兩個(gè)超導(dǎo)比特糾纏動(dòng)力學(xué)的反轉(zhuǎn)動(dòng)波效應(yīng)

1、兩個(gè)超導(dǎo)比特糾纏動(dòng)力學(xué)的反轉(zhuǎn)動(dòng)波效應(yīng)*摘要： 本文研究了兩個(gè)無相互作用的與各自量子振子耦合的超導(dǎo)量子比特的糾纏動(dòng)力學(xué)。數(shù)值嚴(yán)格結(jié)果證明在強(qiáng)耦合下,以往的轉(zhuǎn)動(dòng)波近似不再適用，非轉(zhuǎn)動(dòng)波效應(yīng)必須考慮。基于著名的推廣的轉(zhuǎn)動(dòng)波近似的解析結(jié)果,在目前實(shí)驗(yàn)上可實(shí)現(xiàn)的強(qiáng)耦合區(qū)域與嚴(yán)格數(shù)值結(jié)果有明顯差別。從我們近年來發(fā)展的轉(zhuǎn)動(dòng)波近似的一級(jí)校正，我們得到的結(jié)果更接近于精確數(shù)值解。該理論結(jié)果可激發(fā)基于近來可以實(shí)現(xiàn)超導(dǎo)比特的相關(guān)實(shí)驗(yàn)。關(guān)鍵詞： 糾纏動(dòng)力學(xué); 量子比特; 比特-振子耦合; 反轉(zhuǎn)動(dòng)波.QIAN Lei1 , HE Shu2 , DUAN Liwei2 , CHEN Qinghu1, 2*（1.Center

2、 for Statistical and Theoretical Condensed Matter Physics, Zhejiang Normal University, Jinhua 321004, China; 2.Department of Physics, Zhejiang University, Hangzhou 310027, China) Title: Effect of Counter-Rotating term on the entanglement dynamics of two superconducting qubits coupling to quantum osc

3、illatorsAbstract: In this paper, we investigate entanglement dynamics of two non-interacting superconducting qubits coupled with their own quantum oscillators beyond the rotating-wave approximation (RWA). It is shown in the numerically exact studies that in the strong coupling regime, the RWA is not

4、 valid and the effect of the counter-rotating wave should be taken into account. The analytic results for entanglement based on the well-known generalized RWA deviates from the numerical one obviously in the present-day experimentally accessible coupling regime. In this paper, based on our first-ord

5、er corrections to the RWA, the analytic results are move close to the numerical ones. It may motivate the relevant experiments based on the superconducting qubits realized recently. Key Words: Entanglement dynamics; qubits; qubit-oscillator coupling; Counter-rotating wave. 1 引 言 超導(dǎo)比特作為量子信息科學(xué)的基礎(chǔ)和量子計(jì)算

6、機(jī)的重要元件, 在基礎(chǔ)研究和實(shí)際應(yīng)用中受到了廣泛的關(guān)注。 近年來，二能級(jí)系統(tǒng)與LC諧振子耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)研究在實(shí)驗(yàn)上取得重要進(jìn)展，對(duì)量子計(jì)算，量子相干性和量子邏輯門等領(lǐng)域的發(fā)展有較大的促進(jìn)。量子糾纏是一種典型的量子關(guān)聯(lián), 描述了量子力學(xué)的本質(zhì)的非局域性質(zhì), 根本性地區(qū)分了量子和經(jīng)典物理學(xué)。 糾纏作為一種重要的量子信息資源, 受到越來越多的重視， 而由于與環(huán)境耦合導(dǎo)致退相干和糾纏突然死亡（糾纏在一段時(shí)間消失）等問題是目前量子信息領(lǐng)域內(nèi)研究的熱點(diǎn)課題。 Jaynes-Cummings（JC）模型【1】是光學(xué)腔量子電動(dòng)力學(xué)(CQED)系統(tǒng)中最簡單的一類模型, 描述腔場中單個(gè)二能級(jí)原子和單模量子化的電

7、磁場的相互作用問題。在轉(zhuǎn)動(dòng)波近似下, 該模型可以嚴(yán)格解析求解。 超出轉(zhuǎn)動(dòng)波近似, 閉合形式的解析解至今缺乏, 各種近似的解析解相繼提出, 其中最為著名的是推廣的轉(zhuǎn)動(dòng)波近似【6】. Yu 等人研究了在轉(zhuǎn)動(dòng)波近似下兩個(gè) JC原子的量子糾纏動(dòng)力學(xué)【2，3】,并給出了相應(yīng)的解析表達(dá)式。 陳等人利用數(shù)值方法研究了無轉(zhuǎn)動(dòng)波近似下的糾纏行為【4】, 發(fā)現(xiàn)反轉(zhuǎn)動(dòng)波對(duì)糾纏有壓制效應(yīng)。至今，未見到反轉(zhuǎn)動(dòng)波下的糾纏動(dòng)力學(xué)的解析研究或近似解析研究。 近期的超導(dǎo)量子比特與振子耦合系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)表明, 當(dāng)其耦合強(qiáng)度達(dá)到g=0.1 （這比量子光學(xué)系統(tǒng)里的二能級(jí)原子和腔耦合系統(tǒng)的耦合強(qiáng)度大 3-6個(gè)數(shù)量級(jí)）， 轉(zhuǎn)動(dòng)波近似已被證明

8、實(shí)效. 因此,糾纏動(dòng)力學(xué)的反轉(zhuǎn)動(dòng)波的效應(yīng)的解析研究是十分必須的和值得的. 在本文中，我們基于推廣轉(zhuǎn)動(dòng)波近似和轉(zhuǎn)動(dòng)波近似一級(jí)修正兩種方法解析研究雙JC 原子的糾纏演化。通過與數(shù)值精確解【4】的比較，我們發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)波近似一級(jí)修正相對(duì)于推廣轉(zhuǎn)動(dòng)波近似更加合適用來描述強(qiáng)耦合區(qū)間的行為。2 理論模型與計(jì)算方法 兩個(gè)獨(dú)立的超導(dǎo)量子比特與各自 LC振子耦合系統(tǒng)可用下面哈密頓量表示 (1)其中 是二態(tài)的能級(jí)劈裂，是第k個(gè)量子比特的 z方向的泡利算符，是從第 k 個(gè) LC振子的光子的產(chǎn)生算符，是相應(yīng)的湮滅算符，g是原子和LC振子的耦合強(qiáng)度,為光子的頻率。采用自然單位 。 為了研究在兩個(gè)無相關(guān)作用的JC系統(tǒng)的糾纏動(dòng)

9、力學(xué), 我們只需要給出單個(gè)二能級(jí)原子和光場耦合系統(tǒng)的本征波函數(shù)和能量。 推廣的轉(zhuǎn)動(dòng)波近似方法(簡稱GRWA)【6】 在很大耦合范圍內(nèi)給出的JC原子能譜與數(shù)值精確解符合很好，引起很多關(guān)注。 我們簡要回顧下GRWA求解的方法【6】。首先把單個(gè)JC哈密頓量繞y軸旋轉(zhuǎn)，得到 (2) 然后對(duì)上式做幺正變換. 僅保留第一階激發(fā)項(xiàng)，可以得到GRWA下的哈密頓量， (3) 這里的系數(shù)為 (4) 其中為拉蓋爾多項(xiàng)式，,。由于系統(tǒng)總粒子數(shù)在哈密頓量(3)下守恒， 我們可以在基矢空間下 和 下對(duì)其對(duì)角化，得到它的本征能量 (6) 同時(shí)其相應(yīng)的本征波函數(shù)為 (7) (8)基態(tài)為 , 基態(tài)能為 (9)這樣我們通過GRW

10、A方法獲得了單個(gè)JC模型的本征波函數(shù)和本征值。 最近,我們提出了另一種更簡潔的哈密頓量(3)的本征解. 稱為RWA 的一級(jí)校正,簡稱CRWA9. 相應(yīng)的本征能量為 (15) (16)其中, -, + 對(duì)應(yīng)奇偶宇稱，對(duì)應(yīng)的本征波函數(shù)為 (17) (18)為了研究通常的糾纏演化,初態(tài)通常選為光子真空態(tài)、關(guān)聯(lián)或反關(guān)聯(lián)的Bell態(tài),這些演化只會(huì)涉及基態(tài)和低激發(fā)態(tài).3 糾纏演化 根據(jù)兩種近似解析方法給出的本征波函數(shù)和本征能量，我們就可以求出任意時(shí)刻的兩個(gè)無相互作用JC原子的約化密度矩陣。對(duì)于兩個(gè)獨(dú)立的JC原子，本征波函數(shù)在兩種方法下分別為 (23) (24)所以整個(gè)系統(tǒng)的在任意時(shí)刻的波函數(shù)可以寫成 (2

11、5) (26)其中是由體系初始態(tài)確定的系數(shù)。這里我們選取原子的具有代表性地反關(guān)聯(lián)貝爾1態(tài)和關(guān)聯(lián)貝爾2態(tài)為初始態(tài)， (27) (28)而初始光子態(tài)為真空態(tài). 系數(shù)由確定的。這樣就很容易獲得約化密度矩陣和。 兩個(gè)比特態(tài)的糾纏可用并發(fā)(Concurrence)10來度量. 根據(jù)并發(fā)的定義, 先計(jì)算贗密度矩陣，可以得到并發(fā)的表達(dá)式為其中是的本征值且以遞減順序排列。 圖1 系統(tǒng)初態(tài)下糾纏隨時(shí)間演化，黑色線是數(shù)值嚴(yán)格解，藍(lán)色線是 推廣的轉(zhuǎn)動(dòng)波近似，紅色是轉(zhuǎn)動(dòng)波近似的一級(jí)修正，綠色是轉(zhuǎn)動(dòng)波近似.其中Fig.1 Concurrence for atom-atom entanglement with the i

12、nitial atomic statefor，the black curves is the numerially exact results,the blue curves is GRWA,the red curves is the first correlations of RWA,the green curves is RWA,and圖2 系統(tǒng)初態(tài)下糾纏隨時(shí)間演化，黑色線是數(shù)值嚴(yán)格解，藍(lán)色線是 推廣的轉(zhuǎn)動(dòng)波近似，紅色是轉(zhuǎn)動(dòng)波近似一級(jí)修正，綠色是轉(zhuǎn)動(dòng)波近似.其中Fig.2 Concurrence for atom-atom entanglement with the initial ato

13、mic state for，the black curves is the numerially exact results,the blue curves is GRWA,the red curves is the first correlations of RWA,the green curves is RWA,and 圖1給出了由反關(guān)聯(lián)Bell態(tài)出發(fā)的糾纏演化曲線，其中黑線是數(shù)值嚴(yán)格解，藍(lán)線是推廣的轉(zhuǎn)動(dòng)波近似，紅線是我們的轉(zhuǎn)動(dòng)波近似的一級(jí)修正，綠色是原先的轉(zhuǎn)動(dòng)波近似 。 由于轉(zhuǎn)動(dòng)波近似忽略了反旋波項(xiàng)和，所以在Bell反關(guān)聯(lián)初始態(tài)下可以得到t時(shí)刻的簡潔的解析表達(dá)式【4】 。在下，初態(tài)為反關(guān)

14、聯(lián)的Bell態(tài)， 隨時(shí)間的演化都不會(huì)出現(xiàn)糾纏突然死亡的現(xiàn)象， 這個(gè)現(xiàn)象與耦合強(qiáng)度g的大小無關(guān)。然而,在耦合變強(qiáng)時(shí),考慮反旋項(xiàng)的數(shù)值嚴(yán)格解,GRWA以及轉(zhuǎn)動(dòng)波近似一級(jí)修正的糾纏演化都不同程度地出現(xiàn)糾纏突然死亡的現(xiàn)象。 顯然反轉(zhuǎn)動(dòng)波項(xiàng)的效應(yīng)導(dǎo)致了原來不出現(xiàn)的的糾纏突然死亡。例如,對(duì)于 g=0.1 這個(gè)在目前超導(dǎo)比特的實(shí)驗(yàn)中可以實(shí)現(xiàn)的耦合強(qiáng)度， 糾纏突然死亡非常明顯。非常有趣的是,轉(zhuǎn)動(dòng)波近似一級(jí)修正比GRWA 更接近數(shù)值嚴(yán)格解。當(dāng)比特-腔腸耦合強(qiáng)度進(jìn)一步增大時(shí)（比如g=0.2和g=0.3）轉(zhuǎn)動(dòng)波近似一級(jí)修正仍然與數(shù)值嚴(yán)格解符合得很好。但是GRWA在整個(gè)耦合區(qū)間都明顯偏離數(shù)值嚴(yán)格解。這說明GRWA沒有

15、抓住反轉(zhuǎn)動(dòng)波的性質(zhì)，使得其描述一開始就失效。而對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)波近似一級(jí)修正的方法， 只有當(dāng)耦合強(qiáng)度進(jìn)一步增大目前實(shí)驗(yàn)結(jié)果（g=0.1）的幾倍以上,才開始失效。 圖3 旋轉(zhuǎn)波近似一級(jí)修正下平均聲子激發(fā)數(shù)隨著時(shí)間的演化.Fig.3. The average number of phonon excitations evolution with time from the first correlations of RWA,and 我們還研究以關(guān)聯(lián)貝爾態(tài)為初始態(tài)的糾纏動(dòng)力學(xué)演化，如圖(2)所示。當(dāng)g=0.1，與貝爾1態(tài)類似，四種方法得到結(jié)果基本是一致的，反旋項(xiàng)的作用可以忽略。從g=0.2開始，反轉(zhuǎn)動(dòng)波的作

16、用開始體現(xiàn)，通過與數(shù)值嚴(yán)格解比較，GRWA逐步開始出現(xiàn)偏差。轉(zhuǎn)動(dòng)波近似一級(jí)修正下的糾纏演化一直到g=0.3還是基本和嚴(yán)格解保持一致。 最后我們研究了基于旋轉(zhuǎn)波近似一級(jí)修正方法下初始態(tài)下的平均激發(fā)聲子數(shù)隨著時(shí)間的演化。我們發(fā)現(xiàn)即使在居間耦合區(qū)間，聲子的激發(fā)數(shù)仍舊呈現(xiàn)周期性的震蕩，且周期與糾纏突然死亡的周期一致，這說明糾纏相對(duì)于平均聲子數(shù)而言，能夠更敏銳的捕捉到反轉(zhuǎn)動(dòng)波項(xiàng)對(duì)于系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響。4 結(jié) 論 在本文中，我們利用兩種解析近似計(jì)算方法探討了反轉(zhuǎn)動(dòng)波項(xiàng)對(duì)超導(dǎo)比特糾纏動(dòng)力學(xué)的影響，并與數(shù)值嚴(yán)格解進(jìn)行了系統(tǒng)的比較，以獲得近似方法適用的范圍。通過比較發(fā)現(xiàn)，旋轉(zhuǎn)波近似一級(jí)修正比GRWA能更好的描述非

17、弱耦合區(qū)間內(nèi)反旋轉(zhuǎn)波引起的高階激發(fā)。表明GRWA的本征解沒有旋轉(zhuǎn)波近似一級(jí)修正更接近真實(shí)的本征解。進(jìn)一步的分析表明， 光子數(shù)的激發(fā)是導(dǎo)致糾纏突然死亡的原因。 本文的糾纏演化的理論預(yù)計(jì)可以在現(xiàn)有的超導(dǎo)比特的實(shí)驗(yàn)中檢驗(yàn)。 在不久的將來， 即使超導(dǎo)比特與振子耦合系統(tǒng)即使增加了數(shù)倍， 比如說 4 倍， 我們的研究同樣適用， 因?yàn)槠漶詈蠌?qiáng)度還在本文所描述的轉(zhuǎn)動(dòng)波一級(jí)近似的適用范圍之內(nèi)。參考文獻(xiàn)（References）:1 Jaynes E T and Cummings F W, 1963 Proc. IEEE5189.2 Yu T and Eberly J H, 2021 Phys. Rev.B6619

18、3306.3 Yu T and Eberly J H, 2021 Phys. Rev. Lett.93140404.4 Q. H. Chen, Y. Yang, T. Liu, and K. L. Wang, 2021 Phys.Rev. A 82, 052306.5 M. Yonac, T. Yu, and J. H. Eberly, 2021 J. Phys. B39, S621.6 E. Irish, 2021 Phys. Rev. Lett. 99, 173601.7 S. Swain, 1973 J. Math. Phys. 6, 1919.8 S. He, Y. Y. Zhang,

19、 Q. H. Chen, X. Z. Ren, T. Liu, and K. L. Wang, 2021 Chinese Physics B 22, 064205.9 S. He, Q. H. Chen, X. Z. Ren, T. Liu, and K. L. Wang, 2021 Phys. Rev. A 86, 033837.10 W. K. Wootters, 2021 Phys. Rev. Lett.80, 2245. 論大學(xué)生寫作能力 寫作能力是對(duì)自己所積累的信息進(jìn)行選擇、提取、加工、改造并將之形成為書面文字的能力。積累是寫作的基礎(chǔ)，積累越厚實(shí)，寫作就越有基礎(chǔ)，文章就能根深葉茂開奇

20、葩。沒有積累，胸?zé)o點(diǎn)墨，怎么也不會(huì)寫出作文來的。寫作能力是每個(gè)大學(xué)生必須具備的能力。從目前高校整體情況上看，大學(xué)生的寫作能力較為欠缺。一、大學(xué)生應(yīng)用文寫作能力的定義那么，大學(xué)生的寫作能力究竟是指什么呢？葉圣陶先生曾經(jīng)說過，“大學(xué)畢業(yè)生不一定能寫小說詩歌，但是一定要寫工作和生活中實(shí)用的文章，而且非寫得既通順又扎實(shí)不可?！?對(duì)于大學(xué)生的寫作能力應(yīng)包含什么，可能有多種理解，但從葉圣陶先生的談話中，我認(rèn)為：大學(xué)生寫作能力應(yīng)包括應(yīng)用寫作能力和文學(xué)寫作能力，而前者是必須的，后者是“不一定”要具備，能具備則更好。眾所周知，對(duì)于大學(xué)生來說，是要寫畢業(yè)論文的，我認(rèn)為寫作論文的能力可以包含在應(yīng)用寫作能力之中。大學(xué)

21、生寫作能力的體現(xiàn)，也往往是在撰寫畢業(yè)論文中集中體現(xiàn)出來的。本科畢業(yè)論文無論是對(duì)于學(xué)生個(gè)人還是對(duì)于院系和學(xué)校來說，都是十分重要的。如何提高本科畢業(yè)論文的質(zhì)量和水平，就成為教育行政部門和高校都很重視的一個(gè)重要課題。如何提高大學(xué)生的寫作能力的問題必須得到社會(huì)的廣泛關(guān)注，并且提出對(duì)策去實(shí)施解決。二、造成大學(xué)生應(yīng)用文寫作困境的原因： （一）大學(xué)寫作課開設(shè)結(jié)構(gòu)不合理。 就目前中國多數(shù)高校的學(xué)科設(shè)置來看，除了中文專業(yè)會(huì)系統(tǒng)開設(shè)寫作的系列課程外，其他專業(yè)的學(xué)生都只開設(shè)了普及性的大學(xué)語文課。學(xué)生寫作能力的提高是一項(xiàng)艱巨復(fù)雜的任務(wù)，而我們的課程設(shè)置僅把這一任務(wù)交給了大學(xué)語文教師，可大學(xué)語文教師既要在有限課時(shí)時(shí)間內(nèi)

22、普及相關(guān)經(jīng)典名著知識(shí)，又要適度提高學(xué)生的鑒賞能力，且要教會(huì)學(xué)生寫作規(guī)律并提高寫作能力，任務(wù)之重實(shí)難完成。 （二）對(duì)實(shí)用寫作的普遍性不重視。 “大學(xué)語文”教育已經(jīng)被嚴(yán)重地“邊緣化”。目前對(duì)中國語文的態(tài)度淡漠，而是呈現(xiàn)出全民學(xué)英語的大好勢頭。中小學(xué)如此，大學(xué)更是如此。對(duì)我們的母語中國語文，在大學(xué)反而被漠視，沒有相關(guān)的課程的設(shè)置，沒有系統(tǒng)的學(xué)習(xí)實(shí)踐訓(xùn)練。這其實(shí)是國人的一種偏見。應(yīng)用寫作有它自身的規(guī)律和方法。一個(gè)人學(xué)問很大，會(huì)寫小說、詩歌、戲劇等，但如果不曉得應(yīng)用文寫作的特點(diǎn)和方法，他就寫不好應(yīng)用文。 （三）部分大學(xué)生學(xué)習(xí)態(tài)度不端正。 很多非中文專業(yè)的大學(xué)生對(duì)寫作的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練都只是集中在大學(xué)語文這一門

23、課上，大部分學(xué)生只愿意被動(dòng)地接受大學(xué)語文老師所講授的文學(xué)經(jīng)典故事，而對(duì)于需要學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦去寫的作文，卻是盡可能應(yīng)付差事，這樣勢必不能讓大學(xué)生的寫作水平有所提高。 （四）教師的實(shí)踐性教學(xué)不強(qiáng)。 學(xué)生寫作能力的提高是一項(xiàng)艱巨復(fù)雜的任務(wù)，但在教學(xué)中有不少教師過多注重理論知識(shí)，實(shí)踐性教學(xué)環(huán)節(jié)卻往往被忽視。理論講了一大堆，但是實(shí)踐卻幾乎沒有，訓(xùn)練也少得可憐。閱讀與寫作都需要很強(qiáng)的實(shí)踐操作，學(xué)習(xí)理論固然必不可少，但是閱讀方法和寫作技巧的掌握才是最重要的。 由于以上的原因，我們的大學(xué)生的寫作水平著實(shí)令人堪憂，那么如何走出這一困境，筆者提出一些建議，希望能對(duì)大學(xué)生寫作水平的提高有所幫助。 三、提高大學(xué)生應(yīng)用寫

24、作能力的對(duì)策 （一）把應(yīng)用寫作課設(shè)置為大學(xué)生的必修課。 在中國的每一所大學(xué)，應(yīng)用寫作應(yīng)該成為大學(xué)生的必修課。因?yàn)樵谶@個(gè)被某些人形容為實(shí)用主義、功利主義甚囂塵上的時(shí)代，也是個(gè)人生存競爭最激烈的時(shí)代，人們比任何時(shí)代都更需要學(xué)會(huì)寫作實(shí)用性的文章，比如職場競爭中的求職信，生活中的財(cái)經(jīng)文書、法律文書等，以提高個(gè)人的生存競爭能力。 （二）端正大學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度。 首先，要讓大學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到實(shí)用寫作課的重要性，這門課關(guān)乎到他人生的每一個(gè)方面，諸如就職，求愛，理財(cái)，人際交往等，是他終生都需要使用的一些基礎(chǔ)性的知識(shí)，也是他必備的一項(xiàng)生存技能。其次，實(shí)用寫作有它自身的規(guī)律和方法。它不是你想怎樣寫都行的，它有嚴(yán)格的格式性的要求，所以需要系統(tǒng)的研究學(xué)習(xí)。最后，實(shí)用寫作課的實(shí)踐性非常強(qiáng)，所以學(xué)生們不能只學(xué)不練，并且要克服手懶的壞習(xí)慣，勤學(xué)勤練，為今后的工作生活打好基礎(chǔ)。 （三）注重實(shí)踐課