CH2第3節(jié) 隨機(jī)變量的分布函數(shù)

1、第三節(jié)第三節(jié) 隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量分布函數(shù)的定義隨機(jī)變量分布函數(shù)的定義分布函數(shù)的性質(zhì)分布函數(shù)的性質(zhì)小結(jié)小結(jié)一、分布函數(shù)的定義一、分布函數(shù)的定義 如果將如果將 X 看作數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么分看作數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么分布函數(shù)布函數(shù) F(x) 的值就表示的值就表示 X落在區(qū)間落在區(qū)間 內(nèi)的內(nèi)的,(x概率概率.xoxXX 設(shè)設(shè) X 是一個(gè)是一個(gè) r.v，稱稱)()(xXPxF)(x為為 X 的分布函數(shù)的分布函數(shù) , 記作記作 F (x) .(1) 在分布函數(shù)的定義中在分布函數(shù)的定義中, X是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量, x是參變量是參變量. (2) F(x) 是是r.v X取值

2、不大于取值不大于 x 的概率的概率.(3) 對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù) x1x2，隨機(jī)點(diǎn)落在區(qū)間，隨機(jī)點(diǎn)落在區(qū)間( x1 , x2 內(nèi)內(nèi)的概率為：的概率為：P x1X x2 因此，只要知道了隨機(jī)變量因此，只要知道了隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，的分布函數(shù)， 它它的統(tǒng)計(jì)特性就可以得到全面的描述的統(tǒng)計(jì)特性就可以得到全面的描述. =P X x2 - P X x1 = F(x2)-F(x1)1x2xox XX XX 分布函數(shù)是一個(gè)普通的函數(shù)，分布函數(shù)是一個(gè)普通的函數(shù)，正是通過(guò)它，我們可以用高等數(shù)正是通過(guò)它，我們可以用高等數(shù)學(xué)的工具來(lái)研究隨機(jī)變量學(xué)的工具來(lái)研究隨機(jī)變量.xxXPxF),()(xoxXX當(dāng)當(dāng) x0 時(shí)時(shí)

3、， X x = ， 故故 F(x) =0例例1 設(shè)設(shè) 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X 的分布律為的分布律為當(dāng)當(dāng) 0 x 1 時(shí)時(shí)， F(x) = PX x = P(X=0) =31F(x) = P(X x)解解0 x12x x XXXkp0121 31 61 2求求 X 的分布函數(shù)的分布函數(shù) F (x) .當(dāng)當(dāng) 1 x 2 時(shí)時(shí)， F(x) = PX=0+ PX=1= + =316121當(dāng)當(dāng) x 2 時(shí)時(shí)， F(x) = PX=0 + PX=1 + PX=2= 10 x12 XxxX故故注意右連續(xù)注意右連續(xù)下面我們從圖形上來(lái)看一下下面我們從圖形上來(lái)看一下.2, 121,2110,310, 0)(xxxx

4、xF31211202161OOO1)(xF的分布函數(shù)圖的分布函數(shù)圖xy設(shè)離散型設(shè)離散型 r .v X 的分布律是的分布律是P X=xk = pk , k =1,2,3, F(x) = P(X x) = xxkkp即即F(x) 是是 X 取取 的諸值的諸值 xk 的概率之和的概率之和.x則其分布函數(shù)則其分布函數(shù)二、分布函數(shù)的性質(zhì)二、分布函數(shù)的性質(zhì) ,上上是是一一個(gè)個(gè)不不減減函函數(shù)數(shù)在在 xF(1) ;,212121xFxFxxxx 都都有有且且即即對(duì)對(duì) 21F xF x1x2xox XX 120P xXxXX 如果一個(gè)函數(shù)具有上述性質(zhì)，則一定是某個(gè)如果一個(gè)函數(shù)具有上述性質(zhì)，則一定是某個(gè)r.v X

5、 的分布函數(shù)的分布函數(shù). 也就是說(shuō)，性質(zhì)也就是說(shuō)，性質(zhì)(1)-(3)是鑒別一個(gè)函是鑒別一個(gè)函數(shù)是否是某數(shù)是否是某 r.v 的分布函數(shù)的充分必要條件的分布函數(shù)的充分必要條件.(3) F(x) 右連續(xù)，即右連續(xù)，即 )()(lim00 xFxFxx()F limxF x limxF x()F 0 1 (2) 0( )1F x且且試說(shuō)明試說(shuō)明F(x)能否是某個(gè)能否是某個(gè)r.v 的分布函數(shù)的分布函數(shù).例例2 設(shè)有函數(shù)設(shè)有函數(shù) F(x)其它00sin)(xxxF 解解 注意到函數(shù)注意到函數(shù) F(x)在在 上下降，上下降，不滿足性質(zhì)不滿足性質(zhì)(1)，故，故F(x)不能是分布函數(shù)不能是分布函數(shù).,2不滿足性

6、質(zhì)不滿足性質(zhì)(2)， 可見(jiàn)可見(jiàn)F(x)也不也不能是能是r.v 的分布函數(shù)的分布函數(shù).或者或者0)(lim)(xFFx例例3 一個(gè)靶子是半徑為一個(gè)靶子是半徑為2m的圓盤(pán)的圓盤(pán),設(shè)擊中靶上任設(shè)擊中靶上任一同心圓盤(pán)上的點(diǎn)的概率與該圓盤(pán)的面積成正比一同心圓盤(pán)上的點(diǎn)的概率與該圓盤(pán)的面積成正比,并設(shè)射擊都能中靶并設(shè)射擊都能中靶,以以X表示彈著點(diǎn)與圓心的距離表示彈著點(diǎn)與圓心的距離.試求隨機(jī)變量試求隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)的分布函數(shù).解解,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,是不可能事件是不可能事件xXP ,20時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x.,02是常數(shù)是常數(shù)kkxxXP , 120 XP由由, 14 k得得.41 k即即.402xxXP 因而

7、因而; 0)( xXPxF于是于是于是于是)(xXPxF ,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x故故 X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 . 2, 1, 20,4, 0, 0)(2xxxxxF0 XP0 xXP .42x )(xXPxF . 1 其圖形為一連續(xù)曲線其圖形為一連續(xù)曲線 ., 0, 20,2)(其它其它若記若記tttf.d)()(ttfxFx 則則,()()(上的積分上的積分在區(qū)間在區(qū)間恰是非負(fù)函數(shù)恰是非負(fù)函數(shù)xtfxF.為連續(xù)型隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量此時(shí)稱此時(shí)稱 X注意注意 兩類(lèi)隨機(jī)變量的分布函數(shù)圖形的特點(diǎn)不兩類(lèi)隨機(jī)變量的分布函數(shù)圖形的特點(diǎn)不一樣一樣. 在這一節(jié)中，我們學(xué)習(xí)了隨機(jī)變量的分布函數(shù)在這一節(jié)中，

8、我們學(xué)習(xí)了隨機(jī)變量的分布函數(shù) , 以及分布函數(shù)的性質(zhì)以及分布函數(shù)的性質(zhì).練習(xí)題練習(xí)題一一. 設(shè)設(shè)在在 15 只只同同類(lèi)類(lèi)型型零零件件中中有有 3 只只是是次次品品，在在其其中中取取三三次次，每每次次任任取取一一只只，作作不不放放回回抽抽樣樣，以以 X 表表示示取取出出次次品品的的只只數(shù)數(shù)， （1）求求 X 的的分分布布函函數(shù)數(shù)， （2）畫(huà)畫(huà)出出分分布布函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形。二二. 一袋中有一袋中有 6 只乒乓球，編號(hào)為只乒乓球，編號(hào)為 1、2、3、4、5、6，在其中同時(shí)取三只，以，在其中同時(shí)取三只，以 X 表表示取出的三只球中的最小號(hào)碼，寫(xiě)出隨機(jī)示取出的三只球中的最小號(hào)碼，寫(xiě)出隨機(jī)變量變量 X

9、 的分布律及分布函數(shù)。的分布律及分布函數(shù)。解：解：2 , 1 , 0 XX的的所所有有可可能能取取值值為為：0 XP315313CC 3522 1 XP31512213CCC 3512 2 XP31522113CCC 351 一一. 設(shè)設(shè)在在 15 只只同同類(lèi)類(lèi)型型零零件件中中有有 2 只只是是次次品品，在在其其中中取取三三次次，每每次次任任取取一一只只，作作不不放放回回抽抽樣樣，以以 X 表表示示取取出出次次品品的的只只數(shù)數(shù)， （1）求求 X 的的分分布布函函數(shù)數(shù)， （2）畫(huà)畫(huà)出出分分布布函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形。F(x) = P(X x) 0 XP3522 1 XP3512 2 XP351 ,

10、0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x)(xXPxF 0 ,10時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x)(xXPxF 0 XP3522 ,21時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x)(xXPxF 0 XP1 XP3534 ,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x1)( xF故故 2, 121,353410,35220, 0)(xxxxxF二二. 一袋中有一袋中有 6 只乒乓球，編號(hào)為只乒乓球，編號(hào)為 1、2、3、4、5、6，在其中同時(shí)取三只，以，在其中同時(shí)取三只，以 X 表表示取出的三只球中的最小號(hào)碼，寫(xiě)出隨機(jī)示取出的三只球中的最小號(hào)碼，寫(xiě)出隨機(jī)變量變量 X 的分布律及分布函數(shù)。的分布律及分布函數(shù)。解：解：4 , 3 , 2 , 1 XX的的所所有有可可能能取取值值為為：1 XP3625CC