三角形的內(nèi)角和外角和

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上幾何解題中添加適當(dāng)?shù)妮o助線可以起到在題設(shè)和結(jié)論之間架設(shè)橋梁的作用，而一題多解對(duì)培養(yǎng)發(fā)散思維能力十分有益。第三單元三角形的內(nèi)角和與外角和學(xué)法引導(dǎo) 1我們知道，三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于。這個(gè)結(jié)論的探索過(guò)程讓我們獲得了寶貴的體驗(yàn)，對(duì)圖形的形狀、大小與相互位置關(guān)系有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)。請(qǐng)結(jié)合下列圖形，回顧并與同伴交流三角形內(nèi)角和定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程：如右圖的折疊，相當(dāng)于把三角形的三個(gè)內(nèi)角剪下來(lái)拼合在一起；請(qǐng)你剪兩張重合的三角形硬紙片，在靠近各頂點(diǎn)處寫上字母，再把其中一張三角形硬紙片的三個(gè)角剪開。如下圖，試試看，你有多少種方法可以拼出A+B+C=180°？有一個(gè)角是直角的三角形叫

2、做直角三角形。有一個(gè)角是鈍角的三角形叫做鈍角三角形。兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形。由三角形內(nèi)角和定理可得：直角三角形的兩個(gè)銳角互余.2下面讓我們來(lái)關(guān)注一下三角形的外角與和它不相鄰的內(nèi)角的關(guān)系。在一張白紙上畫出如右圖所示的圖形，然后把A、B剪下拼合在一起放到ACD上，看到剛好“填滿” ACD；我們還可以不實(shí)際移動(dòng)，而是依據(jù)前面給出的公理、定理和已知條件，通過(guò)畫輔助線，用推理的方法來(lái)證明這些結(jié)論的正確性。其實(shí)， ACD +ACB=180°，A+B+ACB=180°，ACD = A +B。可見，三角形的一個(gè)外角等于 兩個(gè)內(nèi)角的和；三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè) 內(nèi)角

3、。3下面讓我們完成下列練習(xí)：1一個(gè)三角形中最多有 個(gè)直角；最多有 個(gè)鈍角；2一個(gè)三角形最少有 個(gè)內(nèi)角是銳角；3一個(gè)三角形至少有 個(gè)角小于或等于.4在ABC中，若A+B=90°，則ABC為 三角形. 若AB=90°，則ABC為 三角形.5. 等腰三角形的一個(gè)外角為100°，則它的三個(gè)內(nèi)角分別是 6下列說(shuō)法中三角形中有一個(gè)角為銳角的三角形叫銳角三角形。ABC中最大邊所對(duì)的角是71°，則該三角形是銳角三形。一個(gè)等腰三角形一定是銳角三角形。一個(gè)三角形至少有一個(gè)角大于60°。正確的說(shuō)法有 （ ）.題7圖（A）1個(gè) （B）2個(gè) （C）3個(gè) （D）4個(gè)5已知

4、ABC中，A61°，那么ABC是 （ ）. A銳角三角形; B直角三角形 ; C鈍角三角形; D以上三種都有可能.7如圖，ABC中，A=36°，AB=AC，BD平分ABC，DEBC圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)有 ( )（A）1個(gè) （B）3個(gè) （C）4個(gè) （D）題8圖5個(gè)8如圖，已知在ABC中，AD平分外角EAC，且ADBC則ABC是 ( ) （A）任意三角形 （B）等邊三角形 （C）等腰三角形 （D）直角三角形 1如圖，點(diǎn)D在BC邊的延長(zhǎng)線上，若A=30°，B=35°，則1= 2如圖，ABCD，B=40°，D=30°，則E= 題1圖 題2圖

5、題3圖 題4圖3如圖，在ABC中，點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F是AB邊上一點(diǎn)，延長(zhǎng)CA到E，連EF，則1，2，3的大小關(guān)系是 4如圖，A=30°，B=35°，C=25°，則AFC= 解題指導(dǎo)例1 三角形內(nèi)角和等于180°，那么四邊形、五邊形、邊形的內(nèi)角和等于幾度呢？解：已知三角形內(nèi)角和等于180°，對(duì)于邊形的內(nèi)角和的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角和問(wèn)題來(lái)解決運(yùn)用化歸思想來(lái)解決題12圖(1)如圖(1)，可以在邊形內(nèi)任取一點(diǎn)P，將邊形分割成個(gè)三角形，則邊形的內(nèi)角和題12圖(2)如圖(2)，也可以從邊形任一頂點(diǎn)出發(fā)，將邊形分割成個(gè)三角形，則邊形的內(nèi)角和如圖(

6、3)，也可以從邊形任一邊上取一點(diǎn)，連接不相鄰的頂點(diǎn)，將邊形分割成個(gè)三角形，則邊形的內(nèi)角和題12圖(3)當(dāng)4時(shí)，；當(dāng)5時(shí)，四邊形的內(nèi)角和是、五邊形的內(nèi)角和是另外，利用電腦軟件也可測(cè)得三角形、四邊形、五邊形的內(nèi)角和，從而根據(jù)規(guī)律得出計(jì)算凸邊形的內(nèi)角和的公式如圖 例2 我們知道三角形的內(nèi)角和是180°，那么三角形的外角和（在說(shuō)三角形的外角和時(shí)，是指三角形不同頂點(diǎn)的外角之和）是多少度？邊形的外角和呢？解：方法一：其一 在一張白紙上畫出如圖，把 4、5、6剪下來(lái)拼在一起，剛好鋪成一個(gè)無(wú)縫的平面，可見456360°。其二：如圖，由三角形的外角性質(zhì)可知：4=23；5=13；612。456

7、2（123）360°。其三：如圖14=180°25=180°36180°123456180°×3540°而123180°456360°即: 三角形的外角和為360°對(duì)于n邊形的外角和，可以先填寫下表多邊形的邊數(shù)34567n多邊形內(nèi)角與外角的總和3×180°=540°多邊形的內(nèi)角和180°多邊形的外角和360°不妨以五邊形為例（如圖），五邊形的每一個(gè)內(nèi)角與跟它相鄰的外角構(gòu)成一個(gè)平角，即為180°.五邊形有5個(gè)這樣的平角為180°

8、×5900°,要求其外角和,還需減去其內(nèi)角和: (-2) ×180°=(5-2) ×180°=540°.五邊形的外角和為900°-540°=360°.對(duì)于n邊形,按同樣的方法,也同樣得到其外角和為360°.真是神奇！方法二：讓ABC逐漸縮小，直至A、B、C三個(gè)點(diǎn)重合（如圖）此時(shí)，三角形的外角4、5、6合起來(lái)，剛好成為一個(gè)周角，大小為360°.類似地,你可以把五邊形,甚至n邊形都縮為一點(diǎn),想象一下,你發(fā)現(xiàn)它的外角和是多少度了嗎?方法三：求三角形外角和時(shí),想象一下,當(dāng)我們?cè)诶@三角

9、形花壇行走一周回到出發(fā)點(diǎn)時(shí),我們走的方向共經(jīng)歷了三次“轉(zhuǎn)折”,一共轉(zhuǎn)了360°. 若是邊形花壇，則共經(jīng)歷了次“轉(zhuǎn)折”,一共轉(zhuǎn)了360°. 不管三角形的形狀、大小如何不同，其內(nèi)角和是180°，其外角和總是邊形的外角和也總是多邊形定義：一般的，由n條不在同一直線上的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖行稱為n邊形，又稱為多邊形。（注意：我們現(xiàn)在研究的多邊形均指凸多邊形。）例1圖例4已知：如下圖, 點(diǎn)是內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，點(diǎn)是外角平分線的交點(diǎn)，用含的代數(shù)式表示，.并說(shuō)明理由. BD平分ABC，CD平分ACB1=ABC，2=ACB1+2=（ABC+ACB） =（180°-

10、A）=90°-AD=180°-（1+2）=180°-（90°-A）=90°+A3+1=（ABC+CBF）=×180°=90°同理：2+4=90°，即DBE=DCE =90°，E=360°-D-DBE-DCE =360°-90°-90°-（90°+A） =90°-A例5 求證：三角形的內(nèi)角和等于180°(要求畫出圖形，寫出已知、求證和證明過(guò)程).例2圖解：已知：如圖，ABC求證：A+B+C=180°證明：在BC邊上取點(diǎn)

11、D作DEAB，DFAC DEAB 3=B，2=4 DFAC 1=C，4=A 2=A(等量代換) 1+2+3=180º (一平角=180º) A+B+C=180º (等量代換)例6已知：如圖，分別平分求證：例4圖證明：分別平分，設(shè)，則 （1） （2）（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）（1）+（2）得： ，（等式性質(zhì)） A組5如果三角形的一個(gè)外角不大于和它相鄰的內(nèi)角，那么這個(gè)三角形是( )（A）銳角三角形或直角三角形 （B）鈍角三角形或銳角三角形（C）直角三角形或鈍角三角形 （D）直角三角形 6給出下列命題：三角形的一個(gè)外角小于它的一個(gè)內(nèi)角若一個(gè)三角形的

12、三個(gè)內(nèi)角之比為1：3：4，它肯定是直角三角形三角形的最小內(nèi)角不能大于60°三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和其中真命題的個(gè)數(shù)是 ( ) （A）1個(gè) （B）2個(gè) （C）3個(gè) （D）4個(gè)6直角三角形兩銳角的平分線所夾的角是 ( )（A）30° （B）60° （C）75° （D）135° 9等腰三角形腰上的高與底邊的夾角與頂角之間的關(guān)系是 題12圖題11圖11. 如圖，ABC中，高線BD、CE相交于點(diǎn)H，若A=50°，則BHC= 12如圖，已知在ABC中，AD平分外角EAC，BD是ABC內(nèi)任一射線，交AD于D則DAC與DBA的大小關(guān)系

13、是 三、解答題()題15圖15已知P是ABC內(nèi)一點(diǎn)，連BP、CP求證：BPC=1+2+A16求證：兩條直線平行，一對(duì)同旁內(nèi)角的角平分線互相垂直(要求畫出圖形，寫出已知、求證和證明過(guò)程).17如圖，C表示燈塔輪船從A處出發(fā)以每小時(shí)18海里的速度向正北(AN方向)航行，2時(shí)后到達(dá)B處測(cè)得C在A的北偏西40°方向，并在B的北偏西80°方向，求B處到燈塔C的距離題17圖例3已知：，D是AB上的一點(diǎn)，E是AC上的一點(diǎn)，DE、CD相交于點(diǎn)F，A=62。ACD=35。ABE=20。求： (1)BDC的度數(shù)。 (2)BFD的度數(shù)。已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于外角和的2倍, 則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為_.習(xí)題精選： 例1：求八邊形內(nèi)角和的度數(shù)。 解：（n-2）×180°=(8-2) ×180°=1080°   例2：已