第七節(jié)無窮小的比較

1、第七節(jié)第七節(jié) 無窮小的比較無窮小的比較一、無窮小的比較一、無窮小的比較二、等價(jià)無窮小替換二、等價(jià)無窮小替換一、無窮小的比較一、無窮小的比較例如例如,xxx3lim20 xxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,022都是無窮小都是無窮小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxxxx 極限不同極限不同, 反映了趨向于零的反映了趨向于零的“快慢快慢”程度不同程度不同.;32要快得多要快得多比比 xx;sin大致相同大致相同與與xx不可比不可比., 0 , 1 xx1sinlim0 .不存在不存在觀察各極限觀察各極限;)(,0lim)1( o 記作記作高階的無窮小高階的無窮小是比是比就說就說如果如果

2、定義定義: :.0, 且且窮小窮小是同一過程中的兩個(gè)無是同一過程中的兩個(gè)無設(shè)設(shè);,lim)2(低階的無窮小低階的無窮小是比是比就說就說如果如果 ;, )0(lim)3(是同階的無窮小是同階的無窮小與與就說就說如果如果 CC;,1lim)4( 記作記作是等價(jià)的無窮小是等價(jià)的無窮小與與則稱則稱如果如果 (5)lim(0,0),.kC Ckk 如如果果就就說說是是的的階階無無窮窮小小.0, )0, 0(lim0階無窮小階無窮小的的是是時(shí)時(shí)就說當(dāng)就說當(dāng)如果如果kxxkCCxkx 例例1 1解解.tan4 ,0:3的的四四階階無無窮窮小小為為時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)證證明明xxxx 430tan4limxxxx30ta

3、nlim4 xxx, 4 .tan4 ,03的的四四階階無無窮窮小小為為時(shí)時(shí)故故當(dāng)當(dāng)xxxx 例例2 2.sintan,0的的階階數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于求求時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxx 解解30sintanlimxxxx )cos1tan(lim20 xxxxx ,21 .sintan的三階無窮小的三階無窮小為為xxx 例例10, sinxxxx當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 為為的的幾幾階階無無窮窮小??？不是任何兩個(gè)無窮小量都可以比較不是任何兩個(gè)無窮小量都可以比較.用等價(jià)無窮小可給出函數(shù)的近似表達(dá)式用等價(jià)無窮小可給出函數(shù)的近似表達(dá)式:, 1lim , 0lim ),( o即即).( o于是有于是有例如例如,),(sinxoxx ).(

4、211cos22xoxx . )(, o 條件是條件是的充要的充要?jiǎng)t則窮小窮小是同一過程中的兩個(gè)無是同一過程中的兩個(gè)無設(shè)設(shè). )(主部主部的主要部分的主要部分是是稱稱 基本無窮小基本無窮小,的函數(shù)的函數(shù)若研究的都是若研究的都是 x;1,)2(為為基基本本無無窮窮小小常常取取的的無無窮窮小小若若是是xx ;,0)1(為基本無窮小為基本無窮小常取常取的無窮小的無窮小若是若是xx 常用等價(jià)無窮小常用等價(jià)無窮小: :,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,sinxx,arcsinxx,tanxx,arctanxx,)1ln(xx,1xex,21cos12xx),0(1)1( axaxa)111(xnxn . )1, 0(l

5、n1 aaaxax二、等價(jià)無窮小替換二、等價(jià)無窮小替換定理定理( (等價(jià)無窮小替換定理等價(jià)無窮小替換定理) ).limlim,lim, 則則存在存在且且設(shè)設(shè)證證 lim)lim( limlimlim .lim 例例1 1.2sin3tanlim0 xxx求求解解.22sin,33tan,0 xxxxx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xxx23lim0 原式原式.23 例例2 2.cos12tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)22021)2(limxxx 原式原式. 8 .cos1)1ln()1(lim320 xxexx 求求例例解解20212limxxxx 原式原式

6、.4 ,21,02xexx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ,)1ln(xx ,21cos12xx .2sin1sin1lim420 xxxx 求求例例解解,sin211sin1,0 xxxxx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ,)2(2sin22xx204sin21limxxxx 原式原式81 xxx8sinlim0 例例.1)1sin(lim)1(21 xxx .21sinlim)2(xxx .)cos1(cos1lim50 xxxx 求求例例解解)cos1)(cos1(cos1lim0 xxxxx 原式原式)cos1(cos1lim210 xxxx xxxx2121lim2120 .21 注意注意 1.無窮小等價(jià)關(guān)系不是相等關(guān)系。無窮

7、小等價(jià)關(guān)系不是相等關(guān)系。 2. 無窮小乘積因子可分別等價(jià)代換，無窮小代無窮小乘積因子可分別等價(jià)代換，無窮小代數(shù)和一般不能分別對(duì)其中某個(gè)項(xiàng)作等價(jià)代換。數(shù)和一般不能分別對(duì)其中某個(gè)項(xiàng)作等價(jià)代換。例例6 6.2sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0 xxxxx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 30)2(limxxxx 原式原式. 0 解解,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 錯(cuò)錯(cuò) 例例7 7.3sin1cos5tanlim0 xxxx 求求解解xxxx3sin)cos1(5tanlim0 原式原式 xxx

8、xx3sincos13sin5tanlim0 xxxxxx3sincos1lim3sin5tanlim00 xxxxxx321lim35lim200 .35 拆項(xiàng)原則：拆項(xiàng)后每項(xiàng)極限均應(yīng)存在拆項(xiàng)原則：拆項(xiàng)后每項(xiàng)極限均應(yīng)存在 .三、小結(jié)三、小結(jié)1.無窮小的比較無窮小的比較:反映了同一過程中反映了同一過程中, 兩無窮小趨于零的速度兩無窮小趨于零的速度快慢快慢, 但并不是所有的無窮小都可進(jìn)行比較但并不是所有的無窮小都可進(jìn)行比較.2.等價(jià)無窮小的替換等價(jià)無窮小的替換: 求極限的又一種方法求極限的又一種方法, 注意適用條件注意適用條件.高高(低低)階無窮小階無窮小; 等價(jià)無窮小等價(jià)無窮小; 無窮小的階無

9、窮小的階.思考題思考題任何兩個(gè)無窮小量都可以比較嗎？任何兩個(gè)無窮小量都可以比較嗎？解解不能不能 例如當(dāng)例如當(dāng) 時(shí)時(shí)x,1)(xxf xxxgsin)( 都是無窮小量都是無窮小量但但 )()(limxfxgxxxsinlim不存在且不為無窮大不存在且不為無窮大故當(dāng)故當(dāng) 時(shí)時(shí)x)(xf和和)(xg不不能能比比較較.一、一、 填空題：填空題：1 1、xxx2sin3tanlim0=_.=_.2 2、mnxxx)(sinarcsinlim0=_.=_.3 3、xxx)21ln(lim0 =_.=_.4 4、xxxxxarctan1sin1lim20 =_.=_.5 5、nnnx2sin2lim =_.

10、=_.6 6、xaxnx1)1(lim10 =_.=_.練練 習(xí)習(xí) 題題7 7、當(dāng)、當(dāng)0 x時(shí)，時(shí)，)0(3 aaxa 對(duì)于對(duì)于x是是_階無窮小階無窮小 . .8 8、當(dāng)、當(dāng)0 x時(shí)，無窮小時(shí)，無窮小xcos1 與與nmx等價(jià)，則等價(jià)，則 ._,nm 二、求下列各極限：二、求下列各極限：1 1、xxxx30sinsintanlim ；2 2、 eelim；3 3、xxxx sinsinlim0 ；4 4、axaxax tantanlim；三、三、 證明：若證明：若 ,是無窮小，則是無窮小，則)(0 . .四、設(shè)四、設(shè) f(x)=f(x)=1)cos(2sinlim212 nnnxbxaxx 求：求：1 1、)(xf的表達(dá)式的表達(dá)式 . . 2 2、確定、確定ba,的值的值, ,使得使得)1()(lim1fxfx ， )1()(lim1 fxfx . .一、一、1 1、23； 2 2、 nmnmnm, 1, 0；3 3、2 2； 4 4、 ；