果。再者，第一年從傳統(tǒng)教學(xué)改變成問題中心教學(xué)數(shù)學(xué)段考成績，前後提高38分。第二年從雙環(huán)教學(xué)改變成傳統(tǒng)教學(xué)數(shù)學(xué)段考成績下降22分。所以，雙環(huán)教學(xué)可以提高低學(xué)習(xí)成就班學(xué)生的數(shù)學(xué)段考成績。這可能是雙環(huán)教學(xué)之下，學(xué)生逐漸恢復(fù)學(xué)習(xí)興趣和產(chǎn)生了解的影響。雙環(huán)教學(xué)之下，每次段考數(shù)學(xué)平均成績，上、下學(xué)期差不多，都是在六十分上下，並未隨著時間繼續(xù)增加。此一現(xiàn)象與長期教室觀察看到學(xué)生熱烈的學(xué)習(xí)反應(yīng)，以及李老師對學(xué)生的上課反應(yīng)

55、和學(xué)習(xí)表現(xiàn)甚表滿意的情況不甚一致。其可能的原因有二：(一)段考試題偏重低階思考的技巧熟練和事實的記憶，較少高階思考的了解和非常規(guī)問題的解題，故雙環(huán)教學(xué)之下學(xué)生高階思考能力的發(fā)展無法在段考試題反應(yīng)出來。荷蘭RME在評估新課程與舊課程時也有類似的現(xiàn)象，即，用傳統(tǒng)試題無法反應(yīng)新教學(xué)的優(yōu)點(diǎn) (Heuvel-Panhuizen, 1996)。(二)一年時間太短。冰凍三尺非一日之寒，後段學(xué)生失學(xué)已久，很多學(xué)生才稍微復(fù)甦回頭學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，以學(xué)習(xí)一年的經(jīng)驗要活用來做好段考試題確有困難。美國Wood & Sellers (1996) 曾比較國小二年級普通班級學(xué)生採用問題中心教學(xué)一年和二年的區(qū)別，結(jié)果發(fā)現(xiàn)問題

56、中心教學(xué)一年的學(xué)生在包含計算熟練和概念了解的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)成就測驗分?jǐn)?shù)上與傳統(tǒng)教學(xué)的學(xué)生沒有顯著的不同；但問題中心教學(xué)二年的學(xué)生的成就測驗分?jǐn)?shù)就顯著高於問題中心教學(xué)只有一年的學(xué)生。這也符李老師的猜測，問題中心教學(xué)並非特效葯，但可期待維持較長久的學(xué)習(xí)成效。至於z分?jǐn)?shù)的意義，第二年的情形，若以國際間選取資優(yōu)生的標(biāo)準(zhǔn)來看 (Feldhusen, van Tassel-Baska, Selley, 1989)，正兩個標(biāo)準(zhǔn)差以上，是十三個班級中的資優(yōu)班了。所以，實驗班經(jīng)雙環(huán)教學(xué)之後是從上學(xué)期的普通班，變成下學(xué)期的資優(yōu)班。所以，單從十三班的相對位置來看，國二上李老師雙環(huán)教學(xué)六週後，成績中上；代課教師傳統(tǒng)教學(xué)六週

57、後，成績退回中間；國二下李老師回來恢復(fù)雙環(huán)教學(xué)，六週後，成績名列前茅；再六週後，依舊名列前茅。實驗班的數(shù)學(xué)成績是從上學(xué)期的普通中，到下學(xué)期躍進(jìn)至名列前茅。所以，若與其他傳統(tǒng)教學(xué)的班級比較，這是非常顯著的進(jìn)步。然而，這種進(jìn)步不能單純解釋作實驗班的進(jìn)步，應(yīng)是傳統(tǒng)教學(xué)班級的退步，相對突顯的結(jié)果。這與現(xiàn)實頗為吻合。在傳統(tǒng)教學(xué)之下，學(xué)生逐漸放棄學(xué)習(xí)頗為常見。根據(jù)NRC(1989)，美國學(xué)生進(jìn)入中學(xué)以後至大學(xué)，每年約有一半的學(xué)生放棄學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。筆者曾問過國內(nèi)多位資深中學(xué)數(shù)學(xué)教師，根據(jù)他們教書多年經(jīng)驗，他們頗認(rèn)同此項估計。依此，國二下數(shù)學(xué)段考分?jǐn)?shù)與國二上段考一的分?jǐn)?shù)差不多，都是維持在六十分上下，但相對位置在國二下遠(yuǎn)優(yōu)於國二上，應(yīng)是傳統(tǒng)教學(xué)班級學(xué)生逐漸放棄學(xué)習(xí)所致，而非雙環(huán)教學(xué)造成突飛猛進(jìn)的結(jié)果?？傊?，根據(jù)本研究結(jié)果顯示，雙環(huán)教學(xué)對低成就學(xué)生的數(shù)學(xué)段考成績有正面且穩(wěn)定的成效。二、程度根據(jù)本研究結(jié)果顯示，程度低並非是教學(xué)不能克服的障礙，不應(yīng)該成為不可教或不能教的理由。在雙環(huán)教學(xué)之下，把數(shù)學(xué)當(dāng)成是人的活動，數(shù)學(xué)活動化之後，程度再低的學(xué)生都有參與和學(xué)習(xí)的機(jī)會，即使連九九乘法表不會背的學(xué)生也能學(xué)習(xí)。此一結(jié)果印證了八年代英國許多研究計畫對低學(xué)習(xí)成就學(xué)生研究所得的結(jié)論 (Costello，1991)：這些學(xué)生需要的不是窄化的課程，而是寬廣化的課程，或全民的課程 (Curriculum for Al