礦業(yè)大學(xué)環(huán)境與測繪學(xué)院測繪工程《測量平差》第三章條件平差-2521

1、礦業(yè)大學(xué)礦業(yè)大學(xué)環(huán)境與測環(huán)境與測繪學(xué)院測繪學(xué)院測繪工程繪工程測量平測量平差差第三第三章條件平章條件平差差 由于由于r n，從（，從（3-1-1）式不能計(jì)算出）式不能計(jì)算出的唯一的唯一解，但可按最小二乘原理解，但可按最小二乘原理( )，求出，求出的的最或然值最或然值V，從而進(jìn)一步計(jì)算觀測量，從而進(jìn)一步計(jì)算觀測量 的最或然的最或然值值 （又稱平差值）。（又稱平差值）。minPVVTLLVLL (3-1-4)將（將（3-1-1）式中的）式中的改寫成其估值（最或然值）改寫成其估值（最或然值）V，條件方程變?yōu)闂l件方程變?yōu)?WAV (3-1-5) 條件平差就是在滿足條件平差就是在滿足r個(gè)條件方程條件下，求

2、解滿個(gè)條件方程條件下，求解滿足最小二乘法（足最小二乘法（ ）的）的V值，在數(shù)學(xué)中就值，在數(shù)學(xué)中就是求函數(shù)的條件極值問題。是求函數(shù)的條件極值問題。minPVVT一、條件平差原理一、條件平差原理 設(shè)在某個(gè)測量作業(yè)中，有設(shè)在某個(gè)測量作業(yè)中，有n個(gè)觀測值個(gè)觀測值 ，均含有，均含有相互獨(dú)立的偶然誤差，相應(yīng)的權(quán)陣為相互獨(dú)立的偶然誤差，相應(yīng)的權(quán)陣為 ，改正數(shù)，改正數(shù)為為 ，平差值為，平差值為 ，表示為，表示為1 ,nLnnP,1 ,nV1 ,nLnnLLLL211 ,nnvvvV211 ,nnnpppP21,nnLLLL211 ,其中其中: 為對角陣；為對角陣；nnP,1 ,1 ,1 ,nnnVLLnnnv

3、LvLvLLLL221121即即 （3-1-6） 在這在這n個(gè)觀測值中，有個(gè)觀測值中，有t個(gè)必要觀測數(shù)，多余觀測個(gè)必要觀測數(shù)，多余觀測數(shù)為數(shù)為r?？梢粤谐觥？梢粤谐鰎個(gè)平差值線性條件方程個(gè)平差值線性條件方程000022110221102211rLrLrLrbLbLbLbaLaLaLannnnnn(3-1-7) 式中，式中， （i = 1,2,n）為各平差值條件）為各平差值條件方程式中的系數(shù)，方程式中的系數(shù)， 為各平差值條件方程式為各平差值條件方程式中的常數(shù)項(xiàng)。中的常數(shù)項(xiàng)。 將（將（3-1-6）式代入）式代入(3-1-7)式，得相應(yīng)的改正數(shù)式，得相應(yīng)的改正數(shù)條件方程式條件方程式iiirba,00

4、0,rba（3-1-8）000221122112211rnnbnnannwvrvrvrwvbvbvbwvavava 式中式中 稱為改正數(shù)條件方程的閉合差稱為改正數(shù)條件方程的閉合差（或不符值），即（或不符值），即rbawww,)()()(022110221102211rLrLrLrwbLbLbLbwaLaLaLawnnrnnbnna(3-1-9)若取若取nnnnrrrrbbbaaaA212121,0001 ,0rbaArrbarwwwW1 , (3-1-7)、（、（3-1-8）和（）和（3-1-9）式可分別表達(dá)）式可分別表達(dá)成矩陣形式如下成矩陣形式如下00 ALA0WAV)(0AALW (3-1

5、-10) (3-1-11) (3-1-12) 按求函數(shù)極值的拉格朗日乘數(shù)法，引入乘系數(shù)按求函數(shù)極值的拉格朗日乘數(shù)法，引入乘系數(shù)TrbarkkkK1 ,（又稱為聯(lián)系數(shù)向量）（又稱為聯(lián)系數(shù)向量）,構(gòu)成函數(shù)：構(gòu)成函數(shù)：)(2WAVKPVVTT (3-1-13)為引入最小二乘法為引入最小二乘法,將將對對V求一階導(dǎo)數(shù)求一階導(dǎo)數(shù),并令其為零并令其為零022)(2)(AKPVVAVKVPVVdVdTTTT得得AKPVTT上式兩端轉(zhuǎn)置，得上式兩端轉(zhuǎn)置，得KAVPTT由于由于P是主對角線陣，則是主對角線陣，則 ，得，得 KAPVT將上式兩邊左乘權(quán)逆陣將上式兩邊左乘權(quán)逆陣 ，得，得TPP 1PKAPVT1 (3-

6、1-14)此式稱為改正數(shù)方程，其純量形式為此式稱為改正數(shù)方程，其純量形式為)(1ribiaiiikrkbkapv), 2 , 1(ni(3-1-15) 將（將（3-1-14）式代入（）式代入（3-1-11）式，得）式，得01WKAAPT 此式稱為聯(lián)系數(shù)法方程（簡稱法方程），其純量此式稱為聯(lián)系數(shù)法方程（簡稱法方程），其純量形式為形式為(3-1-16)000rrbabrbaarbawkprrkpbrkparwkpbrkpbbkpabwkparkpabkpaa(3-1-17) 取法方程的系數(shù)陣取法方程的系數(shù)陣 ，由上式易知，由上式易知N陣陣關(guān)于主對角線對稱，得法方程表達(dá)式關(guān)于主對角線對稱，得法方程表

7、達(dá)式NAAPT10WNK(3-1-18) 上式兩邊左乘法方程系數(shù)陣上式兩邊左乘法方程系數(shù)陣N的逆陣的逆陣 ，得聯(lián)系，得聯(lián)系數(shù)數(shù)K的唯一解：的唯一解：1NWNK1 (3-1-19)rAAPRNRT)()(1 即，即，N是一個(gè)是一個(gè)r階的滿秩方陣，且可逆。將（階的滿秩方陣，且可逆。將（3-1-18）式移項(xiàng)，得式移項(xiàng)，得WNK 法方程數(shù)陣法方程數(shù)陣N的秩的秩 將（將（3-1-19）式代入（）式代入（3-1-14）或（）或（3-1-15）式，可計(jì)算出式，可計(jì)算出V，再將，再將V代入（代入（3-1-6）,即可計(jì)算出即可計(jì)算出所求的觀測值的最或然值所求的觀測值的最或然值 。VLL 通過觀測值的平差值通過觀

8、測值的平差值 ，可以進(jìn)一步計(jì)算一，可以進(jìn)一步計(jì)算一些未知量（如待定點(diǎn)的高程、縱橫坐標(biāo)以及邊些未知量（如待定點(diǎn)的高程、縱橫坐標(biāo)以及邊的長度、某一方向的方位角等）的最或然值。的長度、某一方向的方位角等）的最或然值。L 由上述推導(dǎo)可看出，由上述推導(dǎo)可看出，K、V及及 都是由（都是由（3-1-11）和（）和（3-1-14）式解算出的，因此我們把（）式解算出的，因此我們把（3-1-11）和）和(3-1-14)式合稱為條件平差的基礎(chǔ)方程。式合稱為條件平差的基礎(chǔ)方程。L二、精度評定二、精度評定 在第一個(gè)問題中已經(jīng)闡述了計(jì)算未知量最或然值在第一個(gè)問題中已經(jīng)闡述了計(jì)算未知量最或然值的原理和公式，下面來論述測量平

9、差的第二個(gè)任務(wù)的原理和公式，下面來論述測量平差的第二個(gè)任務(wù),即評定測量成果的精度。精度評定包括單位權(quán)方差即評定測量成果的精度。精度評定包括單位權(quán)方差 和單位權(quán)中誤差和單位權(quán)中誤差 的計(jì)算、平差值函數(shù)的計(jì)算、平差值函數(shù)( )的的協(xié)因數(shù)協(xié)因數(shù) 及其中誤差及其中誤差 的計(jì)算等。的計(jì)算等。200)(LfF FFFQ 在第二章中已經(jīng)介紹過，當(dāng)已知單位權(quán)方差在第二章中已經(jīng)介紹過，當(dāng)已知單位權(quán)方差 時(shí)，時(shí)，如果知道某量的權(quán)為如果知道某量的權(quán)為p，則該量的方差為，則該量的方差為 在實(shí)際工作中，由于觀測值的個(gè)數(shù)在實(shí)際工作中，由于觀測值的個(gè)數(shù)n是有限值，因此，是有限值，因此，只能求出只能求出 的估值的估值 和和

10、的估值的估值 。則有。則有 20FFp120220202F2F 根據(jù)協(xié)因數(shù)的定義，有了單位權(quán)方差根據(jù)協(xié)因數(shù)的定義，有了單位權(quán)方差 和某平和某平差值函數(shù)的驗(yàn)后協(xié)因數(shù)陣差值函數(shù)的驗(yàn)后協(xié)因數(shù)陣 ，也可按下式計(jì)算該，也可按下式計(jì)算該平差值向量的協(xié)方差陣。平差值向量的協(xié)方差陣。FFQ20FFFFQD20(3-1-22)FFp1202估值形式為估值形式為FFp1202(3-1-20)(3-1-21)例如，已知觀測值的平差值例如，已知觀測值的平差值 的協(xié)因數(shù)陣的協(xié)因數(shù)陣 ，則則 的協(xié)方差陣為的協(xié)方差陣為 LLLLQD20LLLLQ 下面，我們分別討論單位權(quán)中誤差下面，我們分別討論單位權(quán)中誤差 和平差值和平差

11、值函數(shù)協(xié)因數(shù)陣函數(shù)協(xié)因數(shù)陣 的計(jì)算方法。的計(jì)算方法。0FFQ 1.計(jì)算單位權(quán)方差和中誤差的估值計(jì)算單位權(quán)方差和中誤差的估值 根據(jù)第二章中對中誤差的定義，單位權(quán)中誤差的根據(jù)第二章中對中誤差的定義，單位權(quán)中誤差的計(jì)算公式為計(jì)算公式為rp0 在一般情況下，觀測值的真誤差在一般情況下，觀測值的真誤差是不知道的，是不知道的，也就不可能利用上式計(jì)算單位權(quán)中誤差。但在條件也就不可能利用上式計(jì)算單位權(quán)中誤差。但在條件平差中，可以通過觀測值的改正數(shù)平差中，可以通過觀測值的改正數(shù)V來計(jì)算單位權(quán)來計(jì)算單位權(quán)方差和中誤差：方差和中誤差：rPVVT20(3-1-23)（2）由（）由（3-1-14）和（）和（3-1-11

12、）式導(dǎo)出）式導(dǎo)出KWKAVKAVKAPPVPVVTTTTTTT)()(1rPVVT0 式中式中r為多余觀測值個(gè)數(shù)，為多余觀測值個(gè)數(shù)，r = n t。 在（在（3-1-24）中，須先算出）中，須先算出VTPV的值，才能計(jì)算的值，才能計(jì)算單位權(quán)中誤差。單位權(quán)中誤差。VTPV可用下列幾種方法計(jì)算：可用下列幾種方法計(jì)算： （1）直接利用定義式（）直接利用定義式（3-1-23）計(jì)算。）計(jì)算。 純量形式為純量形式為nnTvpvpvppvvPVV2211(3-1-25)(3-1-24)即即KWPVVTT (3-1-26) 其純量形式為其純量形式為rrbbaaTkwkwkwPVV (3-1-27) 2、協(xié)因數(shù)

13、陣、協(xié)因數(shù)陣條件平差的基本向量條件平差的基本向量L、W、K、V、 都可以表都可以表達(dá)成隨機(jī)向量達(dá)成隨機(jī)向量L的函數(shù)的函數(shù)LL 0AALW011011)(ANALNAALNWNKL0111101111)(ANAPALNAPANALNAPKAPVTTTT0111101111)()(ANAPLANAPEANAPALNAPLVLLTTTT將向量將向量L、K、V、 組成列向量，并以組成列向量，并以Z表示之表示之 L011011010111110ANAPANAPANALANAPEANAPANAELVKWLZTTTT(3-1-28) 式中等號右端第二項(xiàng)是與觀測值無關(guān)的常數(shù)項(xiàng)陣，按式中等號右端第二項(xiàng)是與觀測值

14、無關(guān)的常數(shù)項(xiàng)陣，按協(xié)因數(shù)傳播律，得協(xié)因數(shù)傳播律，得Z的協(xié)因數(shù)陣為的協(xié)因數(shù)陣為LLVLKLWLLLLVVVVKVWVLLKKVKKKWKLLWWVWKWWWLLLLVLKLWLLZZQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ111111111111111111111NAQANAPNEQAAQANAPEQAAQENAPEQENAQANAPAQANAPAQENAPNAQANAQANAQENNAQAAQAAQENEQAEQAEQETTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTANAPEQANAPEAPNAQANAPAPNEQAAPNAQANAPAQE

15、NAPAPNAQANAPAPNAQANAQENAPNAQANAPNAQAAQEAPNAQAAPNEQAEQEAPNEQA)()(11111111111111111111111111111111111AQNAPQAQNAPQAPNAPNAPAPAQNAPAPNNEAQNAPENAQAPNQAQAPNQANQAQAQTTTTTTTTTT1111111111111111111111000000整理后得整理后得LLVLKLWLLLLVVVVKVWVLLKKVKKKWKLLWWVWKWWWLLLLVLKLWLLQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQAQNQAQAQNQAQAQNQANQAQA

16、AQNQAAQNNEAQNAQENAQAQNQAQAQNQANQAQAQTTTTTTTTTT11111111111000000(3-1-29) 由上式可見，平差值由上式可見，平差值 與閉合差與閉合差W、聯(lián)系數(shù)、聯(lián)系數(shù)K、改、改正數(shù)正數(shù)V是不相關(guān)的統(tǒng)計(jì)量，又由于它們都是服從正態(tài)是不相關(guān)的統(tǒng)計(jì)量，又由于它們都是服從正態(tài)分布的向量，所以分布的向量，所以 與與W、K、V也是相互獨(dú)立的向也是相互獨(dú)立的向量。量。LL 3平差值函數(shù)的協(xié)因數(shù)平差值函數(shù)的協(xié)因數(shù) 在條件平差中，平差計(jì)算后，首先得到的是各個(gè)在條件平差中，平差計(jì)算后，首先得到的是各個(gè)觀測量的平差值。例如，水準(zhǔn)網(wǎng)中的高差觀測值的觀測量的平差值。例如，

17、水準(zhǔn)網(wǎng)中的高差觀測值的平差值，測角網(wǎng)中的觀測角度的平差值，導(dǎo)線網(wǎng)中平差值，測角網(wǎng)中的觀測角度的平差值，導(dǎo)線網(wǎng)中的角度觀測值和各導(dǎo)線邊長觀測值的平差值等。而的角度觀測值和各導(dǎo)線邊長觀測值的平差值等。而我們進(jìn)行測量的目的，往往是要得到待定水準(zhǔn)點(diǎn)的我們進(jìn)行測量的目的，往往是要得到待定水準(zhǔn)點(diǎn)的高程值、未知點(diǎn)的坐標(biāo)值、三角網(wǎng)的邊長值及方位高程值、未知點(diǎn)的坐標(biāo)值、三角網(wǎng)的邊長值及方位角值等，并且評定其精度。這些值都是關(guān)于觀測值角值等，并且評定其精度。這些值都是關(guān)于觀測值平差值的函數(shù)。平差值的函數(shù)。 設(shè)有平差值函數(shù)設(shè)有平差值函數(shù)),(21nLLLfF (3-1-30)對上式全微分得對上式全微分得nLLnLL

18、LLLdLfLdLfLdLfFd2211(3-1-31) 取全微分式的系數(shù)陣為取全微分式的系數(shù)陣為LLnLLLLnTLfLfLfffff2121,由協(xié)因數(shù)傳播律得由協(xié)因數(shù)傳播律得fQfQLLTFF(3-1-32) (3-1-33) 根據(jù)（根據(jù)（3-1-29）式，知）式，知AQNQAQQTLL1代入（代入（3-1-33）式得）式得fAQNQAQffQfQTTLLTFF)(1 將（將（3-1-34）式代入（）式代入（3-1-22）式，可求得該平）式，可求得該平差值函數(shù)的方差差值函數(shù)的方差FFFFQD20(3-1-35) 即即AQfNQAfQffQTTTFF1(3-1-34) 此式即為平差值函數(shù)式（

19、此式即為平差值函數(shù)式（3-1-30）的協(xié)因數(shù)表達(dá)式。）的協(xié)因數(shù)表達(dá)式。三、條件平差的計(jì)算步驟三、條件平差的計(jì)算步驟 綜合以上所述，按條件平差的計(jì)算步驟可歸結(jié)為綜合以上所述，按條件平差的計(jì)算步驟可歸結(jié)為以下幾步：以下幾步： （1）根據(jù)實(shí)際問題，確定出總觀測值的個(gè)數(shù)）根據(jù)實(shí)際問題，確定出總觀測值的個(gè)數(shù)n、必、必要觀測值的個(gè)數(shù)要觀測值的個(gè)數(shù)t及多余觀測個(gè)數(shù)及多余觀測個(gè)數(shù)r = n - t，進(jìn)一步列，進(jìn)一步列出最或是值條件方程出最或是值條件方程(3-1-10)或改正數(shù)條件方程（或改正數(shù)條件方程（3-1-11）；）； （2）根據(jù)（）根據(jù)（3-1-16）式，組成法方程式；）式，組成法方程式； （3）依據(jù)（

20、）依據(jù)（3-1-19）式計(jì)算出聯(lián)系數(shù)）式計(jì)算出聯(lián)系數(shù)K； （4）由（）由（3-1-14）式計(jì)算出觀測值改正數(shù)）式計(jì)算出觀測值改正數(shù)V；并依；并依據(jù)（據(jù)（3-1-6）式計(jì)算出觀測值的平差值；）式計(jì)算出觀測值的平差值； （5）根據(jù)（）根據(jù)（3-1-23）和（）和（3-1-24）計(jì)算單位權(quán)方）計(jì)算單位權(quán)方差差 和單位權(quán)中誤差和單位權(quán)中誤差 ； （6）列出平差值函數(shù)關(guān)系式（）列出平差值函數(shù)關(guān)系式（3-1-30），并對其），并對其全微分，求出其線性函數(shù)的系數(shù)陣全微分，求出其線性函數(shù)的系數(shù)陣f，利用（，利用（3-1-34）式計(jì)算出平差值函數(shù)的協(xié)因數(shù)式計(jì)算出平差值函數(shù)的協(xié)因數(shù) ，代入（，代入（3-1-22）

21、計(jì)算出平差值函數(shù)的協(xié)方差計(jì)算出平差值函數(shù)的協(xié)方差 。 為了檢查平差計(jì)算的正確性，可以將平差值為了檢查平差計(jì)算的正確性，可以將平差值 代代入平差值條件方程式（入平差值條件方程式（3-1-10），看是否滿足方程），看是否滿足方程關(guān)系。關(guān)系。200FFQFFDL例例3-1 如圖如圖3-1所示，所示，A和和P點(diǎn)為等級三角點(diǎn)，點(diǎn)為等級三角點(diǎn)，PA方方向的方位角已知，在測站向的方位角已知，在測站P上等精度測得的各方向的上等精度測得的各方向的夾角觀測值如下：夾角觀測值如下：T PA = 482436L 1 = 573216L 2 = 730308L 3 = 1265128L 4 = 1043320試用條件平

22、差法，計(jì)算各觀測值的平差值、試用條件平差法，計(jì)算各觀測值的平差值、PC方方向的方位角向的方位角TPC ，及，及TPC的精度的精度 。pcT解：本題中解：本題中n = 4，t = 3，則條件方程個(gè)數(shù)為，則條件方程個(gè)數(shù)為 r = n t =1 。因?yàn)槭堑染扔^測，取因?yàn)槭堑染扔^測，取觀測值權(quán)陣觀測值權(quán)陣11114321,ppppPnn由由 ，列出平差值條件方程的純量形式，列出平差值條件方程的純量形式00 ALA03604321LLLL其矩陣形式為其矩陣形式為036011114321LLLL由，由， 計(jì)算閉合差計(jì)算閉合差)(0AALW21)36002331048215126803073612357

23、 1111()(0 AALW由由 ，寫出改正數(shù)條件方程式，寫出改正數(shù)條件方程式0WAV02111114321 vvvv其純量形式為其純量形式為0214321 vvvv根據(jù)根據(jù) ，寫出法方程，寫出法方程4 ka - 12 = 0純量形式為純量形式為4 ka + 12= 001WKAAPT由由 ，計(jì)算聯(lián)系數(shù)，計(jì)算聯(lián)系數(shù)WNK1 k a =- 0.25 12 = - 3其純量形式為其純量形式為k a = - 3由由 ，計(jì)算各改正數(shù)，計(jì)算各改正數(shù)KAPVT1 33333111111111KAPVT由由 = + ，計(jì)算觀測值平差值，計(jì)算觀測值平差值1 ,nL1 , nL1 ,nV 71331045215

24、126503073332357443322114321vLvLvLvLLLLL由由(3-1-24)式，計(jì)算單位權(quán)中誤差式，計(jì)算單位權(quán)中誤差36333311113333PVVT61360 rPVVT其矩陣式為其矩陣式為6342480011 4321 LLLLTPC其中系數(shù)陣為其中系數(shù)陣為 0011TfPC邊的方位角邊的方位角21LLTTPAPC=482436+573213+ 730305=1785954計(jì)算計(jì)算PC邊的協(xié)因數(shù)邊的協(xié)因數(shù)AQfNQAfQffQTTTTPC1100111111 111125. 0111111110011001111110011則則PC邊方位角的中誤差為邊方位角的中誤差

25、為 60 PCPCTTQ3-2 高程網(wǎng)條件平差高程網(wǎng)條件平差v一、高程網(wǎng)條件方程的個(gè)數(shù)及條件方程式一、高程網(wǎng)條件方程的個(gè)數(shù)及條件方程式 高程網(wǎng)包括水準(zhǔn)網(wǎng)和三角高程網(wǎng)。對高程網(wǎng)進(jìn)行高程網(wǎng)包括水準(zhǔn)網(wǎng)和三角高程網(wǎng)。對高程網(wǎng)進(jìn)行條件平差時(shí)，一般以已知高程點(diǎn)的高程值作為起算條件平差時(shí)，一般以已知高程點(diǎn)的高程值作為起算數(shù)據(jù)，以各測段的觀測高差值作為獨(dú)立觀測值，寫數(shù)據(jù)，以各測段的觀測高差值作為獨(dú)立觀測值，寫出其滿足的條件關(guān)系式，按照條件平差的原理解算出其滿足的條件關(guān)系式，按照條件平差的原理解算各高差值的改正數(shù)和平差值，然后再計(jì)算出各待求各高差值的改正數(shù)和平差值，然后再計(jì)算出各待求點(diǎn)的高程平差值，并進(jìn)行精度評

26、定。點(diǎn)的高程平差值，并進(jìn)行精度評定。 進(jìn)行條件平差時(shí)，首先要確定條件方程的個(gè)數(shù)。進(jìn)行條件平差時(shí)，首先要確定條件方程的個(gè)數(shù)。從上節(jié)內(nèi)容可知道，在一般情況下，條件方程式的個(gè)從上節(jié)內(nèi)容可知道，在一般情況下，條件方程式的個(gè)數(shù)與多余觀測的個(gè)數(shù)數(shù)與多余觀測的個(gè)數(shù)r相符。而要確定多余觀測個(gè)數(shù)相符。而要確定多余觀測個(gè)數(shù)就必須先確定必要觀測個(gè)數(shù)就必須先確定必要觀測個(gè)數(shù)t。 高程測量（包括三角高程測量和水準(zhǔn)測量）的主高程測量（包括三角高程測量和水準(zhǔn)測量）的主要目的是確定未知點(diǎn)的高程值。如圖要目的是確定未知點(diǎn)的高程值。如圖3-2所示高程網(wǎng)所示高程網(wǎng)中，有中，有2個(gè)已知高程點(diǎn)個(gè)已知高程點(diǎn)A、B，3個(gè)未知高程點(diǎn)個(gè)未知高

27、程點(diǎn)C、D、E和和8個(gè)高差觀測值。從圖中可以看出，要確定個(gè)高差觀測值。從圖中可以看出，要確定3個(gè)未個(gè)未知點(diǎn)的高程值，至少需要知道其中的知點(diǎn)的高程值，至少需要知道其中的3個(gè)高差觀測值個(gè)高差觀測值（如（如h1、h2、h3，或，或h6 、h7 、h8 ，或，或h2、h4 、h5 等多種選擇），即必要觀測個(gè)數(shù)等多種選擇），即必要觀測個(gè)數(shù)t = 3 則多余觀測個(gè)數(shù)則多余觀測個(gè)數(shù)r = n t = 8 - 3 = 5，可，可以寫出這以寫出這5個(gè)條件方個(gè)條件方程式程式00 00 072875764532421BAHHhhhhhhhhhhhhhh相對應(yīng)的改正數(shù)條件方程式形式相對應(yīng)的改正數(shù)條件方程式形式 00

28、00 05724875376425321421wvvwvvvwvvvwvvvwvvv其中其中)() ()( )()(7258754764353224211BAHHhhwhhhwhhhwhhhwhhhw 這些條件方程式（或改正數(shù)條件方程式），大體這些條件方程式（或改正數(shù)條件方程式），大體上分為兩類：其一是閉合路線情況，如條件方程式中上分為兩類：其一是閉合路線情況，如條件方程式中前四個(gè)條件方程式，可稱為閉合條件方程式；其二是前四個(gè)條件方程式，可稱為閉合條件方程式；其二是附合路線情況，如條件方程式中第五個(gè)，反應(yīng)的是從附合路線情況，如條件方程式中第五個(gè)，反應(yīng)的是從A點(diǎn)出發(fā)后測得的點(diǎn)出發(fā)后測得的B點(diǎn)的高

29、程值是否與點(diǎn)的高程值是否與B點(diǎn)的已知高程點(diǎn)的已知高程值相等的問題，可稱為附合條件方程式。值相等的問題，可稱為附合條件方程式。 再如圖再如圖3-3所示高程網(wǎng)中，有所示高程網(wǎng)中，有4個(gè)已知高程點(diǎn)、個(gè)已知高程點(diǎn)、4個(gè)個(gè)未知高程點(diǎn)和未知高程點(diǎn)和8個(gè)高差觀測值，即個(gè)高差觀測值，即n = 8。則必要觀測。則必要觀測個(gè)數(shù)為個(gè)數(shù)為t = 4，多余觀測個(gè)數(shù)為，多余觀測個(gè)數(shù)為r = n t = 4。可以寫出。可以寫出4個(gè)最或是值條件方程式或個(gè)最或是值條件方程式或4個(gè)改正數(shù)條件方程式，其個(gè)改正數(shù)條件方程式，其中有中有1個(gè)閉合條件方程式和個(gè)閉合條件方程式和3個(gè)附合條件方程式。個(gè)附合條件方程式。 00005431852

30、17643CADCBAHHhhhhHHhhHHhhhhhh對應(yīng)的改正數(shù)條件方程式為對應(yīng)的改正數(shù)條件方程式為00004543138522117643wvvvvwvvwvvwvvvv其中其中)()()()(5431485321276431CADCBAHHhhhhwHHhhwHHhhwhhhhw 如果高程網(wǎng)中沒有必要的起算數(shù)據(jù)（即沒有已知如果高程網(wǎng)中沒有必要的起算數(shù)據(jù)（即沒有已知高程點(diǎn)，如圖高程點(diǎn)，如圖3-4所示），就不存在某點(diǎn)高程值的已所示），就不存在某點(diǎn)高程值的已知值與計(jì)算值的矛盾，也就不存在附合條件方程式，知值與計(jì)算值的矛盾，也就不存在附合條件方程式，只能寫出有關(guān)的閉合條件方程式。為確定條件方

31、程式只能寫出有關(guān)的閉合條件方程式。為確定條件方程式個(gè)數(shù)或者多余觀測個(gè)數(shù)，可將高程網(wǎng)中一個(gè)點(diǎn)的高程個(gè)數(shù)或者多余觀測個(gè)數(shù)，可將高程網(wǎng)中一個(gè)點(diǎn)的高程值假定為已知值，再按上文中所述方法操作。由此不值假定為已知值，再按上文中所述方法操作。由此不難判斷圖難判斷圖3-4所示的高程網(wǎng)中有所示的高程網(wǎng)中有4個(gè)必要觀測值，個(gè)必要觀測值，4個(gè)個(gè)多余觀測值，可寫出多余觀測值，可寫出4個(gè)閉合條件方程式個(gè)閉合條件方程式0 00 0875764532421hhhhhhhhhhhh相對應(yīng)的改正數(shù)條件方程式形式相對應(yīng)的改正數(shù)條件方程式形式 0 00 04875376425321421wvvvwvvvwvvvwvvv其中其中 )

32、 ()( )()(8754764353224211hhhwhhhwhhhwhhhw二、高程網(wǎng)平差舉例二、高程網(wǎng)平差舉例 圖圖3-5為一水準(zhǔn)網(wǎng)，為一水準(zhǔn)網(wǎng)，A、B為兩個(gè)高程已知點(diǎn)，為兩個(gè)高程已知點(diǎn)，C、D、E、F分別為待定點(diǎn)。已知高程值和高差觀測值如分別為待定點(diǎn)。已知高程值和高差觀測值如表表3-1中所示，計(jì)算各待定點(diǎn)的高程平差值。中所示，計(jì)算各待定點(diǎn)的高程平差值。解：水準(zhǔn)網(wǎng)中總觀測個(gè)數(shù)解：水準(zhǔn)網(wǎng)中總觀測個(gè)數(shù)n = 8，必要觀測，必要觀測數(shù)數(shù)t = 4，多余觀測，多余觀測r = n t = 4。平差值條件方程式平差值條件方程式 為為00 AhA000 0831743632542BAHHhhhhhh

33、hhhhhh改正數(shù)條件方程式改正數(shù)條件方程式 為為00004831374326321542wvvvwvvvwvvvwvvv0WAV由條件方程得：由條件方程得：10000101010011000010011000011010A令令C=1，觀測值的權(quán)倒數(shù)：，觀測值的權(quán)倒數(shù)：5 .25 .22212211P0422)(8317436325420BAHHhhhhhhhhhhhhAAhW5 . 522025 . 521226201251TAAPN3254. 00010. 11061. 06426. 01WNKTTKAPV8 . 05 . 22 . 03 . 14 . 01 . 11 . 13 . 01T

34、Vhh001. 0562. 0060. 0503. 0500. 0063. 1000. 1001. 13-3 導(dǎo)線網(wǎng)條件平差計(jì)算導(dǎo)線網(wǎng)條件平差計(jì)算v一單一附合導(dǎo)線條件平差一單一附合導(dǎo)線條件平差 導(dǎo)線網(wǎng)，包括單一附合導(dǎo)線、單一閉合導(dǎo)線和結(jié)導(dǎo)線網(wǎng)，包括單一附合導(dǎo)線、單一閉合導(dǎo)線和結(jié)點(diǎn)導(dǎo)線網(wǎng)，是目前較為常用的控制測量布設(shè)方式之點(diǎn)導(dǎo)線網(wǎng)，是目前較為常用的控制測量布設(shè)方式之一，其觀測值有長度觀測值和角度觀測值。在本節(jié)一，其觀測值有長度觀測值和角度觀測值。在本節(jié)中我們主要討論單一導(dǎo)線的平差計(jì)算，先討論單一中我們主要討論單一導(dǎo)線的平差計(jì)算，先討論單一附合導(dǎo)線問題。附合導(dǎo)線問題。 如圖如圖3-6所示，在這個(gè)導(dǎo)

35、線中有四個(gè)已知點(diǎn)、所示，在這個(gè)導(dǎo)線中有四個(gè)已知點(diǎn)、n -1個(gè)未知點(diǎn)、個(gè)未知點(diǎn)、n+1個(gè)水平角觀測值和個(gè)水平角觀測值和n條邊長觀測值，條邊長觀測值，總觀測值數(shù)為總觀測值數(shù)為2n+1。從圖中可以分析，要確定一個(gè)。從圖中可以分析，要確定一個(gè)未知點(diǎn)的坐標(biāo)，必須測一條導(dǎo)線邊和一個(gè)水平角，未知點(diǎn)的坐標(biāo)，必須測一條導(dǎo)線邊和一個(gè)水平角，即需要兩個(gè)觀測值；即需要兩個(gè)觀測值； 要確定全部要確定全部n -1個(gè)未知點(diǎn)，則需觀測個(gè)未知點(diǎn)，則需觀測n -1個(gè)導(dǎo)線邊和個(gè)導(dǎo)線邊和n -1個(gè)水平角，即必要觀測值數(shù)個(gè)水平角，即必要觀測值數(shù)t = 2n -2；則多余觀測；則多余觀測個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)r = (2n +1) t = 3。也就是

36、說，在單一附合導(dǎo)線。也就是說，在單一附合導(dǎo)線中，只有三個(gè)條件方程。下面討論其條件方程式及改中，只有三個(gè)條件方程。下面討論其條件方程式及改正數(shù)條件方程式的寫法。正數(shù)條件方程式的寫法。 設(shè)設(shè)AB邊方位角已知值為邊方位角已知值為TAB = T0，CD邊方位角已邊方位角已知值為知值為TCD、計(jì)算值為、計(jì)算值為Tn+1,B點(diǎn)坐標(biāo)的已知值為點(diǎn)坐標(biāo)的已知值為( , )或者或者(x1, y1)，C點(diǎn)坐標(biāo)的已知值為點(diǎn)坐標(biāo)的已知值為( , )、計(jì)算值為、計(jì)算值為(xn+1, yn+1)。三個(gè)條件中，有一個(gè)方位角附合條件、。三個(gè)條件中，有一個(gè)方位角附合條件、兩個(gè)坐標(biāo)附合條件。兩個(gè)坐標(biāo)附合條件。BxByCxCy 方位

37、角附合條件：從起始方位角推算至終邊方位角附合條件：從起始方位角推算至終邊的方位角平差值應(yīng)等于其已知值，即的方位角平差值應(yīng)等于其已知值，即01CDnTT(3-3-1) 縱橫坐標(biāo)附合條件：從起始點(diǎn)推算至終點(diǎn)所得縱橫坐標(biāo)附合條件：從起始點(diǎn)推算至終點(diǎn)所得到的坐標(biāo)平差值應(yīng)與終點(diǎn)的已知坐標(biāo)值相等，即到的坐標(biāo)平差值應(yīng)與終點(diǎn)的已知坐標(biāo)值相等，即01Cnxx01Cnyy(3-3-2)(3-3-3)1.方位角附合條件式方位角附合條件式180) 1(180) 1(1101101nvTnTTninini則則(3-3-1)式可寫為式可寫為0180) 1(1101CDniCDnTnvTTTi整理得整理得011Tnwvi(

38、3-3-4) 其中其中)180) 1(110CDniTTnTw2.縱坐標(biāo)附合條件式縱坐標(biāo)附合條件式終點(diǎn)終點(diǎn)C坐標(biāo)平差值表示為坐標(biāo)平差值表示為niBnxxx11(3-3-5) 而第而第i邊的坐標(biāo)增量為邊的坐標(biāo)增量為iiiTSxcos (3-3-6) 式中式中iSiivSSiiijiijijiTviTvivTiTTjjj10111010180180180其中其中Ti是第是第i邊的近似坐標(biāo)方位角邊的近似坐標(biāo)方位角18001iTTiji(3-3-7) 則（則（3-3-6）式可表示為）式可表示為)cos()(1iiSiiTvvSxji上式按泰勒級數(shù)展開，取至一次項(xiàng)，得上式按泰勒級數(shù)展開，取至一次項(xiàng)，得i

39、iSiiijivyvTxx1cos (3-3-8) 其中其中 , 為由觀測值計(jì)算出的近似坐標(biāo)增量。為由觀測值計(jì)算出的近似坐標(biāo)增量。(3-3-8)式代入式代入(3-3-5)式，并按式，并按v i合并同類項(xiàng)得合并同類項(xiàng)得iiiTSxcosninnSinniiSiiBCiijivyyvTxvyvTxxx111111)(1coscos 上式代入（上式代入（3-3-2）式，整理得）式，整理得0)(1cos1111 CnninnSixxvyyvTii(3-3-9)上式即為縱坐標(biāo)條件方程式，也可寫為統(tǒng)一形式：上式即為縱坐標(biāo)條件方程式，也可寫為統(tǒng)一形式： 0)(1cos111 xninnSiwvyyvTii(

40、3-3-10) )(1Cnxxxw3.橫坐標(biāo)附合條件式橫坐標(biāo)附合條件式可以仿照縱坐標(biāo)條件推導(dǎo)過程（請同學(xué)們自己具體可以仿照縱坐標(biāo)條件推導(dǎo)過程（請同學(xué)們自己具體推導(dǎo)一下），寫出橫坐標(biāo)條件式推導(dǎo)一下），寫出橫坐標(biāo)條件式0)(1sin111 yninnSiwvxxvTii (3-3-11) )(1Cnyyyw(3-3-12) 為使計(jì)算方便，保證精度，在實(shí)際運(yùn)算中，為使計(jì)算方便，保證精度，在實(shí)際運(yùn)算中，S、x、y常以米為單位，常以米為單位，w、vS、v以厘米為單位，則（以厘米為單位，則（3-3-9）和（）和（3-3-11）寫為）寫為0)(65.20621cos111xninnSiwvyyvTii0)(

41、65.20621sin111yninnSiwvxxvTii(3-3-14)(3-3-13) 綜上所述，單一附合導(dǎo)線的平差計(jì)算的基本程序是：綜上所述，單一附合導(dǎo)線的平差計(jì)算的基本程序是： (1)計(jì)算各邊近似方位角計(jì)算各邊近似方位角Ti和各點(diǎn)的近似坐標(biāo)增量值和各點(diǎn)的近似坐標(biāo)增量值xi、yi； (2)參照（參照（3-3-4）寫出方位角條件式，參照（）寫出方位角條件式，參照（3-3-9）、（）、（3-3-10）、（）、（3-3-11）、（）、（3-3-12）或者（）或者（3-3-13）、（）、（3-3-14）寫出縱橫坐標(biāo)條件方程式；）寫出縱橫坐標(biāo)條件方程式； (3)按照條件平差計(jì)算的一般程序，計(jì)算最或

42、是值并按照條件平差計(jì)算的一般程序，計(jì)算最或是值并進(jìn)行精度評定。進(jìn)行精度評定。二單一閉合導(dǎo)線條件平差二單一閉合導(dǎo)線條件平差 單一閉合導(dǎo)線是單一附合導(dǎo)線的特殊情況，只要單一閉合導(dǎo)線是單一附合導(dǎo)線的特殊情況，只要將圖將圖3-6中的中的B和和C、A和和D分別重合，就可得到圖分別重合，就可得到圖3-7所示的閉合導(dǎo)線。所示的閉合導(dǎo)線。 圖中有一個(gè)已知點(diǎn)和圖中有一個(gè)已知點(diǎn)和n-1個(gè)待定點(diǎn)，觀測了個(gè)待定點(diǎn)，觀測了n個(gè)轉(zhuǎn)個(gè)轉(zhuǎn)折角和折角和n+1條導(dǎo)線邊。為了定向，還觀測了一個(gè)連條導(dǎo)線邊。為了定向，還觀測了一個(gè)連接角接角1。不難分析，閉合導(dǎo)線中也只有三個(gè)多余觀。不難分析，閉合導(dǎo)線中也只有三個(gè)多余觀測值，產(chǎn)生三個(gè)條件

43、式。由于沒有多余起算數(shù)據(jù)，測值，產(chǎn)生三個(gè)條件式。由于沒有多余起算數(shù)據(jù)，因此沒有附合條件，只有閉合條件，這一點(diǎn)是與單因此沒有附合條件，只有閉合條件，這一點(diǎn)是與單一附合導(dǎo)線不同的。一附合導(dǎo)線不同的。 1.多邊形內(nèi)角和閉合條件多邊形內(nèi)角和閉合條件 由于導(dǎo)線網(wǎng)構(gòu)成了多邊形，其由于導(dǎo)線網(wǎng)構(gòu)成了多邊形，其n+1個(gè)轉(zhuǎn)折角的個(gè)轉(zhuǎn)折角的平差值應(yīng)滿足多邊形內(nèi)角和條件平差值應(yīng)滿足多邊形內(nèi)角和條件0180)2(12nni (3-3-15)寫成轉(zhuǎn)折角改正數(shù)條件方程形式寫成轉(zhuǎn)折角改正數(shù)條件方程形式012wvni (3-3-16) 其中其中180)2(12nwni(3-3-17) 2.坐標(biāo)增量閉合條件坐標(biāo)增量閉合條件 從從

44、B點(diǎn)開始，依次計(jì)算每一條邊的縱橫坐標(biāo)增量點(diǎn)開始，依次計(jì)算每一條邊的縱橫坐標(biāo)增量的平差值，其總和應(yīng)分別滿足如下關(guān)系：的平差值，其總和應(yīng)分別滿足如下關(guān)系：01nix01niy(3-3-18)(3-3-19) 參照單一附合導(dǎo)線縱橫坐標(biāo)附合條件推導(dǎo)方法，參照單一附合導(dǎo)線縱橫坐標(biāo)附合條件推導(dǎo)方法，可以得出坐標(biāo)閉合條件的改正數(shù)條件方程式可以得出坐標(biāo)閉合條件的改正數(shù)條件方程式 0)(1cos1111 xniinniSiwvyyvT(3-3-20) 如果如果S、x、y以米為單位，以米為單位，w、vS、v以厘米為以厘米為單位，則（單位，則（3-3-20）和（）和（3-3-21）兩式可寫為）兩式可寫為 0)(1s

45、in1111 yniinniSiwvxxvT)(1Bnxxxw)(1Bnyyyw (3-3-21)(3-3-22)(3-3-23)0)(65.20621cos111xninnSiwvyyvTii0)(65.20621sin111yninnSiwvxxvTii (3-3-24) (3-3-25)三邊角權(quán)的確定及單位權(quán)中誤差三邊角權(quán)的確定及單位權(quán)中誤差 導(dǎo)線網(wǎng)中，既有角度又有邊長，兩者的量綱不同，導(dǎo)線網(wǎng)中，既有角度又有邊長，兩者的量綱不同，觀測精度一般情況下也不相等。在依據(jù)最小二乘法觀測精度一般情況下也不相等。在依據(jù)最小二乘法進(jìn)行平差時(shí)，應(yīng)合理地確定邊角權(quán)之間的關(guān)系。為進(jìn)行平差時(shí)，應(yīng)合理地確定邊角

46、權(quán)之間的關(guān)系。為統(tǒng)一確定角度和邊長觀測值的權(quán)，可以采用以下方統(tǒng)一確定角度和邊長觀測值的權(quán)，可以采用以下方法。法。 取角度觀測值的權(quán)及中誤差為：取角度觀測值的權(quán)及中誤差為：p、 ；取邊長觀；取邊長觀測值的權(quán)及中誤差為：測值的權(quán)及中誤差為：pS、 ；取常數(shù)；取常數(shù) ，則角度，則角度及邊長觀測值的權(quán)為及邊長觀測值的權(quán)為s0220p220SSp 一般情況下，可以認(rèn)為同一導(dǎo)線網(wǎng)中測角精度一般情況下，可以認(rèn)為同一導(dǎo)線網(wǎng)中測角精度相等，但是由于導(dǎo)線邊長變化較大使得測邊精度相等，但是由于導(dǎo)線邊長變化較大使得測邊精度不等?？梢匀〔坏??？梢匀?，則有，則有0, 1p22SSp(3-3-26) 2秒 式中式中 以秒

47、為單位，以秒為單位，p無量綱。在實(shí)際計(jì)算邊長的無量綱。在實(shí)際計(jì)算邊長的權(quán)時(shí)，為使邊長觀測值的權(quán)與角度觀測值的權(quán)相差不權(quán)時(shí)，為使邊長觀測值的權(quán)與角度觀測值的權(quán)相差不至于過大，應(yīng)合理選取測邊中誤差的單位，如果至于過大，應(yīng)合理選取測邊中誤差的單位，如果 的的單位取為厘米，則單位取為厘米，則pS的量綱為的量綱為 / ；而在平差；而在平差計(jì)算中，計(jì)算中， 的單位與改正數(shù)的單位與改正數(shù)vS的單位要一致，均以厘的單位要一致，均以厘米為單位。米為單位。ss2厘米 由于導(dǎo)線網(wǎng)中，既有角度又有邊長，單位權(quán)中誤由于導(dǎo)線網(wǎng)中，既有角度又有邊長，單位權(quán)中誤差應(yīng)按下式計(jì)算：差應(yīng)按下式計(jì)算： 按此方法確定的權(quán)，在平差之后還

48、應(yīng)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)按此方法確定的權(quán)，在平差之后還應(yīng)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)。檢驗(yàn)通過后才能說明其合理性，否則，假設(shè)檢驗(yàn)。檢驗(yàn)通過后才能說明其合理性，否則，應(yīng)作修正再進(jìn)行平差和統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)。應(yīng)作修正再進(jìn)行平差和統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)。rvvpvvprpvvSSS0(3-3-27) 如前所述，由于在計(jì)算邊角權(quán)時(shí)，通常取測角中如前所述，由于在計(jì)算邊角權(quán)時(shí)，通常取測角中誤差作為單位權(quán)中誤差（即誤差作為單位權(quán)中誤差（即m0 = m），所以在按），所以在按（3-3-27）式算出的單位權(quán)中誤差的同時(shí)，實(shí)際上）式算出的單位權(quán)中誤差的同時(shí)，實(shí)際上也就計(jì)算出了測角中誤差。測邊中誤差可按下式計(jì)也就計(jì)算出了測角中誤差。測邊中誤差可按下式計(jì)算：

49、算：iiSSp10 (3-3-28)四例題四例題 如圖如圖3-8所示，為一四等附合導(dǎo)線，測角中誤差所示，為一四等附合導(dǎo)線，測角中誤差 = 2.5，測邊所用測距儀的標(biāo)稱精度公式，測邊所用測距儀的標(biāo)稱精度公式 = 5mm+5ppmD 。已知數(shù)據(jù)和觀測值見表。已知數(shù)據(jù)和觀測值見表3-2。試按。試按條件平差法對此導(dǎo)線進(jìn)行平差，并評定條件平差法對此導(dǎo)線進(jìn)行平差，并評定2號點(diǎn)的點(diǎn)位號點(diǎn)的點(diǎn)位精度。精度。s已知坐標(biāo)已知坐標(biāo)(m)已知方位角已知方位角B (187396.252 , 29505530.009)C (184817.605 , 29509341.482)TAB = 1614407.2TCD = 24

50、93027.9導(dǎo)線邊長觀測值導(dǎo)線邊長觀測值(m) 轉(zhuǎn)折角度觀測值轉(zhuǎn)折角度觀測值S1 = 1474.444S2 = 1424.717S3 = 1749.322S4 = 1950.4121 = 8530 21.12 = 25432 32.23 = 13104 33.34 = 27220 20.25 = 24418 30.0表表3-2解：解：未知導(dǎo)線點(diǎn)個(gè)數(shù)未知導(dǎo)線點(diǎn)個(gè)數(shù)n 1 = 3，導(dǎo)線邊數(shù)，導(dǎo)線邊數(shù)n = 4，觀測角，觀測角個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)n + 1 = 5近似計(jì)算導(dǎo)線邊長、方位角和各導(dǎo)線點(diǎn)坐標(biāo)，列于表近似計(jì)算導(dǎo)線邊長、方位角和各導(dǎo)線點(diǎn)坐標(biāo)，列于表3-2中中近似坐標(biāo)近似坐標(biāo)(m)近似方位角近似方位角2

51、(187966.645 , 29506889.655)3 (186847.276 , 29507771.035)4 (186760.011 , 29509518.179)5 (184817.621 , 29509341.465)T1 = 67 14 28.3T2= 141 47 00.5T3 = 92 51 33.8T4= 185 11 54.0T5 = 249 30 24.0表表3-3 (1)組成改正數(shù)條件方程及第組成改正數(shù)條件方程及第3點(diǎn)平差后坐標(biāo)函數(shù)式點(diǎn)平差后坐標(biāo)函數(shù)式改正數(shù)條件方程閉合差項(xiàng)：改正數(shù)條件方程閉合差項(xiàng)：)(51CDTTw)(52Cxxw)(53Cyyw= 3.9 = -1.

52、6 cm = 1.7 cm 改正數(shù)條件方程改正數(shù)條件方程0151 wvi0)(65.20621cos241541wvyyvTiiiSi0)(65.20621sin341541wvxxvTiiiSi即即v1 + v2 + v3 + v4 + v5 3.9 = 00.3868VS1 - 0.7857VS 2 - 0.0499VS 3 0.9959VS 4 1.8479V1 1.1887V2 - 0.7614V3 + 0.0857V4 + 1.6 = 00.9221VS1 +0.6186VS 2 + 0.9988VS 3 - 0.0906VS 4 1.2502V1 1.5267V2 0.9840V3

53、 0.9417V4 1.7 = 009417. 09840. 05267. 12502. 10906. 09988. 06186. 09221. 000857. 07614. 01887. 18479. 19959. 00499. 07857. 03868. 0111110000A W= 3.9 -1.6 1.7 T第第3點(diǎn)平差后坐標(biāo)函數(shù)式點(diǎn)平差后坐標(biāo)函數(shù)式 221112113coscosTsTsxxxxx221112113sinsinTsTsyyyyy全微分得全微分得 213213)(1cosiiiidyysdTxd 213213)(1siniiiidxxsdTyd fx3 = 0.3868

54、 0.7857 0 0 1.0865 0.4273 0 0 0 fy3 = 0.9221 0.6186 0 0 -0.2662 -0.5427 0 0 0 (2)確定邊角觀測值的權(quán)確定邊角觀測值的權(quán)設(shè)單位權(quán)中誤差設(shè)單位權(quán)中誤差 5 . 20TT 根據(jù)提供的標(biāo)稱精度公式根據(jù)提供的標(biāo)稱精度公式 = 5 mm + 5ppmD計(jì)算測邊中誤差計(jì)算測邊中誤差S 根據(jù)根據(jù)(3-3-26)式，測角觀測值的權(quán)為式，測角觀測值的權(quán)為 P = 1；為不使測邊觀測值的權(quán)與測角觀測值的權(quán)相差過大，為不使測邊觀測值的權(quán)與測角觀測值的權(quán)相差過大，在計(jì)算測邊觀測值權(quán)時(shí)，取測邊中誤差和邊長改正在計(jì)算測邊觀測值權(quán)時(shí)，取測邊中誤差

55、和邊長改正值的單位均為厘米（值的單位均為厘米（cm）。）。220SSP22cmS( )則可得觀測值的權(quán)陣為則可得觀測值的權(quán)陣為1111P (3)組成法方程，計(jì)算聯(lián)系數(shù)、改正數(shù)及觀測組成法方程，計(jì)算聯(lián)系數(shù)、改正數(shù)及觀測值平差值，得值平差值，得TTWAAPWNK4951. 30599. 12440. 3)(111TTKAPV2440. 30425. 06118. 08321. 08328. 02463. 00739. 16965. 06861. 01 5.36812445.20022726.34401317.30232544.220385417.1950342.1749731

56、.1424460.1474543214321SSSS進(jìn)一步計(jì)算各導(dǎo)線點(diǎn)的坐標(biāo)平差值，得進(jìn)一步計(jì)算各導(dǎo)線點(diǎn)的坐標(biāo)平差值，得1 (187966.644 , 29506889.663)；2 (186847.270 , 29507771.048)；3(186760.000, 29509518.201)(4)精度評定精度評定1）單位權(quán)中誤差）單位權(quán)中誤差6 . 20 rPVVT2）點(diǎn)位中誤差）點(diǎn)位中誤差權(quán)倒數(shù)：權(quán)倒數(shù)：6154. 0311133133xTTxxTxxfAPNAPffPfQ2788. 0311133133yTTyyTyyfAPNAPffPfQ點(diǎn)位中誤差：點(diǎn)位中誤差：cmQxx16. 430

57、3cmQyy88. 130323233yx= 2.46 cm3-4 三角網(wǎng)條件平差計(jì)算三角網(wǎng)條件平差計(jì)算 三角網(wǎng)測量的目的，是通過觀測三角形的各角度或三角網(wǎng)測量的目的，是通過觀測三角形的各角度或邊長，計(jì)算三角網(wǎng)中各未知點(diǎn)的坐標(biāo)、邊的長度及方位邊長，計(jì)算三角網(wǎng)中各未知點(diǎn)的坐標(biāo)、邊的長度及方位角等。三角網(wǎng)按條件平差計(jì)算時(shí)，首要的問題是列出條角等。三角網(wǎng)按條件平差計(jì)算時(shí)，首要的問題是列出條件方程。因此了解三角網(wǎng)的構(gòu)成，總結(jié)其條件方程的種件方程。因此了解三角網(wǎng)的構(gòu)成，總結(jié)其條件方程的種類及各種條件方程的組成規(guī)律是十分重要的。三角網(wǎng)的類及各種條件方程的組成規(guī)律是十分重要的。三角網(wǎng)的種類比較多，網(wǎng)的布設(shè)形

58、式也比較復(fù)雜。根據(jù)觀測內(nèi)容種類比較多，網(wǎng)的布設(shè)形式也比較復(fù)雜。根據(jù)觀測內(nèi)容的不同，有測角網(wǎng)、測邊網(wǎng)、邊角同測網(wǎng)等；根據(jù)網(wǎng)中的不同，有測角網(wǎng)、測邊網(wǎng)、邊角同測網(wǎng)等；根據(jù)網(wǎng)中起始數(shù)據(jù)的多少，有自由三角網(wǎng)和非自由三角網(wǎng)。自由起始數(shù)據(jù)的多少，有自由三角網(wǎng)和非自由三角網(wǎng)。自由三角網(wǎng)是指僅具有必要起算數(shù)據(jù)的三角網(wǎng)，網(wǎng)中沒有多三角網(wǎng)是指僅具有必要起算數(shù)據(jù)的三角網(wǎng)，網(wǎng)中沒有多余的已知數(shù)據(jù)。余的已知數(shù)據(jù)。 如果測角三角網(wǎng)中，只有兩個(gè)已知點(diǎn)（或者已知如果測角三角網(wǎng)中，只有兩個(gè)已知點(diǎn)（或者已知一個(gè)已知點(diǎn)的坐標(biāo)、一條已知邊的長度和一個(gè)已知一個(gè)已知點(diǎn)的坐標(biāo)、一條已知邊的長度和一個(gè)已知的方位角），根據(jù)數(shù)學(xué)理論，以這兩個(gè)已

59、知點(diǎn)為起的方位角），根據(jù)數(shù)學(xué)理論，以這兩個(gè)已知點(diǎn)為起算數(shù)據(jù)，再結(jié)合必要的角度測量值，就能夠解算出算數(shù)據(jù)，再結(jié)合必要的角度測量值，就能夠解算出網(wǎng)中所有未知點(diǎn)的坐標(biāo)。如果三角網(wǎng)中除了必要的網(wǎng)中所有未知點(diǎn)的坐標(biāo)。如果三角網(wǎng)中除了必要的起算數(shù)據(jù)外還有其它的已知數(shù)據(jù)，或者說已知數(shù)據(jù)起算數(shù)據(jù)外還有其它的已知數(shù)據(jù)，或者說已知數(shù)據(jù)有冗余，就會(huì)增加對網(wǎng)形的約束，從而增強(qiáng)其可靠有冗余，就會(huì)增加對網(wǎng)形的約束，從而增強(qiáng)其可靠性，這種三角網(wǎng)稱之為非自由三角網(wǎng)。無論多么復(fù)性，這種三角網(wǎng)稱之為非自由三角網(wǎng)。無論多么復(fù)雜的三角網(wǎng)，都是由單三角形、大地四邊形和中點(diǎn)雜的三角網(wǎng)，都是由單三角形、大地四邊形和中點(diǎn)多邊形組合而成的。多

60、邊形組合而成的。 在本節(jié)，我們先討論三角網(wǎng)條件平差中條件方程在本節(jié)，我們先討論三角網(wǎng)條件平差中條件方程個(gè)數(shù)的確定問題，然后主要討論測角三角網(wǎng)的條件個(gè)數(shù)的確定問題，然后主要討論測角三角網(wǎng)的條件方程的形式問題。方程的形式問題。一、網(wǎng)中條件方程的個(gè)數(shù)一、網(wǎng)中條件方程的個(gè)數(shù) 三角網(wǎng)平差的目的，是要確定三角點(diǎn)在平面坐標(biāo)三角網(wǎng)平差的目的，是要確定三角點(diǎn)在平面坐標(biāo)系中的坐標(biāo)最或然值。如圖系中的坐標(biāo)最或然值。如圖3-9所示，根據(jù)前面學(xué)到所示，根據(jù)前面學(xué)到的測量基礎(chǔ)知識，我們知道，必須事先知道三角網(wǎng)的測量基礎(chǔ)知識，我們知道，必須事先知道三角網(wǎng)中的四個(gè)數(shù)據(jù)，如兩個(gè)三角點(diǎn)的中的四個(gè)數(shù)據(jù)，如兩個(gè)三角點(diǎn)的4個(gè)坐標(biāo)值，或