數(shù)學(xué)建模——灰色關(guān)聯(lián)度分析

1、何為灰色關(guān)聯(lián)度分析?如何計(jì)算?有何應(yīng)用?灰色關(guān)聯(lián)度分析u灰色系統(tǒng)灰色系統(tǒng) u關(guān)聯(lián)度關(guān)聯(lián)度 是指部分信息已知而部分信息未知的系統(tǒng)，灰色系統(tǒng)理論所要考察和研究的是對(duì)信息不完備的系統(tǒng)，通過(guò)已知信息來(lái)研究和預(yù)測(cè)未知領(lǐng)域從而達(dá)到了解整個(gè)系統(tǒng)的目的。關(guān)聯(lián)度是事物之間、因素之間關(guān)聯(lián)性大小的量度。它定量地描述了事物或因素之間相互變化的情況，即變化的大小、方向與速度等的相對(duì)性。如果事物或因素變化的態(tài)勢(shì)基本一致，則可以認(rèn)為它們之間的關(guān)聯(lián)度較大，反之，關(guān)聯(lián)度較小?；舅枷?根據(jù)序列曲線幾何形狀的相似程度來(lái)判斷其聯(lián)系是否緊密，曲線越接近，相應(yīng)序列之間的關(guān)聯(lián)度就越大，反之就越小。確定參考數(shù)列處理原始數(shù)據(jù)計(jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù)關(guān)聯(lián)

2、度的計(jì)算與比較灰色關(guān)聯(lián)度的計(jì)算灰色關(guān)聯(lián)度的計(jì)算確定參考數(shù)列對(duì)一個(gè)抽象系統(tǒng)或現(xiàn)象進(jìn)行分析，首先要選準(zhǔn)反映系統(tǒng)行為特征的數(shù)據(jù)序列(參考序列)。我們稱(chēng)之為找系統(tǒng)行為的映射量，用映射量來(lái)間接地表征系統(tǒng)行為。比如：國(guó)民平均受教育的年限 教育的發(fā)達(dá)程度刑事案件的發(fā)案率 社會(huì)治安面貌和社會(huì)秩序原始數(shù)據(jù)的處理由于各因素各有不同的計(jì)量單位，因而原始數(shù)據(jù)存在量綱和數(shù)量級(jí)上的差異，不同的量綱和數(shù)量級(jí)不便于比較，或者比較時(shí)難以得出正確結(jié)論。因此，在計(jì)算關(guān)聯(lián)度之前，通常要對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行無(wú)量綱化處理。 設(shè) 為因素 的行為序列)(,),2(),1 (nxxxXniiiiXu初值化初值化一般地，初值化方法適用于較穩(wěn)定的社會(huì)經(jīng)

3、濟(jì)現(xiàn)象的無(wú)量綱化，因一般地，初值化方法適用于較穩(wěn)定的社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的無(wú)量綱化，因?yàn)檫@樣的數(shù)列多數(shù)呈穩(wěn)定增長(zhǎng)趨勢(shì)，通過(guò)初值化處理，可使增長(zhǎng)趨為這樣的數(shù)列多數(shù)呈穩(wěn)定增長(zhǎng)趨勢(shì)，通過(guò)初值化處理，可使增長(zhǎng)趨勢(shì)更加明顯。勢(shì)更加明顯。u區(qū)間化區(qū)間化一般地，三種方法不宜混合、重疊作用，在進(jìn)行系統(tǒng)因素分析時(shí)，可根據(jù)實(shí)際情況選用其中一個(gè)。u均值化均值化一般說(shuō)來(lái)，均值化方法比較適合于沒(méi)有明顯升降趨勢(shì)現(xiàn)象的數(shù)據(jù)處理。若系統(tǒng) 因素 與系統(tǒng)主行為 呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，我們可以將其逆化或倒數(shù)化后進(jìn)行計(jì)算。u逆化0XiXu倒數(shù)化關(guān)聯(lián)系數(shù)的計(jì)算設(shè)經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)處理后的參考數(shù)列為：比較數(shù)列為：從幾何角度看，關(guān)聯(lián)程度實(shí)質(zhì)上是參考數(shù)列與比較數(shù)列曲

4、線形狀的相似程度。凡比較數(shù)列與參考數(shù)列的曲線形狀接近，則兩者間的關(guān)聯(lián)度較大；反之，如果曲線形狀相差較大，則兩者間的關(guān)聯(lián)度較小。因此，可用曲線間的差值大小作為關(guān)聯(lián)度的衡量標(biāo)準(zhǔn)。則：兩極最大差與最小差：關(guān)聯(lián)系數(shù)：式中 為分辯系數(shù)，用來(lái)削弱(max)過(guò)大而使關(guān)聯(lián)系數(shù)失真的影響。人為引入這個(gè)系數(shù)是為了提高關(guān)聯(lián)系數(shù)之間的差異顯著性。關(guān)聯(lián)度的計(jì)算與比較由于每個(gè)比較數(shù)列與參考數(shù)列的關(guān)聯(lián)程度是通過(guò)n 個(gè)關(guān)聯(lián)系數(shù)來(lái)反映的，關(guān)聯(lián)信息分散，不便于從整體上進(jìn)行比較。因此，有必要對(duì)關(guān)聯(lián)信息作集中處理。而求平均值便是一種信息集中的方式。即用比較數(shù)列與參考數(shù)列各個(gè)時(shí)期的關(guān)聯(lián)系數(shù)之平均值來(lái)定量反映這兩個(gè)數(shù)列的關(guān)聯(lián)程度，其計(jì)算

5、公式為：灰色關(guān)聯(lián)度分析的運(yùn)用灰色關(guān)聯(lián)度分析的運(yùn)用因 素 分 析優(yōu) 勢(shì) 分 析綜 合 評(píng) 價(jià)指標(biāo)19821983198419851986鉛球?qū)ｍ?xiàng)成績(jī)X013.6014.0114.5415.6415.694 公斤前拋X111.5013.0015.1515.3015.024 公斤后拋X213.7616.3616.9016.5617.304 公斤原地X312.2112.7013.9614.0413.46立定跳遠(yuǎn)X42.482.492.562.642.59高翻X5858590100105抓舉X65565758080臥推X765707585903 公斤前拋X812.8015.3016.2416.4017.

6、053 公斤后拋X915.3018.4018.7517.9519.303 公斤原地X1012.7114.5014.6615.8815.703 公斤滑步X1114.7815.5416.0316.8717.82立定三級(jí)跳遠(yuǎn)X127.647.567.767.547.70全蹲X13120125130140140挺舉X14808590909530 米起跑X15420425410406399100 米X1613101342128512721256for i=1:15 x(i,:)=x(i,:)/x(i,1); %標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù) end for i=16:17 x(i,:)=x(i,1)./x(i,:); %標(biāo)

7、準(zhǔn)化數(shù)據(jù) end data=x; n=size(data,1); ck=data(1,:);m1=size(ck,1);bj=data(2:n,:);m2=size(bj,1); for i=1:m1 for j=1:m2 t(j,:)=bj(j,:)-ck(i,:); end jc1=min(min(abs(t); jc2=max(max(abs(t); rho=0.5; ksi=(jc1+rho*jc2)./(abs(t)+rho*jc2); rt=sum(ksi)/size(ksi,2); r(i,:)=rt;end r 其數(shù)據(jù)列于下表。19791980198119821983X1X2X

8、3X4X5Y1Y2Y3Y4Y5Y6308.58310295346367195.4189.4187.2205222.724.62112.215.114.572025.623.329.23018.891922.323.527.66170174197216.4235.857.5570.7476.880.789.8588.567085.3899.83103.411.1913.2816.8218.922.84.034.264.345.065.7813.715.613.7711.9813.95n=size(data,1); for i=1:n data(i,:)=data(i,:)/data(i,1);

9、%標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù) end ck=data(6:n,:);m1=size(ck,1); bj=data(1:5,:);m2=size(bj,1); for i=1:m1 for j=1:m2 t(j,:)=bj(j,:)-ck(i,:); end jc1=min(min(abs(t);jc2=max(max(abs(t); rho=0.5; ksi=(jc1+rho*jc2)./(abs(t)+rho*jc2); rt=sum(ksi)/size(ksi,2); r(i,:)=rt;end r 綜合評(píng)價(jià)綜合評(píng)價(jià)基本思路是：從樣本中確定一個(gè)理想化的最優(yōu)樣本，以此為參考數(shù)列，通過(guò)計(jì)算各樣本序列與該參考序

10、列的關(guān)聯(lián)度，對(duì)被評(píng)價(jià)對(duì)象做出綜合比較和排序。設(shè)有n 個(gè)被評(píng)價(jià)對(duì)象，每個(gè)被評(píng)價(jià)對(duì)象有p 個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)。這樣，第i 個(gè)被評(píng)價(jià)對(duì)象可描述為步驟：步驟：確定參考序列確定參考序列根據(jù)各評(píng)價(jià)指標(biāo)的經(jīng)濟(jì)含義，在n 個(gè)被評(píng)價(jià)對(duì)象中選出各項(xiàng)指標(biāo)的最優(yōu)值組成參考序列實(shí)際上，參考序列 構(gòu)成了一個(gè)相對(duì)理想化的最優(yōu)樣本，是綜合評(píng)價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)。如果第j 項(xiàng)指標(biāo)是數(shù)值越大越好的正向指標(biāo)，則 就是n 個(gè)被評(píng)價(jià)對(duì)象第j 項(xiàng)指標(biāo)實(shí)際值的最大值；如果是逆向指標(biāo)，則是最小值；如果是適度標(biāo)，便是該指標(biāo)的適度值。無(wú)量綱化無(wú)量綱化此時(shí)，各指標(biāo)的最優(yōu)值均為1。為敘述方便，把無(wú)量綱化后的數(shù)據(jù)仍記為xij，則最優(yōu)參考序列為x01，1，1。求兩極最大差

11、和最小差求兩極最大差和最小差計(jì)算各被評(píng)價(jià)對(duì)象序列與最優(yōu)參考序列間的絕對(duì)差列：在此基礎(chǔ)上，依公式就可求得兩級(jí)最大差(max)和兩級(jí)最小差(min)計(jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù)計(jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù)計(jì)算第i 個(gè)被評(píng)價(jià)對(duì)象與最優(yōu)參考序列間的關(guān)聯(lián)系數(shù)。計(jì)算關(guān)聯(lián)度計(jì)算關(guān)聯(lián)度對(duì)各評(píng)價(jià)對(duì)象分別計(jì)算其p個(gè)指標(biāo)與參考序列對(duì)應(yīng)元素的關(guān)聯(lián)系數(shù)的均值，以反映各評(píng)價(jià)對(duì)象與參考序列的關(guān)聯(lián)關(guān)系，稱(chēng)其為關(guān)聯(lián)度，記為i0PkikP10)(1ni,.,2 , 1如果各指標(biāo)在綜合評(píng)價(jià)中所起的作用不同，可對(duì)關(guān)聯(lián)系數(shù)求加權(quán)平均值，即PkikikPW10)(1Pk,.,2 , 1式中 為各指標(biāo)權(quán)重。Wk依據(jù)各觀察對(duì)象的關(guān)聯(lián)度，得出綜合評(píng)價(jià)結(jié)果。例2利用灰色關(guān)聯(lián)度

12、分析對(duì)6位教師工作狀況進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)1、評(píng)價(jià)指標(biāo)包括：專(zhuān)業(yè)素質(zhì)、外語(yǔ)水平、教學(xué)工作量、科研成果、論文、著作與出勤。2、對(duì)原始數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)處理后得到以下數(shù)值，見(jiàn)表 x=9 9 9 9 8 9 9;8 9 8 7 5 2 9;7 8 7 5 7 3 8;9 7 9 6 6 4 7;6 8 8 8 4 3 6;8 6 6 9 8 3 8;8 9 5 7 6 4 8;n=size(x,2); for j=1:n x(:,j)=x(:,j)/x(1,j); %標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù) end data=x; n=size(data,1); ck=data(1,:);m1=size(ck,1);bj=data(2:n,:);

13、m2=size(bj,1); for i=1:m1 for j=1:m2 t(j,:)=bj(j,:)-ck(i,:); end jc1=min(min(abs(t); jc2=max(max(abs(t); rho=0.5; ksi=(jc1+rho*jc2)./(abs(t)+rho*jc2); rt=sum(ksi)/size(ksi,2); r(i,:)=rt;end r 作業(yè)n例例1 1：用灰關(guān)聯(lián)分析的方法分析影響呼和浩特：用灰關(guān)聯(lián)分析的方法分析影響呼和浩特市大氣污染的各主要因素和污染水平的相關(guān)性。市大氣污染的各主要因素和污染水平的相關(guān)性。下表為下表為1999-20031999-20

14、03年城市大氣污染監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)年城市大氣污染監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)因素因素 1999 20002001 20022003 大氣污染大氣污染值值 0.732 0.646 0.636 0.598 0.627 NO0.038 0.031 0.042 0.036 0.043 TSP 0.507 0.451 0.448 0.411 0.1220.048 0.034 0.030 0.030 0.031 工業(yè)總產(chǎn)工業(yè)總產(chǎn)值值 183.25 207.28 240.98 290.80 370.00基建投資基建投資 24.03 44.98 62.79 83.44 127.22 機(jī)動(dòng)車(chē)數(shù)機(jī)動(dòng)車(chē)數(shù)量量85508 74313 85966 100554 109804 煤炭用量煤炭用量 175.87 175.72 183.69 277.11 521.26 沙塵天數(shù)沙塵天數(shù) 10 13 13 x2S