二項(xiàng)式定理習(xí)題課

1、222110baCbaCaCba-nn-nnnnnnnn-n-nnbCabC11rr -nrnrbaCT1第第 項(xiàng)項(xiàng)1r題型題型1 利用利用 的二項(xiàng)展開式解題的二項(xiàng)展開式解題na b解法解法1 1413xx4043Cx例例1 1 求求 的展開式的展開式413xx31413Cxx22241(3) ()Cxx3341(3)()Cxx4441()Cx221218110854xxxx直接用二項(xiàng)直接用二項(xiàng)式定理展開式定理展開例例1 1 求求 的展開式的展開式413xx解法解法2 2413 xx4231xx04421(3 )Cxx134(3 )Cx224(3 )Cx34(3 )C x44C43221(81

2、10854121)xxxxx221218110854xxxx化簡(jiǎn)后再展開化簡(jiǎn)后再展開例題例題2 2 若若,( 2 1)2,nnnn Nab(,)nna bZnb,則則 的值的值( )A A 一定為奇數(shù)一定為奇數(shù)C C 一定為偶數(shù)一定為偶數(shù)B B 與與n n的奇偶性相反的奇偶性相反D D 與與n n的奇偶性相同的奇偶性相同解解:2(12)nnnab0nC12nC22( 2)nC33( 2)nC( 2)nnnCnb0nC22( 2)nC44( 2)nC所以所以 為奇數(shù)為奇數(shù) 故選故選( (A)A)nb思考思考 能用特殊值法嗎能用特殊值法嗎? ?偶偶奇A題型2 利用通項(xiàng)求符合要求的項(xiàng)或項(xiàng)的系數(shù)例例3

3、 3 求求 展開式中的有理項(xiàng)展開式中的有理項(xiàng)93xx解:1132919( ) ()rrrrTC xx2769( 1)rrrC x 令令273466rrZZ即(0,19)r 39rr 或3344492734( 1)846rrTC xx 99331092793( 1)6rrTC xx 原式的有理項(xiàng)為原式的有理項(xiàng)為: :4484Tx310 xT例例4(044(04全國(guó)卷全國(guó)卷) )81()xx的展開式中的展開式中 的的系數(shù)為系數(shù)為_5x解解: : 設(shè)第設(shè)第 項(xiàng)為所求項(xiàng)為所求1r 12818()rrrrTC xx288( 1)rrrrC xx 3288( 1)rrrC x 38522rr由可得5x22

4、8( 1)28C的系數(shù)為的系數(shù)為.)2(. 510和第四項(xiàng)的系數(shù)項(xiàng)式系數(shù)的展開式中第四項(xiàng)的二求例xx 分析：第 k+1 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) - 第 k+1 項(xiàng)的系數(shù)-具體數(shù)值的積。cnk解解：.9608c- .120,)2()() 1(310310373103134第四項(xiàng)的系數(shù)是數(shù)是所以第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系因?yàn)閏xxcTT求二項(xiàng)展開式的某一項(xiàng)求二項(xiàng)展開式的某一項(xiàng), ,或者求滿足某種條或者求滿足某種條件的項(xiàng)件的項(xiàng), ,或者求某種性質(zhì)的項(xiàng)或者求某種性質(zhì)的項(xiàng), ,如含有如含有x 項(xiàng)項(xiàng)的系數(shù)的系數(shù), ,有理項(xiàng)有理項(xiàng), ,常數(shù)項(xiàng)等常數(shù)項(xiàng)等, ,通常要用到二項(xiàng)通常要用到二項(xiàng)式的通項(xiàng)求解式的通項(xiàng)求解. . 注意注意

5、(1)(1)二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)的區(qū)別二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)的區(qū)別. . (2) (2) 表示第表示第 項(xiàng)項(xiàng). .3rrnrnrbaCT1r例題點(diǎn)評(píng)例題點(diǎn)評(píng)題型3 二項(xiàng)式定理的逆用011222112122nnnn nnnnnCCCC原 式(1 2)3nn 例例6 6 計(jì)算并求值計(jì)算并求值12(1) 1 242nnnnnCCC5432(2)(1)5(1)10(1)10(1)xxxx5(1)x解解(1):(1):將原式變形將原式變形解解:(2):(2)原式原式055(1)C x145(1)C x235(1)C x325(1)C x45(1)C x55C55C5(1) 11x51x 例題點(diǎn)評(píng)例題點(diǎn)評(píng)逆向應(yīng)用公

6、式和變形應(yīng)用公式是高中數(shù)逆向應(yīng)用公式和變形應(yīng)用公式是高中數(shù)學(xué)學(xué)的難點(diǎn)的難點(diǎn), ,也是重點(diǎn)也是重點(diǎn), ,只有熟練掌握公式的只有熟練掌握公式的正正用用, ,才能掌握逆向應(yīng)用和變式應(yīng)用才能掌握逆向應(yīng)用和變式應(yīng)用題型題型4 4 求多項(xiàng)式的展開式中特定的項(xiàng)求多項(xiàng)式的展開式中特定的項(xiàng)( (系數(shù)系數(shù)) )例例7 72345(1)(1)(1)(1)(1)xxxxx的展開式中的展開式中, , 的系數(shù)等于的系數(shù)等于_2x解解: :仔細(xì)觀察所給已知條件可直接求得仔細(xì)觀察所給已知條件可直接求得 的系的系 數(shù)是數(shù)是2x02C13( 1)C 224( 1) C 335( 1) C 20 解法解法2 2 運(yùn)用等比數(shù)列求和公

7、式得5(1)1 (1) 1 (1)xxx原式6(1)(1)xxx在在 的展開式中的展開式中,含有含有 項(xiàng)的系數(shù)為項(xiàng)的系數(shù)為6(1)x3x3620C 所以所以 的系數(shù)為的系數(shù)為-202xttxC)3(12123824)31 ()21 ()1 (xxxxxx例例8 8求求 展開式中展開式中 的系數(shù)。的系數(shù)。4xrrxC)(44x解解: :可逐項(xiàng)求得可逐項(xiàng)求得 的系數(shù)的系數(shù)8)21 (x的展開式通項(xiàng)為的展開式通項(xiàng)為ssxC)2(8當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)2s112428C系數(shù)為系數(shù)為12)31 (x的展開式通項(xiàng)為的展開式通項(xiàng)為1t當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)363112C系數(shù)為系數(shù)為所以所以 展開式中的展開式中的系數(shù)為系數(shù)為123

8、824)31 ()21 ()1 (xxxxxx1443611244)1 ( x的展開式通項(xiàng)為的展開式通項(xiàng)為當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)3r系數(shù)為系數(shù)為-4-4求復(fù)雜的代數(shù)式的展開式中某項(xiàng)求復(fù)雜的代數(shù)式的展開式中某項(xiàng)( (某項(xiàng)的系數(shù)某項(xiàng)的系數(shù)),),可以逐項(xiàng)分析求解可以逐項(xiàng)分析求解, ,常常對(duì)所給代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)常常對(duì)所給代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn), ,可以可以減小計(jì)算量減小計(jì)算量例題點(diǎn)評(píng)例題點(diǎn)評(píng)題型題型5 5 求乘積二項(xiàng)式展開式中特定的項(xiàng)求乘積二項(xiàng)式展開式中特定的項(xiàng)( (特特 定項(xiàng)的系數(shù)定項(xiàng)的系數(shù)) )例題例題9:9:求求 的展開式中的展開式中 項(xiàng)項(xiàng) 的系數(shù)的系數(shù). .65(1) (21)xx6x解解62666()rrrrC

9、xC x6(1)x 的通項(xiàng)是的通項(xiàng)是55555(2 ) ( 1)( 1) 2sssssssCxCx5(21)x的通項(xiàng)是的通項(xiàng)是1622556( 1) 2rssrssC Cx 65(1) (21)xx的通項(xiàng)是的通項(xiàng)是65(1) (21)xx由題意知16226rs 24(06,05)rsrs02rs21rs40rs解得3206252) 1(CC所以所以 的系數(shù)為的系數(shù)為: :6x426152) 1(CC5046052) 1(CC640 例題點(diǎn)評(píng)例題點(diǎn)評(píng)對(duì)于較為復(fù)雜的二項(xiàng)式與二項(xiàng)式乘積利用兩對(duì)于較為復(fù)雜的二項(xiàng)式與二項(xiàng)式乘積利用兩個(gè)通項(xiàng)之積比較方便運(yùn)算個(gè)通項(xiàng)之積比較方便運(yùn)算題型題型8 8 三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為

10、二項(xiàng)式三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式展開式中的常數(shù)項(xiàng)求例8)11(13xx解：三項(xiàng)式不能用二項(xiàng)式定理解：三項(xiàng)式不能用二項(xiàng)式定理,必須轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式必須轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式88 1)1()11(xxxx8878718808)1()1()1(CxxCxxCxxC再利用二項(xiàng)式定理逐項(xiàng)分析常數(shù)項(xiàng)得再利用二項(xiàng)式定理逐項(xiàng)分析常數(shù)項(xiàng)得881268244836284808CCCCCCCCC=1107=1107的系數(shù)是的展開式中例xxx52)23(14_解：解：原式化為523)2(xx其通項(xiàng)公式為其通項(xiàng)公式為rrrrxxCT)3 () 2(52511, 1rx只需的指數(shù)為要使xxCT3)2(42152)2844624(1542468

11、xxxxx2402154的系數(shù)為所以x240240例題點(diǎn)評(píng)括號(hào)里含有三項(xiàng)的情況可以把某兩項(xiàng)合并為一項(xiàng)括號(hào)里含有三項(xiàng)的情況可以把某兩項(xiàng)合并為一項(xiàng),合合并時(shí)要注意選擇的科學(xué)性并時(shí)要注意選擇的科學(xué)性.也可因式分解化為乘積二也可因式分解化為乘積二項(xiàng)式項(xiàng)式.題型題型6 6 求展開式中各項(xiàng)系數(shù)和求展開式中各項(xiàng)系數(shù)和解：設(shè)解：設(shè)展開式各項(xiàng)系數(shù)和為展開式各項(xiàng)系數(shù)和為1例題點(diǎn)評(píng)例題點(diǎn)評(píng)求展開式中各項(xiàng)系數(shù)和常用賦值法：令二項(xiàng)求展開式中各項(xiàng)系數(shù)和常用賦值法：令二項(xiàng) 式中的字母為式中的字母為1 1naaaa210上式是恒等式，所以當(dāng)且僅當(dāng)上式是恒等式，所以當(dāng)且僅當(dāng)x=1x=1時(shí)，時(shí)， (2-1) (2-1)n n=

12、=naaaa210 = =（2-12-1）n n=1naaaa210nnnnaxaxax) 1(21202) 12(例例1 10. 0. 的展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為的展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為_nx) 12(2題型題型7 7：求奇數(shù)：求奇數(shù)( (次次) )項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng)偶數(shù)( (次次) )項(xiàng)系數(shù)的和項(xiàng)系數(shù)的和776016712(31)xa xa xa xa例已知7531) 1 (aaaa求6420) 2(aaaa7210)3(aaaa7) 13 ()(:xxf設(shè)解7210) 1 (aaaaf73210) 1(aaaaaf77753142) 1() 1 ()( 2ffaaaa8128221367531aaaa8

13、256)() 1 (716420aafaaaa(1)(1)(2)(2)是負(fù)數(shù)因?yàn)?531,aaaa所以7210aaaa7210aaaa)(7210aaaa7) 4() 1( f（3）74例題點(diǎn)評(píng)例題點(diǎn)評(píng)求二項(xiàng)展開式系數(shù)和，常常得用求二項(xiàng)展開式系數(shù)和，常常得用賦值法賦值法，設(shè)，設(shè)二項(xiàng)式中的字母為二項(xiàng)式中的字母為1或或-1，得到一個(gè)或幾個(gè)等，得到一個(gè)或幾個(gè)等式，再根據(jù)結(jié)果求值式，再根據(jù)結(jié)果求值題型題型9 9 求展開式中系數(shù)最大求展開式中系數(shù)最大( (小小) )的項(xiàng)的項(xiàng)與最大二項(xiàng)式系數(shù)的比求其項(xiàng)的最大系數(shù)的展開式中在例，x20) 32(15解解: :設(shè)設(shè) 項(xiàng)是系數(shù)最大的項(xiàng)項(xiàng)是系數(shù)最大的項(xiàng), ,則則1

14、r112012020201120120202032323232rrrrrrrrrrrrCCCC6 .126 .11 r項(xiàng)系數(shù)最大的項(xiàng)是即二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第11項(xiàng),即1020C所以它們的比是137102012812203211532CC例例16 16 在在 的展開式中，系數(shù)的展開式中，系數(shù)絕對(duì)值絕對(duì)值最大的項(xiàng)最大的項(xiàng) 20)23 (yx解：設(shè)系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第解：設(shè)系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第r+1r+1項(xiàng)，則項(xiàng)，則1211202020119120202023232323rrrrrrrrrrrrCCCCrrrr3)21( 2)20( 2) 1( 3542537r8r所

15、以當(dāng)所以當(dāng) 時(shí)，系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)為時(shí)，系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)為8r812812820923yxCT例例1717求求 的展開式中的展開式中數(shù)值數(shù)值最大的項(xiàng)最大的項(xiàng)50)21 ( 211rrrrTTTT解：設(shè)第解：設(shè)第 項(xiàng)是是數(shù)值最大的項(xiàng)項(xiàng)是是數(shù)值最大的項(xiàng)1r展開式中展開式中數(shù)值數(shù)值最大的項(xiàng)是最大的項(xiàng)是29295030) 2(CT 115050115050)2()2()2()2(rrrrrrrrCCCC251101251102rr88.2988.28 r29r211rrrrTTTT解決系數(shù)最大問(wèn)題，通常設(shè)第解決系數(shù)最大問(wèn)題，通常設(shè)第 項(xiàng)是系數(shù)最項(xiàng)是系數(shù)最大的項(xiàng)，則有大的項(xiàng)，則有1r由此確定由此確定r

16、 r的取值的取值例題點(diǎn)評(píng)例題點(diǎn)評(píng)題型題型10 10 整除或余數(shù)問(wèn)題整除或余數(shù)問(wèn)題例例1818。的余數(shù)除以求1009192解解: :9292)9100(919291919229029291192929910091009100100CCC前面各項(xiàng)均能被前面各項(xiàng)均能被100100整除整除. .只有只有 不能被不能被100100整除整除929929192290929029291192929292) 1(1010101010) 110(9CCCC19201010101029092902929119292CCC8110001010101029092902929119292CCC811009192除的余數(shù)是

17、被可見余數(shù)為余數(shù)為正整數(shù)正整數(shù)注意(1)證明證明:9910-1能被能被1000整除整除(2)證明證明:32n+2-8n-9(nN*)能被能被64整除整除(3)9192除以除以100的余數(shù)是的余數(shù)是 (81)(92年三年三南高考南高考)(4)今天是星期日今天是星期日,再過(guò)再過(guò)290天是星期幾天是星期幾? (一一)(5)11100-1末尾連續(xù)零的個(gè)數(shù)是末尾連續(xù)零的個(gè)數(shù)是 個(gè)個(gè) (3個(gè)個(gè))整除性問(wèn)題，余數(shù)問(wèn)題，主要根據(jù)二項(xiàng)式整除性問(wèn)題，余數(shù)問(wèn)題，主要根據(jù)二項(xiàng)式定理的特點(diǎn)，進(jìn)行添項(xiàng)或減項(xiàng)，湊成能整定理的特點(diǎn)，進(jìn)行添項(xiàng)或減項(xiàng)，湊成能整除的結(jié)構(gòu)，展開后觀察前幾項(xiàng)或后幾項(xiàng)除的結(jié)構(gòu)，展開后觀察前幾項(xiàng)或后幾項(xiàng),

18、再再分析整除性或余數(shù)。這是解此類問(wèn)題的最分析整除性或余數(shù)。這是解此類問(wèn)題的最常用技巧。余數(shù)要為正整數(shù)常用技巧。余數(shù)要為正整數(shù)例題點(diǎn)評(píng)例題點(diǎn)評(píng)題型題型1 11 1 近似計(jì)算問(wèn)題近似計(jì)算問(wèn)題例例:計(jì)算計(jì)算(1)(0.997)3的近似值的近似值(精確到精確到0.001)(2)(1.009)5的近似值的近似值(精確到精確到0.001)例例. .某公司的股票今天的指數(shù)為某公司的股票今天的指數(shù)為2,2,以后每天的指以后每天的指 數(shù)都比上一天的指數(shù)增加數(shù)都比上一天的指數(shù)增加0.2%,0.2%,則則100100天后這天后這 公司的股票股票指數(shù)為公司的股票股票指數(shù)為_(_(精確到精確到0.0010.001) )

19、解解: :依題意有依題意有2(1+0.2%) 2(1+0.2%) 1001002(10.002)012210010010020.0020.002CCC 2(10.20.0198)2.43962.44所以所以100100天后這家公司的股票指數(shù)約為天后這家公司的股票指數(shù)約為2.442.44點(diǎn)評(píng)近似計(jì)算常常利用二項(xiàng)式定理估算前幾項(xiàng)點(diǎn)評(píng)近似計(jì)算常常利用二項(xiàng)式定理估算前幾項(xiàng)題型題型1 12 2 證明恒等式證明恒等式123119232nnnnnnCCCnCn例求證析析: :本題的左邊是一個(gè)數(shù)列但不能直接求和本題的左邊是一個(gè)數(shù)列但不能直接求和. .因?yàn)橐驗(yàn)?由此分析求解由此分析求解rnnrnnnnnnnCC

20、CCCC110,01231:023(1)nnnnnnnnnSCCCCnCnC 解 設(shè)nnnnnnnnCCCnCnnCS0) 2() 1(1210兩式相加兩式相加)(21210nnnnnnnnCCCCCnSnn 212nnnS例題點(diǎn)評(píng)例題點(diǎn)評(píng)利用求和的方法來(lái)證明組合數(shù)恒等式是一種利用求和的方法來(lái)證明組合數(shù)恒等式是一種最常見的方法最常見的方法,證明等式常用下面的等式證明等式常用下面的等式nnnnnnCCCC221014202nnnnCCCrnnrnCC15312nnnnCCC11mnmnnCmC例例2020證明證明： 3)11 (2nn1*nNn且當(dāng)2111111)11 (22221 nCnCnC

21、nnnnn證明證明1(1)(1) 111!kknkkkn nn knCnknknk 通項(xiàng)通項(xiàng)nnnnnnnCnCnCn1111)11 (221 122121212!1! 31! 212 nn321121n3)11 (2nn所以所以題型題型1 13 3 證明不等式證明不等式例題點(diǎn)評(píng)例題點(diǎn)評(píng)利用二項(xiàng)式定理證明不等式利用二項(xiàng)式定理證明不等式, ,將展開式將展開式進(jìn)行合理放縮進(jìn)行合理放縮鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)一選擇題一選擇題a8)(xax 1(041(04福建福建) )已知已知 展開式的常數(shù)項(xiàng)是展開式的常數(shù)項(xiàng)是1120,1120, 其中實(shí)數(shù)其中實(shí)數(shù) 是常數(shù)是常數(shù), ,則展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和則展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和 是是( )( )82 A83 B83 1 或C83 2 或DCnxx)12(2 2 若若 展開式中含展開式中含 項(xiàng)的系數(shù)與含項(xiàng)的系數(shù)與含 項(xiàng)的項(xiàng)的 系數(shù)之比為系數(shù)之比為-5,-5,則則n n等于等于( )( )21x41xA 4 B 6 C 8 D 10A 4 B 6 C 8 D 10B82A83B831或C821或D 3 3 被被4 4除所得的系數(shù)為（除所得的系數(shù)為（ ） A0 B1 C2 D39923331 A632)(1)(1)(1)(1)05(1xxxx湖南展開式中展開式中 的系數(shù)是的系數(shù)是_2x2 2 被被2222除所得的余數(shù)為除所得的