數(shù)學(xué)建模流感問題模型

1、摘要甲型H1N1流感為急性呼吸道傳染病，其病原體是一種新型的甲型H1N1流感病毒，在人群中傳播。與以往或目前的季節(jié)性流感病毒不同，該病毒毒株包含有豬流感、禽流感和人流感三種流感病毒的基因片段。人群對甲型H1N1流感病毒普遍易感，并可以人傳染人，但是要提醒大家的是甲型H1N1流感是可防、可控的。只要積極作好預(yù)防，也是比較安全的。目前預(yù)防甲型H1N1流感 的疫苗已投入使用。本論文通過建立甲流傳染模型，分析被傳人數(shù)多少與哪些因素有關(guān)，如何預(yù)報傳染病高潮的到來，如何處理潛伏期等等問題。甲型H1N1流感問題的研究一模型假設(shè).在甲流傳播期內(nèi)所考察的地區(qū)范圍不考慮人口的出生、死亡、流動等種群動力因素?？?cè)丝?/p>

2、數(shù)N(t)不變，人口始終保持一個常數(shù)N。人群分為以下三類：易感染者(Susceptibles)，其數(shù)量比例記為s(t)，表示t時刻未染病但有可能被該類疾病傳染的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例；感染病者(Infectives)，其數(shù)量比例記為i(t)，表示t時刻已被感染成為病人而且具有傳染力的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例；潛伏期者（incubation），其數(shù)量比例為q(t),表示在t時刻，染病但未被發(fā)現(xiàn)、可感染、不可治愈，在潛伏期之后變?yōu)楦腥静≌?；恢?fù)者(Recovered)，其數(shù)量比例記為r(t)，表示t時刻已從染病者中移出的人數(shù)（這部分人既非已感染者，也非感染病者，不具有傳染性，也不會再次被感染，他們已退出該傳

3、染系統(tǒng)。）占總?cè)藬?shù)的比例。.病人的日接觸率（每個病人每天有效接觸的平均人數(shù)）為常數(shù)，感染者的日接觸率（每個感染者每天有效接觸的平均人數(shù)）為，日治愈率（每天被治愈的病人占總病人數(shù)的比例）為常數(shù)，顯然平均傳染期為1，傳染期接觸數(shù)為=。二模型構(gòu)成在以上三個基本假設(shè)條件下，易感染者從患病到移出的過程框圖表示如下：在假設(shè)1中顯然有：s(t) + i(t) + r(t)+q(t) = 1對于病愈免疫的移出者的數(shù)量應(yīng)為（1）不妨設(shè)初始時刻的易感染者，染病者，恢復(fù)者的比例分別SIR基礎(chǔ)模型用微分方程組表示如下： （2） 上述（2）方程無法求出s(t) ， i(t)的解析解，我們先做數(shù)值計算。三數(shù)值計算在方程（

4、2）中設(shè)=2，=0.4，i（0）= 0.01，s（0）=0.99，用MATLAB軟件編程：function y=ill(t,x)a=0.91;b=0.4;c=1.1;d=1;y=d*x(3)*x(2)-b*x(1),-a*x(1)*x(2)-c*x(2)*x(3),(a-d)*(x(2)*x(1)+x(3)*x(2)'ts=0:50;x0=0.02,0.98,0.18;t,x=ode45('ill',ts,x0); t,x;plot(t,x(:,1),'r',t,x(:,2),'g',t,x(:,3),'b');legen

5、d('病人','康復(fù)者','潛伏期者');pauseplot(x(:,2)+x(:,3),x(:,1);title('病人，潛伏期感染者與康復(fù)者相軌線');,四相頻線分析我們在數(shù)值計算和圖形觀察的基礎(chǔ)上，利用相軌線討論解i（t）,s（t）的性質(zhì)。D = （s，i）| s0，i0 ， s + i 1在方程（2）中消去并注意到的定義，可得 （3）所以： （4）利用積分特性容易求出方程(3)的解為： （5）在定義域D內(nèi),(4)式表示的曲線即為相軌線,如圖3所示.其中箭頭表示了隨著時間t的增加s(t)和i(t)的變化趨向下面根據(jù)(1),(

6、5)式和上圖分析s(t),i(t)和r(t)的變化情況(t時它們的極限值分別記作（, 和).1. 不論初始條件s0,i0如何,病人消失將消失,即：2.最終未被感染的健康者的比例是 ,在(5)式中令i=0得到, 是方程在(0,1/)內(nèi)的根.在圖形上 是相軌線與s軸在(0,1/)內(nèi)交點的橫坐標(biāo)3.若>1/,則開始有，i(t)先增加, 令=0，可得當(dāng)s=1/時,i(t)達到最大值：然后s<1/時，有 ，所以i(t)減小且趨于零,s(t)則單調(diào)減小至,如圖3中由P1(，)出發(fā)的軌線4.若 1/,則恒有，i(t)單調(diào)減小至零,s(t)單調(diào)減小至,如圖3中由P2(s0,i0)出發(fā)的軌線可以看出

7、,如果僅當(dāng)病人比例i(t)有一段增長的時期才認(rèn)為傳染病在蔓延,那么1/是一個閾值,當(dāng)>1/(即>1/s0)時傳染病就會蔓延.而減小傳染期接觸數(shù),即提高閾值1/使得1/(即 1/),傳染病就不會蔓延(健康者比例的初始值是一定的,通?？烧J(rèn)為接近1)。并且,即使>1/,從(19),(20)式可以看出, 減小時, 增加(通過作圖分析), 降低,也控制了蔓延的程度.我們注意到在=中,人們的衛(wèi)生水平越高,日接觸率越小;醫(yī)療水平越高,日治愈率越大,于是越小,所以提高衛(wèi)生水平和醫(yī)療水平有助于控制傳染病的蔓延.從另一方面看, 是傳染期內(nèi)一個病人傳染的健康者的平均數(shù),稱為交換數(shù),其含義是一病人被

8、個健康者交換.所以當(dāng) 即時必有 .既然交換數(shù)不超過1,病人比例i(t)絕不會增加,傳染病不會蔓延。五群體免疫和預(yù)防根據(jù)對SIR模型的分析,當(dāng) 時傳染病不會蔓延.所以為制止蔓延,除了提高衛(wèi)生和醫(yī)療水平,使閾值1/變大以外,另一個途徑是降低 ,這可以通過比如預(yù)防接種使群體免疫的辦法做到.忽略病人比例的初始值有,于是傳染病不會蔓延的條件 可以表為這就是說，只要通過群體免疫使初始時刻的移出者比例（即免疫比例）滿足上式，就可以制止傳染病的蔓延。這種辦法生效的前提條件是免疫者要均勻分布在全體人口中，實際上這是很難做到的。據(jù)估計當(dāng)時印度等國天花傳染病的接觸數(shù) =5，由上式至少要有80%的人接受免疫才行。世界

9、衛(wèi)生組織總干事陳馮富珍2010年8月10號宣布，甲型H1N1流感的大流行期已經(jīng)結(jié)束，但世衛(wèi)呼吁各國繼續(xù)監(jiān)察新型流感，防范病毒變種。 陳馮富珍聽取世衛(wèi)緊急委員會專家的意見后，宣布解除新流感的最高警戒。但她預(yù)期，未來幾年新型流感會好像季節(jié)性流感一樣繼續(xù)流行，流感病毒也會對部分國家和地區(qū)存在隱患。即使花費大量資金提高 ，也因很難做到免疫者的均勻分布，使得甲流H1N1才在全世界根除。而如果新流感的更高，根除就更加困難。六模型驗證新型流感2009年4月開始在墨西哥爆發(fā)，之后陸續(xù)在美國等地蔓延，五月香港確診首起新型流感個案，為亞洲首宗確診病例。六月世衛(wèi)將流感大流行警戒級別，調(diào)升至第六級別，世界各地因此儲存

10、新流感疫苗，以防萬一。不過隨著疫情減輕，本年初多個國家及地區(qū)，開始銷毀疫苗，以及取消為民眾接種疫苗。而新型流感爆發(fā)以來，在全球造成18449人死亡。死亡相當(dāng)于移出傳染系統(tǒng)，有關(guān)部門記錄了每天移出者的人數(shù)，即有了的實際數(shù)據(jù)，世衛(wèi)組織用這組數(shù)據(jù)對SIR模型作了驗證。首先，由方程（1），（2）可以得到 ，兩邊積分得 所以： (6)再 (7)當(dāng) 時，取（7）式右端Taylor展開式的前3項得：在初始值=0 下解高階常微分方程得:其中， 從而容易由（7）式得出：然后取定參數(shù) s0, 等，畫出（7）式的圖形，如圖4中的曲線，實際數(shù)據(jù)在圖中用圓點表示，可以看出，理論曲線與實際數(shù)據(jù)吻合得相當(dāng)不錯。七被傳染比例

11、的估計在一次傳染病的傳播過程中，被傳染人數(shù)的比例是健康者人數(shù)比例的初始值與之差，記作x,即 (8)當(dāng)i0很小，s0接近于1時，由（8）式可得 (9)取對數(shù)函數(shù)Taylor展開的前兩項有 (10)記 , 可視為該地區(qū)人口比例超過閾值的部分。當(dāng) 時（10）式給出 （11）這個結(jié)果表明，被傳染人數(shù)比例約為的2倍。對一種傳染病，當(dāng)該地區(qū)的衛(wèi)生和醫(yī)療水平不變，即不變時，這個比例就不會改變。而當(dāng)閾值提高時，減小，于是這個比例就會降低。八模型評價1，本模型根據(jù)甲流實際傳染情況建設(shè)了數(shù)學(xué)模型，并考慮了其中的潛伏期、日治愈率、日接觸率等因素，對于如何控制流感爆發(fā)具有一定的科學(xué)借鑒價值；2，所選取的數(shù)值雖然參考了衛(wèi)生部信息通告，但由于取樣的數(shù)據(jù)量太小，沒有大量采集相關(guān)的數(shù)據(jù)，可能導(dǎo)致運算結(jié)果有所偏差；3，本篇論文還有很多值得改進的地方，如如何利用數(shù)學(xué)建