梅涅勞斯定理

1、【定理內(nèi)容】梅涅勞斯定理的逆定理也成立，即如果有三點(diǎn) F、D、E 分別在 ABC 的三邊 AB、BC、CA 或其延長線上，中學(xué)數(shù)學(xué)中的著名定理o梅涅勞斯定理曰由古希臘數(shù)學(xué)家梅涅勞斯首先證明的證：:如圖，過A作 G/BC 交 CF 延長線于 G，AFCE _ CDEA一AG，CD_CDAFCEBDFBEA CDAFBD CEFBDCEABBDECEsin.AF BD CEAE BF CD【逆定理】即圧型I.FB DC EA且滿足如果一條直線與 AABC 的三邊 AB、BC、CA 或其延長線交于E 占F、 D、E， 貝 U F、F、 D、丞氏線 ACD背景簡AFFB那么AF BD CE=1.FB

2、DC EA評等價敘述：AABC 的三邊 AB、BC、CA 或其延長線上有。三點(diǎn)所在直線稱為三角DC EAE梅涅勞斯（Menelaus）點(diǎn)共線中學(xué)數(shù)學(xué)中的著名定理 1注利用梅涅勞斯定理的逆定理可判定三點(diǎn)共線【定理應(yīng)用】 梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理 1：若 ABC 的.A 的外角平分線交邊 BC 延長線于 P，B 的平分線交邊 AC 于Q，C 的平分線交邊R 三點(diǎn)共線?！径ɡ響?yīng)用】證： CR 是。O 的切線,故 P、Q、R 三點(diǎn)共線【定理應(yīng)用】【例 1】已知：過 ABC 頂點(diǎn) C 的直線，與邊 AB 及中線 AD 分別交于點(diǎn) F 和 E.AFFBBDDCH=1，那么 F、E 三點(diǎn)共線AB 于 R， 貝

3、 U P、R 三點(diǎn)共線。證：由三角形內(nèi)、外角平分線定理知,BP BACQBCAR CAPC CA QAAB，RB CB 則ARBPCQCA BARBPCQA CB CAJ，AB梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理2:過任意=ABC 的三個頂點(diǎn)C 作它的外接圓的切線，分別和 BC、CA、 AB 的延長線交于點(diǎn)P、Q、R，貝 U P、Q、R三點(diǎn)共線。 RACs ：RCB,.RA RC ACRC RB則RA二RARBCB RC ,AC=(BPAB、2CQ1-()-(CPACQABPCQ/ CA、2(BA()(PCQACBCA2RCBC同理:BA.ARRBRB CB)，)2(BC中學(xué)數(shù)學(xué)中的著名定理2AE 2AF求

4、證：ED FB證明：直線 CEF 截 ABD ,由梅涅勞斯定理，得AF BC DE1得：1FB CD EA又 BC 二 2CD ,.AF DE 1FB EA 2則AE=2AFED FB注此例證法甚多， 如“平行線”“面積法”等，詳情參看初中數(shù)學(xué)一題多解欣賞【定理應(yīng)用】【例 2】已知：過. ABC 重心 G 的直線分別交邊 AB、AC 及 CB 延長線于點(diǎn) E、F、D .求證:BE CF1.EA FA證：連接 AG 并延長交 BC 于M,貝 U BM 二 CM , DEG 截：ABM ,CFAGEA GMMD ,DB同理：1FAGMDCBEGMDBCFGMDCEAAGMD，F(xiàn)AAGMD，由梅氏定理得，BE AG MD