行測(cè)數(shù)學(xué)運(yùn)算經(jīng)典題型總結(jié)

1、一、容斥原理 容斥原理關(guān)鍵就兩個(gè)公式：1. 兩個(gè)集合的容斥關(guān)系公式：A+B=AB+AB2. 三個(gè)集合的容斥關(guān)系公式：A+B+C=ABC+AB+BC+CA-ABC請(qǐng)看例題：【例題1】某大學(xué)某班學(xué)生總數(shù)是32人，在第一次考試中有26人及格，在第二次考試中有24人及格，若兩次考試中，都沒及格的有4人，那么兩次考試都及格的人數(shù)是(  )A.22        B.18       C.28    

2、;  D.26【解析】設(shè)A=第一次考試中及格的人數(shù)(26人),B=第二次考試中及格的人數(shù)(24人),顯然,A+B=26+24=50； AB=32-4=28，則根據(jù)AB=A+B-AB=50-28=22。答案為A?！纠}2】電視臺(tái)向100人調(diào)查前一天收看電視的情況，有62人看過2頻道，34人看過8頻道，11人兩個(gè)頻道都看過。問兩個(gè)頻道都沒看過的有多少人？【解析】設(shè)A=看過2頻道的人(62)，B=看過8頻道的人(34)，顯然，A+B=62+34=96；AB=兩個(gè)頻道都看過的人(11)，則根據(jù)公式AB= A+B-AB=96-11=85，所以，兩個(gè)頻道都沒看過的人數(shù)為100-85=1

3、5人。二、作對(duì)或做錯(cuò)題問題 【例題】某次考試由30到判斷題，每作對(duì)一道題得4分，做錯(cuò)一題倒扣2分，小周共得96分，問他做錯(cuò)了多少道題？A.12        B.4        C.2        D.5【解析】方法一假設(shè)某人在做題時(shí)前面24道題都做對(duì)了,這時(shí)他應(yīng)該得到96分,后面還有6道題,如果讓這最后6道題的得分為0,即可滿足題意.這6道題的得分怎么

4、才能為0分呢?根據(jù)規(guī)則,只要作對(duì)2道題,做錯(cuò)4道題即可,據(jù)此我們可知做錯(cuò)的題為4道,作對(duì)的題為26道.方法二作對(duì)一道可得4分,如果每作對(duì)反而扣2分,這一正一負(fù)差距就變成了6分.30道題全做對(duì)可得120分,而現(xiàn)在只得到96分,意味著差距為24分,用24÷6=4即可得到做錯(cuò)的題,所以可知選擇B三、植樹問題 核心要點(diǎn)提示：總路線長(zhǎng)間距(棵距)長(zhǎng)棵數(shù)。只要知道三個(gè)要素中的任意兩個(gè)要素，就可以求出第三個(gè)?！纠}1】李大爺在馬路邊散步，路邊均勻的栽著一行樹，李大爺從第一棵數(shù)走到底15棵樹共用了7分鐘，李大爺又向前走了幾棵樹后就往回走，當(dāng)他回到第5棵樹是共用了30分鐘。李大爺步行到第幾棵數(shù)時(shí)就開始

5、往回走？A.第32棵     B.第32棵     C.第32棵     D.第32棵解析：李大爺從第一棵數(shù)走到第15棵樹共用了7分鐘，也即走14個(gè)棵距用了7分鐘，所以走沒個(gè)棵距用0.5分鐘。當(dāng)他回到第5棵樹時(shí)，共用了30分鐘，計(jì)共走了30÷0.5=60個(gè)棵距，所以答案為B。第一棵到第33棵共32個(gè)棵距，第33可回到第5棵共28個(gè)棵距，32+28=60個(gè)棵距?！纠}2】為了把2008年北京奧運(yùn)會(huì)辦成綠色奧運(yùn)，全國各地都在加強(qiáng)環(huán)保，植樹造

6、林。某單位計(jì)劃在通往兩個(gè)比賽場(chǎng)館的兩條路的(不相交)兩旁栽上樹，現(xiàn)運(yùn)回一批樹苗，已知一條路的長(zhǎng)度是另一條路長(zhǎng)度的兩倍還多6000米，若每隔4米栽一棵，則少2754棵；若每隔5米栽一棵，則多396棵，則共有樹苗：( ）A.8500棵  B.12500棵  C.12596棵   D.13000棵解析：設(shè)兩條路共有樹苗棵，根據(jù)栽樹原理，路的總長(zhǎng)度是不變的，所以可根據(jù)路程相等列出方程：(+2754-4)×4=(-396-4)×5(因?yàn)?條路共栽4排，所以要減4)解得=13000，即選擇D。四、和差倍問題

7、 核心要點(diǎn)提示：和、差、倍問題是已知大小兩個(gè)數(shù)的和或差與它們的倍數(shù)關(guān)系，求大小兩個(gè)數(shù)的值。(和+差)÷2=較大數(shù)；(和差)÷2=較小數(shù)；較大數(shù)差=較小數(shù)?！纠}】甲班和乙班共有圖書160本，甲班的圖書是乙班的3倍，甲班和乙班各有圖書多少本？解析：設(shè)乙班的圖書本數(shù)為1份，則甲班和乙班圖書本書的合相當(dāng)于乙班圖書本數(shù)的4倍。乙班160÷（3+1)=40(本)，甲班40×3=120(本)。五濃度問題【例1】(2008年北京市應(yīng)屆第14題)甲杯中有濃度為17%的溶液400克，乙杯中有濃度為23%的溶液600克?，F(xiàn)在從甲、乙兩杯中取出相同總量的溶液，把從甲杯中取出的

8、倒入乙杯中，把從乙杯中取出的倒入甲杯中，使甲、乙兩杯溶液的濃度相同。問現(xiàn)在兩倍溶液的濃度是多少( )【答案】B?！窘馕觥窟@道題要解決兩個(gè)問題：(1)濃度問題的計(jì)算方法濃度問題在國考、京考當(dāng)中出現(xiàn)次數(shù)很少，但是在浙江省的考試中，每年都會(huì)遇到濃度問題。這類問題的計(jì)算需要掌握的最基本公式是(2)本題的陷阱條件“現(xiàn)在從甲、乙兩杯中取出相同總量的溶液，把從甲杯中取出的倒入乙杯中，把從乙杯中取出的倒入甲杯中，使甲、乙兩倍溶液的濃度相同?！边@句話描述了一個(gè)非常復(fù)雜的過程，令很多人望而卻步。然而，只要抓住了整個(gè)過程最為核心的結(jié)果“甲、乙兩杯溶液的濃度相同”這個(gè)條件，問題就變得很簡(jiǎn)單了。因?yàn)閮杀芤鹤罱K濃度相同

9、，因此整個(gè)過程可以等效為將甲、乙兩杯溶液混合均勻之后，再分開成為400克的一杯和600克的一杯。因此這道題就簡(jiǎn)單的變成了“甲、乙兩杯溶液混合之后的濃度是多少”這個(gè)問題了。根據(jù)濃度計(jì)算公式可得，所求濃度為：如果本題采用題設(shè)條件所述的過程來進(jìn)行計(jì)算，將相當(dāng)繁瑣。六行程問題【例1】(2006年北京市社招第21題)2某單位圍墻外面的公路圍成了邊長(zhǎng)為300米的正方形，甲乙兩人分別從兩個(gè)對(duì)角沿逆時(shí)針同時(shí)出發(fā)，如果甲每分鐘走90米，乙每分鐘走70米，那么經(jīng)過( )甲才能看到乙A.16分40秒 B.16分 C.15分 D.14分40秒【答案】A。【解析】這道題是一道較難的行程問題，其難點(diǎn)在于“甲看到乙”這個(gè)條

10、件。有一種錯(cuò)誤的理解就是“甲看到乙”則是甲與乙在同一邊上的時(shí)候甲就能看到乙，也就是甲、乙之間的距離小于300米時(shí)候甲就能看到乙了，其實(shí)不然?？紤]一種特殊情況，就是甲、乙都來到了這個(gè)正方形的某個(gè)角旁邊，但是不在同一條邊上，這個(gè)時(shí)候雖然甲、乙之間距離很短，但是這時(shí)候甲還是不能看到乙。由此看出這道題的難度甲看到乙的時(shí)候兩人之間的距離是無法確定的。有兩種方法來“避開”這個(gè)難點(diǎn)解法一：借助一張圖來求解雖然甲、乙兩人沿正方形路線行走，但是行進(jìn)過程完全可以等效的視為兩人沿著直線行走，甲、乙的初始狀態(tài)如圖所示。圖中的每一個(gè)“格檔”長(zhǎng)為300米，如此可以將題目化為這樣的問題“經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間，甲、乙能走入同一格檔？

11、”觀察題目選項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)有15分鐘、16分鐘兩個(gè)整數(shù)時(shí)間，比較方便計(jì)算。因此代入15分鐘值試探一下經(jīng)過15分鐘甲、乙的位置關(guān)系。經(jīng)過15分鐘之后，甲、乙分別前進(jìn)了90×151350米(4×300150)米70×151050米(3×300150)米也就是說，甲向前行進(jìn)了4個(gè)半格檔，乙向前行進(jìn)了3個(gè)半格檔，此時(shí)兩人所在的地點(diǎn)如圖所示。甲、乙兩人恰好分別在兩個(gè)相鄰的格檔的中點(diǎn)處。這時(shí)甲、乙兩人相距300米，但是很明顯甲還看不到乙，正如解析開始處所說，如果單純的認(rèn)為甲、乙距離差為300米時(shí)，甲就能看到乙的話就會(huì)出錯(cuò)?？紤]由于甲行走的比乙快，因此當(dāng)甲再行走150米，來

12、到拐彎處的時(shí)候，乙行走的路程還不到150米。此時(shí)甲只要拐過彎就能看到乙。因此再過150/901分40秒之后，甲恰好拐過彎看到乙。所以甲從出發(fā)到看到乙，總共需要16分40秒，甲就能看到乙。這種解法不是常規(guī)解法，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較為薄弱的考生可能很難想到。解法二：考慮實(shí)際情況由于甲追乙，而且甲的速度比乙快，因此實(shí)際情況下，甲能夠看到乙恰好是當(dāng)甲經(jīng)過了正方形的一個(gè)頂點(diǎn)之后就能看到乙了。也就是說甲從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，在到某個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，甲就能看到乙了。題目要求的是甲運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，根據(jù)上面的分析可知，經(jīng)過這段時(shí)間之后，甲正好走了整數(shù)個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)運(yùn)算式就是90×t300×n其中，t是甲運(yùn)動(dòng)

13、的時(shí)間，n是一個(gè)整數(shù)。帶入題目四個(gè)選項(xiàng)，經(jīng)過檢驗(yàn)可知，只有A選項(xiàng)16分40秒過后，甲運(yùn)動(dòng)的距離為90×（16×6040)/601500300×5符合“甲正好走了整數(shù)個(gè)正方形的邊長(zhǎng)”這個(gè)要求，它是正確答案。七抽屜問題三個(gè)例子： （1）3個(gè)蘋果放到2個(gè)抽屜里，那么一定有1個(gè)抽屜里至少有2個(gè)蘋果。 （2）5塊手帕分給4個(gè)小朋友，那么一定有1個(gè)小朋友至少拿了2塊手帕。 （3）6只鴿子飛進(jìn)5個(gè)鴿籠，那么一定有1個(gè)鴿籠至少飛進(jìn)2只鴿子。 我們用列表法來證明例題（1）： 放  法 抽  屜 種 種 種 種 第1個(gè)抽屜 3個(gè) 2個(gè) 1個(gè) 0個(gè) 第2個(gè)抽屜 0個(gè)

14、 1個(gè) 2個(gè) 3個(gè) 從上表可以看出，將3個(gè)蘋果放在2個(gè)抽屜里，共有4種不同的放法。 第、兩種放法使得在第1個(gè)抽屜里，至少有2個(gè)蘋果；第、兩種放法使得在第2個(gè)抽屜里，至少有2個(gè)蘋果。 即：可以肯定地說，3個(gè)蘋果放到2個(gè)抽屜里，一定有1個(gè)抽屜里至少有2個(gè)蘋果。 由上可以得出： 題  號(hào) 物  體 數(shù)  量 抽屜數(shù) 結(jié)  果 （1） 蘋  果 3個(gè) 放入2個(gè)抽屜 有一個(gè)抽屜至少有2個(gè)蘋果 （2） 手  帕 5塊 分給4個(gè)人 有一人至少拿了2塊手帕 （3） 鴿  子 6只 飛進(jìn)5個(gè)籠子 有一個(gè)籠子至少飛進(jìn)2只鴿 上面三個(gè)例子的共同特

15、點(diǎn)是：物體個(gè)數(shù)比抽屜個(gè)數(shù)多一個(gè)，那么有一個(gè)抽屜至少有2個(gè)這樣的物體。從而得出： 抽屜原理1：把多于n個(gè)的物體放到n個(gè)抽屜里，則至少有一個(gè)抽屜里有2個(gè)或2個(gè)以上的物體。 再看下面的兩個(gè)例子： （4）把30個(gè)蘋果放到6個(gè)抽屜中，問：是否存在這樣一種放法，使每個(gè)抽屜中的蘋果數(shù)都小于等于5？ （5）把30個(gè)以上的蘋果放到6個(gè)抽屜中，問：是否存在這樣一種放法，使每個(gè)抽屜中的蘋果數(shù)都小于等于5？ 解答:（4）存在這樣的放法。即：每個(gè)抽屜中都放5個(gè)蘋果；（5）不存在這樣的放法。即：無論怎么放，都會(huì)找到一個(gè)抽屜，它里面至少有6個(gè)蘋果。 從上述兩例中我們還可以得到如下規(guī)律： 抽屜原理2：把多于m×n個(gè)

16、的物體放到n個(gè)抽屜里，則至少有一個(gè)抽屜里有m1個(gè)或多于ml個(gè)的物體。 可以看出，“原理1”和“原理2”的區(qū)別是：“原理1”物體多，抽屜少，數(shù)量比較接近；“原理2”雖然也是物體多，抽屜少，但是數(shù)量相差較大，物體個(gè)數(shù)比抽屜個(gè)數(shù)的幾倍還多幾。 以上兩個(gè)原理，就是我們解決抽屜問題的重要依據(jù)。抽屜問題可以簡(jiǎn)單歸結(jié)為一句話：有多少個(gè)蘋果，多少個(gè)抽屜，蘋果和抽屜之間的關(guān)系。解此類問題的重點(diǎn)就是要找準(zhǔn)“抽屜”，只有“抽屜”找準(zhǔn)了，“蘋果”才好放。 我們先從簡(jiǎn)單的問題入手： （1）3只鴿子飛進(jìn)了2個(gè)鳥巢，則總有1個(gè)鳥巢中至少有幾只鴿子？（答案：2只） （2）把3本書放進(jìn)2個(gè)書架，則總有1個(gè)書架上至少放著幾本書？

17、（答案：2本） （3）把3封信投進(jìn)2個(gè)郵筒，則總有1個(gè)郵筒投進(jìn)了不止幾封信？（答案：1封） （4）1000只鴿子飛進(jìn)50個(gè)巢，無論怎么飛，我們一定能找到一個(gè)含鴿子最多的巢，它里面至少含有幾只鴿子？（答案：1000÷5020，所以答案為20只） （5）從8個(gè)抽屜中拿出17個(gè)蘋果，無論怎么拿。我們一定能找到一個(gè)拿蘋果最多的抽屜，從它里面至少拿出了幾個(gè)蘋果？（答案：17÷821，213，所以答案為3） （6）從幾個(gè)抽屜中（填最大數(shù)）拿出25個(gè)蘋果，才能保證一定能找到一個(gè)抽屜，從它當(dāng)中至少拿了7個(gè)蘋果？（答案：25÷6，可見除數(shù)為4，余數(shù)為1，抽屜數(shù)為4，所以答案為4個(gè)）

18、 抽屜問題又稱為鳥巢問題、書架問題或郵筒問題。如上面（1）、（2）、（3）題，講的就是這些原理。上面（4）、（5）、（6）題的規(guī)律是：物體數(shù)比抽屜數(shù)的幾倍還多幾的情況，可用“蘋果數(shù)”除以“抽屜數(shù)”，若余數(shù)不為零，則“答案”為商加1；若余數(shù)為零，則“答案”為商。其中第（6）題是已知“蘋果數(shù)”和“答案”來求“抽屜數(shù)”。 抽屜問題的用處很廣，如果能靈活運(yùn)用，可以解決一些看上去相當(dāng)復(fù)雜、覺得無從下手，實(shí)際上卻是相當(dāng)有趣的數(shù)學(xué)問題。 例1：某班共有13個(gè)同學(xué)，那么至少有幾人是同月出生？（ ） A. 13 B. 12 C. 6 D. 2 解1：找準(zhǔn)題中兩個(gè)量，一個(gè)是人數(shù)，一個(gè)是月份，把人數(shù)當(dāng)作“蘋果”，把

19、月份當(dāng)作“抽屜”，那么問題就變成：13個(gè)蘋果放12個(gè)抽屜里，那么至少有一個(gè)抽屜里放兩個(gè)蘋果?！疽阎O果和抽屜，用“抽屜原理1”】 例2：某班參加一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，試卷滿分是30分。為保證有2人的得分一樣，該班至少得有幾人參賽？（ ） A. 30 B. 31 C. 32 D. 33 解2：毫無疑問，參賽總?cè)藬?shù)可作“蘋果”，這里需要找“抽屜”，使找到的“抽屜”滿足：總?cè)藬?shù)放進(jìn)去之后，保證有1個(gè)“抽屜”里，有2人。仔細(xì)分析題目，“抽屜”當(dāng)然是得分，滿分是30分，則一個(gè)人可能的得分有31種情況（從0分到30分），所以“蘋果”數(shù)應(yīng)該是31132?！疽阎O果和抽屜，用“抽屜原理2”】 例3. 在某校數(shù)學(xué)樂園中

20、，五年級(jí)學(xué)生共有400人，年齡最大的與年齡最小的相差不到1歲，我們不用去查看學(xué)生的出生日期，就可斷定在這400個(gè)學(xué)生中至少有兩個(gè)是同年同月同日出生的，你知道為什么嗎？ 解3：因?yàn)槟挲g最大的與年齡最小的相差不到1歲，所以這400名學(xué)生出生的日期總數(shù)不會(huì)超過366天，把400名學(xué)生看作400個(gè)蘋果，366天看作是366個(gè)抽屜，（若兩名學(xué)生是同一天出生的，則讓他們進(jìn)入同一個(gè)抽屜，否則進(jìn)入不同的抽屜）由“抽屜原則2”知“無論怎么放這400個(gè)蘋果，一定能找到一個(gè)抽屜，它里面至少有2（400÷36611，112）個(gè)蘋果”。即：一定能找到2個(gè)學(xué)生，他們是同年同月同日出生的。 例4：有紅色、白色、黑

21、色的筷子各10根混放在一起。如果讓你閉上眼睛去摸，（1）你至少要摸出幾根才敢保證至少有兩根筷子是同色的？為什么？（2）至少拿幾根，才能保證有兩雙同色的筷子，為什么？ 解4：把3種顏色的筷子當(dāng)作3個(gè)抽屜。則： （1）根據(jù)“抽屜原理1”，至少拿4根筷子，才能保證有2根同色筷子；（2）從最特殊的情況想起，假定3種顏色的筷子各拿了3根，也就是在3個(gè)“抽屜”里各拿了3根筷子，不管在哪個(gè)“抽屜”里再拿1根筷子，就有4根筷子是同色的，所以一次至少應(yīng)拿出3×3110（根）筷子，就能保證有4根筷子同色。 例5. 證明在任意的37人中，至少有4人的屬相相同。 解5：將37人看作37個(gè)蘋果，12個(gè)屬相看作

22、是12個(gè)抽屜，由“抽屜原理2”知，“無論怎么放一定能找到一個(gè)抽屜，它里面至少有4個(gè)蘋果”。即在任意的37人中，至少有4（37÷1231，314）人屬相相同。 例6：某班有個(gè)小書架，40個(gè)同學(xué)可以任意借閱，試問小書架上至少要有多少本書，才能保證至少有1個(gè)同學(xué)能借到2本或2本以上的書？ 分析：從問題“有1個(gè)同學(xué)能借到2本或2本以上的書”我們想到，此話對(duì)應(yīng)于“有一個(gè)抽屜里面有2個(gè)或2個(gè)以上的蘋果”。所以我們應(yīng)將40個(gè)同學(xué)看作40個(gè)抽屜，將書本看作蘋果，如某個(gè)同學(xué)借到了書，就相當(dāng)于將這個(gè)蘋果放到了他的抽屜中。 解6：將40個(gè)同學(xué)看作40個(gè)抽屜，書看作是蘋果，由“抽屜原理1”知：要保證有一個(gè)抽

23、屜中至少有2個(gè)蘋果，蘋果數(shù)應(yīng)至少為40141（個(gè)）。即：小書架上至少要有41本書。 下面我們來看兩道國考真題： 例7：（國家公務(wù)員考試2004年B類第48題的珠子問題）： 有紅、黃、藍(lán)、白珠子各10粒，裝在一個(gè)袋子里，為了保證摸出的珠子有兩顆顏色 相同，應(yīng)至少摸出幾粒？（ ） A3 B4 C5 D6 解7：把珠子當(dāng)成“蘋果”，一共有10個(gè)，則珠子的顏色可以當(dāng)作“抽屜”，為保證 摸出的珠子有2顆顏色一樣，我們假設(shè)每次摸出的分別都放在不同的“抽屜”里，摸了4 個(gè)顏色不同的珠子之后，所有“抽屜”里都各有一個(gè)，這時(shí)候再任意摸1個(gè)，則一定有 一個(gè)“抽屜”有2顆，也就是有2顆珠子顏色一樣。答案選C。 例8

24、：（國家公務(wù)員考試2007年第49題的撲克牌問題）： 從一副完整的撲克牌中，至少抽出（ ）張牌，才能保證至少6張牌的花色相同？ A21 B22 C23 D24 解8：完整的撲克牌有54張，看成54個(gè)“蘋果”，抽屜就是6個(gè)（黑桃、紅桃、梅花、方塊、大王、小王），為保證有6張花色一樣，我們假設(shè)現(xiàn)在前4個(gè)“抽屜”里各放了5張，后兩個(gè)“抽屜”里各放了1張，這時(shí)候再任意抽取1張牌，那么前4個(gè)“抽屜”里必然有1個(gè)“抽屜”里有6張花色一樣。答案選C。 歸納小結(jié)：解抽屜問題，最關(guān)鍵的是要找到誰為“蘋果”，誰為“抽屜”，再結(jié)合兩個(gè)原理進(jìn)行相應(yīng)分析?？梢钥闯鰜?，并不是每一個(gè)類似問題的“抽屜”都很明顯，有時(shí)候“抽屜

25、”需要我們構(gòu)造，這個(gè)“抽屜”可以是日期、撲克牌、考試分?jǐn)?shù)、年齡、書架等等變化的量，但是整體的出題模式不會(huì)超出這個(gè)范圍。八“牛吃草”問題牛吃草問題經(jīng)常給出不同頭數(shù)的牛吃同一片次的草，這塊地既有原有的草，又有每天新長(zhǎng)出的草。由于吃草的牛頭數(shù)不同，求若干頭牛吃的這片地的草可以吃多少天。  解題關(guān)鍵是弄清楚已知條件，進(jìn)行對(duì)比分析，從而求出每日新長(zhǎng)草的數(shù)量，再求出草地里原有草的數(shù)量，進(jìn)而解答題總所求的問題。這類問題的基本數(shù)量關(guān)系是：1（牛的頭數(shù)×吃草較多的天數(shù)牛頭數(shù)×吃草較少的天數(shù)）÷（吃的較多的天數(shù)吃的較少的天數(shù)）=草地每天新長(zhǎng)草的量。2牛的頭數(shù)

26、15;吃草天數(shù)每天新長(zhǎng)量×吃草天數(shù)=草地原有的草。下面來看幾道典型試題：例1由于天氣逐漸變冷，牧場(chǎng)上的草每天一均勻的速度減少。經(jīng)計(jì)算，牧場(chǎng)上的草可供20頭牛吃5天，或供16頭牛吃6天。那么可供11頭牛吃幾天？（ ）A.12 B.10 C.8 D.6【答案】C。解析：設(shè)每頭牛每天吃1份草，則牧場(chǎng)上的草每天減少（20×516×6）÷（65）=4份草，原來牧場(chǎng)上有20×5+5×4=120份草，故可供11頭牛吃120÷（11+4）=8天。例2有一片牧場(chǎng)，24頭牛6天可以將草吃完；21頭牛8天可以吃完，要使牧草永遠(yuǎn)吃不完，至多可以放牧

27、幾頭牛？（ ）A.8 B.10 C.12 D.14【答案】C。解析：設(shè)每頭牛每天吃1份草，則牧場(chǎng)上的草每天生長(zhǎng)出（21×824×6）÷（86）=12份，如果放牧12頭牛正好可吃完每天長(zhǎng)出的草，故至多可以放牧12頭牛。例3有一個(gè)水池，池底有一個(gè)打開的出水口。用5臺(tái)抽水機(jī)20小時(shí)可將水抽完，用8臺(tái)抽水機(jī)15小時(shí)可將水抽完。如果僅靠出水口出水，那么多長(zhǎng)時(shí)間將水漏完？（ ）A.25 B.30 C.40 D.45【答案】D。解析：出水口每小時(shí)漏水為（8×155×20）÷（2015）=4份水，原來有水8×15+4×15=180

28、份，故需要180÷4=45小時(shí)漏完。練習(xí)：1一片牧草，可供16頭牛吃20天，也可以供80只羊吃12天，如果每頭牛每天吃草量等于每天4只羊的吃草量，那么10頭牛與60只羊一起吃這一片草，幾天可以吃完？（ ）A.10 B.8 C.6 D.42兩個(gè)孩子逆著自動(dòng)扶梯的方向行走。20秒內(nèi)男孩走27級(jí)，女孩走了24級(jí)，按此速度男孩2分鐘到達(dá)另一端，而女孩需要3分鐘才能到達(dá)。則該扶梯靜止時(shí)共有多少級(jí)可以看見？（ ）A.54 B.48 C.42 D.36322頭牛吃33公畝牧場(chǎng)的草，54天可以吃盡，17頭牛吃同樣牧場(chǎng)28公畝的草，84天可以吃盡。請(qǐng)問幾頭牛吃同樣牧場(chǎng)40公畝的草，24天吃盡？（ ）A

29、.50 B.46 C.38 D.35九利潤問題利潤就是掙的錢。利潤占成本的百分?jǐn)?shù)就是利潤率。商店有時(shí)減價(jià)出售商品，我們把它稱為“打折”，幾折就是百分之幾十。如果某種商品打“八折”出售，就是按原價(jià)的80%出售；如果某商品打“八五”折出售，就是按原價(jià)的85%出售。利潤問題中，還有一種利息和利率的問題，屬于百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題。本金是存入銀行的錢。利率是銀行公布的，是把本金看做單位“1”，按百分之幾或千分之幾付給儲(chǔ)戶的。利息是存款到期后，除本金外，按利率付給儲(chǔ)戶的錢。本息和是本金與利息的和。 這一問題常用的公式有： 定價(jià)=成本+利潤 利潤=成本×利潤率 定價(jià)=成本×（1+利潤率) 利潤率

30、=利潤÷成本 利潤的百分?jǐn)?shù)=(售價(jià)-成本)÷成本×100% 售價(jià)=定價(jià)×折扣的百分?jǐn)?shù) 利息=本金×利率×期數(shù) 本息和=本金×（1+利率×期數(shù)) 例1 某商品按20%的利潤定價(jià)，又按八折出售，結(jié)果虧損4元錢。這件商品的成本是多少元？ A.80 B.100 C.120 D.150 【答案】B。解析：現(xiàn)在的價(jià)格為(1+20%)×80%=96%，故成本為4÷（1-96%)=100元。 例2 某商品按定價(jià)出售，每個(gè)可以獲得45元的利潤，現(xiàn)在按定價(jià)的八五折出售8個(gè)，按定價(jià)每個(gè)減

31、價(jià)35元出售12個(gè)，所能獲得的利潤一樣。這種商品每個(gè)定價(jià)多少元？( ) A.100 B.120 C.180 D.200 【答案】D。解析：每個(gè)減價(jià)35元出售可獲得利潤(45-35)×12=120元，則如按八五折出售的話，每件商品可獲得利潤120÷8=15元，少獲得45-15=30元，故每個(gè)定價(jià)為30÷（1-85%)=200元。 例3 一種商品，甲店進(jìn)貨價(jià)比乙店便宜12%，兩店同樣按20%的利潤定價(jià)，這樣1件商品乙店比甲店多收入24元，甲店的定價(jià)是多少元？( ) A.1000 B.1024 C.1

32、056 D.1200 【答案】C。解析：設(shè)乙店進(jìn)貨價(jià)為x元，可列方程20%x-20%×（1-12%)x=24，解得x=1000，故甲店定價(jià)為1000×（1-12%)×（1+20%)=1056元。 練習(xí)： 1.書店賣書，凡購?fù)环N書100本以上，就按書價(jià)的90%收款，某學(xué)校到書店購買甲、乙兩種書，其中乙書的冊(cè)數(shù)是甲書冊(cè)數(shù)的 ，只有甲種書得到了優(yōu)惠，這時(shí)，買甲種書所付總錢數(shù)是買乙種書所付錢數(shù)的2倍，已知乙種書每本定價(jià)是1.5元，優(yōu)惠前甲種書每本定價(jià)多少元？ A.4 B.3 C.2 D.1 2.某書店對(duì)顧客實(shí)行一項(xiàng)優(yōu)惠措

33、施：每次買書200元至499.99元者優(yōu)惠5%，每次買書500元以上者(含500元)優(yōu)惠10%。某顧客到書店買了三次書，如果第一次與第二次合并一起買，比分開買便宜13.5元；如果三次合并一起買比三次分開買便宜39.4元。已知第一次付款是第三次付款的 ，這位顧客第二次買了多少錢的書？ A.115 B.120 C.125 D.130 3.商店新進(jìn)一批洗衣機(jī)，按30%的利潤定價(jià)，售出60%以后，打八折出售，這批洗衣機(jī)實(shí)際利潤的百分?jǐn)?shù)是多少？ 十平均數(shù)問題這里的平均數(shù)是指算術(shù)平均數(shù)，就是n個(gè)數(shù)的和被個(gè)數(shù)n除所得的商，這里的n大于或等于2。通常把與兩個(gè)或兩個(gè)以上數(shù)

34、的算術(shù)平均數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題，叫做平均數(shù)問題。 平均數(shù)應(yīng)用題的基本數(shù)量關(guān)系是： 總數(shù)量和÷總份數(shù)=平均數(shù) 平均數(shù)×總份數(shù)=總數(shù)量和 總數(shù)量和÷平均數(shù)=總份數(shù) 解答平均數(shù)應(yīng)用題的關(guān)鍵在于確定“總數(shù)量”以及和總數(shù)量對(duì)應(yīng)的總份數(shù)。 例1： 在前面3場(chǎng)擊球游戲中，某人的得分分別為130、143、144。為使4場(chǎng)游戲得分的平均數(shù)為145，第四場(chǎng)他應(yīng)得多少分？( ) 【答案】C。解析：4場(chǎng)游戲得分平均數(shù)為145，則總分為145×4=580，故第四場(chǎng)應(yīng)的580-130-143-144=163分。 例2： 李明家在山上，爺爺家在山下，李明從家出發(fā)一每分鐘90米的速度走了10

35、分鐘到了爺爺家?；貋頃r(shí)走了15分鐘到家，則李 是多少？( ) A.72米/分 B.80米/分 C.84米/分 D90米/分 【答案】A。解析：李明往返的總路程是90×10×2=1800(米)，總時(shí)間為10+15=25 均速度為1800÷25=72米/分。 例3： 某校有有100個(gè)學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，平均得63分，其中男生平均60分，女生平均70分，則男生比女生多多少人？( ) A.30 B.32 C.40 D.45 【答案】C。解析：總得分為63×100=6300，假設(shè)女生也是平均60分，那么100個(gè)學(xué)生共的6000分，這樣就比實(shí)得的總分少300分。這是女

36、生平均每人比男生高10分，所以這少的300分是由于每個(gè)女生少算了10分造成的，可見女生有300÷10=30人，男生有100-30=70人，故男生比女生多70-30=40人。 練習(xí)： 1. 5個(gè)數(shù)的平均數(shù)是102。如果把這5個(gè)數(shù)從小到大排列，那么前3個(gè)數(shù)的平均數(shù)是70，后3個(gè)數(shù)的和是390。中間的那個(gè)數(shù)是多少？( ) A.80 B.88 C.90 D.96 2. 甲、乙、丙3人平均體重47千克，甲與乙的平均體重比丙的體重少6千克，甲比丙少3 千克，則乙的體重為( )千克。 A.46 B.47 C.43 D.42 3. 一個(gè)旅游團(tuán)租車出游，平均每人應(yīng)付車費(fèi)40元。后來又增加了8人，這樣每

37、人應(yīng)付的車 費(fèi)是35元，則租車費(fèi)是多少元？( ) A.320 B.2240 C.2500 D.320 十一.方陣問題學(xué)生排隊(duì)，士兵列隊(duì)，橫著排叫做行，豎著排叫做列。如果行數(shù)與列數(shù)都相等，則正好排成一個(gè)正方形，這種圖形就叫方隊(duì)，也叫做方陣（亦叫乘方問題）。核心公式：1方陣總?cè)藬?shù)=最外層每邊人數(shù)的平方（方陣問題的核心）2方陣最外層每邊人數(shù)=（方陣最外層總?cè)藬?shù)÷4）13方陣外一層總?cè)藬?shù)比內(nèi)一層總?cè)藬?shù)多24去掉一行、一列的總?cè)藬?shù)去掉的每邊人數(shù)×21 例1  學(xué)校學(xué)生排成一個(gè)方陣，最外層的人數(shù)是60人，問這個(gè)方陣共有學(xué)生多少人?A256人  &

38、#160; B250人    C225人    D196人        （2002年A類真題）解析：正確答案為A。方陣問題的核心是求最外層每邊人數(shù)。根據(jù)四周人數(shù)和每邊人數(shù)的關(guān)系可以知：每邊人數(shù)=四周人數(shù)÷4+1，可以求出方陣最外層每邊人數(shù)，那么整個(gè)方陣隊(duì)列的總?cè)藬?shù)就可以求了。方陣最外層每邊人數(shù)：60÷4+1=16（人） 整個(gè)方陣共有學(xué)生人數(shù)：16×16=256（人）。例2  參加中學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)團(tuán)體操比賽的運(yùn)動(dòng)員排成了一個(gè)正方形

39、隊(duì)列。如果要使這個(gè)正方形隊(duì)列減少一行和一列，則要減少33人。問參加團(tuán)體操表演的運(yùn)動(dòng)員有多少人？分析  如下圖表示的是一個(gè)五行五列的正方形隊(duì)列。從圖中可以看出正方形的每行、每列人數(shù)相等；最外層每邊人數(shù)是5，去一行、一列則一共要去9人，因而我們可以得到如下公式：去掉一行、一列的總?cè)藬?shù)去掉的每邊人數(shù)×21 解析：方陣問題的核心是求最外層每邊人數(shù)。原題中去掉一行、一列的人數(shù)是33，則去掉的一行（或一列）人數(shù)（33+1）÷217方陣的總?cè)藬?shù)為最外層每邊人數(shù)的平方，所以總?cè)藬?shù)為17×17=289（人）練習(xí)：1. 小紅把平時(shí)節(jié)省下來的全部五分硬幣先

40、圍成個(gè)正三角形，正好用完，后來又改圍成一個(gè)正方形，也正好用完。如果正方形的每條邊比三角形的每條邊少用5枚硬幣，則小紅所有五分硬幣的總價(jià)值是( )：A1元    B2元    C3元    D4元                （2005年中央真題）2. 某儀仗隊(duì)排成方陣，第一次排列若干人，結(jié)果多余100人；第二次比第一次每行、每列都增加3人，又少2

41、9人。儀仗隊(duì)總?cè)藬?shù)為多少？ 答案：1.C  2. 500人十二.年齡問題主要特點(diǎn)是：時(shí)間發(fā)生變化，年齡在增長(zhǎng)，但是年齡差始終不變。年齡問題往往是“和差”、“差倍”等問題的綜合應(yīng)用。解題時(shí)，我們一定要抓住年齡差不變這個(gè)解題關(guān)鍵。 解答年齡問題的一般方法： 幾年后的年齡=大小年齡差÷倍數(shù)差小年齡 幾年前的年齡=小年齡大小年齡差÷倍數(shù)差 例1： 甲對(duì)乙說：當(dāng)我的歲數(shù)是你現(xiàn)在歲數(shù)時(shí)，你才4歲。乙對(duì)甲說：當(dāng)我的歲數(shù)到你現(xiàn)在的歲數(shù)時(shí)，你將有67歲，甲乙現(xiàn)在各有： A45歲，26歲 B46歲，25歲 C47歲，24歲 D48歲，23歲 【答案】B。 解析：甲、乙二人的年齡差為（

42、674）÷3=21歲，故今年甲為6721=46歲，乙的年齡為4521=25歲。 例2： 爸爸、哥哥、妹妹現(xiàn)在的年齡和是64歲。當(dāng)爸爸的年齡是哥哥的3倍時(shí)，妹妹是9歲；當(dāng)哥哥的年齡是妹妹的2倍時(shí)，爸爸34歲?，F(xiàn)在爸爸的年齡是多少歲？ A34 B39 C40 D42 【答案】C。 解析：解法一：用代入法逐項(xiàng)代入驗(yàn)證。解法二，利用“年齡差”是不變的，列方程求解。設(shè)爸爸、哥哥和妹妹的現(xiàn)在年齡分別為：x、y和z。那么可得下列三元一次方程：x+y+z=64；x-(z-9)=3y-(z-9)；y-(x-34)=2z-(x-34)?？汕蟮脁=40。 例3： 1998年，甲的年齡是乙的年齡的4倍。20

43、02年，甲的年齡是乙的年齡的3倍。問甲、乙二人2000年的年齡分別是多少歲? A34歲，12歲 B32歲，8歲 C36歲，12歲 D34歲，10歲 【答案】C。 解析：抓住年齡問題的關(guān)鍵即年齡差，1998年甲的年齡是乙的年齡的4倍，則甲乙的年齡差為3倍乙的年齡，2002年，甲的年齡是乙的年齡的3倍，此時(shí)甲乙的年齡差為2倍乙的年齡，根據(jù)年齡差不變可得 3×1998年乙的年齡=2×2002年乙的年齡 3×1998年乙的年齡=2×（1998年乙的年齡+4） 1998年乙的年齡=4歲 則2000年乙的年齡為10歲。 練習(xí)： 1. 爸爸在過50歲生日時(shí)，弟弟說：“

44、等我長(zhǎng)到哥哥現(xiàn)在的年齡時(shí)，我和哥哥的年齡之和等于那時(shí)爸爸的年齡”，那么哥哥今年多少歲？ A.18 B.20 C.25 D.28 2. 甲、乙兩人的年齡和正好是80歲，甲對(duì)乙說：“我像你現(xiàn)在這么大時(shí)，你的年齡正好是我的年齡的一半?！奔捉衲甓嗌贇q？（ ） A.32 B.40 C.48 D.45 3. 父親與兒子的年齡和是66歲，父親的年齡比兒子年齡的3倍少10歲，那么多少年前父親的年齡是兒子的5倍？（ ） A.10 B.11 C.12 D.13 十三. 比例問題解決好比例問題，關(guān)鍵要從兩點(diǎn)入手：第一，“和誰比”；第二，“增加或下降多少”。例1   b比a增加了20%，則b是a的

45、多少？ a又是b的多少呢？解析：可根據(jù)方程的思想列式得 a×（120%）b，所以b是a的1.2倍。A/b1/1.25/6，所以a 是b的5/6。例2  養(yǎng)魚塘里養(yǎng)了一批魚，第一次捕上來200尾，做好標(biāo)記后放回魚塘，數(shù)日后再捕上100尾，發(fā)現(xiàn)有標(biāo)記的魚為5尾，問魚塘里大約有多少尾魚? A200    B4000    C5000    D6000            

46、  （2004年中央B類真題）解析：方程法：可設(shè)魚塘有X尾魚，則可列方程，100/5X/200，解得X=4000，選擇B。例3  2001年，某公司所銷售的計(jì)算機(jī)臺(tái)數(shù)比上一年度上升了20%，而每臺(tái)的價(jià)格比上一年度下降了20%。如果2001年該公司的計(jì)算機(jī)銷售額為3000萬元，那么2000年的計(jì)算機(jī)銷售額大約是多少?A2900萬元  B3000萬元  C3100萬元  D3300萬元（2003年中央A類真題）解析：方程法：可設(shè)2000年時(shí)，銷售的計(jì)算機(jī)臺(tái)數(shù)為X，每臺(tái)的價(jià)格為Y，顯然由題意可知，2001年的計(jì)算機(jī)的銷售額=X（1+20%）Y（1-2

47、0%），也即3000萬=0.96XY，顯然XY3100。答案為C。特殊方法：對(duì)一商品價(jià)格而言，如果上漲X后又下降X，求此時(shí)的商品價(jià)格原價(jià)的多少？或者下降X再上漲X，求此時(shí)的商品價(jià)格原價(jià)的多少？只要上漲和下降的百分比相同，我們就可運(yùn)用簡(jiǎn)化公式，1X 。但如果上漲或下降的百分比不相同時(shí)則不可運(yùn)用簡(jiǎn)化公式，需要一步一步來。對(duì)于此題而言，計(jì)算機(jī)臺(tái)數(shù)比上一年度上升了20，每臺(tái)的價(jià)格比上一年度下降了20，因?yàn)殇N售額銷售臺(tái)數(shù)×每臺(tái)銷售價(jià)格，所以根據(jù)乘法的交換律我們可以看作是銷售額上漲了20%又下降了20%，因而2001年是2000年的1（20%） 0.96，2001年的銷售額為3000萬，則200

48、0年銷售額為3000÷0.963100。例4  生產(chǎn)出來的一批襯衫中大號(hào)和小號(hào)各占一半。其中25%是白色的，75%是藍(lán)色的。如果這批襯衫總共有100件，其中大號(hào)白色襯衫有10件，問小號(hào)藍(lán)色襯衫有多少件?A15    B25    C35    D40                   （2003年中央A類真

49、題）解析：這是一道涉及容斥關(guān)系（本書后面會(huì)有專題講解）的比例問題。根據(jù)已知 大號(hào)白=10件，因?yàn)榇筇?hào)共50件，所以，大號(hào)藍(lán)=40件；大號(hào)藍(lán)=40件，因?yàn)樗{(lán)色共75件，所以，小號(hào)藍(lán)=35件；此題可以用另一思路進(jìn)行解析（多進(jìn)行這樣的思維訓(xùn)練，有助于提升解題能力）大號(hào)白=10件，因?yàn)榘咨?5件，所以，小號(hào)白=15件；小號(hào)白=15件，因?yàn)樾√?hào)共50件，所以，小號(hào)藍(lán)=35件；所以，答案為C。例5  某企業(yè)發(fā)獎(jiǎng)金是根據(jù)利潤提成的，利潤低于或等于10萬元時(shí)可提成10%；低于或等于20萬元時(shí)，高于10萬元的部分按7.5%提成；高于20萬元時(shí)，高于20萬元的部分按5%提成。當(dāng)利潤為40萬元時(shí)，應(yīng)發(fā)放

50、獎(jiǎng)金多少萬元?A2    B2.75    C3    D4.5                  （2003年中央A類真題）解析：這是一個(gè)種需要讀懂內(nèi)容的題型。根據(jù)要求進(jìn)行列式即可。獎(jiǎng)金應(yīng)為 10×10%+（20-10）×7.5%+（40-20）×5%=2.75所以，答案為B。例6  某企業(yè)去年的

51、銷售收入為1000萬元，成本分生產(chǎn)成本500萬元和廣告費(fèi)200萬元兩個(gè)部分。若年利潤必須按P納稅，年廣告費(fèi)超出年銷售收入2的部分也必須按P%納稅，其它不納稅，且已知該企業(yè)去年共納稅120萬元，則稅率P為A40   B25    C12    D10               （2004年江蘇真題）解析：選用方程法。根據(jù)題意列式如下：（1000-500-200）×P+

52、（200-1000×2%）×P=120即  480×P=120P=25% 所以，答案為B。例 7 甲乙兩名工人8小時(shí)共加736個(gè)零件，甲加工的速度比乙加工的速度快30%，問乙每小時(shí)加工多少個(gè)零件? A30個(gè)    B35個(gè)    C40個(gè)    D45個(gè)              （2002年A類真題）解析：選用方程法。設(shè)乙每小時(shí)加工X個(gè)

53、零件，則甲每小時(shí)加工1.3X個(gè)零件，并可列方程如下：（1+1.3X）×8=736X=40 所以，選擇C。例 8 已知甲的12%為13，乙的13%為14，丙的14%為15，丁的15%為16，則甲、乙、丙、丁4個(gè)數(shù)中最大的數(shù)是：A甲    B乙    C丙    D丁                   

54、0; （2001年中央真題）解析：顯然甲=13/12%；乙=14/13%；丙=15/14%；丁=16/15%，顯然最大與最小就在甲、乙之間，所以比較甲和乙的大小即可，甲/乙=13/12%/16/15%1，所以，甲乙丙丁，選擇A。例 10 某儲(chǔ)戶于1999年1月1 日存人銀行60000元，年利率為2.00%，存款到期日即2000年1月1 日將存款全部取出，國家規(guī)定凡1999年11月1日后孳生的利息收入應(yīng)繳納利息稅，稅率為20，則該儲(chǔ)戶實(shí)際提取本金合計(jì)為A61 200元    B61 160元    C61 000元  

55、;  D60 040元解析，如不考慮利息稅，則1999年1月1 日存款到期日即2000年1月1可得利息為60000×2%=1200，也即100元/月，但實(shí)際上從1999年11月1日后要收20%利息稅，也即只有2個(gè)月的利息收入要交稅，稅額=200×20%=40元所以，提取總額為60000+1200-40=61160，正確答案為B。 十四. 尾數(shù)計(jì)算問題1 尾數(shù)計(jì)算法 知識(shí)要點(diǎn)提示：尾數(shù)這是數(shù)學(xué)運(yùn)算題解答的一個(gè)重要方法，即當(dāng)四個(gè)答案全不相同時(shí)，我們可以采用尾數(shù)計(jì)算法，最后選擇出正確答案。首先應(yīng)該掌握如下知識(shí)要點(diǎn)：24526133065  和的尾數(shù)5是由一個(gè)加

56、數(shù)的尾數(shù)2加上另一個(gè)加數(shù)的尾數(shù)3得到的。24526131839  差的尾數(shù)9是由被減數(shù)的尾數(shù)2減去減數(shù)的尾數(shù)3得到。2452×6131503076  積的尾數(shù)6是由一個(gè)乘數(shù)的尾2乘以另一個(gè)乘數(shù)的尾數(shù)3得到。2452÷6134  商的尾數(shù)4乘以除數(shù)的尾數(shù)3得到被除數(shù)的尾數(shù)2，除法的尾數(shù)有點(diǎn)特殊，請(qǐng)學(xué)員在考試運(yùn)用中要注意。例1  99+1919+9999的個(gè)位數(shù)字是（    ）。A1    B2    C3    D7&

57、#160;                     （2004年中央A、B類真題）解析：答案的尾數(shù)各不相同，所以可以采用尾數(shù)法。99927，所以答案為D。例2  請(qǐng)計(jì)算（1.1）2 +（1.2）2 +（1.3）2 +（1.4）2 值是： A5.04  B5.49  C6.06  D6.30型     

58、0;           （2002年中央A類真題）解析：（1.1）2 的尾數(shù)為1，（1.2）2 的尾數(shù)為4，（1.3）2 的尾數(shù)為9，（1.4）2 的尾數(shù)為6，所以最后和的尾數(shù)為1396的和的尾數(shù)即0，所以選擇D答案。例3  3×999+8×99+4×9+8+7的值是：A3840    B3855    C3866    D3877   

59、;         （2002年中央B類真題）解析：運(yùn)用尾數(shù)法。尾數(shù)和為7+2687=30，所以正確答案為A。2 自然數(shù)N次方的尾數(shù)變化情況知識(shí)要點(diǎn)提示：我們首先觀察2n 的變化情況 21的尾數(shù)是222的尾數(shù)是4 23的尾數(shù)是8 24的尾數(shù)是6 25的尾數(shù)又是2 我們發(fā)現(xiàn)2的尾數(shù)變化是以4為周期變化的即21 、25、2924n+1的尾數(shù)都是相同的。3n是以“4”為周期進(jìn)行變化的，分別為3，9，7，1，  3，9，7，1  7n是以“4”為周期進(jìn)行變化的，分別為9，3，1，7，  9，3，1，7  8n是以“4”為周期進(jìn)行變化的，分別為8，4，2，6，  8，4，2，6  4n是以“2”為周期進(jìn)行變化的，分別為4，6，  4，6，9n是以“2”為周期進(jìn)行變化的，分別為9，1，  9，1，