4.3利用二次函數(shù)解決實(shí)際中最值問(wèn)題分析

1、第二章第二章 二次函數(shù)二次函數(shù)第第4 4節(jié)節(jié) 二次函數(shù)的應(yīng)用二次函數(shù)的應(yīng)用第第3 3課時(shí)課時(shí) 利用二次函數(shù)解決利用二次函數(shù)解決 實(shí)際中最值問(wèn)題實(shí)際中最值問(wèn)題1課堂講解課堂講解用二次函數(shù)表示實(shí)際問(wèn)題用二次函數(shù)表示實(shí)際問(wèn)題 利用二次函數(shù)最值解實(shí)際問(wèn)題利用二次函數(shù)最值解實(shí)際問(wèn)題2課時(shí)流程課時(shí)流程逐點(diǎn)逐點(diǎn)導(dǎo)講練導(dǎo)講練課堂課堂小結(jié)小結(jié)作業(yè)作業(yè)提升提升利用二次函數(shù)求幾何圖形的面積的最值的一般步驟：利用二次函數(shù)求幾何圖形的面積的最值的一般步驟：(1)引入自變量；引入自變量；(2)用含有自變量的代數(shù)式分別表示與所求幾何圖形相關(guān)用含有自變量的代數(shù)式分別表示與所求幾何圖形相關(guān) 的量；的量；(3)由幾何圖形的特征，

2、列出其面積的計(jì)算公式，并且用由幾何圖形的特征，列出其面積的計(jì)算公式，并且用 函數(shù)表示這個(gè)面積；函數(shù)表示這個(gè)面積；(4)根據(jù)函數(shù)的關(guān)系式及自變量的取值范圍求出其最值根據(jù)函數(shù)的關(guān)系式及自變量的取值范圍求出其最值1知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)用二次函數(shù)表示實(shí)際問(wèn)題用二次函數(shù)表示實(shí)際問(wèn)題知知1 1講講 根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列二次函數(shù)的關(guān)系式，一般要經(jīng)歷以下根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列二次函數(shù)的關(guān)系式，一般要經(jīng)歷以下 幾個(gè)步驟：幾個(gè)步驟：(1)確定自變量與因變量代表的實(shí)際意義；確定自變量與因變量代表的實(shí)際意義；(2)找到自變量與因變量之間的等量關(guān)系，根據(jù)等量關(guān)系找到自變量與因變量之間的等量關(guān)系，根據(jù)等量關(guān)系 列出方程或等式列出方程或等式(3

3、)將方程或等式整理成二次函數(shù)的一般形式將方程或等式整理成二次函數(shù)的一般形式 例例1 如圖，已知等腰直角三角形如圖，已知等腰直角三角形ABC的直角邊長(zhǎng)與正方形的直角邊長(zhǎng)與正方形 MNPQ的邊長(zhǎng)均為的邊長(zhǎng)均為10 cm，AC與與MN在同一直線(xiàn)上，開(kāi)在同一直線(xiàn)上，開(kāi) 始時(shí)點(diǎn)始時(shí)點(diǎn)A與與M重合，讓重合，讓ABC向右移動(dòng)，最后點(diǎn)向右移動(dòng)，最后點(diǎn)A與點(diǎn)與點(diǎn) N重合問(wèn)題：重合問(wèn)題： (1)試寫(xiě)出重疊部分面積試寫(xiě)出重疊部分面積y(cm2)與線(xiàn)段與線(xiàn)段MA的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度x(cm)之之 間的函數(shù)關(guān)系式；間的函數(shù)關(guān)系式； (2)當(dāng)當(dāng)MA1 cm時(shí)，重疊部分的面積是多少？時(shí)，重疊部分的面積是多少？知知1 1講講知知1

4、1講講（來(lái)自（來(lái)自點(diǎn)撥點(diǎn)撥） (1)根據(jù)圖形及題意所述可得出重疊部分是等腰直角根據(jù)圖形及題意所述可得出重疊部分是等腰直角 三角形，從而根據(jù)三角形，從而根據(jù)MA的長(zhǎng)度可得出的長(zhǎng)度可得出y與與x之間的函之間的函 數(shù)關(guān)系式；數(shù)關(guān)系式；(2)將將x1代入可得出重疊部分的面積代入可得出重疊部分的面積解：解：(1)由題意知，開(kāi)始時(shí)由題意知，開(kāi)始時(shí)A點(diǎn)與點(diǎn)與M點(diǎn)重合，讓點(diǎn)重合，讓ABC向右向右 移動(dòng)，兩圖形重疊部分為等腰直角三角形，移動(dòng)，兩圖形重疊部分為等腰直角三角形， 所以所以y x2(0 x10)； (2)當(dāng)當(dāng)MA1 cm時(shí)，重疊部分的面積是時(shí)，重疊部分的面積是 cm2.1212導(dǎo)引：導(dǎo)引：總總 結(jié)結(jié)知

5、知1 1講講（來(lái)自（來(lái)自點(diǎn)撥點(diǎn)撥） 此題主要考查的是求動(dòng)態(tài)幾何圖形中面積的此題主要考查的是求動(dòng)態(tài)幾何圖形中面積的函數(shù)關(guān)系式，判斷出重疊部分是等腰直角三角形函數(shù)關(guān)系式，判斷出重疊部分是等腰直角三角形比較關(guān)鍵在確定實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系式時(shí)，比較關(guān)鍵在確定實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系式時(shí)，通常根據(jù)題目中的等量關(guān)系列出恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系通常根據(jù)題目中的等量關(guān)系列出恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式但要特別注意自變量的取值范圍式但要特別注意自變量的取值范圍1 在一幅長(zhǎng)在一幅長(zhǎng)60 cm，寬，寬40 cm的矩形油畫(huà)的四周鑲一條的矩形油畫(huà)的四周鑲一條 金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如圖所示，如果要金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如圖所示，如果

6、要 使整幅掛圖的面積是使整幅掛圖的面積是 y cm2，設(shè)金色紙邊的寬度為，設(shè)金色紙邊的寬度為 x cm，那么，那么y關(guān)于關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是的函數(shù)表達(dá)式是() Ay(602x)(402x) By(60 x)(40 x) Cy(602x)(40 x) Dy(60 x)(402x)知知1 1練練（來(lái)自（來(lái)自典中點(diǎn)典中點(diǎn)）2 心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)：學(xué)生對(duì)概念的接受能力心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)：學(xué)生對(duì)概念的接受能力y與提出概念與提出概念 的時(shí)間的時(shí)間x(min)之間是二次函數(shù)關(guān)系，當(dāng)提出概念之間是二次函數(shù)關(guān)系，當(dāng)提出概念13 min時(shí)，學(xué)生對(duì)概念的接受能力最大，為時(shí)，學(xué)生對(duì)概念的接受能力最大，為59.9；當(dāng)提；當(dāng)提 出概

7、念出概念30 min時(shí)，學(xué)生對(duì)概念的接受能力就剩下時(shí)，學(xué)生對(duì)概念的接受能力就剩下31， 則則y與與x滿(mǎn)足的二次函數(shù)表達(dá)式為滿(mǎn)足的二次函數(shù)表達(dá)式為() Ay(x13)259.9 By0.1x22.6x31 Cy0.1x22.6x76.8 Dy0.1x22.6x43知知1 1練練（來(lái)自（來(lái)自典中點(diǎn)典中點(diǎn)）2知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)利用二次函數(shù)的最值解實(shí)際問(wèn)題利用二次函數(shù)的最值解實(shí)際問(wèn)題知知2 2導(dǎo)導(dǎo) 服裝廠(chǎng)生產(chǎn)某品牌的服裝廠(chǎng)生產(chǎn)某品牌的T恤衫成本恤衫成本是每件是每件10元元.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，以單價(jià)根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，以單價(jià)13元批發(fā)給經(jīng)銷(xiāo)商，經(jīng)銷(xiāo)商愿意經(jīng)銷(xiāo)元批發(fā)給經(jīng)銷(xiāo)商，經(jīng)銷(xiāo)商愿意經(jīng)銷(xiāo)5 000件，并且表示單價(jià)每降價(jià)

8、件，并且表示單價(jià)每降價(jià)0.1元，元，愿意多經(jīng)銷(xiāo)愿意多經(jīng)銷(xiāo)500件件. 請(qǐng)你幫助分析，廠(chǎng)家批發(fā)單價(jià)是多少時(shí)可以獲利請(qǐng)你幫助分析，廠(chǎng)家批發(fā)單價(jià)是多少時(shí)可以獲利最多？最多？知知2 2講講1利用二次函數(shù)解決實(shí)際生活中的利潤(rùn)問(wèn)題，一般運(yùn)利用二次函數(shù)解決實(shí)際生活中的利潤(rùn)問(wèn)題，一般運(yùn) 用用“總利潤(rùn)每件商品所獲利潤(rùn)總利潤(rùn)每件商品所獲利潤(rùn)銷(xiāo)售件數(shù)銷(xiāo)售件數(shù)”或或“總利總利 潤(rùn)總售價(jià)總成本潤(rùn)總售價(jià)總成本”建立利潤(rùn)與銷(xiāo)售單價(jià)之間的二建立利潤(rùn)與銷(xiāo)售單價(jià)之間的二 次函數(shù)關(guān)系式，求其圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)，獲取最值次函數(shù)關(guān)系式，求其圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)，獲取最值 拓展：拓展： 現(xiàn)實(shí)生活中的許多最值問(wèn)題都可通過(guò)建立二次函數(shù)的現(xiàn)實(shí)生活中的許

9、多最值問(wèn)題都可通過(guò)建立二次函數(shù)的 模型進(jìn)行解決模型進(jìn)行解決2易錯(cuò)警示：易錯(cuò)警示：實(shí)際問(wèn)題中的最大利潤(rùn)未必是頂點(diǎn)的縱實(shí)際問(wèn)題中的最大利潤(rùn)未必是頂點(diǎn)的縱 坐標(biāo)，即頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)不在自變量的取值范圍內(nèi)時(shí)，坐標(biāo)，即頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)不在自變量的取值范圍內(nèi)時(shí)， 要根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)去確定最大值要根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)去確定最大值知知2 2講講 例例2 某旅館有客房某旅館有客房120間，每間房的日租金為間，每間房的日租金為160元時(shí)，元時(shí)， 每天都客滿(mǎn)每天都客滿(mǎn).經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每間客房的日經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每間客房的日 租金增加租金增加10元，那么客房每天出租數(shù)會(huì)減少元，那么客房每天出租數(shù)會(huì)減少6間間 不考慮其他因素

10、，旅館將每間客房的日租金提高不考慮其他因素，旅館將每間客房的日租金提高 到多少元時(shí)，客房到多少元時(shí)，客房日日租金的總收入最高？最高總租金的總收入最高？最高總 收入是多少？收入是多少？（來(lái)自（來(lái)自教材教材）知知2 2講講設(shè)每間客房的日租金提高設(shè)每間客房的日租金提高10 x元，則每天客房出租數(shù)會(huì)元，則每天客房出租數(shù)會(huì)減少減少6x間間.設(shè)客房日租金總收入為設(shè)客房日租金總收入為 y元，元，則則 y = (160+10 x) (120- -6x)= - -60 (x- -2)2+ 19 440. x0,0,且且120- -6x0，0 x 20.當(dāng)當(dāng)x=2時(shí)，時(shí)，y最大最大= 19 440.這時(shí)每間客房的

11、日租金為這時(shí)每間客房的日租金為160 +102=180 (元元).因此，每間客房的日租金提高到因此，每間客房的日租金提高到180元時(shí)，客房總收人元時(shí)，客房總收人最高，最高收入為最高，最高收入為 19 440 元元.（來(lái)自（來(lái)自教材教材）解：解：知知2 2講講例例3 沈陽(yáng)一玩具廠(chǎng)去年生產(chǎn)某種玩具，成本為沈陽(yáng)一玩具廠(chǎng)去年生產(chǎn)某種玩具，成本為10元元/件，件， 出廠(chǎng)價(jià)為出廠(chǎng)價(jià)為12元元/件，年銷(xiāo)售量為件，年銷(xiāo)售量為2萬(wàn)件今年計(jì)劃通過(guò)適當(dāng)萬(wàn)件今年計(jì)劃通過(guò)適當(dāng) 增加成本來(lái)提高產(chǎn)品的檔次，以拓展市場(chǎng)，若今年這種玩增加成本來(lái)提高產(chǎn)品的檔次，以拓展市場(chǎng)，若今年這種玩 具每件的成本比去年每件的成本增加具每件的成

12、本比去年每件的成本增加0.7x倍，今年這種玩倍，今年這種玩 具每件的出廠(chǎng)價(jià)比去年每件的出廠(chǎng)價(jià)相應(yīng)提高具每件的出廠(chǎng)價(jià)比去年每件的出廠(chǎng)價(jià)相應(yīng)提高0.5x倍，則倍，則 預(yù)計(jì)今年年銷(xiāo)售量將比去年年銷(xiāo)售量增加預(yù)計(jì)今年年銷(xiāo)售量將比去年年銷(xiāo)售量增加x倍倍(0 x1) (1)用含用含x的代數(shù)式表示：今年生產(chǎn)的這種玩具每件的成本的代數(shù)式表示：今年生產(chǎn)的這種玩具每件的成本 為為_(kāi)元，今年生產(chǎn)的這種玩具每件的出廠(chǎng)價(jià)為元，今年生產(chǎn)的這種玩具每件的出廠(chǎng)價(jià)為_(kāi)元；元； (2)求今年這種玩具每件的利潤(rùn)求今年這種玩具每件的利潤(rùn)y(元元)與與x之間的函數(shù)關(guān)系式；之間的函數(shù)關(guān)系式； (3)設(shè)今年這種玩具的年銷(xiāo)售利潤(rùn)為設(shè)今年這種玩

13、具的年銷(xiāo)售利潤(rùn)為W萬(wàn)元，求當(dāng)萬(wàn)元，求當(dāng)x為何值為何值 時(shí)，今年的年銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，最大年銷(xiāo)售利潤(rùn)是多少時(shí)，今年的年銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，最大年銷(xiāo)售利潤(rùn)是多少 萬(wàn)元？萬(wàn)元？知知2 2講講 由題意知今年這種玩具每件的成本是去年的由題意知今年這種玩具每件的成本是去年的(10.7x) 倍，每件的出廠(chǎng)價(jià)是去年每件的出廠(chǎng)價(jià)的倍，每件的出廠(chǎng)價(jià)是去年每件的出廠(chǎng)價(jià)的 (10.5x) 倍，今年的年銷(xiāo)售量是去年年銷(xiāo)售量的倍，今年的年銷(xiāo)售量是去年年銷(xiāo)售量的 (1x)倍倍解：解：(1)(107x)；(126x) (2)y(126x)(107x)2x， 即即y與與x的函數(shù)關(guān)系式為的函數(shù)關(guān)系式為y2x. (3)W2(1x)(2x)2

14、x22x42(x- -5)24.5， 0 x1，當(dāng)當(dāng)x0.5時(shí)，時(shí)，W有最大值有最大值 W最大值最大值4.5. 答：答：當(dāng)當(dāng)x0.5時(shí)，今年的年銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，最大年銷(xiāo)時(shí)，今年的年銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，最大年銷(xiāo) 售利潤(rùn)為售利潤(rùn)為4.5萬(wàn)元萬(wàn)元（來(lái)自（來(lái)自點(diǎn)撥點(diǎn)撥）導(dǎo)引：導(dǎo)引：總總 結(jié)結(jié)知知2 2講講（來(lái)自（來(lái)自點(diǎn)撥點(diǎn)撥） 本題利用本題利用建模思想建模思想求解，由今年與去年這種玩具的求解，由今年與去年這種玩具的成本價(jià)、出廠(chǎng)價(jià)、銷(xiāo)售量的倍數(shù)關(guān)系可以得到今年這種成本價(jià)、出廠(chǎng)價(jià)、銷(xiāo)售量的倍數(shù)關(guān)系可以得到今年這種玩具的成本價(jià)、出廠(chǎng)價(jià)、銷(xiāo)售量的表達(dá)式，再由玩具的成本價(jià)、出廠(chǎng)價(jià)、銷(xiāo)售量的表達(dá)式，再由“總利總利潤(rùn)每件商

15、品所獲利潤(rùn)潤(rùn)每件商品所獲利潤(rùn)銷(xiāo)售件數(shù)銷(xiāo)售件數(shù)”可得二次函數(shù)的表可得二次函數(shù)的表達(dá)式，進(jìn)而求出其最大值達(dá)式，進(jìn)而求出其最大值1 某種品牌的服裝進(jìn)價(jià)為每件某種品牌的服裝進(jìn)價(jià)為每件150元，當(dāng)售價(jià)為每件元，當(dāng)售價(jià)為每件210元元 時(shí)，每天可賣(mài)出時(shí)，每天可賣(mài)出20件，現(xiàn)需降價(jià)處理，且經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查：件，現(xiàn)需降價(jià)處理，且經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查： 每件服裝每降價(jià)每件服裝每降價(jià)2元，每天可多賣(mài)出元，每天可多賣(mài)出1件在確保盈利的件在確保盈利的 前提下，若設(shè)每件服裝降價(jià)前提下，若設(shè)每件服裝降價(jià)x元，每天售出服裝的利潤(rùn)為元，每天售出服裝的利潤(rùn)為 y元，則元，則y與與x的函數(shù)表達(dá)式為的函數(shù)表達(dá)式為() Ay x210 x1 200

16、(0 x60) By x210 x1 250(0 x60) Cy x210 x1 250(0 x60) Dy x210 x1 250(x60)知知2 2練練（來(lái)自（來(lái)自典中點(diǎn)典中點(diǎn)）121212122 某旅行社在五一期間接團(tuán)去外地旅游，經(jīng)計(jì)算，收益某旅行社在五一期間接團(tuán)去外地旅游，經(jīng)計(jì)算，收益 y(元元)與旅行團(tuán)人數(shù)與旅行團(tuán)人數(shù)x(人人)滿(mǎn)足表達(dá)式滿(mǎn)足表達(dá)式y(tǒng)x2100 x 28 400，要使收益最大，則此旅行團(tuán)應(yīng)有，要使收益最大，則此旅行團(tuán)應(yīng)有() A30人人 B40人人 C50人人 D55人人知知2 2練練（來(lái)自（來(lái)自典中點(diǎn)典中點(diǎn)）3 (2016咸寧咸寧)某網(wǎng)店銷(xiāo)售某款童裝，每件售價(jià)某網(wǎng)店銷(xiāo)售某款童裝，每件售價(jià)60元，每星元，每星 期可賣(mài)期可賣(mài)300件，為了促銷(xiāo)，該網(wǎng)店決定降價(jià)銷(xiāo)售市場(chǎng)件，為了促銷(xiāo)，該網(wǎng)店決定降價(jià)銷(xiāo)售市場(chǎng) 調(diào)查反映：每降價(jià)調(diào)查反映：每降價(jià)1元，每星期可多賣(mài)元，每星期可多賣(mài)30件已知該款件已知該款 童裝每件成本價(jià)童裝每件成本價(jià)40元，設(shè)該款童裝每件售價(jià)元，設(shè)該款童裝每件售價(jià)x元，每星元，每星 期的銷(xiāo)售量為期的銷(xiāo)售量為y件件 (1)求求y與與x之間的函數(shù)表達(dá)式之間的函數(shù)表達(dá)式 (2)當(dāng)每件售價(jià)定為多少元時(shí)，每星期的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，當(dāng)每件售價(jià)定為多少元時(shí)，每星期的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大， 最大利潤(rùn)是多少元？最大利潤(rùn)是多少元？ (3)若該網(wǎng)店每星期想要獲得不低于若該網(wǎng)店每星期想要