高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)學(xué)(教)案(第71講)抽樣方法與總體分布的估計(jì)

1、題目 (選修)第一章概率與統(tǒng)計(jì)抽樣方法與總體分布的估計(jì)高考要求 1.會(huì)用隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣等常用的抽樣方法從總體中抽取樣本 2.會(huì)用樣本頻率分布去估計(jì)總體分布 知識(shí)點(diǎn)歸納 1.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：設(shè)一個(gè)總體的個(gè)體數(shù)為N如果通過(guò)逐個(gè)抽取的方法從中抽取一個(gè)樣本，且每次抽取時(shí)各個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，就稱這樣的抽樣為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從含有N個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為的樣本時(shí)，每次抽取一個(gè)個(gè)體時(shí)任一個(gè)體被抽到的概率為；在整個(gè)抽樣過(guò)程中各個(gè)個(gè)體被抽到的概率為； 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)是，逐個(gè)抽取，且各個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等,是不放回抽樣.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法，體現(xiàn)了抽樣的客觀性與公平性，是其他

2、更復(fù)雜抽樣方法的基礎(chǔ)2.抽簽法：先將總體中的所有個(gè)體（共有N個(gè)）編號(hào)（號(hào)碼可從1到N），并把號(hào)碼寫在形狀、大小相同的號(hào)簽上（號(hào)簽可用小球、卡片、紙條等制作），然后將這些號(hào)簽放在同一個(gè)箱子里，進(jìn)行均勻攪拌，抽簽時(shí)每次從中抽一個(gè)號(hào)簽，連續(xù)抽取n次，就得到一個(gè)容量為n的樣本 適用范圍：總體的個(gè)體數(shù)不多時(shí) 優(yōu)點(diǎn)：抽簽法簡(jiǎn)便易行，當(dāng)總體的個(gè)體數(shù)不太多時(shí)適宜采用抽簽法 3.隨機(jī)數(shù)表法： 隨機(jī)數(shù)表抽樣“三步曲”：第一步，將總體中的個(gè)體編號(hào)；第二步，選定開(kāi)始的數(shù)字；第三步，獲取樣本號(hào)碼 4.系統(tǒng)抽樣:當(dāng)總體中的個(gè)體數(shù)較多時(shí)，可將總體分成均衡的幾個(gè)部分，然后按預(yù)先定出的規(guī)則，從每一部分抽取一個(gè)個(gè)體，得到需要的樣

3、本，這種抽樣叫做系統(tǒng)抽樣系統(tǒng)抽樣的步驟：采用隨機(jī)的方式將總體中的個(gè)體編號(hào)為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，有時(shí)可直接采用個(gè)體所帶有的號(hào)碼，如考生的準(zhǔn)考證號(hào)、街道上各戶的門牌號(hào)，等等 為將整個(gè)的編號(hào)分段（即分成幾個(gè)部分），要確定分段的間隔k當(dāng)（N為總體中的個(gè)體的個(gè)數(shù)，n為樣本容量）是整數(shù)時(shí)，k=;當(dāng)不是整數(shù)時(shí)，通過(guò)從總體中剔除一些個(gè)體使剩下的總體中個(gè)體的個(gè)數(shù)能被n整除，這時(shí)k=.在第一段用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定起始的個(gè)體編號(hào) 按照事先確定的規(guī)則抽取樣本（通常是將加上間隔k，得到第2個(gè)編號(hào)+k,第3個(gè)編號(hào)+2k，這樣繼續(xù)下去，直到獲取整個(gè)樣本） 系統(tǒng)抽樣適用于總體中的個(gè)體數(shù)較多的情況，它與簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的聯(lián)系在于：將總體均分后

4、的每一部分進(jìn)行抽樣時(shí)，采用的是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；與簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣一樣，系統(tǒng)抽樣是等概率抽樣，它是客觀的、公平的總體中的個(gè)體數(shù)恰好能被樣本容量整除時(shí)，可用它們的比值作為系統(tǒng)抽樣的間隔；當(dāng)總體中的個(gè)體數(shù)不能被樣本容量整除時(shí)，可用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣先從總體中剔除少量個(gè)體，使剩下的個(gè)體數(shù)能被樣本容量整除在進(jìn)行系統(tǒng)抽樣 5.分層抽樣: 當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)，為了使樣本更充分地反映總體的情況，常將總體分成幾部分，然后按照各部分所占的比例進(jìn)行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣，所分成的部分叫做層 6.常用的抽樣方法及它們之間的聯(lián)系和區(qū)別：類別共同點(diǎn)各自特點(diǎn)相互聯(lián)系適用范圍簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽取的概率

5、是相同的從總體中逐個(gè)抽取總體中的個(gè)數(shù)比較少系統(tǒng)抽樣將總體均勻分成幾個(gè)部分，按照事先確定的規(guī)則在各部分抽取在起始部分抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣總體中的個(gè)數(shù)比較多分層抽樣將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取各層抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單抽樣或者相同抽樣總體由差異明顯的幾部分組成7.不放回抽樣和放回抽樣:在抽樣中，如果每次抽出個(gè)體后不再將它放回總體，稱這樣的抽樣為不放回抽樣；如果每次抽出個(gè)體后再將它放回總體，稱這樣的抽樣為放回抽樣隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣都是不放回抽樣8.總體：在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，通常把被研究的對(duì)象的全體叫做總體.9.頻率分布：用樣本估計(jì)總體，是研究統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的基本思想方法，樣本中所有數(shù)據(jù)（或數(shù)據(jù)組）的頻數(shù)和樣

6、本容量的比，就是該數(shù)據(jù)的頻率.所有數(shù)據(jù)（或數(shù)據(jù)組）的頻率的分布變化規(guī)律叫做樣本的頻率分布.可以用樣本頻率表、樣本頻率分布條形圖或頻率分布直方圖來(lái)表示.10.總體分布：從總體中抽取一個(gè)個(gè)體，就是一次隨機(jī)試驗(yàn)，從總體中抽取一個(gè)容量為n的樣本，就是進(jìn)行了n次試驗(yàn)，試驗(yàn)連同所出現(xiàn)的結(jié)果叫隨機(jī)事件，所有這些事件的概率分布規(guī)律稱為總體分布.11.總體密度曲線:樣本容量越大，所分組數(shù)越多，各組的頻率就越接近于總體在相應(yīng)各組取值的概率設(shè)想樣本容量無(wú)限增大，分組的組距無(wú)限縮小，那么頻率分布直方圖就會(huì)無(wú)限接近于一條光滑曲線,這條曲線叫做總體密度曲線它反映了總體在各個(gè)范圍內(nèi)取值的概率根據(jù)這條曲線，可求出總體在區(qū)間（

7、a，b）內(nèi)取值的概率等于該區(qū)間上總體密度曲線與x軸、直線x=a、x=b所圍成曲邊梯形的面積。9.總體分布密度密度曲線函數(shù)y=f(x)的兩條基本性質(zhì)：f(x) 0(xR)；由曲線y=f(x)與x軸圍成面積為1。題型講解 例1 某公司在甲、乙、丙、丁四個(gè)地區(qū)分別有150個(gè)、120個(gè)、180個(gè)、150個(gè)銷售點(diǎn).公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷售的情況，需從這600個(gè)銷售點(diǎn)中抽取一個(gè)容量為100的樣本，記這項(xiàng)調(diào)查為；在丙地區(qū)中有20個(gè)特大型銷售點(diǎn)，要從中抽取7個(gè)調(diào)查其銷售收入和售后服務(wù)情況，記這項(xiàng)調(diào)查為.則完成、這兩項(xiàng)調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是A.分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法B.分層抽樣法，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法C.系統(tǒng)抽樣法，

8、分層抽樣法D.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法，分層抽樣法分析：此題為抽樣方法的選取問(wèn)題.當(dāng)總體中個(gè)體較多時(shí)宜采用系統(tǒng)抽樣；當(dāng)總體中的個(gè)體差異較大時(shí)，宜采用分層抽樣；當(dāng)總體中個(gè)體較少時(shí)，宜采用隨機(jī)抽樣.解：依據(jù)題意，第項(xiàng)調(diào)查應(yīng)采用分層抽樣法、第項(xiàng)調(diào)查應(yīng)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法.故選B.答案：B點(diǎn)評(píng)：采用什么樣的抽樣方法要依據(jù)研究的總體中的個(gè)體情況來(lái)定.例2 一個(gè)總體中有100個(gè)個(gè)體，隨機(jī)編號(hào)為0，1，2，99，依編號(hào)順序平均分成10個(gè)小組，組號(hào)依次為1，2，3，10.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量為10的樣本，規(guī)定如果在第1組隨機(jī)抽取的號(hào)碼為m，那么在第k小組中抽取的號(hào)碼個(gè)位數(shù)字與m+k的個(gè)位數(shù)字相同.若m=6，則在第

9、7組中抽取的號(hào)碼是_.分析：此問(wèn)題總體中個(gè)體的個(gè)數(shù)較多，因此采用系統(tǒng)抽樣.按題目中要求的規(guī)則抽取即可.解：m=6，k=7，m+k=13，在第7小組中抽取的號(hào)碼是63.答案：63點(diǎn)評(píng)：當(dāng)總體中個(gè)體個(gè)數(shù)較多而差異又不大時(shí)可采用系統(tǒng)抽樣.采用系統(tǒng)抽樣在每小組內(nèi)抽取時(shí)應(yīng)按規(guī)則進(jìn)行.例3 把容量為100的某個(gè)樣本數(shù)據(jù)分為10組，并填寫頻率分布表，若前七組的累積頻率為0.79，而剩下三組的頻數(shù)成公比大于2的整數(shù)等比數(shù)列，則剩下三組中頻數(shù)最高的一組的頻數(shù)為_(kāi).分析：已知前七組的累積頻率為0.79，而要研究后三組的問(wèn)題，因此應(yīng)先求出后三組的頻率之和為10.79=0.21，進(jìn)而求出后三組的共有頻數(shù)，或者先求前七

10、組共有頻數(shù)后，再計(jì)算后三組的共有頻數(shù).解：由已知知前七組的累積頻數(shù)為0.79×100=79，故后三組共有的頻數(shù)為21，依題意=21，a1（1+q+q2）=21（整解方程）q>2, 1+q+q2>7.a1=1，q=4.后三組頻數(shù)最高的一組的頻數(shù)為16.答案：16點(diǎn)評(píng)：此題分析只按第二種思路給出了解答。例4 對(duì)某電子元件進(jìn)行壽命追蹤調(diào)查，情況如下：壽命（h）100200200300300400400500500600個(gè) 數(shù)2030804030（1）列出頻率分布表；（2）畫出頻率分布直方圖和累積頻率分布圖；（3）估計(jì)電子元件壽命在100400 h以內(nèi)的概率；（4）估計(jì)電子元件壽

11、命在400 h以上的概率.分析：通過(guò)本題可掌握總體分布估計(jì)的各種方法和步驟.解：（1）頻率分布表如下：壽命（h）頻 數(shù)頻 率累積頻率100200200.100.10200300300.150.25300400800.400.65400500400.200.85500600300.151合 計(jì)2001（2）頻率分布直方圖如下：（3）由累積頻率分布圖可以看出，壽命在100400 h內(nèi)的電子元件出現(xiàn)的頻率為0.65，所以我們估計(jì)電子元件壽命在100400 h內(nèi)的概率為0.65.（4）由頻率分布表可知，壽命在400 h以上的電子元件出現(xiàn)的頻率為0.20+0.15=0.35，故我們估計(jì)電子元件壽命在40

12、0 h以上的概率為0.35.點(diǎn)評(píng)：畫頻率分布條形圖、直方圖時(shí)要注意縱、橫坐標(biāo)軸的意義.例5 某批零件共160個(gè)，其中，一級(jí)品48個(gè)，二級(jí)品64個(gè)，三級(jí)品32個(gè)，等外品16個(gè).從中抽取一個(gè)容量為20的樣本.請(qǐng)說(shuō)明分別用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣法抽取時(shí)總體中的每個(gè)個(gè)體被取到的概率均相同.分析：要說(shuō)明每個(gè)個(gè)體被取到的概率相同，只需計(jì)算出用三種抽樣方法抽取個(gè)體時(shí)，每個(gè)個(gè)體被取到的概率.解：（1）簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法：可采取抽簽法，將160個(gè)零件按1160編號(hào)，相應(yīng)地制作1160號(hào)的160個(gè)簽，從中隨機(jī)抽20個(gè).顯然每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為=.（2）系統(tǒng)抽樣法：將160個(gè)零件從1至160編上號(hào)，按編號(hào)順

13、序分成20組，每組8個(gè).然后在第1組用抽簽法隨機(jī)抽取一個(gè)號(hào)碼，如它是第k號(hào)（1k8），則在其余組中分別抽取第k+8n（n=1，2，3，19）號(hào)，此時(shí)每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為.（3）分層抽樣法：按比例=，分別在一級(jí)品、二級(jí)品、三級(jí)品、等外品中抽取48×=6個(gè)，64×=8個(gè)，32×=4個(gè)，16×=2個(gè)，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率分別為，即都是.綜上可知，無(wú)論采取哪種抽樣，總體的每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都是.點(diǎn)評(píng)：三種抽樣方法的共同點(diǎn)就是每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相同，這樣樣本的抽取體現(xiàn)了公平性和客觀性.小結(jié)：1.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣是三種常用的抽樣方法，三種方法的

14、共同特點(diǎn)是在抽樣過(guò)程中每一個(gè)個(gè)體被抽取的概率相等，體現(xiàn)這些抽樣方法的客觀性和總體性。2.日常生活中的一些問(wèn)題，我們可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，借助于函數(shù)、方程、不等式、概率、統(tǒng)計(jì)等知識(shí)解決。同時(shí)，要提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，必須關(guān)注生產(chǎn)和生活。學(xué)生練習(xí) 1.為調(diào)查參加運(yùn)動(dòng)會(huì)的1000名運(yùn)動(dòng)員的年齡情況，從中抽查了100名運(yùn)動(dòng)員的年齡，就這個(gè)問(wèn)題來(lái)說(shuō)，下列說(shuō)法正確的是A.1000名運(yùn)動(dòng)員是總體B.每個(gè)運(yùn)動(dòng)員是個(gè)體C.抽取的100名運(yùn)動(dòng)員是樣本D.樣本容量是100解析：這個(gè)問(wèn)題我們研究的是運(yùn)動(dòng)員的年齡情況.因此應(yīng)選D.答案：D2.一個(gè)總體中共有10個(gè)個(gè)體，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為3的樣本

15、，則某特定個(gè)體入樣的概率是A.B.C. D.解析：用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法從中抽取，則每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相同為，所以選C.答案：C3.一個(gè)容量為n的樣本，分成若干組，已知某數(shù)的頻數(shù)和頻率分別為40、0.125，則n的值為A.640 B.320 C.240 D.160解析：=0.125，n=320.故選B.答案：B4.一個(gè)單位有500名職工，其中不到35歲的有125人，3549歲的有280人，50歲以上的有95人，要從中抽取一個(gè)容量為100的樣本，較為恰當(dāng)?shù)某闃臃椒ㄊ牵ǎ〢.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣B.系統(tǒng)抽樣 C.分層抽樣D.以上三種均可答案：C5.某學(xué)院有四個(gè)飼養(yǎng)房，分別養(yǎng)有18，24,54,48只白鼠供實(shí)

16、驗(yàn)用，某項(xiàng)實(shí)驗(yàn)需抽取24只，你認(rèn)為最合適的抽樣方法為（）A.在每個(gè)飼養(yǎng)房各抽取6只B.把所有白鼠都加上編有不同號(hào)碼的項(xiàng)圈，用隨機(jī)取樣法確定24只C.在四個(gè)飼養(yǎng)房分別隨手提出3,9,4,8只D.先確定這四個(gè)飼養(yǎng)房應(yīng)分別抽取3,4,9,8樣品，再由各飼養(yǎng)房自己加上號(hào)碼項(xiàng)圈，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法確定各自的捕捉對(duì)象答案：D6.將容量為100的樣本數(shù)據(jù)，按由小到大排列分成8個(gè)小組，如表：組號(hào)12345678頻率101314141513129第3組的頻率和累積頻率為（）A、0.140.37B、C、0.030.06D、答案：A7.某校為了了解學(xué)生的課外閱讀情況，隨機(jī)調(diào)查了50名學(xué)生，得到他們?cè)谀骋惶旄髯哉n外閱讀

17、所用時(shí)間的數(shù)據(jù)，結(jié)果用下面的條形圖表示，根據(jù)條形圖可得這50名學(xué)生這一天平均每人的課外閱讀時(shí)間為A.0.6 h B.0.9 h C.1.0 h D.1.5 h解析：=0.9.答案：B8.某單位有職工100人，不到35歲的有45人，35歲到49歲的有25人，剩下的為50歲以上的人，用分層抽樣法從中抽取20人，各年齡段分別抽取的人數(shù)為A.7，5，8 B.9，5，6 C.6，5，9 D.8，5，7解析：45×=×45=9，25×=5，30×=6.答案：B9.某單位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，為了調(diào)查他們的健康狀況，需從他們中抽取一個(gè)容量為36的

18、樣本，在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣這三種方法中較合適的抽樣方法是_.解析：要研究的總體里各部分情況差異較大，因此用分層抽樣.答案：分層抽樣10.某班學(xué)生在一次數(shù)學(xué)考試中成績(jī)分布如下表：分?jǐn)?shù)段0，80）80，90）90，100）人數(shù)2）56分?jǐn)?shù)段100，110）110，120 120，130）人數(shù)8126分?jǐn)?shù)段130，140）140，150）人數(shù)42那么分?jǐn)?shù)在100，110）中的頻率和分?jǐn)?shù)不滿110分的累積頻率分別是_、_（精確到0.01）.解析：由頻率計(jì)算方法知：總?cè)藬?shù)=45.分?jǐn)?shù)在100，110）中的頻率為 =0.1780.18.分?jǐn)?shù)不滿110分的累積頻率為=0.47.答案：0.18

19、0.4711.某單位共有N個(gè)職工，要從N個(gè)職工中采用分層抽樣法抽取n個(gè)樣本，已知該單位的某一部門有M個(gè)員工，那么從這一部門中抽取的職工數(shù)為_(kāi).答案：12.舉例說(shuō)明簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和分層抽樣兩種抽樣方法，無(wú)論使用哪一種抽樣方法，總體中的每一個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等.解：袋中有160個(gè)小球，其中紅球48個(gè)，藍(lán)球64個(gè)，白球16個(gè)，黃球32個(gè)，從中抽取20個(gè)作為一個(gè)樣本.（1）使用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為=.（2）使用分層抽樣：四種球的個(gè)數(shù)比為3412.紅球應(yīng)抽×20=6個(gè)；藍(lán)球應(yīng)抽×20=8個(gè)；白球應(yīng)抽×20=2個(gè)；黃球應(yīng)抽×20=4個(gè).由于=，所以

20、，按顏色區(qū)分，每個(gè)球被抽到的概率也都是.13.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品，可分為一等品、二等品、三等品三類，根據(jù)抽樣檢驗(yàn)的記錄有一等品54個(gè)、二等品140個(gè)、三等品6個(gè).（1）估計(jì)三種產(chǎn)品的概率；（2）畫出頻率分布條形圖.解：（1）0.27，0.7，0.03.（2）頻率分布條形圖如下14.某縣政府機(jī)關(guān)在編人員100人，其中副處級(jí)以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上級(jí)人事部門為了了解職工對(duì)機(jī)構(gòu)改革的意見(jiàn)，要從中抽取一個(gè)容量為20的樣本，試說(shuō)明具體實(shí)施辦法，并證明用這種抽樣方法可使總體中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等.解：因機(jī)構(gòu)改革關(guān)系到所有人的利益，故采用分層抽樣方法較宜.=，10×=2，70×=14，20×=4.故從副處級(jí)以上干部中抽取2人，從一般干部中抽取14人，