5圓周角(第2課時(shí))

1、圓周角圓周角特征：特征： 角的頂點(diǎn)在圓上角的頂點(diǎn)在圓上. 角的兩邊都與圓相交角的兩邊都與圓相交.1、圓周角定義、圓周角定義: 頂點(diǎn)在圓上頂點(diǎn)在圓上,并且兩邊都和圓相交的角并且兩邊都和圓相交的角叫圓周角叫圓周角. 如；如； ABC一、舊知回放一、舊知回放:OABC2、圓心角與所對(duì)的弧的關(guān)系、圓心角與所對(duì)的弧的關(guān)系3、圓周角與所對(duì)的弧的關(guān)系、圓周角與所對(duì)的弧的關(guān)系4、同弧所對(duì)的圓心角與圓周角的關(guān)系、同弧所對(duì)的圓心角與圓周角的關(guān)系一、舊知回放一、舊知回放:圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半定理：

2、在同一圓內(nèi)，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相在同一圓內(nèi)，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，等于該弧所對(duì)的圓心角的一半；相等的圓周角等，等于該弧所對(duì)的圓心角的一半；相等的圓周角所對(duì)的弧相等。所對(duì)的弧相等。圓周角定理圓周角定理v圓周角定理圓周角定理 一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半. .n老師提示老師提示:圓周角定理是承上啟下的知識(shí)點(diǎn)圓周角定理是承上啟下的知識(shí)點(diǎn),要予以重視要予以重視.OABCOABCOABC即即 ABC = AOC.ABC = AOC.211、100的弧所對(duì)的圓心角等于的弧所對(duì)的圓心角等于_，所對(duì)的圓周角等于，所對(duì)的圓周角等于_。、一弦分圓周

3、角成兩部分，其中一部分是另一部分的。、一弦分圓周角成兩部分，其中一部分是另一部分的4倍，則這弦所對(duì)的圓周角度數(shù)為倍，則這弦所對(duì)的圓周角度數(shù)為_(kāi)。3、如圖，在、如圖，在O中，中，BAC=32，則，則BOC=_。4、如圖，、如圖，O中，中，ACB = 130，則，則AOB=_。5AOCBBAOC1005036或v、下列命題中是真命題的是（、下列命題中是真命題的是（ ）v（A）頂點(diǎn)在圓周上的角叫做圓周角。）頂點(diǎn)在圓周上的角叫做圓周角。v（B）60的圓周角所對(duì)的弧的度數(shù)是的圓周角所對(duì)的弧的度數(shù)是30v（C）一弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓）一弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角。心

4、角。v（D）120的弧所對(duì)的圓周角是的弧所對(duì)的圓周角是60D問(wèn)題討論問(wèn)題討論問(wèn)題問(wèn)題1、如圖、如圖1, ,在在O O中中,B,D,E,B,D,E的大小有什么關(guān)的大小有什么關(guān)系系? ?為什么為什么? ?圖圖1問(wèn)題問(wèn)題2、如圖、如圖2，AB是是O的直徑，的直徑，C是是O上任一點(diǎn)，上任一點(diǎn)，你能確定你能確定BCABCA的度數(shù)嗎的度數(shù)嗎? ?ACOB圖圖2問(wèn)題問(wèn)題3、如圖、如圖3，圓周角，圓周角BAC =90，弦，弦BC經(jīng)過(guò)圓心經(jīng)過(guò)圓心O嗎？為什么？嗎？為什么？B = D= EBCA=900OBACDEOBCA圖圖3問(wèn)題解答問(wèn)題解答1、圓周角定理的推論、圓周角定理的推論1：同圓或等圓中，同圓或等圓中，

5、同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；2、圓周角定理的推論、圓周角定理的推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90的圓周角所對(duì)的弦是直徑。的圓周角所對(duì)的弦是直徑。用于找相等用于找相等的角的角用于找用于找相等的相等的弧弧用于判斷某個(gè)用于判斷某個(gè)圓周角是否是圓周角是否是直角直角用于判斷某用于判斷某條線是否過(guò)條線是否過(guò)圓心圓心同圓或等圓中，同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等相等的圓周角所對(duì)的弧也相等。2 2、下列命題中，假命題的個(gè)數(shù)（、下列命題中，假命題的個(gè)數(shù)（ ）（1 1）頂點(diǎn)在圓上的角是圓周角）頂點(diǎn)在圓上的角是圓周角（2 2）等弧所對(duì)的

6、圓周角相等）等弧所對(duì)的圓周角相等（3 3）同弦所對(duì)的圓周角相等）同弦所對(duì)的圓周角相等（2 2）平分弦的直徑垂直于弦）平分弦的直徑垂直于弦A A、1 1個(gè)個(gè) B B、2 2個(gè)個(gè) C C、3 3個(gè)個(gè) D D、4 4個(gè)個(gè) 例例1、 選擇題：選擇題：1、下列命題是真命題的是（、下列命題是真命題的是（ ）A、相等的圓周角所對(duì)的弧相等、相等的圓周角所對(duì)的弧相等B、圓周角的度數(shù)等于圓心角度數(shù)的一半、圓周角的度數(shù)等于圓心角度數(shù)的一半C、90的圓周角所對(duì)的弦是直徑的圓周角所對(duì)的弦是直徑D、長(zhǎng)度相等的弧所對(duì)的圓周角相等、長(zhǎng)度相等的弧所對(duì)的圓周角相等CC例例 如圖，如圖， O直徑直徑AB為為10cm，弦，弦AC為為

7、6cm，ACB的平的平分線交分線交 O于于D，求，求BC、AD、BD的長(zhǎng)的長(zhǎng)86102222ACABBC22105 2(cm)22ADBDAB又在又在RtABD中，中，AD2+BD2=AB2，解：解：AB是直徑，是直徑， ACB= ADB=90在在RtABC中，中，CD平分平分ACB，AD=BD.ACDBCD 例題例題OABCD3.求證：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)求證：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形（提示：作出以這條邊為直徑的圓三角形是直角三角形（提示：作出以這條邊為直徑的圓.）ABCO求證：求證： ABC 為直角三角形為直角三角形.證明：

8、證明：以以AB為直徑作為直徑作 O，AO=BO，CO= 1/2 ABAO=BO=CO.點(diǎn)點(diǎn)C在在 O上上.又又AB為直徑為直徑,已知：已知：ABC 中，中，CO為為AB邊上的中線，邊上的中線，12且且CO= AB ABC 為直角三角形為直角三角形.課本練課本練 習(xí)習(xí)已知：如圖，在已知：如圖，在ABC中，中，AB=AC,以以AB為直徑的圓交為直徑的圓交BC于于D,交交AC于于E,求證：求證：BD=DE證明證明：連結(jié)：連結(jié)AD.AB是圓的直徑，點(diǎn)是圓的直徑，點(diǎn)D在圓上，在圓上，ADB=90，ADBC，AB=AC，AD平分頂角平分頂角BAC，即，即BAD=CAD， BD= DE（同圓或等圓中，相等的

9、圓周角所對(duì)弧相等（同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)弧相等）。）。ABCDE探究3、如圖，、如圖，AB是是 O的直徑，的直徑，BD是是 O的弦，延長(zhǎng)的弦，延長(zhǎng)BD到點(diǎn)到點(diǎn)C，使，使DC=BD，連接，連接AC交交 O于點(diǎn)于點(diǎn)F，點(diǎn)，點(diǎn)F不與點(diǎn)不與點(diǎn)A重合。重合。（1）AB與與AC的大小有什么關(guān)系？為什么？的大小有什么關(guān)系？為什么？（2）按角的大小分類(lèi)，請(qǐng)你判斷）按角的大小分類(lèi)，請(qǐng)你判斷ABC屬于哪一類(lèi)屬于哪一類(lèi)三角形，并說(shuō)明理由。三角形，并說(shuō)明理由。ACBDFOABC是銳角三角形是銳角三角形解：（解：（1）AB=AC。證明：連接證明：連接AD又又DC=BD，AB=AC。（2）ABC是銳角三角形。是銳

10、角三角形。由（由（1）知，）知，B=C90 連接連接BF，則，則AFB=90 ，A90 AB是直徑，是直徑，ADB=90，練習(xí)：練習(xí)：如圖，如圖，P是是ABC的外接圓上的一點(diǎn)的外接圓上的一點(diǎn)APC=CPB=60。求證：。求證：ABC是等邊三角形是等邊三角形APBCO證明：證明：ABC和和APC 都是都是 所對(duì)的圓周角。所對(duì)的圓周角。 ACABC=APC=60(同弧所對(duì)的圓周角相等）同弧所對(duì)的圓周角相等）同理，同理，BAC和和CPB都是都是 所對(duì)的圓周角，所對(duì)的圓周角，BCBAC=CPB=60。ABC等邊三角形。等邊三角形。)1)2 例例8 8、已知：如圖，、已知：如圖，C C經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，并與兩經(jīng)

11、過(guò)原點(diǎn)，并與兩坐標(biāo)軸相交于坐標(biāo)軸相交于A A、D D兩點(diǎn)，兩點(diǎn)，OBA=30OBA=30，點(diǎn)，點(diǎn)D D的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（0 0，2 2），），求點(diǎn)求點(diǎn)A A的坐標(biāo)及圓心的坐標(biāo)及圓心C C的坐標(biāo)的坐標(biāo)ODBAC（0，2）yx例例3 3、已知：如圖，等腰、已知：如圖，等腰ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，BAC=70BAC=70 ，以，以ABAB為直徑的圓交為直徑的圓交ACAC于點(diǎn)于點(diǎn)D D，交，交BCBC于點(diǎn)于點(diǎn)E E，求，求 ADAD弧、弧、DEDE弧、弧、BEBE弧的度數(shù)?；〉亩葦?shù)。OABEDC新課講解：新課講解： 若一個(gè)多邊形若一個(gè)多邊形各頂點(diǎn)都在同一個(gè)各頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上圓上，

12、那么，這個(gè)多邊形叫做圓內(nèi)，那么，這個(gè)多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形接多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的外接圓的外接圓。OBCDEFAOACDEBOOC CA AB BD D如圖，四邊形如圖，四邊形ABCDABCD為為OO的內(nèi)接四邊的內(nèi)接四邊形；形；OO為四邊形為四邊形ABCDABCD的外接圓。的外接圓。 OOCDBA如圖：圓內(nèi)接四邊形如圖：圓內(nèi)接四邊形ABCDABCD中，中，AA C C 180 同理同理B BD D180180圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。 BAD+BCD=360 如果延長(zhǎng)如果延長(zhǎng)BCBC到到E E，那么，那么DCEDCEBCDBCD 180所

13、以所以A ADCEDCE又又 A A BCDBCD 180180C COOD DB BA AE如果延長(zhǎng)如果延長(zhǎng)BCBC到到E E，那么，那么DCEDCEBCDBCD 180所以所以A ADCEDCE又又 A A BCDBCD 180180C COOD DB BA AE定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任何定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角。一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角。CBADOEFDB180AC180EABBCDFCBBAD對(duì)角外角內(nèi)對(duì)角1、如圖，四邊形、如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于內(nèi)接于 O,如果如果BOD=130,則則BCD的度數(shù)是（的度數(shù)是（ ） A、115

14、B、130 C、65 D、502、 如圖，等邊三角形如圖，等邊三角形ABC內(nèi)內(nèi) 接于接于 O，P是是AB上的上的 一點(diǎn)，則一點(diǎn)，則APB= 。ABDCOAPBC(1)四邊形四邊形ABCD內(nèi)接于內(nèi)接于 O，則，則A+C=_ B+ADC=_;若若B=80，則，則ADC= 100 _ CDE=_ 80 _(2)四邊形四邊形ABCD內(nèi)接于內(nèi)接于 O，AOC=100則則B=_D=_ (3)四邊形四邊形ABCD內(nèi)接于內(nèi)接于 O, A:C=1:3,則則A=_, 180 180 50 130 45 EDBAC80DBACO100小結(jié)與作業(yè)小結(jié)與作業(yè)1 1、本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？、本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？2 2、圓周角定理及其推論的用途你都知道、圓周角定理及其推論的用途你都知道了嗎？