概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：第二章隨機(jī)變量及其分布1

1、 第二章第二章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布 第一節(jié)第一節(jié)隨機(jī)事件的數(shù)量描述隨機(jī)事件的數(shù)量描述 一、隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生一、隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生 在實(shí)際問題中，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用數(shù)在實(shí)際問題中，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用數(shù)量來表示，由此就產(chǎn)生了隨機(jī)變量的概念量來表示，由此就產(chǎn)生了隨機(jī)變量的概念. 例如，擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；例如，擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)； 七月份福州的最高溫度；七月份福州的最高溫度；每天從鄭州下火車的人數(shù)；每天從鄭州下火車的人數(shù)；昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)；昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)；在有些試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果看來與數(shù)值無關(guān)，在有些試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果看來與數(shù)值無關(guān)，但我們可以引進(jìn)一個(gè)變量來表示它的各種結(jié)但我們

2、可以引進(jìn)一個(gè)變量來表示它的各種結(jié)果果.也就是說，也就是說，把試驗(yàn)結(jié)果數(shù)值化把試驗(yàn)結(jié)果數(shù)值化. 正如裁判員在運(yùn)動(dòng)正如裁判員在運(yùn)動(dòng)場上不叫運(yùn)動(dòng)員的場上不叫運(yùn)動(dòng)員的名字而叫號(hào)碼一樣，名字而叫號(hào)碼一樣，二者建立了一種對(duì)二者建立了一種對(duì)應(yīng)關(guān)系應(yīng)關(guān)系. 這種對(duì)應(yīng)關(guān)系在數(shù)學(xué)上理解為定義了一種這種對(duì)應(yīng)關(guān)系在數(shù)學(xué)上理解為定義了一種實(shí)值函數(shù)實(shí)值函數(shù).e.X(e)R這種實(shí)值函數(shù)與在高等數(shù)學(xué)中大家接觸到這種實(shí)值函數(shù)與在高等數(shù)學(xué)中大家接觸到的函數(shù)一樣嗎？的函數(shù)一樣嗎？ 則稱這種定義在樣本空間上的實(shí)值函數(shù)則稱這種定義在樣本空間上的實(shí)值函數(shù)X為為隨隨量量機(jī)機(jī) 變變簡記為簡記為 r.v. 隨機(jī)變量的定義隨機(jī)變量的定義 ( )

3、,EX 設(shè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn) 的樣本空間，若對(duì)每一個(gè)樣本點(diǎn)，都有唯一的實(shí)數(shù)值與之對(duì)應(yīng) 而表示隨機(jī)變量所取的值而表示隨機(jī)變量所取的值時(shí)時(shí),一般采用小寫字母一般采用小寫字母x,y,z等等.隨機(jī)變量通常用大寫字母隨機(jī)變量通常用大寫字母X,Y,Z或希臘字母或希臘字母,等表示等表示 如：單位時(shí)間內(nèi)某電話交換臺(tái)收到的呼如：單位時(shí)間內(nèi)某電話交換臺(tái)收到的呼叫次數(shù)用叫次數(shù)用X表示，它是一個(gè)隨機(jī)變量表示，它是一個(gè)隨機(jī)變量. 事件事件收到不少于收到不少于1次呼叫次呼叫 X 1 沒有收到呼叫沒有收到呼叫 X= 0 有了隨機(jī)變量有了隨機(jī)變量,隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件，隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件，就可以通過隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來就可以通過

4、隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來. 解：分析解：分析例例 一報(bào)童賣報(bào)，每份一報(bào)童賣報(bào)，每份0.15元，其成本為元，其成本為0.10元元. 報(bào)館每天給報(bào)童報(bào)館每天給報(bào)童1000份報(bào)，并規(guī)定他不份報(bào)，并規(guī)定他不得把賣不出的報(bào)紙退回得把賣不出的報(bào)紙退回. 設(shè)設(shè)X為報(bào)童每天賣為報(bào)童每天賣出的報(bào)紙份數(shù)，試將報(bào)童賠錢這一事件用隨出的報(bào)紙份數(shù)，試將報(bào)童賠錢這一事件用隨機(jī)變量的表達(dá)式表示機(jī)變量的表達(dá)式表示.當(dāng)當(dāng) 0.15 XxX x四四.分布函數(shù)定義：分布函數(shù)定義：設(shè)設(shè) X 是一個(gè)是一個(gè) r.v，稱，稱)()(xXPxF)(x為為 X 的的分布函數(shù)分布函數(shù). 記作記作 X F(x) 或或 FX(x). 如果將如果將

5、X 看作數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，看作數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么分布函數(shù)那么分布函數(shù) F(x) 的值就表示的值就表示 X落在區(qū)間落在區(qū)間,(x的概率的概率. 問：問： 在上在上 式中，式中，X, x 皆為變量皆為變量. 二者有什二者有什么區(qū)別？么區(qū)別？ x 起什么作用？起什么作用？ F(x) 是不是概率？是不是概率？X是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量, x是參變量是參變量.F(x) 是是r.v X取值不大于取值不大于 x 的概率的概率.xxXPxF),()( 分布函數(shù)是一個(gè)普通的函數(shù)，正是分布函數(shù)是一個(gè)普通的函數(shù)，正是通過它，我們可以用數(shù)學(xué)分析的工具來通過它，我們可以用數(shù)學(xué)分析的工具來研究研究 隨機(jī)變量隨機(jī)變量.

6、xxXPxF),()(五、分布函數(shù)的性質(zhì)五、分布函數(shù)的性質(zhì)(1) F(x) 非降，即若非降，即若 x1x2，則，則F(x1) F(x2) ;(2) F( ) = F(x) = 0 xlim(3) F(x) 右連續(xù)，即右連續(xù)，即 )()(lim00 xFxFxx 如果一個(gè)函數(shù)具有上述性質(zhì)，則一定是某如果一個(gè)函數(shù)具有上述性質(zhì)，則一定是某個(gè)個(gè)r.v X 的分布函數(shù)的分布函數(shù). 也就是說，性質(zhì)也就是說，性質(zhì)(1)-(3)是是鑒別一個(gè)函數(shù)是否是某鑒別一個(gè)函數(shù)是否是某r.v的分布函數(shù)的充分的分布函數(shù)的充分必要條件必要條件.F( ) = F(x) = 1xlim1)(0 xF)()()(aFbFbXaP)(

7、1)(1)(aFaXPaXP) 0()()(aFaFaXP)0()(aFbF)()0(aFbF)0()0(aFbF)(bXaP)(bXaP)(bXaP請請?zhí)钐羁湛沼梅植己瘮?shù)表示概率用分布函數(shù)表示概率) 0()(lim)(aFxFaXPax)(xF2/ 103/ 1xx00 x2/ 11x設(shè) r.v. X 的分布函數(shù)：計(jì)算) 0(XP) 4/ 1(XP) 4/ 1(XP) 3/ 10 (XP) 3/ 10 (XP例例1 1解解) 00 () 0 () 0(FFXP; 3/ 103/ 1; 012/712/7) 04/ 1 () 4/ 1 () 4/ 1(FFXP) 4/ 1() 4/ 1() 4/ 1(XPXPXP;12/5) 4/ 1 (1) 4/ 1(FXP; 3/ 1) 0 ()