2010年控制理論基礎試題解析

1、南京理工大學學位研究生入學考試試題2010 年試題編號：2010010033理論基礎（滿分 150 分）系統(tǒng)結構如下圖所示：考試科目：1、（20 分）設試求：阻尼比和自然頻率分別為： x = 0.707 ， wn = 2rad / s 。求 K1 、 K2 的值，（1）階躍響應的峰值時間tp ,調節(jié)時間ts （誤差帶取+= ±5% ）和超調量并求出此s % ；（2） 若要使系統(tǒng)有兩個相等的實根 s1,2 = -10 ，求此時響應的 K1 、 K2 值。：本題考查閉環(huán)傳遞函數(shù)的求法，時域特性參數(shù)的計算。由系統(tǒng)結構圖以及公式可得系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為K1 i1C(s) =K1s +1 s=1

2、+ K1K2K1s2 + (1+ K K )s + K1 21R(s)+s +1s(s +1)則閉環(huán)特征方程為 s2 + (1+ K K )s + K =01 21w = 2rad / s Þ K = w = 4 ，1+ K K =2 xw Þ K = 0.4572n1n1 2n2pp階躍響應的峰值時間 tp = w = w= 2.22s此1- x 2dn33= xw=» 2.12s0.707 ´ 2調節(jié)時間 tsnxp1-x 2-s % = e´100% =4.3%2、（10 分）已知負反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：4G(s) =s(s + 2)在

3、輸入為r(t) = 1+ 2t + sin t 時的穩(wěn)態(tài)誤差ess試：先系統(tǒng)的性，系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為= -2 ± j23 = -1± j 3 ，兩根均在虛軸左半平面，所以系統(tǒng)D(s) = s2 + 2s + 4 s。1,224靜態(tài)位置誤差系數(shù)為 Kp = lim G(s) = lim= ¥ ,當輸入 r(t) = 1時穩(wěn)態(tài)誤差ess =0s®0 s(s + 2)s®04靜態(tài)速度誤差系統(tǒng)為 Kv = lim sG(s) = lim= 2 ，當輸入 r(t) = 2t 時穩(wěn)態(tài)誤差為s®0 s + 2s®0ess =1F(s)

4、= C(s) =4R(s)s2 + 2s + 4入 s = jw = j , F(s) = C(s) =44=當輸入為sin tR(s)-1+ 2 j + 43 + 2 j4F(s)=, ÐF(s) = Ð - 33.69°1344c(t) =sin(t - 33.69°)e = c(t) - r(t) =sin(t - 33.69°) - sin(t)ss1313所以在輸入為 r(t) = 1+ 2t + sin t 時的穩(wěn)態(tài)誤差4e = 1+sin(t - 33.69°) - sin(t)ss133.（10 分）已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函

5、數(shù)為：G(s)H (s) = K (s + 3) , K > 0s(s -1)判據(jù)分析閉環(huán)系統(tǒng)的試繪制系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線，并利用 Nyquist性。：本題考查非最小相位系統(tǒng)的 Nyquist 圖及性。K (s + 3)s(s -1)，令 s = jw ，代入可得由G(s)H (s) =K ( jw + 3)K (w 2 - 3)4KG( jw)H ( jw) = - jjw( jw -1)w 2 +1w(w2 +1)當其 Nyquist 圖與實軸相交時， w2 - 3 = 0 ， w =3 ，代入可得到此時實部為-Kw ® 0 時， G( jw)®¥ ， ar

6、g(G( jw) ® 90° ;w ® +¥ 時， G( jw)® 0, arg(G( jw) ® -90°系統(tǒng)的大致 Nyquist 圖，下面分析系統(tǒng)的性當-K > -1，即 K <1 時，正穿越次數(shù) N + = 0 ,負穿越次數(shù) N - = 1 ， N = N + - N - = - 1 ，22系統(tǒng)開環(huán)在虛軸右側的極點數(shù) P=1,P-2N=2,系統(tǒng)閉環(huán)不點數(shù)為 2。，閉環(huán)傳遞函數(shù)在虛軸右側的極當-K < -1 ，即 K > 1時，正穿越次數(shù) N + = 1，負穿越次數(shù) N - = 1 ， N =

7、N + - N - = 1 ,22系統(tǒng)開環(huán)在虛軸右側的極點數(shù) P = 1 ，P-2N=0,系統(tǒng)閉環(huán)。4.（10 分）某負反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：KG(s) =, K > 0s(0.5s +1)(0.1s + 1)已知其相角裕度g = 45° ，試求：（1） 此時 K 的值；（2） 繪制此的概略 Bode 圖。：先寫出相角裕度的表g = 180° + ÐG( jwc )H ( jwc ) = 180° - 90° - arctan(0.5wc ) - arctan(0.1wc ) = 45°0.5wc + 0.1wcarctan(

8、0.5w ) + arctan(0.1w ) = 45° 則有= 1cc1- 0.5w ´ 0.1wccwc = 3.58 或wc = -5.58 （舍去）ì20 lg K w < 2ïïwL(w) = ï20 lgK0.5w22 < w < 10íïï20 lgK0.05w3w > 10ïîK0.5w2令 L(w ) = 0 Þ=1 Þ K = 0.5w2 = 6.4c系統(tǒng)的 bode 圖如下圖所示：5、（15 分）系統(tǒng)結構如下圖所示：K已

9、知： G(s) =，其中 K > 0s(s + 0.5)(s +1.5)試求：（1） 當Gc (s) = 1 時，繪制此時閉環(huán)系統(tǒng)的概略根軌跡圖；器，即Gc (s) = 1+ s ，繪制此時閉環(huán)系統(tǒng)的概略跟軌跡圖；器對系統(tǒng)性能的影響。（2） 若采用 PD（3） 簡要說明 PD：（1）當Gc (s) = 1的開環(huán)傳遞函數(shù)為Ks(s + 0.5)(s + 1.5)G(s) =有三個極點： P1 = 0, P2 = -0.5, P3 = -1.5 ，有三條根軌跡均趨向于無窮遠處實軸上的根軌跡為(-¥, -1.5,-0.5, 00 - 0.5 -1.52漸進線與實軸的交點s a = -

10、33漸進線與實軸的夾角ja = 60°,180°, 300°111+d = -0.2257, d = -1.1076 (不在根軌0根軌跡的分離點dd + 0.5d + 1.5跡上舍去)，即分離點為 d = -0.2257求根軌跡與虛軸的交點系統(tǒng)的特征方程為s3 + 2s2 + 0.75s + K = 0 將 s = jw 代入特征方程得j(0.75w - w3 ) + (K - 2w2 ) = 0 即0.75w - w3 = 0 和 K - 2w2 = 0w = 0.87, K = 1.5 ， 0 < K <軌跡：Root Locus543210-1-

11、2-3-4-5-6-5-4-3-2-1Real Axis012（2）若采用 PD器，即Gc (s) = 1+ s ，此時開環(huán)傳遞函數(shù)為K (s +1)G(s) =s(s + 0.5)(s + 1.5)有三個極點： P1 = 0, P2 = -0.5, P3 = -1.5 ，一個零點 Z = -1 ,兩個極點趨向于無窮遠處，一Imaginary Axis個極點趨向于零點。實軸上的根軌跡為-1.5, -1,-0.5, 00 - 0.5 -1.5 - (-1)1漸進線與實軸的交點s a = -= -0.5 23 -1漸進線與實軸的夾角ja = ±90°1111根軌跡的分離點+=d

12、 = 0.269dd + 0.5d +1.5d +1根軌跡如下圖所示：Root Locus543210-1-2-3-4-5-1.6-1.4-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.200.2Real Axis（3）給原系統(tǒng)添加 PD器后相當于給開環(huán)傳遞函數(shù)增加了一個開環(huán)零點，從根軌跡圖上可以看出使根軌跡向左移動，使系統(tǒng)的性增強。6、（15 分）某系統(tǒng)結構如圖（a）所示，Gc (s) 為校正環(huán)節(jié)，最小相位系統(tǒng)G(s) 的對數(shù)校正后截止頻率wc ³ 4.4rad / s ，相角裕度g ³ 45°, 試幅頻特性如圖（b）所示。若要設計校正環(huán)節(jié)Gc (s) 。：先由G(s

13、) 的對數(shù)幅頻特性圖寫出G(s) 的表Ks(s + 1)10s(s + 1)G(s) =又 L(1) = 20 代入可得 K=10 即G(s) =再求出未校正的系統(tǒng)截止頻率和相角裕度Imaginary Axisì20 lg 10w < 1L(w) = ïw令 L(w) = 0w = 10 » 3.1íc10ï20 lgw > 1ïîw 2g = 180 - 90° - arctan wc = 17.35°截止頻率小于期望截止頻率，設計超前校正環(huán)節(jié)選wc " = wm = 4.4, L

14、 '(wc ") + Lc (wm ) = 0因為 L '(wc ") = 20 lg10 - 20 lg 4.4 - 20 lg 1+ 4.4 = -6dB21-6+10 lg a =0 a = 4T = 0.114swm a10(1+ 0.456s)Gc (s)G(s) = s(1+ 0.114s)(1+ s)所以驗證校正后系統(tǒng)的相角裕度10(1+ 0.456s)G (s)G(s) =所以g " = j + g (w ) = 49.7° > 45° 滿足要求''cmcs(1+ 0.114s)(1+ s)

15、系統(tǒng)結構如下圖所示。若要使輸出C(s) 不受 N (s) 的影響，求此時的Gd (s) 。7、（10 分：本題考查擾動引起的誤差特性。由系統(tǒng)結構圖先寫出擾動傳遞函數(shù)1G (s) ´-1= Gd (s) - s2C(s)ds2=1+ 10 ´ 0.1ss(s +1)N (s)s2即要G (s) = s2要使輸出C(s) 不受 N (s) 的影響d，其中 ZOH 為零階保持器， Gp (s) 為連續(xù)對象的傳遞8、（15 分）某閉環(huán)離散系統(tǒng)2函數(shù)。已知采樣周期T = 1， Gp (s) = s + 2 。（1） 試確的閉環(huán)傳遞函數(shù)；（2） 當 r(t) = 1(t) （即階躍信號

16、）時，試確輸出響應的初值和終值。1- e- sT：（1）零階保持器的傳遞函數(shù)為 Gh (s) =s系統(tǒng)連續(xù)部分的傳遞函數(shù)為1- e- sT2(1- e-T )21.264G(s) =´ss + 1G(z) =當 T=1s 時 G(z) =其 Z 變換為z - e-Tz - 0.368系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)的傳遞函數(shù)為G(z)1.264F(z) =1+ G(z)z + 0.896（3） 當 r(t) = 1(t) （即的輸出的 z 變換為階躍信號）G(z)1.264zC(z) =´ R(z) =1+ G(z)z 2 - 0.104z - 0.896由長除法得C(z) = 1.26

17、4z-1 + 0.131z-2 +1.146z-3 +""系統(tǒng)的階躍響應為c *(t) = 1.264d (t - T ) + 0.131d (t - 2T ) +1.146d (t - 3T ) +"，若希望在輸出端得到w = 2rad / s ，幅值為 A = 4 的等幅參數(shù) K 和a 的值。9、（10 分）非線性結構振蕩的周期信號，試確定此：由已知可得系統(tǒng)的自振，則有11G( jw)= G( jw) Þ -N ( A) =-N ( A)4p Ajw( jw +1)( jw + a) = -K即 j(wa - w3) - (aw2 + w2 ) =

18、- 4K 由 j(wa - w3) = 0 得w =a Þ a = 4p A， A = 4 Þ K = 20p由-(aw2 + w2 ) = - 4Kp A的方程為： x - 2w y - 3w2 x = 0, y + 2w x = u ，其中 x 為徑10、（20 分）已知同步向波動， y 為軸向位置波動， u 為 y 方向的引擎力， w 為常數(shù)（注：若運行與地球同步，則w = 2p / (3600´ 24) 弧度/秒），。（1） 若選取x x y y T 為狀態(tài)，以 y 為輸出，試寫的狀態(tài)空間表；（2） 請該系統(tǒng)的狀態(tài)的可觀測性。假設 y 為可測變量，試為該系

19、統(tǒng)設計一個態(tài)觀測器，并使其極點位于 s = -2w, -3w 和-3w ± 3w j 。：（1）x , X 3 = y, X 4 = y 設X由已知等式和上式可得ì X 1 = X 2ïïX 4íX = Xï 34ï X = u - 2w Xî 42則系統(tǒng)的狀態(tài)空間表為1 ùú2 úúêX3 ú4 ûê（2）先系統(tǒng)的可觀測性。系統(tǒng)的可觀測性矩陣為éùcé0000100001ùúú

20、;êcAúê= êú = ê由于w ¹ 0 ，rank(V)=4,所以系統(tǒng)完全可觀測。VêcA2 ú- 2wêú00êêëúúûê-6w0- 4w ú3cAëû（3）設輸出反饋陣 H 為(4´1) 矩陣。態(tài)觀測器系統(tǒng)矩陣為0éh0 ùéê0000- 2w 01000ùúêh ú1ú - ê1 ú 00A - Hc = ê01êúêh2 ú00êh úê-6w- 4w &#