2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二講證明不等式的基本方法二綜合法與分析法學(xué)案(含解析)新人教

1、1二綜合法與分析法1 .綜合法定義從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過一系列的推理、論證而得出命 題成立，這種證明方法叫做綜合法綜合法又叫順推證法或由因?qū)Ч?(2)證明的框圖表示用P表示已知條件或已有的不等式，用Q表示所要證明的結(jié)論,為P?QTQ? QTQ?QTQ?Q2.分析法定義證明命題時，從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為已知- -條件或一個明顯成立的事實(shí)(定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等)，從而得出要證的命題成立，這種證明方法叫做分析法分析法又叫逆推法或執(zhí)果索因法.(2)證明過程的框圖表示用Q表示要證明的不等式，則分析法可用框圖表示為|Q?P|T

2、|R?R|T|R?P3|/T.T得到一個明顯成立的條件可將所證不等式左邊展開， 運(yùn)用已知和基本不等式可得證，也可以用X+y取代“1化簡左邊，然后再用基本不等式.法一：x0,y0,. 1 =x+y2xy.1-xy三 4.則綜合法可用框圖表示已知x0,y0,且x+y= 1,求證:x y xy用綜合法證明不等式(1+X)2=1+x+y+ = 1 +1+ 8= 9.xy xy xy當(dāng)且僅當(dāng)x=y=舟時，等號成立.法二：Tx+y= 1,x0,y0.3在不等式的兩邊同時加上“a2+b2+c2”，得3(a+b+C)，(a+b+c)2,1即a2+b2+c23(a+b+c)2.在不等式的兩端同時加上2(ab+b

3、c+ca)，得2 1 +- 1 +1 =x+y1+x2y xx+y5+2X2=9.當(dāng)且僅當(dāng)1x=y= 時， 等號成立.方法方法 規(guī)律規(guī)律 小結(jié)小結(jié)綜合法證明不等式，揭示出條件和結(jié)論之間的因果聯(lián)系，間、不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系合理進(jìn)行轉(zhuǎn)換，恰當(dāng)選擇已知不等式,為此要著力分析已知與求證之這是證明的關(guān)1.已知a,b,cR+,證明不明式：a+b+cab+bc+ca，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時，等號成立.證明：因?yàn)閍0,b0,c0,故有a+b2. ab,當(dāng)且僅當(dāng)f豪41b+cbca=b時，等號成立;當(dāng)且僅當(dāng)b=c時，等號成立;，當(dāng)且僅當(dāng)c=a時，等號成立. 二式相加，得a+b+cab+您bc+：Jca

4、. 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時，等號成立.2.已知a,b,c都是實(shí)數(shù)，求證：c+a22 2 212a+b+c3(a+b+c) ab+bc+ca.3證明：Ta,b,c R,將以上三個不等式相加，得2 2 22(a+b+c) 2(ab+bc+ca)，ooo即a+b+cab+bc+ca.=5+ 24(a+b+c) 3(ab+bc+ca),12即 3(a+b+c) ab+bc+ca.31ooo1o由，得a+b+c3(a+b+c) ab+bc+ca.3用分析法證明不等式11已知x0,y0,求證：(x2+y2)(x3+y3)-.23不等式兩邊是根式，可等價變形后再證明分析每一步成立的充分條件.221331要證明

5、(X+y)2(x+y)3, 只需證(x2+y2)3(x3+y3)2, 即證x6+ 3x4y2+ 3x2y4+y6x6+ 2x3y3+y6,4 22433即證 3x y+ 3x y2x y.2 2/x0,y0,=xy0._22即證 3x+ 3y2xy.小2小 2 22、 小/ 3x+3yx+y2xy,22 3x+ 3y2xy成立.1331(X+y)2(x+y).方法方法 規(guī)律規(guī)律 小結(jié)小結(jié)(1) 當(dāng)所證不等式與重要不等式、基本不等式?jīng)]有什么直接聯(lián)系，或條件與結(jié)論之間的關(guān)系不明顯時，可用分析法來尋找證明途徑.(2) 分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步都必須可逆.3.求證：，3+ . 70,2 50,.

6、要證3+ 72 5,只需證明(,3+ , 7)2(2 .5)2.5展開，得 10 + 2 2120.即證 2 2110,即證 2125(顯然成立). 3+7a+b.求證：cc-abac+c2ab.證明：要證cc2abac+c2ab,只需證一-Jc abacJcab,即證 |ac| “ /c ab,兩邊平方，得a 2ac+ccab,也即證a2+ab2ac,即a(a+b)2ac./ a,b R+,且a+b2c,a(a+b)0,b0,且a+b= 1,求證：- - a+ 1 + b+ 1 w；6.所證不等式含有開方運(yùn)算且兩邊都為正數(shù)，可考慮兩邊平方，用分析法轉(zhuǎn)化為一個不要證：,+ 1 +b+ 1w6,

7、只需證(-a+1 +、b+ 1)w6,即證(a+b) + 2+ 2ab+a+b+ 1w6.由a0,b0,a+b= 1，得ab原不等式成立.方懇：方懇：加律加律 小結(jié)小結(jié)/ #廠丿(1)通過等式或不等式的運(yùn)算，將待證的不等式化為明顯的、熟知的不等式，從而使原 不等式易于證明.(2)有些不等式的證明，需要一邊分析一邊綜合，稱之為分析綜合法，或稱“兩頭擠”法，如本例，這種方法充分表明了分析法與綜合法之間互為前提，互相滲透，相互轉(zhuǎn)化的辯證統(tǒng)一關(guān)系.5.已知a,b,c都是正數(shù)，原不等式成立.綜合法與分析法的綜合應(yīng)用含開方運(yùn)算的由a+b= 1，得只需證2w3，即證abw4.1 14，即ab3abc.由a,

8、b,c為正數(shù)，得3_c+2ab=c+ab+ab3abc成立. 原不等式成立.法二：a,b,c是正數(shù)，c+/0E+aB3 =3abc. 即c+/ab3abc.故一ab0,b0,n N，求證：式十 甘 :：ab.證明：先證匚鳶二 *,只要證 2(an+1+bn+1) (a+b)(a+b),即要證an+1+bn+1abab0,即要證(ab)(ab) 0.若ab,貝Uab0,ab0,所以(ab)(ab) 0;若ab,則ab0,ab0，綜上所述,(ab)(ab) 0.a+1+b+1a+ba+b丁+1 +1a+bJa+b因?yàn)閍0,b0,所以一廠,ab,所以a+廿.ab.課時跟蹤檢測（七）1.設(shè)a,b R+

9、,A=_a+.b,B=a+b,貝U A,B的大小關(guān)系是()程嚴(yán)3abc.從而 28B.AwBC.ABD.AvB解析：選 CA2= （a+ b）2=a+ 2ab+b,a+b,所以A2B 又A0,B0AB.2.a,b R.,那么下列不等式中不 正確的是（.2 2b a+ ；-a+ba bb a a+b112C.a2+b2三石D.尹ab解析：選 C A 項(xiàng)滿足基本不等式；B 項(xiàng)可等價變形為（ab）2（a+b） 0,正確；B 選項(xiàng) 中不等式的兩端同除以ab,不等式方向不變， 所以 C 選項(xiàng)不正確；D 選項(xiàng)是 A 選項(xiàng)中不等式的兩端同除以ab得到的，正確.A. AB9b aa，b同號且吐ba，b均為正,

10、b+碁 2 寸奔=2,故正確.答案：6.已知a0,b0,若P是a,b的等差中項(xiàng)，Q是a,b的正的等比中項(xiàng)，R是，的等差中項(xiàng)，則P, Q R按從大到小的順序排列為 _ .a+b2 11解析：P=,Q= ab,R=5+b，a+b當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立.3.設(shè)a=2，b=73，A.abcc=6 2，那么a，b，c的大小關(guān)系是（）B. acbC .bacD. bca解析：選 B 由已知，可得出a=-，b=42 ,27+3 6 + 叮 22 2，bca.Us 則（）4.設(shè) 333 a b . aA.aaba.abba.ab.aaB. abaC .aabD. aba解析：選 C 0ab1,aAaaa

11、abaa子1，二ab，aa|b|:avb； + 2,a b其中正確的有 _ （填序號）.1 1 解析：T一vv0,.bvav0.a ba+bv0,ab0,|b|a|.故正10答案：P QR11m7.-設(shè)abc,且+恒成立，貝U m的取值范圍是ab bc ac解析：Tabc,.ab0,bc0,ac0.又(ac)土+b= aL+b2abbc2bbc= 4,當(dāng)且僅當(dāng)ab=bc時，等號成立,m (g,4.答案：(g,4&已知a,b,c均為正實(shí)數(shù)，且b2=ac.求證：a4+b4+c4(a2b2+c2):證明：要證a4+b4+c4(a2b2+c2)2成立，4.444.442 2222 2八需證a+

12、b+ca+b+c 2a b+ 2a c 2b c,22I 22222即證a b+b ca c0.Tb=ac,故只需證(a2+c2)aca2c20.22Ta0,c0,故只需證a+cac0.又.a+c2acac,.a+cac0 顯然成立，原不等式成立.9.已知a0,b0,c0,且a,b, c不全相等，亠、十bc ac ab求證：+ a+b+c.a b cbc ac證明：因?yàn)閍,b,c (0，+g)，所以+ 2bc ac.a -b=2c-11ae abab be同理 u2a,d2b.因?yàn)閍,b,e不全相等,bee a所以上述三個不等式中至少有一個等號不成立，三式相加，得卄be ac ab+e)，即 +a+b+e.a b e210.設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足y+x= 0,0a 2a：又因?yàn)?0a1,811x yI nrrx yIloga(a+