第04章恒定電流場(1)

1、作業(yè)作業(yè)：4-4、 4-11第第4章章 恒定電流場恒定電流場 4-1 電流電流4-2 電動勢電動勢4-3 恒定電流場恒定電流場4-4 恒定電流場的邊界條件恒定電流場的邊界條件4-5 導電介質(zhì)的損耗導電介質(zhì)的損耗4-6 恒定電流場與靜電場的比擬恒定電流場與靜電場的比擬4-7 恒定電流場的應用恒定電流場的應用本章內(nèi)容本章內(nèi)容 靜電場靜電場孤立導體孤立導體處于處于靜電平衡靜電平衡狀態(tài)。導體中不可能存在自由電荷的狀態(tài)。導體中不可能存在自由電荷的體分布，電荷只能位于導體表面上，整個導體是一等位體。體分布，電荷只能位于導體表面上，整個導體是一等位體。 與恒定電源相連與恒定電源相連的一塊導體的一塊導體，因兩

2、極間存在一定的電位差，使導體，因兩極間存在一定的電位差，使導體中形成中形成恒定電流場恒定電流場，使自由電子維持連續(xù)不斷的定向運動，從而形成，使自由電子維持連續(xù)不斷的定向運動，從而形成恒定電流。為了維持這種恒定電流，導體中的電場也必須是恒定的，恒定電流。為了維持這種恒定電流，導體中的電場也必須是恒定的，這種電場稱為這種電場稱為恒定電場恒定電場。恒定電場和靜電場一樣與時間無關(guān)，但它是。恒定電場和靜電場一樣與時間無關(guān)，但它是由外加電壓導致的，而且可存在于導體中，而由外加電壓導致的，而且可存在于導體中，而靜電場是由靜止電荷產(chǎn)靜電場是由靜止電荷產(chǎn)生生的，不可能存在于導體中。的，不可能存在于導體中。 本章

3、從電流角度討論本章從電流角度討論導電媒質(zhì)導電媒質(zhì)中中恒定電流場恒定電流場的方程及的方程及邊界條件邊界條件。均均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中的恒定電流場是勻?qū)щ娒劫|(zhì)中的恒定電流場是無旋場無旋場，因此它與靜電場很類似，常?？?，因此它與靜電場很類似，常?？梢灾苯永渺o電場的結(jié)果求解均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中的恒定電流場以直接利用靜電場的結(jié)果求解均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中的恒定電流場4-1 電流電流 電流、電流、傳導電流傳導電流與與運流電流運流電流。 傳導電流傳導電流是導體中的自由電子（或空穴）或者是電解液中的離子運動形是導體中的自由電子（或空穴）或者是電解液中的離子運動形成的電流成的電流。運流電流運流電流是電子、離子或其它帶電粒子在真空或

4、氣體中運動形成的電流。是電子、離子或其它帶電粒子在真空或氣體中運動形成的電流。 一、基本概念一、基本概念各向同性導電媒質(zhì)：各向同性導電媒質(zhì)：導電特性不因電場方向而改變的媒質(zhì)導電特性不因電場方向而改變的媒質(zhì)線性導電媒質(zhì)：線性導電媒質(zhì)：不隨不隨 和和 的量值而改變的媒質(zhì)的量值而改變的媒質(zhì)EJ 均勻?qū)щ娒劫|(zhì)：均勻?qū)щ娒劫|(zhì)：若媒質(zhì)中若媒質(zhì)中處處為常數(shù)（不隨空間坐標變化），即為均勻處處為常數(shù)（不隨空間坐標變化），即為均勻?qū)щ娒劫|(zhì)導電媒質(zhì) 電流強度：電流強度：單位時間內(nèi)穿過某一截面的電量，又簡稱為電流，單位時間內(nèi)穿過某一截面的電量，又簡稱為電流，以以 I 表示。電流的單位為表示。電流的單位為A（安培安培）

5、。 因此，電流因此，電流 I 與電荷與電荷 q 的關(guān)系為的關(guān)系為tqIdddIJ dS 電流密度：電流密度：是一個矢量，以是一個矢量，以 表示。電流密度的方向為表示。電流密度的方向為正正電荷的運動電荷的運動方向，其大小為單位時間內(nèi)方向，其大小為單位時間內(nèi)垂直垂直穿過導體單位面積的電荷量。穿過導體單位面積的電荷量。 J因此，穿過任一有向面元因此，穿過任一有向面元 的電流的電流 dI 與電流密度與電流密度 的關(guān)系為的關(guān)系為 JdS二、電流密度二、電流密度 與電場強度與電場強度 的關(guān)系的關(guān)系JE那么，穿過任一截面那么，穿過任一截面 S 的電流的電流 I 為為 dSIJS此式表明，此式表明，穿過某一截

6、面的電流等于穿過該截面電流密度的穿過某一截面的電流等于穿過該截面電流密度的通量通量。 JE式中式中 稱為稱為電導率電導率，其單位為，其單位為 S/m 。 值愈大表明導電能力愈強，即值愈大表明導電能力愈強，即使在微弱的電場作用下，也可形成很強的電流。使在微弱的電場作用下，也可形成很強的電流。上式又稱為上式又稱為歐姆定律歐姆定律 的微分形式。的微分形式。IRU 實驗表明實驗表明，多數(shù)導電媒質(zhì)中某點的，多數(shù)導電媒質(zhì)中某點的傳導電流密度傳導電流密度 與該點的電場強度與該點的電場強度 成成正比，即正比，即JE 電導率電導率為無限大的導體稱為為無限大的導體稱為理想導體理想導體。顯然，在理想導電體中，無需電

7、。顯然，在理想導電體中，無需電場推動即可形成電流。由上式可見，場推動即可形成電流。由上式可見，在理想導電體中是不可能存在恒定電場在理想導電體中是不可能存在恒定電場的，否則，將會產(chǎn)生無限大的電流，從而產(chǎn)生無限大的能量。的，否則，將會產(chǎn)生無限大的電流，從而產(chǎn)生無限大的能量。但是，任何能但是，任何能量總是有限的。量總是有限的。電導率電導率為零的媒質(zhì)，不具有導電能力，這種媒質(zhì)稱為為零的媒質(zhì)，不具有導電能力，這種媒質(zhì)稱為理想介質(zhì)理想介質(zhì)。 71017.671080.531071010.451071054.3111071057.112107101510媒媒 質(zhì)質(zhì)電導率電導率(S/m)媒媒 質(zhì)質(zhì)電導率電導率

8、(S/m)銀銀海海 水水4紫紫 銅銅淡淡 水水金金干干 土土鋁鋁變壓器油變壓器油黃黃 銅銅玻玻 璃璃鐵鐵橡橡 膠膠Jv式中式中 為電荷密度。為電荷密度。 運流電流運流電流的電流密度并不與電場強度成正比，而且電流密度的方向與電的電流密度并不與電場強度成正比，而且電流密度的方向與電場強度的方向也可能不同場強度的方向也可能不同?？梢宰C明?？梢宰C明運流電流的電流密度運流電流的電流密度 與運動速度與運動速度 的的關(guān)系為關(guān)系為 Jv三、運流電流的電流密度三、運流電流的電流密度 與電荷密度與電荷密度和運動速度和運動速度 的關(guān)系的關(guān)系Jv 在電流區(qū)域一觀察點附近，取一體元在電流區(qū)域一觀察點附近，取一體元 ，其

9、中運動正電荷，其中運動正電荷密度為密度為，運動速度為，運動速度為 ，取，取 、 和和 的方向一致，在時間的方向一致，在時間dt內(nèi)穿出內(nèi)穿出 的運動正電荷量為的運動正電荷量為 dVdS dldSdlvdSvdldSdqdVdS dldSdl由于由于dqdSdldIdldtdtJvdSdSdSdtJvJv又因又因 和和 方向相同，所以有方向相同，所以有 與介質(zhì)的極化特性一樣，媒質(zhì)的導電性能也表現(xiàn)出與介質(zhì)的極化特性一樣，媒質(zhì)的導電性能也表現(xiàn)出均勻均勻與與非均勻非均勻，線性線性與與非線性非線性以及以及各向同性各向同性與與各向異性各向異性等特點，等特點，因而，此式僅適用于因而，此式僅適用于各向同性的線性

10、導電媒質(zhì)各向同性的線性導電媒質(zhì)。 4-2 電動勢電動勢 如圖所示，首先將外接的導電媒質(zhì)移去，討論開路情況下如圖所示，首先將外接的導電媒質(zhì)移去，討論開路情況下外源外源內(nèi)部的內(nèi)部的作用過程。作用過程。E導電媒質(zhì)PNE外 源 顯然，由極板上電荷產(chǎn)生的電場力阻止正電顯然，由極板上電荷產(chǎn)生的電場力阻止正電荷繼續(xù)向正極板移動，同時也阻止負電荷繼續(xù)向荷繼續(xù)向正極板移動，同時也阻止負電荷繼續(xù)向負極板移動，一直到負極板移動，一直到極板電荷產(chǎn)生的電場力極板電荷產(chǎn)生的電場力等于等于外源外源中的非電力時，外源的電荷運動方才停止，中的非電力時，外源的電荷運動方才停止，極板上的電荷也就保持恒定。極板上的電荷也就保持恒定。

11、一、電動勢一、電動勢 在在外源外源中中非靜電力非靜電力作用下，正電荷不斷地移作用下，正電荷不斷地移向正極板向正極板 P ，負電荷不斷地移向負極板，負電荷不斷地移向負極板 N。極板。極板上的電荷在外源中形成電場上的電荷在外源中形成電場 E ，其方向由正極，其方向由正極板指向負極板，而且隨著極板上電荷的增加不斷板指向負極板，而且隨著極板上電荷的增加不斷增強。增強。 既然外源中的非靜電力表現(xiàn)為對于電荷的作用力，因此，通常認既然外源中的非靜電力表現(xiàn)為對于電荷的作用力，因此，通常認為這種為這種非靜電力非靜電力是由外源中存在的是由外源中存在的外電場外電場產(chǎn)生的，其電場強度仍然定產(chǎn)生的，其電場強度仍然定義為

12、對于單位正電荷的作用力，以義為對于單位正電荷的作用力，以 E表示。由于表示。由于外電場使正電荷移外電場使正電荷移向正極板向正極板，負電荷移向負極板負電荷移向負極板，因此，因此，外電場的方向由負極板指向正外電場的方向由負極板指向正極板極板?？梢?，?？梢?，在外源中外電場在外源中外電場 E 的方向與極板電荷形成的電場的方向與極板電荷形成的電場 E 的的方向恰好相反。方向恰好相反。當外源中的外電場與極板電荷的電場等值反向時，當外源中的外電場與極板電荷的電場等值反向時，外外源中合成電場為零源中合成電場為零，電荷運動停止。，電荷運動停止。 若外源的極板之間接上導電媒質(zhì)，正極板上的正電荷通過導電媒若外源的極

13、板之間接上導電媒質(zhì)，正極板上的正電荷通過導電媒質(zhì)移向負極板；負極板上的負電荷通過導電媒質(zhì)移向正極板。因而導質(zhì)移向負極板；負極板上的負電荷通過導電媒質(zhì)移向正極板。因而導致極板上電荷減少，使得外源中由極板電荷形成的電場致極板上電荷減少，使得外源中由極板電荷形成的電場 E 小于外電場，小于外電場，外電場又使外源中的正負電荷再次移動，外源不斷地向正極板補充新外電場又使外源中的正負電荷再次移動，外源不斷地向正極板補充新的正電荷，向負極板補充新的負電荷。的正電荷，向負極板補充新的負電荷。 于是，極板上的電荷通過導電媒質(zhì)不斷流失，外源又不斷地于是，極板上的電荷通過導電媒質(zhì)不斷流失，外源又不斷地向極板補充新電

14、荷，從而維持了連續(xù)不斷的電流。因此，向極板補充新電荷，從而維持了連續(xù)不斷的電流。因此，為了在為了在導電媒質(zhì)中產(chǎn)生連續(xù)不斷的電流，必須依靠導電媒質(zhì)中產(chǎn)生連續(xù)不斷的電流，必須依靠外源外源。 當達到當達到動態(tài)平衡動態(tài)平衡時，極板上的電荷分布保持不變。這樣，極時，極板上的電荷分布保持不變。這樣，極板電荷在外源中以及在導電媒質(zhì)中產(chǎn)生板電荷在外源中以及在導電媒質(zhì)中產(chǎn)生恒定電場恒定電場，且在外源內(nèi)部，且在外源內(nèi)部保持保持 ，在包括外源及導電媒質(zhì)的整個回路中維持恒定的電，在包括外源及導電媒質(zhì)的整個回路中維持恒定的電流。流。EE 注意，極板上的電荷分布雖然不變，但是極板上的電荷并不注意，極板上的電荷分布雖然不變

15、，但是極板上的電荷并不是靜止的。它們是在不斷地更替中保持分布特性不變，因此，這是靜止的。它們是在不斷地更替中保持分布特性不變，因此，這種電荷稱為種電荷稱為駐立電荷駐立電荷。駐立電荷是在外源作用下形成的，一旦外。駐立電荷是在外源作用下形成的，一旦外源消失，駐立電荷也將隨之逐漸消失。源消失，駐立電荷也將隨之逐漸消失。 外電場由負極板外電場由負極板 N 到正極板到正極板 P 的線積分稱為外源的的線積分稱為外源的電動勢電動勢，以，以e 表示，表示，即即 dPNeEl達到動態(tài)平衡時，在外源內(nèi)部達到動態(tài)平衡時，在外源內(nèi)部 ，所以上式又可寫為，所以上式又可寫為 EE PNeE dl 考慮到導電媒質(zhì)中，考慮到

16、導電媒質(zhì)中， ，那么，上式可寫成，那么，上式可寫成 JE 0lJdl 駐立電荷駐立電荷產(chǎn)生的恒定電場與靜止電荷產(chǎn)生的靜電場一樣，也是產(chǎn)生的恒定電場與靜止電荷產(chǎn)生的靜電場一樣，也是一種保守場。因此，它沿任一閉合回路的線積分應為零，即一種保守場。因此，它沿任一閉合回路的線積分應為零，即 0lE dl二、均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中恒定電流場的電流二、均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中恒定電流場的電流 對于對于均勻?qū)щ娒劫|(zhì)均勻?qū)щ娒劫|(zhì)，上式變?yōu)?，上式變?yōu)?0lJ dl根據(jù)根據(jù)斯托克斯定理斯托克斯定理，求得上兩式的微分形式如下：，求得上兩式的微分形式如下： 0J 0J可見，可見，均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中，恒定電流場是無旋的均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中，恒定電

17、流場是無旋的。 4-3 恒定電流場恒定電流場設(shè)閉合面設(shè)閉合面 S 包圍的體積包圍的體積 V 中中駐立電荷駐立電荷的體密度為的體密度為 ，則，則VVq d ddSVqJSVtt 那么，那么，已知已知恒定電流場恒定電流場中的電荷分布與時間無關(guān)，即中的電荷分布與時間無關(guān)，即 ，由此得，由此得 0t d0SJS此式表明，此式表明，在恒定電流場中，電流密度通過任一閉合面的通量為零。在恒定電流場中，電流密度通過任一閉合面的通量為零。如果如果以一系列的曲線描述以一系列的曲線描述電流場電流場，令曲線上各點的切線方向表示該點電流密度，令曲線上各點的切線方向表示該點電流密度的方向，這些曲線稱為的方向，這些曲線稱為

18、電流線電流線。那么，。那么，電流線是連續(xù)閉合的電流線是連續(xù)閉合的。它和電場線。它和電場線不同，電流線沒有起點和終點，這一結(jié)論稱為不同，電流線沒有起點和終點，這一結(jié)論稱為電流連續(xù)性原理電流連續(xù)性原理。電流連續(xù)性原理電流連續(xù)性原理根據(jù)高斯定理，求得根據(jù)高斯定理，求得 Jt 上式為電荷守恒原理的微分形式。因此，對于恒定電流場，得上式為電荷守恒原理的微分形式。因此，對于恒定電流場，得0J此式表明，此式表明，恒定電流場是無散的恒定電流場是無散的。 已知導電媒質(zhì)中的傳導電流已知導電媒質(zhì)中的傳導電流 ，代入上式，得，代入上式，得JE()0EEE 即即 EE 對于介電常數(shù)為對于介電常數(shù)為 的均勻各向同性導電媒

19、質(zhì)的均勻各向同性導電媒質(zhì)E式中式中 為駐立電荷的體密度。為駐立電荷的體密度。恒定電流場的無散性恒定電流場的無散性于是有于是有E 此式說明，此式說明，當導電媒質(zhì)的電導率不均勻時，存在駐立電荷的體分布當導電媒質(zhì)的電導率不均勻時，存在駐立電荷的體分布。在。在電導率均勻的導電媒質(zhì)中電導率的梯度為零，駐立電荷的體密度為零，這說電導率均勻的導電媒質(zhì)中電導率的梯度為零，駐立電荷的體密度為零，這說明，明，均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中的駐立電荷只能分布在導電媒質(zhì)的表面上均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中的駐立電荷只能分布在導電媒質(zhì)的表面上。t J由由 ， 和和 可推得可推得JEE0t于是可求得于是可求得00ttee 其中常數(shù)其中常數(shù) 為為弛豫時

20、間弛豫時間，它決定了電荷體密度衰減的快慢。良，它決定了電荷體密度衰減的快慢。良導體的弛豫時間一般非常短暫，如銅的弛豫時間大約為導體的弛豫時間一般非常短暫，如銅的弛豫時間大約為1.5210-19s。良好的良好的絕緣介質(zhì)，其弛豫時間則有可能長達幾小時或幾天。弛豫時間也可以代表導體達到絕緣介質(zhì)，其弛豫時間則有可能長達幾小時或幾天。弛豫時間也可以代表導體達到靜電平衡過程所需的時間。靜電平衡過程所需的時間。4-4 恒定電流場的邊界條件恒定電流場的邊界條件 由積分形式的恒定電流場方程導出邊界兩側(cè)由積分形式的恒定電流場方程導出邊界兩側(cè)電流密度的電流密度的切向分量切向分量關(guān)系為：關(guān)系為：2t21t 1JJ21

21、21()0()0nEEnJJ即即 121 12 2121212nnnnttttJJEEJJEE因此恒定電流場的邊界條件為因此恒定電流場的邊界條件為 在恒定電流場中有在恒定電流場中有JE0J對應的微分形式為對應的微分形式為及及 0E已知恒定電流場方程的積分形式為已知恒定電流場方程的積分形式為 0lJdl 0SJ dS或或0lE dl 和和2n1nJJ邊界兩側(cè)電流密度的邊界兩側(cè)電流密度的法向分量法向分量關(guān)系為關(guān)系為 0SJ dS由由 由此可見，由此可見，在在恒定電流場中不同導電媒質(zhì)分界面兩側(cè)的電場強度切向恒定電流場中不同導電媒質(zhì)分界面兩側(cè)的電場強度切向分量連續(xù)，但其法向分量不連續(xù)；而電流密度的法向

22、分量連續(xù)，但其切向分量連續(xù)，但其法向分量不連續(xù)；而電流密度的法向分量連續(xù)，但其切向分量不連續(xù)。分量不連續(xù)。 已知理想導電體內(nèi)部不可能存在電場，那么，理想導電體表面不可能存已知理想導電體內(nèi)部不可能存在電場，那么，理想導電體表面不可能存在切向電場，因而也不可能存在切向恒定電流。在切向電場，因而也不可能存在切向恒定電流。當電流由理想導電體流出進當電流由理想導電體流出進入一般導電媒質(zhì)時，電流線總是垂直于理想導電體表面入一般導電媒質(zhì)時，電流線總是垂直于理想導電體表面。21nn2211應用邊界條件，可得分界面處的應用邊界條件，可得分界面處的折射定理折射定理 2121tantan在恒定電場中，在恒定電場中，

23、 分界面處用電位表示的邊界條件為分界面處用電位表示的邊界條件為 討論：討論：1)1) 兩種導電媒質(zhì)兩種導電媒質(zhì)在，如聚乙烯的電導率為在，如聚乙烯的電導率為10-10數(shù)量級，由數(shù)量級，由 當一種導電媒質(zhì)為不良導體當一種導電媒質(zhì)為不良導體 ，另一種，另一種導電媒質(zhì)為良導體，若電電導率導電媒質(zhì)為良導體，若電電導率 ，如同軸線的內(nèi)外導體通常由電導率很高如同軸線的內(nèi)外導體通常由電導率很高(107 數(shù)數(shù)量級量級)的銅或鋁制成，填充在兩導體間的材料的銅或鋁制成，填充在兩導體間的材料不可能是理不可能是理想的絕緣電介質(zhì)想的絕緣電介質(zhì),總有很小的漏電導存總有很小的漏電導存212(0)101722711tan1010tan101721tan10tan得得 當當12，第一種媒質(zhì)為良導體，第二種媒質(zhì)為，第一種媒質(zhì)為良導體，第二種媒質(zhì)為不良導體時，只要不良導體時，只要1/2, 20，即在不良導體中，即在不良導體中， 電力線近似地與界面垂直，這時可將良導體的表面電力線近似地與界面垂直，這時可將良導體的表面近似地看作等位面。近似地看作等位面。 2 2）理想介質(zhì)與良導體理想介質(zhì)與良導體2222/0/00nnnEJE由于由于2120nnJJJ1110ntJJJ