高中數(shù)學論文：淺談數(shù)學文化融入課堂教學之策略

1、高中數(shù)學論文淺談數(shù)學文化融入課堂教學之策略【摘要】：在高中數(shù)學課程中融入數(shù)學文化是當前高中數(shù)學教育的重要研究課題和基本理念。但在教學實踐中，高中數(shù)學的數(shù)學文化滲透仍然問題諸多。本文從案例教學的角度，對數(shù)學文化如何融入教學試驗性地進行實踐性的探索，并總結出具體的教學策略，試圖為“數(shù)學文化”教育的實踐提供一些可以借鑒的途徑。具體策略主要有：從歷史的角度設計教學，讓學生了解數(shù)學創(chuàng)造的真實過程；從思想方法的角度設計教學，讓學生感悟思想方法的美妙；從數(shù)學應用的角度設計教學，提升學生的數(shù)學應用意識。【關鍵詞】：數(shù)學文化，課堂教學，策略近幾年來，高中數(shù)學教育理論有個新的轉向即如何引導高中數(shù)學教學從應試型向文

2、化型教學轉變。普通高中數(shù)學課程標準明確指出：“數(shù)學文化是高中數(shù)學內(nèi)容不可分割的一部分”；“數(shù)學課程應適當反映數(shù)學科學的思想體系，數(shù)學的美學價值，數(shù)學家的創(chuàng)新精神。數(shù)學課程應幫助學生逐步形成正確的數(shù)學觀?！?中華人民共和國教育部制定，普通高中數(shù)學課程標準（實驗）S，北京：人民教育出版社， 2003年版，P4。從標準的表述可以看出，數(shù)學的文化價值已作為數(shù)學教育中的一個新的基本理念被提出。數(shù)學文化滲透應貫穿和滲透于高中數(shù)學的每個模塊，立足于課堂教學。但在教學實踐中，高中數(shù)學的數(shù)學文化滲透仍然問題諸多。筆者曾與很多同事交流過數(shù)學文化的問題，大多教師表示中學數(shù)學教育需要數(shù)學文化教學，但是在學校、社會片面

3、地關注升學率、分數(shù)教育現(xiàn)實面前，實施數(shù)學文化教育無異于紙上談兵。事實上大多數(shù)教師僅認可這種觀點卻無行動。對于“如何體現(xiàn)數(shù)學的文化價值”、“在數(shù)學文化教育中如何實施教學策略”等相關問題，均沒有時間也沒有動力去作深入的思考。筆者嘗試從案例教學的角度出發(fā)，選擇自己認為相對容易開發(fā)的概率統(tǒng)計模塊選擇該模塊的原因在于：數(shù)學的文化性特征應該具有多元性、開放性和動態(tài)性等特點。概率論是研究大量隨機現(xiàn)象規(guī)律性的一門數(shù)學分支。而隨機現(xiàn)象的兩個重要特征即不確定性和規(guī)律性，卻經(jīng)常使得學生在直覺與科學之間無所適從，給學習與教學帶來一定的困難。正是因為如此，從文化的角度重新審視概率統(tǒng)計的教學，既能促進教學，又符合新課程的

4、理念。，對數(shù)學文化如何融入教學試驗性地進行了一些實踐性的探索，并從中總結出一些教學策略，試圖為“數(shù)學文化”教育的實踐提供一些可以借鑒的途徑。一、 從歷史的角度設計教學，讓學生了解數(shù)學創(chuàng)造的真實過程由于數(shù)學結果缺少直觀性，數(shù)學普遍被認為太抽象、太復雜、太枯燥、太難懂，所以人們通常對數(shù)學采取敬而遠之的態(tài)度。實際上，這是人們的一種誤解。數(shù)學中有許多重要的概念、思想和方法都來源于人類的現(xiàn)實需要，中小學數(shù)學課程中的絕大部分內(nèi)容，都可以找到數(shù)學與社會互動的相應素材。數(shù)學史就是我們尋找素材，進行教育加工的非常重要的資源庫?！皵?shù)學史可以提供整個課程的概貌，不僅使課程的內(nèi)容互相聯(lián)系，而且使它們跟數(shù)學思想的主干也

5、聯(lián)系起來?！盡·克萊因：古今數(shù)學思想(第一冊）M，上海：上?？茖W技術出版社，1979年版，P5。在概率統(tǒng)計教學中，我們可以結合數(shù)學史，選取與教材中的概念、定理、思想產(chǎn)生和發(fā)展過程的相關知識，追尋歷史故事、引入史實，數(shù)學名題等，解釋數(shù)學知識的現(xiàn)實（是什么）和來源（為什么），讓學生了解數(shù)學創(chuàng)造的真實過程，啟迪學生的思維。例如在學習人教版數(shù)學（必修3）第二章統(tǒng)計中的線性相關一節(jié)時，按照高中數(shù)學教學大綱的教學要求，在教材內(nèi)容的基礎上，我把歷史上發(fā)展近十年才逐漸完善的最小二乘法加工濃縮為一個故事，一邊講述，一邊和學生一起探求最小二乘法的原理。以下是幾個主要教學環(huán)節(jié)。（用PPT展示）：1.最小二

6、乘法的歷史背景1801年1月，意大利天文學家皮亞齊發(fā)現(xiàn)了一顆從未見過的小行星。據(jù)說剛發(fā)現(xiàn)不久，他就病倒了，等病好時，已過了幾個月，那顆小行星卻怎么也找不到了。當時有名的天文學家都加入了對這顆小行星的尋找，卻徒勞無獲。1801年9月，高斯決定用數(shù)學方法尋找這顆小行星的蹤跡。3個月后，天文學家在高斯預測的軌道位置再次發(fā)現(xiàn)了這顆小行星。高斯因為此事名聲大震，但他卻拒絕透露計算小行星軌道的辦法。師：我們試想高斯測得了這樣一組數(shù)據(jù)：。如何根據(jù)這些觀測數(shù)據(jù)來估計小行星的位置呢？ 有學生直觀的想法就是把，的平均值點作為小行星的估計值。師：我們舉個例子來看這種想法可行嗎？例如對一段公路，進行測量，假設次實際測

7、量值為，可是每次測量都有一定的誤差，這些誤差或正或負，或大或小，應該如何估計公路的實際長度。大家說取平均值可以嗎？師：可以，說說為什么？生1：設這段公路的真實長度為，則所有數(shù)據(jù)的誤差平方和為，然后當其最小時，可求得就是各測量值的平均數(shù)。師追問：這里為什么要加平方？直接把每個求和最小可以嗎？生1：因為誤差有正有負會抵消掉。師：就是說，從整體上看待所有的誤差，不能讓誤差因符號抵消掉。那么先變成絕對值，再求和，可以嗎？生1：與方差定義類似，有絕對值不太好算，轉化為平方和，才能使計算可行。師：講得非常好。最小二乘的思想就是要使得觀測點和估計點的距離的平方和達到最小。這里的“二乘”指的是用“平方”來度量

8、觀測點與估計點的遠近。在古漢語中稱“平方”為“二乘”，“最小”指的是參數(shù)的估計值要保證各個觀測點與估計點的距離的平方和達到最小。（用PPT展示）：2.最小二乘法的來龍去脈8年后，直到高斯系統(tǒng)地完善了相關的數(shù)學理論，才將他的方法公布于他的著作天體運動理論中，這就是“最小二乘法”。師：我們回到測小行星的問題上來。這里的觀測點是二維的，該如何表示觀測點和估計點的距離的平方和呢？設觀測值的估計值為生2：師：特別當各個和相應的估計值相等時，就等于。 假設把這組數(shù)據(jù)畫散點圖，發(fā)現(xiàn)它們在一條直線附近，我們就稱這兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫做回歸直線，記為。我們怎樣來求這條直線的方程？學生暢所欲言

9、，把他們的想法列舉出來：（1）回歸直線是過散點最多的直線；（2）回歸直線是使上下點基本平均分布的直線；（3）回歸直線是過兩個端點的直線；（4）回歸直線是經(jīng)過樣本中心的直線；（5）回歸直線是各點與之距離最小的直線；（6）多畫幾條直線，取它們的斜率、截距的平均數(shù)作為回歸直線的斜率、截距。然后思考以上各種方法是否合理？有無道理？哪條“最合適”？如何用數(shù)學方法得到回歸直線？引出需要進一步探索的問題。這時，學生很自然的會認為，回歸直線應該從整體上看各點與之距離最小的直線，而不能僅看幾個觀測點。師：如何用數(shù)學符號表示從整體上看最近？生： 最小因為估計值點均在回歸直線上，=最小。老師在散點圖中可以作圖示說明

10、。然后推導出回歸系數(shù)從回歸系數(shù)中發(fā)現(xiàn)很有意思的事情是：估計得到的直線一定經(jīng)過觀測點的中心。師：如果施化肥量kg和水稻產(chǎn)量kg之間的回歸方程為解釋回歸系數(shù)b（4.75）的意義。師：當=28kg時，代人方程=390有什么意義？（用PPT展示）：3.最小二乘法的優(yōu)先權風波但早在1805年，法國科學家勒讓德（17521833）發(fā)現(xiàn)了作為解決線性方程組的最佳方法，即最小二乘法，勒讓德由此嚴斥高斯剽竊別人的研究成果，從而引起了二者之間的優(yōu)先權之爭，在這個過程中，高斯的數(shù)學成就一度遭人質(zhì)疑和責難。事實上，最小二乘法最早是為解決線性方程組用的。在實際應用中，常常有許多個方程而且其系數(shù)不是整數(shù)而是計算到很多位小

11、數(shù)的實數(shù)。勒讓德第一個發(fā)表了最小二乘法思想，并影響了統(tǒng)計學。高斯沒有引用勒讓德的結果，也設計了對方程組的系統(tǒng)消去法使得方程組更容易求，而且高斯詳盡闡述了最小二乘法為合理的根據(jù)，使得勒讓德那里只是處理測量數(shù)據(jù)的代數(shù)方法逐漸滲透到統(tǒng)計數(shù)據(jù)分析的領域。師：在高斯宣布自己發(fā)明了這一方法時，引起了與勒讓德的發(fā)明優(yōu)先權之爭。原來高斯早先發(fā)現(xiàn)了一個誤差函數(shù)，由此推導出了最小二乘法。其中描述了“如果觀察誤差是由許多小的、獨立的誤差相加組成的，正誤差與負誤差同樣的可能，并且集中點靠近零”（美）卡茨著，李文林等譯：數(shù)學史通論M，北京：高等教育出版社，2004年第2版，P585。即高斯用最小二乘法進行估計時，在誤差

12、分析中發(fā)現(xiàn)，線性模型的所有無偏估計類中，最小二乘估計是唯一的方差最小的無偏估計，也就是說誤差的分布是“正態(tài)”的。這一點由于立刻得到許多按經(jīng)驗得出的證據(jù)的支持，特別是弗里德里希貝塞爾對幾百顆星球作了三組觀測，并比較了按照正態(tài)規(guī)律在給定范圍內(nèi)的理論誤差值和實際值，結果表明它們非常接近一致。正因為高斯發(fā)現(xiàn)了最小二乘法理論中的重要結果，使得最小二乘法對統(tǒng)計學就像微積分對于數(shù)學的影響一樣深遠，所以后人經(jīng)常把最小二乘法歸功于他。（用PPT展示）：4.最小二乘法在統(tǒng)計中的影響由于最小二乘法之與線性模型的聯(lián)系十分緊密，所以它獲得了統(tǒng)計學家的高度評價。如有統(tǒng)計史家認為，最小二乘法之于統(tǒng)計學的重要性，猶如微積分之

13、于數(shù)學。也有學者稱最小二乘法是十九世紀統(tǒng)計學的“中心主題”。如今，線性模型已經(jīng)成為理論結果最豐富、應用最廣泛的一類回歸模型。這樣的數(shù)學課新穎有趣，一下子把學生的注意力吸引過來，激發(fā)主動學習。真實的歷史背景給學生提供了一個現(xiàn)實情境，使最小二乘法的教學主題容易為學生接受，也揭示出最小二乘法思想的源頭，從而為更好地理解最小二乘法奠定基礎。同時數(shù)學家追求真理的科學精神為學生樹立了榜樣，啟發(fā)學生學習數(shù)學要親自投入，勇于提出問題，發(fā)表自己的看法，并在討論交流中共同進步。數(shù)學家的成功讓學生意識到追求真理是一件非?？鞓返氖虑椤Ｈ裟転槿祟愇拿髯龀鲆恍┴暙I，那更是一個非常幸福的事情。二、從思想方法的角度設計教學，

14、讓學生感悟思想方法的美妙形式化是數(shù)學的特征之一。學生看到的數(shù)學大多是教材中的數(shù)學，這里的概念是已經(jīng)準確定義的，這里的定理也已經(jīng)是嚴密的逐字推理的，呈現(xiàn)在學生面前的文本是高度抽象化的形式符號，這些數(shù)學符號晦澀難懂，如果課堂上教師只是照本宣科，學生哪會有興趣去思考，也不會有激情去積極建構數(shù)學知識，更談不上去欣賞數(shù)學的冰冷美麗了。因此對一些基本的核心概念，不僅要注意知識的結果，更要還數(shù)學于本來面目，讓學生在原始的火熱思考中領會數(shù)學的本質(zhì)。這樣的教學才能產(chǎn)生強大的引力場。概率統(tǒng)計中有大量動手操作性的實驗學習活動，就是教學的引力場源?！皩W數(shù)學就是做數(shù)學”。教學中應設計豐富多彩的師生互動，穿插數(shù)學實驗等探

15、究活動，引導學生在數(shù)學化過程中“再創(chuàng)造”，鼓勵學生親身經(jīng)歷并進入數(shù)學的生成發(fā)展過程，使課堂既有知識性又有趣味性。如在教學隨機事件的概率時李秋生：隨機事件的概率J，數(shù)學通報，200812。，教師可以設計下面的數(shù)學實驗：（1）在畫有等距平行線的紙上，隨機地拋擲一枚牙簽；（2）兩個學生一組，進行試驗，每組試驗20次，并記錄牙簽與平行線有交點的次數(shù)；（3）將全班數(shù)據(jù)逐組進行匯總成頻率表，并完成下圖(用線連接各點)：（4）觀察累積數(shù)據(jù)的頻率表和折線圖，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？ 以上第（4）環(huán)節(jié)是本節(jié)內(nèi)容的難點，需要把對數(shù)據(jù)、圖表的直觀印象轉化為抽象的概率定義，教師可以利用計算機，計算出累積各組數(shù)據(jù)的頻率，然后

16、繪制出折線圖，從數(shù)或形兩個角度觀察累積數(shù)據(jù)的頻率體現(xiàn)出了一定的“穩(wěn)定性”，即規(guī)律性，使得我們能夠從圖表中大致判斷出事件概率的范圍、具體大小，并形成概率的統(tǒng)計定義。最后教師還可以在折線圖中繪制一條水平的紅線，更為清晰的表現(xiàn)出頻率在常數(shù)附近擺動的規(guī)律，幫助學生發(fā)掘、描述規(guī)律。這時再畫龍點睛地說一句：“抽象是數(shù)學的重要思想、有力手段”，提升到思想的層面。類似地如曾在美國引起轟動的問題門后的車：“有三扇門，只有一扇門的后面是一輛車，若猜中即開走?，F(xiàn)在你猜1號門，然后主持人將2、3號門后無車的打開，例如3號門后無車，打開?，F(xiàn)在請問，你是否要換選2號門？”黃翔：數(shù)學教育的價值M，北京：高等教育出版社，20

17、04年版，P92。與其說是一道概率游戲題，還不如說就是一道概率實驗題。為了體會到問題的本質(zhì)所在，我們只要把這個游戲簡化為撲克牌實驗：拿出事先準備好的兩幅撲克牌，分給學生每桌3張牌，其中兩張同花色，1張不同花色，例如：一張紅桃表示車，兩張黑桃表示羊，將它們隨機擺好，按照上述辦法猜。要求學生計錄數(shù)據(jù)并計算猜中次數(shù)的頻率，并將所得結果與概率值進行比較，問題迎刃而解。數(shù)學實驗可以有效地糾正學生一些錯誤的生活經(jīng)驗，由于學生概率的學習建立在以往的生活經(jīng)驗之上，通過這種設計，可以讓學生在“猜疑收集數(shù)據(jù)分析建?！钡倪^程中發(fā)現(xiàn)并修正錯誤的生活經(jīng)驗。這中教學模式也符合弗賴登塔爾的觀點：數(shù)學是做出來的數(shù)學。作為活動

18、，它是動態(tài)的可創(chuàng)造的，結論或操作程序是未知的。它順應了學生好奇的心理特征，能有效激發(fā)學習興趣，及時推動他們進行綜合、分析、比較、抽象、概括，或進行歸納、類比、猜想等，使學生在親歷創(chuàng)造的過程中獲得事件發(fā)生概率的方法，完成在教師引導下的“再創(chuàng)造”過程，進而深刻理解抽象的概率意義，正確使用概率和頻率。高中學生的年齡特征決定他們能敏感地感知和接受那些能帶給他們樂趣和思考的數(shù)學信息。融數(shù)學文化于課堂教學，其目的也在于用一種快樂的教學模式，更大可能地培養(yǎng)學生對智力思考的愛好。因為對于走上工作崗位的絕大多數(shù)學生來說，數(shù)學定理、數(shù)學公式和解題技巧，幾乎很少能用上，而只有那些事關數(shù)學本質(zhì)的數(shù)學思想、數(shù)學精神和數(shù)

19、學的思維方法，才會在人的思維結構中時時隱現(xiàn)，并對思想和性格產(chǎn)生終生影響。這就是文化型教學的要義所在。三、從數(shù)學應用的角度設計教學，提升學生的數(shù)學應用意識在傳統(tǒng)數(shù)學課程中，概率和統(tǒng)計的內(nèi)容是最薄弱的。這部分內(nèi)容進入數(shù)學課程的時間相對滯后，內(nèi)容相對單薄，難以適應學生處理日常事務的要求。加之，學習上有偏重于專門術語的認識和解題技巧的訓練，缺少與現(xiàn)實聯(lián)系的多樣化的題材和活動，所以成效甚微，應有的教育價值難以體現(xiàn)。據(jù)一項研究發(fā)現(xiàn)，學生是否對數(shù)學持有積極態(tài)度，最重要的因素之一是數(shù)學的內(nèi)容是否對自己有用，包括在生活中，數(shù)學中及其他學科中是否有用，這種現(xiàn)象隨年齡的增長更為明顯。早在1990年，美國國家研究委員會發(fā)表振興美國數(shù)學90年代的計劃的報告,建議并計劃應用數(shù)學的發(fā)展將在今后應發(fā)展的方面占相當大的比例。NRC： Renewing U.S. Mathematics：A plan for the 1990s M ，Nat. Acad. Press. Washington，1990，P3。我們必須