概率湖南商學院概率統(tǒng)計

1、1第六章第六章 樣本及抽樣分布樣本及抽樣分布第七章第七章 參數(shù)估計參數(shù)估計第八章第八章 假設(shè)檢驗假設(shè)檢驗是具有廣泛應用的一個數(shù)學分支是具有廣泛應用的一個數(shù)學分支. .它它以概率論為理論基礎(chǔ)，根據(jù)試驗或觀察得到的數(shù)據(jù)，以概率論為理論基礎(chǔ)，根據(jù)試驗或觀察得到的數(shù)據(jù)，來研究隨機現(xiàn)象，對研究對象的客觀規(guī)律作出種種來研究隨機現(xiàn)象，對研究對象的客觀規(guī)律作出種種合理的估計和判斷。合理的估計和判斷。2概率論（基礎(chǔ)）討論了如下問題：對隨機現(xiàn)象進行概率論（基礎(chǔ)）討論了如下問題：對隨機現(xiàn)象進行研究，在數(shù)學上建立概率的公理化體系；引入基本概念、揭研究，在數(shù)學上建立概率的公理化體系；引入基本概念、揭示常見各類隨機現(xiàn)象的

2、規(guī)律，總結(jié)為基本的隨機模型和分布示常見各類隨機現(xiàn)象的規(guī)律，總結(jié)為基本的隨機模型和分布律，并研究它們的性質(zhì)及數(shù)字特征；對大量隨機因素綜合影律，并研究它們的性質(zhì)及數(shù)字特征；對大量隨機因素綜合影響的結(jié)果，以極限定理為內(nèi)容作了介紹。這樣對隨機現(xiàn)象的響的結(jié)果，以極限定理為內(nèi)容作了介紹。這樣對隨機現(xiàn)象的研究，已有了基本的概念、思想方法和工具。但當研究，已有了基本的概念、思想方法和工具。但當我們實際我們實際動手研究并解決一個實際問題時，會立即遇到下面的問題：動手研究并解決一個實際問題時，會立即遇到下面的問題： （1 1）這個隨機現(xiàn)象可以用什么樣的分布律）這個隨機現(xiàn)象可以用什么樣的分布律 ( (分布函數(shù)分布函

3、數(shù)) ) 來來刻畫，這種分布的選擇合理嗎？刻畫，這種分布的選擇合理嗎？ （2 2）所選用的分布的參數(shù)是多少？如何估計和確定這些參）所選用的分布的參數(shù)是多少？如何估計和確定這些參數(shù)？數(shù)？ 我們對要研究的這個實際問題往往所知甚少，這樣只能求我們對要研究的這個實際問題往往所知甚少，這樣只能求助于觀測，合理地取得一些數(shù)據(jù)，據(jù)此作出統(tǒng)計上的推斷，助于觀測，合理地取得一些數(shù)據(jù)，據(jù)此作出統(tǒng)計上的推斷，回答上述問題，從而著手去解決問題。而這就是數(shù)理統(tǒng)計的回答上述問題，從而著手去解決問題。而這就是數(shù)理統(tǒng)計的基本且主要任務?；厩抑饕蝿?。3數(shù)理統(tǒng)計的主要內(nèi)容是數(shù)理統(tǒng)計的主要內(nèi)容是： 1.1. 實驗設(shè)計和研究實驗

4、設(shè)計和研究，即研究如何更合理、更有效地，即研究如何更合理、更有效地抽取樣本，從而獲得觀測數(shù)據(jù)和資料的方法。抽取樣本，從而獲得觀測數(shù)據(jù)和資料的方法。 2.2. 統(tǒng)計推斷統(tǒng)計推斷：如何利用一定的數(shù)據(jù)資料，對所關(guān)：如何利用一定的數(shù)據(jù)資料，對所關(guān)心的問題，得出盡可能準確的統(tǒng)計結(jié)論：心的問題，得出盡可能準確的統(tǒng)計結(jié)論： （1 1）估計）估計從局部觀測資料的統(tǒng)計特征，推斷從局部觀測資料的統(tǒng)計特征，推斷所觀測對象的總體特征（包括總體分布與數(shù)字特）；所觀測對象的總體特征（包括總體分布與數(shù)字特）； （2 2）假設(shè)檢驗）假設(shè)檢驗依據(jù)抽樣數(shù)據(jù)資料，對總體的依據(jù)抽樣數(shù)據(jù)資料，對總體的某種假設(shè)做檢驗，從而決定對此假設(shè)是

5、拒絕還是接受某種假設(shè)做檢驗，從而決定對此假設(shè)是拒絕還是接受. . 4某鋼筋廠日產(chǎn)某型號鋼筋某鋼筋廠日產(chǎn)某型號鋼筋1000010000根，質(zhì)量檢根，質(zhì)量檢驗員每天只抽查驗員每天只抽查5050根的強度，于是提出以下問題：根的強度，于是提出以下問題： (1) (1) 如何從僅有的如何從僅有的5050根鋼筋的強度數(shù)據(jù)去估計整根鋼筋的強度數(shù)據(jù)去估計整批（批（10001000根）鋼筋的強度平均值？又如何估計這批根）鋼筋的強度平均值？又如何估計這批鋼筋強度偏離平均值的離散程度？鋼筋強度偏離平均值的離散程度？ (2)(2)若規(guī)定了這種型號鋼筋的標準強度，從抽查若規(guī)定了這種型號鋼筋的標準強度，從抽查得的得的50

6、50個強度數(shù)據(jù)如何判斷整批鋼筋的平均強度與個強度數(shù)據(jù)如何判斷整批鋼筋的平均強度與規(guī)定標規(guī)定標準準有無差異？有無差異？56.1 6.1 總體與樣本總體與樣本6.2 6.2 抽樣分布抽樣分布6 在數(shù)理統(tǒng)計中在數(shù)理統(tǒng)計中, ,將試驗的全部可能的觀察值稱為將試驗的全部可能的觀察值稱為總總體體，每一個可能觀察值稱為，每一個可能觀察值稱為個體個體常以常以X表示總體表示總體. . 容容 量量: :總體中所包含的個體的個數(shù)總體中所包含的個體的個數(shù); ;有限總體有限總體: :容量為有限的總體容量為有限的總體; ;無限總體無限總體: :容量為無限的總體容量為無限的總體(2) (2) X 的分布函數(shù)與數(shù)字特征分別稱

7、為的分布函數(shù)與數(shù)字特征分別稱為總體總體 的分布函數(shù)與數(shù)字特征的分布函數(shù)與數(shù)字特征; ;(3) (3) 今后將不區(qū)分總體和相應的隨機變量，今后將不區(qū)分總體和相應的隨機變量， 籠統(tǒng)稱為籠統(tǒng)稱為總體總體X. . 說明說明 (1) (1) 一個一個總體總體對應一個隨機變量對應一個隨機變量X ; ;73.3.樣本值樣本值 X1 1, X2 2 , Xn的一組的一組觀察值觀察值x1 1, ,x2 2, , ,xn ;2.2.樣本容量樣本容量 樣本中個體的數(shù)目樣本中個體的數(shù)目 n ;1.1.樣本樣本 從總體從總體X 中中隨機地隨機地抽取抽取n 個個體個個體X1 1, X2 2 , Xn ,這樣這樣取得的取得

8、的 X1, X2 , Xn 稱為來自稱為來自總體總體X 的一個的一個樣本樣本; ;4.簡單隨機樣本簡單隨機樣本 在總體中抽取樣本的目的是為了對總體的分在總體中抽取樣本的目的是為了對總體的分布規(guī)律進行各種分析推斷布規(guī)律進行各種分析推斷, ,這就要求抽取的樣本能夠反映總體這就要求抽取的樣本能夠反映總體的特點的特點, ,為此必須對隨機抽取樣本的方法提出如下為此必須對隨機抽取樣本的方法提出如下：(1)(1)獨立性獨立性(2)(2)代表性代表性要求要求X1, X2 , Xn 是相互獨立的隨機變量是相互獨立的隨機變量;要求樣本的每個要求樣本的每個Xi (i=1,2,n)與總體與總體X具有相同具有相同的分布

9、的分布.滿足以上兩個條件的樣本稱為滿足以上兩個條件的樣本稱為簡單隨機樣本簡單隨機樣本, 簡稱簡稱樣本樣本.8(2) 樣本樣本X1, X2 , Xn 可看成一個可看成一個n 維隨機向量維隨機向量, ,記為記為 (X1, X2 , Xn ); ; 樣本值記為樣本值記為( (x1 1, ,x2 2, , ,xn);(1) 樣本樣本X1, X2 , Xn 相互獨立相互獨立, ,且與總體且與總體X 同分布同分布; ;(3) 若總體若總體X具有分布函數(shù)具有分布函數(shù)F(x),概率密度概率密度f(x), 則樣本則樣本 (X1, X2 , Xn )的分布函數(shù)及概率密度為的分布函數(shù)及概率密度為: niinxFxx

10、xF121)(),( niinxfxxxf121)(),(4) 獲得簡單隨機樣本的抽樣方法稱為獲得簡單隨機樣本的抽樣方法稱為簡單隨機抽樣簡單隨機抽樣. .9 樣本樣本是進行統(tǒng)計推斷的依據(jù)是進行統(tǒng)計推斷的依據(jù). .但在應但在應用時用時, ,往往不是直接使用是樣本本身往往不是直接使用是樣本本身, ,而是針對不同而是針對不同的問題構(gòu)造的問題構(gòu)造樣本的適當函數(shù)樣本的適當函數(shù), ,利用這些樣本的函數(shù)進利用這些樣本的函數(shù)進行統(tǒng)計推斷行統(tǒng)計推斷. .定義定義1 1設(shè)設(shè)X1, X2 , Xn是來自總體是來自總體 X 的一個樣本的一個樣本, ,g( (X1, X2 , Xn) )是是X1, X2 , Xn函數(shù)函

11、數(shù), ,若若g 中不含任中不含任何未知參數(shù)，則稱何未知參數(shù)，則稱g( (X1, X2 , Xn) )是一個是一個統(tǒng)計量統(tǒng)計量(1) 統(tǒng)計量是一個隨機變量統(tǒng)計量是一個隨機變量;(2) (x1,x2,xn)是樣本是樣本X1, X2 , Xn的觀察值的觀察值, 則稱則稱 g(x1,x2,xn) 是是g(X1, X2 , Xn)的觀察值的觀察值. 注注 10例如例如 總體總體 ，其中參數(shù)，其中參數(shù) 為未知參數(shù)，為未知參數(shù)， 是是 X 的樣本，則的樣本，則 , , 等均等均為統(tǒng)計量，而為統(tǒng)計量，而 等都不是統(tǒng)計等都不是統(tǒng)計量，因為它們含有未知參數(shù)量，因為它們含有未知參數(shù)XN( ,) 2 ,XXXn12,

12、Xiin1Xiin211221Xiin1212()XX , 從統(tǒng)計量的定義可知，統(tǒng)計量是不含任何未知參數(shù)的從統(tǒng)計量的定義可知，統(tǒng)計量是不含任何未知參數(shù)的隨機變量隨機變量11 設(shè)設(shè)X1, X2 , Xn是來自總體是來自總體X 的一個樣本的一個樣本, (, (x1, ,x2, , ,xn) )是其觀察值是其觀察值.樣本均值樣本均值樣本標準樣本標準差差樣本樣本k k階階( (原點原點) )矩矩樣本樣本k k階中心矩階中心矩11;niiXXn12211()niiXSXn2111()niiXSXn111 2(, ,.)nkiiknAXk12 31()(, ,.)nkiikXXnkB樣本方樣本方差差 21

13、211XnXnnii12;11 niixnx xnxnxxnsniinii1221211)(1121)(11xxnsnii 111 2(, ,.)nkkiiaxkn112 3()(, ,.)nkkiibxxkn其觀察值其觀察值:樣本均值樣本均值樣本標準差樣本標準差樣本樣本k k階原點矩階原點矩樣本樣本k k階中心矩階中心矩樣本方差樣本方差13 從一批鋼筋中隨機抽取從一批鋼筋中隨機抽取1010條，測得其直徑（單位：條，測得其直徑（單位：mmmm） 為為: : 24.2, 25.4, 24, 24, 25, 25, 24.4, 24.6, 25.2, 25.2. (2)(2)樣本均值樣本均值 11

14、1(24.225.2.25.2)24.6810niixmmn 24.2, 25.4, 24, 24, 25, 25, 24.4, 24.6, 25.2, 25.2. (1)(1)總體為該批鋼筋的直徑；總體為該批鋼筋的直徑； 樣本為樣本為X1, X2 , X10(1)(1)寫出總體、樣本、樣本值、樣本容量；寫出總體、樣本、樣本值、樣本容量；(2)(2)求樣本觀測值的均值、方差及二階原點矩求樣本觀測值的均值、方差及二階原點矩( (保留二位保留二位). ). 樣本值樣本值: :樣本容量樣本容量: : n=10;=10;樣本方差樣本方差二階原點矩二階原點矩2211()1niisxxn 22222222

15、22( 0.48)(0.72)( 0.68)( 0.68)(0.32)10.2789(0.32)( 0.28)( 0.08)( 0.52)(0.52) 2211niiAxn 222124.825.425.2610.34.1014樣本矩的性質(zhì)樣本矩的性質(zhì)抽樣分布抽樣分布統(tǒng)計量是樣本的函數(shù)統(tǒng)計量是樣本的函數(shù), , 它是一個隨機變量它是一個隨機變量. .統(tǒng)計統(tǒng)計量的分布稱為量的分布稱為抽樣分布抽樣分布. .1)1)若總體若總體X的的k階矩階矩 存在存在, , 則當則當 時時, , 2)2)kkXE )(nkpkA), 2 , 1(k),(),(2121npngAAAg其中為其中為 g 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函

16、數(shù)15定義：定義：設(shè)設(shè)X1, X2 , Xn是來自總體是來自總體 N(0,1)的樣本的樣本, ,則稱統(tǒng)計量則稱統(tǒng)計量 2 服從自由度為服從自由度為n的的 分布分布, ,記為記為 2 這里自由度這里自由度n表示相互獨立的隨機變量的個數(shù)表示相互獨立的隨機變量的個數(shù). . )(22n 222212nXXX 注：注：1. X1, X2 , Xn獨立同分布且獨立同分布且 ，則，則0 1( , )iXN222212( )nXXXn220 11( , ),( ).XNX則則2.例：例：22110 20 424( , ),( , ),_.XNYNXY則則22( )16Ff( (y) )的圖形的圖形( (與與n

17、有關(guān)有關(guān)): ): f y( )1n4 n11 n0 0y6 nFf( (y) )的推導的推導: : 由已前例知由已前例知, ,)2 ,21()1(2 而而Xi N(0,1),(0,1),由定義由定義Xi 2 2 (1), ),2 ,21(2 iX再由再由X1, X2 , Xn的獨立性及的獨立性及 分布的可加性分布的可加性即即)2 ,2(122nXnii ),(),(2211 XX(1) X N(0,1),(0,1),X2 (1/2, 2);(2),(2121 XX獨立獨立17 函數(shù)函數(shù)) 0( )(01 sdxxessx 0. ,0 ,0 ,21)(2212yyeyyfyXY 分布分布 結(jié)論

18、結(jié)論: 若若X N(0, 1) , 則則 X 2 (1/2, 2)= 2(1) 1/1, 0,( )( ) 0, .xxexf x 其它其它)(2n . , 0 , 0 ,) 2/(21)(2122/其它yeynyfynn2( )(,2)2nn X ( , )18Ff( (y) )的圖形的圖形 ( (與與n有關(guān)有關(guān)): ): 1n4 n11 n0 0y6 nf(y)的概率密度為的概率密度為)(2n . , 0 , 0 ,)2/(21)(2122/其它yeynyfynn 012)2(dxxennx 其中其中 . .19 分布的可加性分布的可加性 2 )(),(22221221nn設(shè)設(shè) 2122且

19、且 與與 相互獨立相互獨立, ,則有則有 分布的數(shù)學期望和方差分布的數(shù)學期望和方差2 .2)(,)(22nDnE 分布的分位點分布的分位點2 對于給定正數(shù)對于給定正數(shù) (0 45)時時, ,有有標準正態(tài)分布的上標準正態(tài)分布的上 分位點分位點 數(shù)學數(shù)學期望和方差期望和方差證明證明2( )n21例例1 1 設(shè)設(shè)X1, X2 , X6 是來自總體是來自總體XN(0,1), 又設(shè)又設(shè) Y=(X1+ X2 + X3 ) 2 + (X4 + X5 + X6) 2試求常數(shù)試求常數(shù)C, 使使C Y服從服從 2分布分布. 解解 因為因為X1+ X2 + X3 N(0,3), X4 + X5 + X6 N(0,3

20、), 且它們相互獨立且它們相互獨立.于是于是所以所以 1230 13( , )XXXN4560 13( , )XXXN故應取常數(shù)故應取常數(shù) ，23213 XXX)2(322654 XXX31 C于是于是 .)2(312 Y22 設(shè)設(shè)XN(0,1),Y 2(n),且且X與與Y相互獨立相互獨立, ,則稱隨機變量則稱隨機變量 Fh(t)圖形圖形:(:(關(guān)于關(guān)于t =0=0對稱對稱, ,其形狀與其形狀與n有關(guān)有關(guān)) )t(n)分布分布的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為: :t 服從自由度是服從自由度是n的的t 分布分布( (Student分布分布),),記作記作t t(n).nYXt/ tntnnnth

21、n,)1()2/(2/ )1()(2/ )1(2 2/221)(limtneth 圖圖23n=1f (t)n=(正態(tài)）n=100tFt 分布的分位點分布的分位點: : )()()(ntdtthnttP對給定對給定 (0 4545時時, ,znt)(24例例2 2 設(shè)設(shè)XN(2,1), Y1, Y2 , Y4 均服從均服從N(0,4) ，且，且都相互獨立，令都相互獨立，令試求試求T的分布的分布, 并確定并確定 t0 的值，使的值，使 解解 因為因為 X- -2N(0,1), Yi / 2 N(0,1), i=1,2,3,4.故故)4( t 412)2(4iiYXT 412)2(4iiYXT424

22、122 iiYX.01. 0|0 tTP由由查表得：查表得：6041. 4)4()4(005. 02/0 ttt.01. 0|0 tTP25( (三三) )F分布分布FF(n1,n2)分布的概率密度函數(shù)為：分布的概率密度函數(shù)為：服從自由度為服從自由度為(n1, n2)的的記為記為 FF(n1,n2).設(shè)設(shè)U 2(n1), V 2(n2),且且U 與與V相互獨立相互獨立, 則稱則稱21/nVnUF . 0 , 0 , 0 ,)/(1)2/()2/()/(2/ )()(2/ )(21211)2/(2/21212111yynynnnynnnnynnnn 若若FF(n1,n2), 則則 1/FF(n2

23、,n1).260 (y)的圖形的圖形:F分布的分位點分布的分位點: ),(2121)(),(nnFdyynnFFP對給定對給定 (0 1),稱滿足稱滿足的點的點F (n1,n2) 為為F(n1,n2)分布的分布的上上 分位點分位點. .F (n1,n2) 5,1021nn)25,10(),(21 nn),(1),(12211nnFnnF (證明見書證明見書P142)27 設(shè)總體設(shè)總體X的均值為的均值為 , 方差為方差為 2, X1, X2 , Xn是是來自總體來自總體X 的樣本的樣本, ,則總有則總有 .)(,)(,)(222 SEnXDXE推導推導: := niiXEn1)(1 niXEn1

24、)(1 niiXnEXE1)1()(n2 niiXnDXD1)1()( niiXDn12)(1nXD)( 212211)(XnXnESEnii )()(11212XnEXEnnii )()(1122122 nnnni2 28),(2nNX 設(shè)設(shè)X1, X2 , Xn是來自是來自正態(tài)總體正態(tài)總體N( , 2 )的的樣本樣本, ,X, S2分別分別是樣本均值和樣本方差是樣本均值和樣本方差, ,則有則有.2獨立獨立與與SX22222111()()();niiXXnSn)1 , 0(/NnX . )1(/ ntnSX (1)(2)(3)(4)(證明見書證明見書P145)29 設(shè)設(shè)X1, X2 , Xn

25、1與與Y1, Y2 , Yn2分別是來自正態(tài)分別是來自正態(tài)總體總體N( 1, 12 ) 和和N( 2, 22 )的的樣本樣本, ,且這兩個樣本相互獨且這兩個樣本相互獨立立. . 兩個樣本的兩個樣本的均值和方差均值和方差分別為分別為 X, Y , S12, S22 , , 則有則有);1, 1(2122212221 nnFSS 時，當222212 ），），（）（）（211212121 nntnnSYX 2212222112,2)1()1( SSnnSnSnS 其中其中1301 1o o 由定理由定理2 2 知知兩者相互獨立，由兩者相互獨立，由F F 分布分布定義可知定義可知化簡后即得化簡后即得1

26、 1o o 。2 2o o 2( )n由由的可加性：的可加性：,221221 nnNYX ),1 , 0(11)()(2121NnnYXU t t分布定義分布定義化簡后即得化簡后即得2 2o o 。)2()2() 1() 1(11)()(212122222112121 nntnnSnSnnnYX 2211121(1)(1)nSn ，2222222(1)(1);nSn 22112212221122(1)(1)(1,1)(1)(1)nSnSF nnnn2221122122212(1)(1)(2)nSnSnn ，31 以上列舉的以上列舉的幾個重要統(tǒng)計量幾個重要統(tǒng)計量的分布是數(shù)的分布是數(shù)理統(tǒng)計中常用的，它們的密度函數(shù)形式都較理統(tǒng)計中常用的，它們的密度函數(shù)形式都較復雜，對于應用者來說，不要求一一推導，復雜，對于應用者來說，不要求一一推導，但是但是查表求上查表求上 分位點分位點是統(tǒng)計中經(jīng)常遇到的，是統(tǒng)計中經(jīng)常遇