第六章 IIR數(shù)字濾波器設(shè)計1

1、第六章第六章 IIRIIR數(shù)字濾波器設(shè)計數(shù)字濾波器設(shè)計2數(shù)字濾波數(shù)字濾波： 對輸入信號進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算，讓輸入信號中的有用頻率成分以較高的保真度通過，濾除（阻止）某些無用的頻率成分，實現(xiàn)對輸入信號的選頻處理。分類分類：無限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器IIR（本章介紹）（本章介紹） 有限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器FIR優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)： 處理精度高，穩(wěn)定性好，體積小，實現(xiàn)方法靈活，不存在阻抗匹配問題，可以實現(xiàn)模擬濾波器無法實現(xiàn)的特殊濾波功能。3理想濾波器的特點(diǎn)特點(diǎn)： 在濾波器的通帶內(nèi)幅度為常數(shù)（非零），在阻帶中在濾波器的通帶內(nèi)幅度為常數(shù)（非零），在阻帶中幅度為零；幅度為零； 具有線性相位；具有線性相位； 單位脈沖

2、響應(yīng)是非因果無限長序列單位脈沖響應(yīng)是非因果無限長序列。理想濾波器的傳輸函數(shù)傳輸函數(shù)：012,0,jnjCeH eCn其它式中，和 是常數(shù)。理想數(shù)字濾波器的特點(diǎn)理想數(shù)字濾波器的特點(diǎn) ( (5.2.1 ) )4幅度放大了C倍時間延遲 幅頻特性為：相頻特性為：群時延為： 則信號 通過濾波器輸出的頻率響應(yīng)為： 其時域表達(dá)式： 輸入信號 輸出信號， 表示輸出信號相對輸入信號沒有發(fā)生失真。CjHe 0n 0gdnd 012,jnjjjjYeXeHeCXee 0y nCx nn0n x n5假設(shè)低通濾波器的頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)為式中， 是一個正整數(shù)，稱為通帶截止頻率。其幅頻特性和相頻特性圖形如下：0,0,jnc

3、jceH e0nc c O )(j H1O c c 6濾波器的單位脈沖響應(yīng)單位脈沖響應(yīng)為：舉例：假設(shè) 由此圖看出此理想低通物理不可實現(xiàn)由此圖看出此理想低通物理不可實現(xiàn) 00012sin12ccjj ncj nj nh nH eednneednn05,4cn-50050-0.200.20.4nx(n)7IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法數(shù)字濾波器的設(shè)計方法 間接設(shè)計法間接設(shè)計法p 根據(jù)設(shè)計指標(biāo)設(shè)計相應(yīng)的過渡模擬濾波器p 將過渡模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。 直接設(shè)計法直接設(shè)計法 在時域或頻域直接設(shè)計數(shù)字濾波器。8p 間接設(shè)計法得到廣泛應(yīng)用 模擬濾波器的理論和設(shè)計方法已發(fā)展得相當(dāng)成熟，且有若干典型的模擬濾波

4、器供選擇。 這些濾波器都有嚴(yán)格的設(shè)計公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設(shè)計人員使用。 p 典型濾波器 巴特沃斯（Butterworth）濾波 切比雪夫（Chebyshev）濾波器 貝塞爾（Bessel）濾波器 橢圓（Ellipse）濾波器96.1 6.1 模擬濾波器設(shè)計模擬濾波器設(shè)計模擬濾波器（AF）的一般設(shè)計過程：（1） 根據(jù)信號處理要求確定設(shè)計指標(biāo)（選頻）（2） 選擇濾波器類型（3） 計算濾波器階數(shù)（4） 通過查表或計算確定濾波器系統(tǒng)函數(shù)（5） 綜合實現(xiàn)并調(diào)試幅頻特性體現(xiàn)了各頻率成分幅度的衰減,而相頻特性體現(xiàn)的是不同成分在時間的的延時。選頻濾波器一般只考慮幅頻特性，對相頻特性不作要求。對輸出波形有要

5、求時，則需考慮線性相位問題。()()|() |jHjHje( )aHs106.1.1 6.1.1 模擬濾波器設(shè)計指標(biāo)模擬濾波器設(shè)計指標(biāo) 圖6.1.1 典型模擬低通濾波器幅頻特性及其指標(biāo)描述：通帶波紋幅度參數(shù)A： 阻帶波紋幅度參數(shù)3dBpsc通帶邊界頻率 阻帶邊界頻率 截止頻率11 系統(tǒng)通帶的誤差要求 阻帶s, 幅度以最大誤差1/A逼近于零，即要求 2a11(j)1Hp a( j)1/HAs 12損耗函數(shù)損耗函數(shù)（或稱為衰減函數(shù)）()來描述濾波器的幅頻響應(yīng)特性。即當(dāng) 時的邊界頻率稱為3dB3dB截止頻率截止頻率，通常用 c表示2aa()20lg(j)10lg(j)HH ( )3 dB ()aHj

6、損耗函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)是對幅頻響應(yīng)的取值非線性壓縮，放大了小的幅度，從而可以同時觀察通帶和阻帶幅頻特性的變化情況。下圖左邊所示幅頻響應(yīng)函數(shù)完全看不清阻帶內(nèi)取值較小的波紋，下圖右邊所示損耗函數(shù)則能很清楚地顯示出阻帶波紋變化曲線。13用 表示通帶最大衰減通帶最大衰減 用 表示阻帶最小衰減阻帶最小衰減p2p2120 lg 10 lg(1) dB1 s12 0 lg2 0 lg d BAA p/ 1 01 01s/ 2 01 0As以上兩式求解14,ppspssps通帶內(nèi)衰減要小于常數(shù)，阻帶內(nèi)衰減要大于常數(shù)，但對通帶和阻帶頻響曲線的形狀沒有具體要求。我們把這種特性要求稱為，片段指通帶和阻帶，常數(shù)指通帶最大衰減

7、和阻帶最小衰減。對低通濾波器而言，其技術(shù)指標(biāo)完全由和四個常數(shù)確定。應(yīng)當(dāng)注意，對給定的設(shè)計指標(biāo)，濾波器的設(shè)計結(jié)果不是唯一的。例如后面要討論的巴特沃斯、切比雪夫和橢圓濾波器等都可以滿足片段常數(shù)片段常數(shù)指標(biāo)要特性要求求，所以要根據(jù)其他附加要求選擇濾波器類型。濾波器技術(shù)指標(biāo)特點(diǎn)15兩個附加參數(shù)：兩個附加參數(shù)： a.過渡比過渡比或選擇性參數(shù),通常用k表示 n 反應(yīng)過渡帶的性能，過渡帶越窄，k值趨近于1n 低通濾波器 b.偏離參數(shù)偏離參數(shù)，用k1表示 n 越小，通帶、阻帶的紋波越小psk121kA1k 1k166.1.2 6.1.2 巴特沃思模擬低通濾波器設(shè)計巴特沃思模擬低通濾波器設(shè)計N 階巴特沃思模擬低

8、通濾波器的幅度平方函數(shù)為N為濾波器的階次， 為3dB截頻。2a2c1(j)1(/)NH c17特點(diǎn)：特點(diǎn)： 在 點(diǎn)， 的n(n2N)階導(dǎo)數(shù)等于零，因此濾波器在 點(diǎn)具有最大平坦幅度 濾波器幅頻響應(yīng)隨 的增大而單調(diào)下降，因為幅度平方函數(shù)的導(dǎo)數(shù)小于零 階數(shù)N越大，濾波器幅頻響應(yīng)特性越逼近理想低通特性。損耗函數(shù)0 0 2()aHj21| )(|jHacN=8N=80 0N=4N=4N=2N=21 122( )20lg()110lg()10lg 1aaNcHjHj 2a2c1(j)1(/)NH 18濾波器的特性由3dB截止頻率和階數(shù)N確定2( )10lg 1 ()Nc 2()10lg 1()10lg23

9、cccNdB21| )(|jHacN=8N=80 0N=4N=4N=2N=21 119截止頻率與階數(shù)如何確定？截止頻率與階數(shù)如何確定？濾波器幅頻響應(yīng)隨頻率的增大而單調(diào)下降 于是22211()1(/)1ppaNcHj22211()1 (/)aNcssHjA2()1NspA21lg1lglglg()psAkNk1lgNlgkNk（ 取滿足這一條件的最小整數(shù)）1pcN 滿足通帶指標(biāo)，阻帶指標(biāo)有富裕 滿足阻帶指標(biāo)，通帶指標(biāo)有富裕122(1)scNA 階數(shù)截止頻率20濾波器的給定指標(biāo)為通帶最大衰減阻帶最小衰減先求確定截止頻率與階數(shù)21lg1lglglg()psAkNk22120lg10log(1)1p

10、/2010sA120lg()20lgsAdBA /10101p1pcN 122(1)scNA 21巴特沃思模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：巴特沃思模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)： （由 3dB 截止頻率 和階數(shù)N 確定） 式中，分母 稱為N 階巴特沃思多項式。cca( )( )NNHsDsND (s)三種形式:10( )( )NNkNNkkDsBssb s21122()1( )(),kNNjNckkkDssppe/22101( )( ),( )NNkkkkkDsB sB ssb sb( )NDs22歸一化討論：對于得：由于N較大時，計算量太大，為了方便， 歸一化的N階巴特沃思多項式系數(shù) 已制成表格供查閱：

11、1( )()NNckkDssp 11( )( )()NcaNNkkccHssDspsp令 , p稱為歸一化復(fù)變量111( )()( )()acNNkkG pHpDpppc( )NDp23242526 低通巴特沃斯濾波器設(shè)計步驟：低通巴特沃斯濾波器設(shè)計步驟： 由 ，求濾波器階次N 由N查表，求出歸一化極點(diǎn) 和歸一化系統(tǒng)函數(shù)G(p) 令 代入G(p) ，得實際濾波器傳輸函數(shù)Ha(s) 。（去歸一）ppss、csp/kp27 例例6.1.16.1.1： 設(shè)計模擬低通濾波器。要求幅頻特性單調(diào)下降，通帶邊界頻率fp=1 kHz，通帶最大衰減p=1 dB，阻帶邊界頻率fs=5 kHz，阻帶最小衰減s=40

12、 dB。 解: :（1）根據(jù)幅頻特性單調(diào)下降要求，應(yīng)選擇巴特沃思濾波器。 （2）計算階數(shù)N和3 dB截止頻率c。首先求出波紋幅度參數(shù)為 再求出過渡比和偏離參數(shù) 從而得到 取整數(shù)N=4 p/101/101011010.508847s/2010100Ap12s0.508850.2, 0.0050887599991kkA1lg3.2811lgkNkssc21 21 82 9934.7125/(1)9999Nfrad sA滿足阻帶指標(biāo)，通帶指標(biāo)有富裕28（3）求系統(tǒng)函數(shù)。查表6.1.1得到歸一化4階巴特沃思多項式為 將 和c代入，得到系統(tǒng)函數(shù)224( )(0.76541)(1.84781)Dppppp

13、4( )Dp4ca2222ccccc152372471( )/(0.7654)(1.8478)9.7414 10 (7.6040 109.8699 10 )(1.8357 109.8699 10 )NHsDsssssssss296.1.3 6.1.3 切比雪夫濾波器設(shè)計切比雪夫濾波器設(shè)計兩種類型的區(qū)別：兩種類型的區(qū)別： 切比雪夫型濾波器的幅頻特性在通帶為等波紋，在阻帶為單調(diào)下降。 切比雪夫型的幅頻特性在阻帶為等波紋，在通帶為單調(diào)下降。 301.1.切比雪夫切比雪夫型濾波器型濾波器 N 階切比雪夫型模擬低通濾波器Ha(s)的幅度平方函數(shù)為 為小于1的正數(shù)，表示通帶波紋幅度參數(shù)。 CN()是N 階

14、切比雪夫多項式 2a22p1(j)1(/)NHC c o s (a r c c o s) ,1()c o s h (c o s h) ,1NNxxCxN a rxx31 圖6.1.4 典型切比雪夫型低通濾波器的幅頻響應(yīng)特性曲線 322 2切比雪夫切比雪夫型逼近型逼近 切比雪夫型模擬低通濾波器的幅頻響應(yīng)在通帶呈現(xiàn)單調(diào)下降特性，而且在 =0點(diǎn)具有最大平坦響應(yīng)，在阻帶呈現(xiàn)等波紋特性。其幅度平方函數(shù)為2a2sp2s1(j)()1()NNHCC 33圖6.1.5 典型切比雪夫型低通濾波器的幅頻響應(yīng)特性曲線346.1.4 6.1.4 橢圓濾波器橢圓濾波器(a) p =1dB, s =20dB, N=3,4

15、,6 (b) N =4, p =1,0.1,0.05 dB, s =10,20,40dB 圖6.1.6 橢圓濾波器幅頻響應(yīng)特性曲線35橢圓濾波器特點(diǎn)：橢圓濾波器特點(diǎn)： 幅值響應(yīng)在通帶和阻帶內(nèi)都是等波紋的。 對于給定的階數(shù)和給定的波紋要求，橢圓濾波器能獲得較其它濾波器更窄的過渡帶寬，就這點(diǎn)而言，橢圓濾波器是最優(yōu)的。 通帶和阻帶內(nèi)波紋固定時，階數(shù)越高，過渡帶越窄； 階數(shù)固定，通帶和阻帶紋波越小，過渡帶越寬；366.1.5 6.1.5 貝塞爾（貝塞爾（BesselBessel）濾波器設(shè)計）濾波器設(shè)計 (a) 幅頻響應(yīng)特性 (b) 相頻響應(yīng)特性圖6.1.7 典型貝塞爾低通濾波器的頻響特性曲線37貝塞爾低通濾波器特點(diǎn)貝塞爾低通濾波器特點(diǎn) 貝塞爾濾波器在通帶內(nèi)逼近線性相位特性。是 巴特沃茲濾波器、切比雪夫濾波器、橢圓濾波 器濾波器所沒有的。 貝塞爾濾波器的過渡帶較寬，在階數(shù)N N相同時 選擇性比巴特沃茲濾波器、切比雪夫濾波器、 橢圓濾波器差。386.1.7 6.1.7 五種類型模擬濾波器的比較五種類型模擬濾波器的比較 在相同階數(shù)N，相同通帶最大衰減、阻帶最小衰減要求下，巴特沃思濾波器具有單調(diào)下降的幅頻特性，過渡帶比兩種切比雪夫濾波器、橢圓濾波器寬。 兩種類型的切比雪夫濾波器的過渡帶寬度相等，介于巴特沃思濾波器和橢圓濾波器之間。切比雪夫濾波器通帶內(nèi)等波紋幅頻特性