圓錐曲線解題技巧和方法綜合全

1、圓錐曲線的解題技巧一、常規(guī)七大題型：(1)中點弦問題具有斜率的弦中點問題，常用設而不求法(點差法)：設曲線上兩點為(x1, y1)，(x2,y2)，代入方程，然后兩方程相減，再應用中點關系及斜率公式(當然在這里也要注意 斜率不存在的請款討論)，消去四個參數(shù)。2 2如：(1)篤篤=1(a b 0)與直線相交于A、B,設弦AB中點為M(Xo,yo)，則有a b卑卑k=0。a b2 2(2) 篤-每=1(a0,b0)與直線I相交于A B,設弦AB中點為M(xo,yo)則有a bI相交于A、B設弦AB中點為M(X0,y0),則有2yk=2p,即yok=p.2給定雙曲線x2-1。過A(2，1)的直線與雙

2、曲線交于兩點R及F2，2求線段F1P2的中點F的軌跡方程。(2)焦點三角形問題橢圓或雙曲線上一點P,與兩個焦點F1、F2構成的三角形問題，常用正、余弦定理搭橋。2 2典型例題 設P(x,y)為橢圓xy22=1上任一點，F(xiàn)1（-c,0）,F2（C,0）為焦點,PF1F2二-，PF2R =:。Xoayo=02（3）y =2 px（p0）與直典型例題(2)求|PFPFJ3的最值。(3)直線與圓錐曲線位置關系問題直線與圓錐曲線的位置關系的基本方法是解方程組，進而轉化為一元二次方程后利用判 別式、根與系數(shù)的關系、求根公式等來處理，應特別注意數(shù)形結合的思想，通過圖形的直觀性幫助分析解決問題，如果直線過橢圓

3、的焦點，結合三大曲線的定義去解。典型例題拋物線方程y2=p(x 1) (p 0)，直線xy=：t與x軸的交點在拋物線準線的右邊。(1)求證：直線與拋物線總有兩個不同交點(2)設直線與拋物線的交點為A、B,且0A丄0B,求p關于t的函數(shù)f(t)的表達式。(4)圓錐曲線的相關最值(范圍)問題圓錐曲線中的有關最值(范圍)問題，常用代數(shù)法和幾何法解決。若命題的條件和結論具有明顯的幾何意義，一般可用圖形性質(zhì)來解決。若命題的條件和結論體現(xiàn)明確的函數(shù)關系式，則可建立目標函數(shù)(通常利用二次函 數(shù)，三角函數(shù)，均值不等式)求最值。(1),可以設法得到關于a的不等式，通過解不等式求出a的范圍，即：“求范圍，找不等式

4、”或者將a表示為另一個變量的函數(shù)，利用求函數(shù)的值域求出a的范圍；對于(2)首先要把NAB的面積表示為一個變量的函數(shù)，然后再求它的最大值，即：“最值問題，函數(shù)思想”最值問題的處理思路：1、 建立目標函數(shù)。用坐標表示距離，用方程消參轉化為一元二次函數(shù)的最值問題，關 鍵是由方程求x、y的范圍；2、 數(shù)形結合，用化曲為直的轉化思想；3、 利用判別式，對于二次函數(shù)求最值，往往由條件建立二次方程，用判別式求最值；4、 借助均值不等式求最值。典型例題(1)求證離心率sin（G十 P）sin a +sin P 已知拋物線y2=2px(p0),過M(a,0)且斜率為1的直線L與拋物線交于不同的兩點A、B,|AB

5、|0),求動點M的軌跡方程，并說明它是什么曲線。(6)存在兩點關于直線對稱問題在曲線上兩點關于某直線對稱問題，可以按如下方式分三步解決：求兩點所在的直線， 求這兩直線的交點，使這交點在圓錐曲線形內(nèi)。(當然也可以利用韋達定理并結合判別式來解決)y =4xm，橢圓C上有不同兩點關于直線對稱(7)兩線段垂直問題y1 y2圓錐曲線兩焦半徑互相垂直問題，常用ki k212二-1來處理或用向量的坐標x1 x2典型例題已知橢圓C的方程=1，試確定m的取值范圍，使得對于直線運算來處理。典型例題已知直線l的斜率為k，且過點P（-2,0），拋物線C:y2= 4（x 1），直線I與拋物線C有兩個不同的交點（如圖）。

6、（1）求k的取值范圍；（2） 直線I的傾斜角二為何值時，A、B與拋物線C的焦點連線互相垂直。四、解題的技巧方面：在教學中，學生普遍覺得解析幾何問題的計算量較大。事實上，如果我們能夠充分利用幾何圖形、韋達定理、曲線系方程，以及運用“設而不求”的策略，往往能夠減少計算量。 下面舉例說明：（1）充分利用幾何圖形解析幾何的研究對象就是幾何圖形及其性質(zhì)，所以在處理解析幾何問題時，除了運用代 數(shù)方程外，充分挖掘幾何條件，并結合平面幾何知識，這往往能減少計算量。典型例題設直線3x 4y m = 0與圓x2 y2 x - 2y =0相交于P、Q兩點，O為坐標原點，若OP_OQ，求m的值。（2）充分利用韋達定理

7、及“設而不求”的策略我們經(jīng)常設出弦的端點坐標而不求它，而是結合韋達定理求解，這種方法在有關斜率、中點等問題中常常用到。典型例題已知中心在原點O,焦點在y軸上的橢圓與直線y = x 1相交于P、Q兩點，且OP_OQ,|PQ|二0，求此橢圓方程。2（3）充分利用曲線系方程利用曲線系方程可以避免求曲線的交點，因此也可以減少計算。2 2 2 2典型例題求經(jīng)過兩已知圓C1: x y -4x 2y = 0和C2: x y -2y-4 =0的 交點，且圓心在直線丨：2x 4y 0上的圓的方程。(4)(4)充分利用橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解決相關的求最值的問題.這

8、 也是我們常說的三角代換法。2 2典型例題P為橢圓 篤占=1上一動點，A為長軸的右端點，B為短軸的上端點，求四a b邊形OAPB面積的最大值及此時點P的坐標。(5)(5)線段長的幾種簡便計算方法1充分利用現(xiàn)成結果，減少運算過程一般地，求直線與圓錐曲線相交的弦AB長的方法是：把直線方程y=kx b代入圓錐曲線方程中，得到型如ax2bx，c = 0的方程，方程的兩根設為xA,xB，判別式為,則|AB卜1 k2|xA-xB|= k2一，若直接用結論，能減少配方、開方等運算|a|過程。例 求直線x - y 1 =0被橢圓x24y2二16所截得的線段AB的長。2結合圖形的特殊位置關系，減少運算在求過圓錐

9、曲線焦點的弦長時，由于圓錐曲線的定義都涉及焦點，結合圖形運用圓錐曲線的定義，可回避復雜運算。2 2例F1、F2是橢圓-y1的兩個焦點，AB是經(jīng)過F1的弦，若|AB|=8，求值259| F2AI |F2B|3禾U用圓錐曲線的定義，把到焦點的距離轉化為到準線的距離例 點A(3,2)為定點，點F是拋物線y2二4x的焦點，點P在拋物線y2= 4x上移動，若|PA|TPF|取得最小值，求點P的坐標。圓錐曲線解題方法技巧歸納第一、知識儲備:1.1. 直線方程的形式(1) 直線方程的形式有五件：點斜式、兩點式、斜截式、截距式、一般式。(2) 與直線相關的重要內(nèi)容1傾斜角與斜率k二tan三0,二)2點到直線的

10、距離d =A第Byo啟夾角公式：JA2+B2tan屮2-匕|仆2人|(3) 弦長公式直線y =kx +b上兩點A(X|, yj, B(x2, y2)間的距離：AB| =Ji + k21 -x2=J(i + k2)(xi+X2)24x1X2或AB= Ji * I % - y2(4) 兩條直線的位置關系h _ 12二環(huán)2=-1=-1hl2二kk2且 d =b22 2、圓錐曲線方程及性質(zhì)(1)(1) 、橢圓的方程的形式有幾種？(三種形式)2 2標準方程：=1(m 0, n 0且mn)m n距離式方程：、(x c)2y2.(x-c)2y2= 2a參數(shù)方程：x =acos, y =bsin日(2)(2)

11、 、雙曲線的方程的形式有兩種標準方程：2 2xy1(m n：0)m n距離式方程:| (x c)2y2_ . (x c)2y2|=2a(3)(3)、三種圓錐曲線的通徑你記得嗎？橢圓：近；雙曲線：玄；拋物線：2paa(4)(4)、圓錐曲線的定義你記清楚了嗎？2 2已知印F2是橢圓- 仝=1的兩個焦點，平面內(nèi)一個動點M M 滿43足MFMF?=2則動點 M M 的軌跡是( )A A、雙曲線；B B、雙曲線的一支；C C、兩條射線；D D、一條射線(5)(5)、焦點三角形面積公式：P 在橢圓上時，SFPF=b2tan$0 P 在雙曲線上時，S爭PF二 b2cot -(其中F,PF2- dcosv -

12、IPFLI IPFLI空，PF,PF2=|PF,| PF2|COS)| PF,| | PF2|(6)(6)、記住焦 半 徑公式： (1 1)橢圓焦點在 x 軸上時為 a_exo；焦點在 y 軸上時為 a 一 ey，可簡記為“左加右減，上加下減”(2)雙曲線焦點在 x 軸上時為 e|x0|_a(3)拋物線焦點在 x 軸上時為| x,號,焦點在 y 軸上時為| y1L-p如:(6)(6)、橢圓和雙曲線的基本量三角形你清楚嗎？ _第二、方法儲備1 1、點差法(中點弦問題)2 2設AXi，y,、Bxzy，M a,b為橢圓乞丄=1的弦AB中點則有43=1Xi- X2XiXyi- y25 23a二=kAB

13、一乓2 2、聯(lián)立消元法：你會解直線與圓錐曲線的位置關系一類的問題嗎?經(jīng)典套路是什么？如果有兩個參數(shù)怎么辦？設直線的方程，并且與曲線的方程聯(lián)立，消去一個未知數(shù)，得到 一個二次方程，使用判別式.-0，以及根與系數(shù)的關系，代入弦 長公式，設曲線上的兩點A（X!, yi）, B（X2, y2），將這兩點代入曲線方 程得到兩個式子，然后 - -，整體消元.,若有兩個字母未知數(shù)，貝 S 要找到它們的聯(lián)系，消去一個，比如直線過焦點， 則可以利用三點 A A、B B、F F 共線解決之。若有向量的關系，則尋 找坐標之間的關系，根與系數(shù)的關系結合消元處理。 一旦設直線 為y = kX b，就意味著 k k 存在

14、。例 1 1、已知三角形 ABCABC 的三個頂點均在橢圓4x25y2=80上，且點 A A是橢圓短軸的一個端點（點 A A 在 y y 軸正半軸上）. .（1 1） 若三角形 ABCABC 的重心是橢圓的右焦點，試求直線 BCBC 的方程; ;（2 2） 若角 A A 為900, ADAD 垂直 BCBC 于 D D，試求點 D D 的軌跡方程. .分析：第一問抓住“重心”，利用點差法及重心坐標公式可求出中點 弦 BCBC 的斜率，從而寫出直線 BCBC 的方程。第二問抓住角 A A 為90可得 出 ABAB 丄 ACAC,從而得W2 y”2-14（力 y2） 16 =0，然后利用聯(lián)立消元法

15、及交軌法求出點 D D 的軌跡方程；解：（1 1）設 B B （X1, ,y1） ,C,C（X2, ,y2）,BC,BC 中點為（x, y）,F,F（2,02,0）則有2 2Xiyy432X24 4 警= =1 1；兩式相減得專匚氣 L L。22 2 2生+比=么丄2016 -，2016F(2,0)F(2,0)為三角形重心，所以由X1空=2，得Xo=3，由y1 y2 4= 0得33yo - -2，代入(1)得k =5直線 BCBC 的方程為6x-5y-28=02)2)由 ABAB 丄 ACAC 得x1x2y1y2-14(y1y2) 1 0( 2 2)設直線 BCBC 方程為y = kx b,代

16、入 4x2 5y2= 80, 得(4 5k2)x210bkx 5b2-80 =0-10kb5b280 x1 x2_ 4 5k2，x1x2_ 4 . 5k22 29y 9x -32y-16=0所以所求點 D D 的軌跡方程是x2（y-16）2=（壘）2（y = 4）994 4、設而不求法 例 2 2、如圖，已知梯形 ABCDABCD 中AB-2CD，點 E E 分有向線段AC所成的比為,雙曲線過 c c、D D、E E 三點，且以A、B B 為焦點當討 W 時， 求雙曲線離心率e的取值范圍。兩式作差有(捲*2)(洛-X2)(yi- y2)(yiy?)20 16xoyok-J-54(1(18ky1

17、y2 =24 5k,y1y24b2-80k224 5k代入（2 2）式得29b -32b -1624 5k2=0,解得b =4(舍)或b9直線過定點（0 0 ,冷，設 D D（x x，y y）,分析：本小題主要考查坐標法、定比分點坐標公式、雙曲線的概念程得和性質(zhì)，推理、運算能力和綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力。建立直角坐標系xOy，如圖，若設 C CC,h，代入篤爲=1，求得h二川,12丿a b2進而求得x|l|,y|l,再代入篤a2b-1，建立目標函數(shù)f (a,b,c, ) =0，整理f(e, J-0，此運算量可見是難上加難 我們對h可 米取設而不求的解題策略，建立目標函數(shù)f (a.b.c,

18、 ) =0，整理f(ej)=0, ,化繁為簡. .解法一：如圖，以 ABAB 為垂直平分線為y軸，直線 ABAB 為x軸,建立直角坐標系xOy,則 CDCD 丄y軸因為雙曲線經(jīng)過點 C C、D D，且以 A A、B B 為焦點，由雙曲線的對稱性知 C C、D D 關于y軸對稱依題意，記 A A-c, 0, C C|,h, E EXo, yo，其中c=*|AB|為雙曲線的半焦距，h是梯形的高，由定比分點坐標公式得-Cj -2cX。01 2 12 2設雙曲線的方程為冷-與=1,a b由點 C C、E E 在雙曲線上，將點C C、E E 的坐標和 e e，代入雙曲線方ae2b2e2由式得=2 k2

19、1將式代入式，整理得24_4：2，4故 =1 _ J-21由題設.攔得，？叮_亠迄3343e2+2 4解得.7 e,10所以雙曲線的離心率的取值范圍為1.7 , JO 1分析：考慮|AE , AC為焦半徑，可用焦半徑公式，|AE , AC用E,C的橫坐 標表示，回避h的計算，達到設而不求的解題策略.解法二：建系同解法一，| AE =-（a + e ）, AC| = a + ex：,設3八4得，討-兀詩解得.7 10所以雙曲線的離心率的取值范圍為 7 , J015 5、判別式法例 3 3 已知雙曲線c工工=1，直線I過點A . 2,0，斜率為k，當0 k : 12 2時，雙曲線的上支上有且僅有一

20、點 B B 到直線I的距離為2，試求k的值及此時點 B B 的坐標。分析 1 1:解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何圖形的一門學科，因此， 數(shù)形結合必然是研究解析幾何問題的重要手段. .從“有且僅有” 這個微觀入手，對照草圖，不難想到：過點 B B 作與I平行的直線，必 與雙曲線 C C相切. .而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構造方程的判別式c_cx=_2_Ei 21（九一2匕又lAE=，|AC -，代入整理一壬，由題0.由此出發(fā)，可設計如下解題思路:I: y=k(x .2)0 : k :：: 1直線 I在 I 的上方且到直線 I 的距離為.2解得 k 的值解題過程略. .分析 2 2:如果從代數(shù)推理的

21、角度去思考，就應當把距離用代數(shù)式 表達，即所謂“有且僅有一點 B B 到直線I的距離為42”，相當于化歸 的方程有唯一解. .據(jù)此設計出如下解題思路：問題ftkx-p2+x2-2k1 L關于x的方程-_丄=2(0 Ck 1 )有唯一j轉化為一元二次方程根的問題求解y,令判別式厶二0=2 k2 1kx -l2 x2- 2k0 : k : 1簡解：設點M(x, 2 x2)為雙曲線 C C 上支上任一點，則點 M M 到直線I的距離為:于是，問題即可轉化為如上關于x的方程. .由于0：k：1，所以2 x2x kx，從而有kx_J2 +x2-J2k = _kx + J2 + x2+ J2k.于是關于x

22、的方程-kx 2 x22k二2(k21)匕.2 x2彳=(2(k21) - . 2k kx)2,|-J2(k21) - .2k kx 0 _ _ _ ,_ 2二*2_1 x2+2kC2(k2+1)_、；2k x +Q2(k2+1) _2 =0,x29k 427k 6 9k2-5捲 _ -9k2、9k2-529k 418kX2_ = = 1 1 _ _- = = 1 19k 2.9k2-59k 2、9k2-59 2 9-185k2所以-1 _1在于不是關于 g 的對稱關系式. .原因找到后解決問題的方法自然也就有了，即我們可以構造關于XX2的對稱關系式. .簡解 2 2：設直線I的方程為：y=k

23、x3，代入橢圓方程，消去y得9k24 x254kx 45 = 0（* *）4529k 4XiX2-54k9k24x1x2令魚一，則，丄324k2.x2-45k - 20在（* *）中，由判別式0,可得k25，9324k0, n0)將A(-2,0)、B(2,0)、C(1,|)代入橢圓E的方程，得4m =1,i i9解得m= , n =-. .二橢圓E的方程+=1.m n =14343I. 41(H)|FH| = 2，設ADFH邊上的高為SDFH=1I h=h(H)由-DFH內(nèi)切圓面積最大轉化為DFH面積最大轉化為點D的縱坐標的絕對值最大最大= DFH面積最大值為3D為橢圓短軸端點得出D點坐標為當

24、點D在橢圓的上頂點時，h最大為-.3，所以S.DFH的最大值為壯.設ADFH的內(nèi)切圓的半徑為R，因為DFH的周長為定值 6 6.所以，S.DFHR 6所以R的最大值為 彳.所以內(nèi)切圓圓心的坐標為(o,f)點石成金：1S的內(nèi)切圓=27 .0.點石成金：C,D都在以B為圓心的圓上二 BCBC 二 BD=BD= BEBE 丄 CD;CD;例 1111、已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，橢圓點到焦點距離的最大值為 3 3,最小值為 1 1.(I)求橢圓C的標準方程；(II) 若直線i：y=k=kx+ +m與橢圓C相交于A、B兩點(A、左右頂點)，且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點.直線l過定點

25、，并求出該定點的坐標.思維流程：2 2解: (I)由題意設橢圓的標準方程為二 追1(a b 0),a b由已知得：a c=3, a-c=1,(II(II )設A(x1, yj, Bg y2).得(3 4k2)x28mkx 4(m2-3) = 0，則込=64m2k216(3 +4k2)(m2) 0,即 3+4k2m20,2iiI2乂y1y (kx1m)(kx2m) = kXM2mk(x1x2) mC上的B不是求證:a 2, c=1,橢圓的標準方程為二ac2 2 1.43劉亠 X2 = -8mk3 4kX1X24(m23)3 4k23(m2-4k2)3 4k20.因為以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點D(2,0),kADkBD =_1，即 =_1. .-y1y2X1X2-2(x1x2) 4% 2 x2_2如24 .42-?）.舉-0. 7m216mk 4k0.3 4k23 4k23 4k2解得：g = -2k, m2= - #，且均滿足3 4k2 m2. 0.當m -2k時，I的方程y二k（x一2），直線過點（2,0），與已知矛盾;當m2=-牛時，I的方程為y=k一2，直線過定點I,.所以直線1過定點定點坐標為7-點石