2018年上海高三一模真題匯編三角比三角函數(shù)專題（教師版）

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2018年一模匯編三角比三角函數(shù)專題1、 知識梳理【知識點1】三角比求值【例1】已知是第二象限的角，且，利用表示 . 【答案】.【解析】由是第二象限的角，知，.【點評】熟練掌握由的值求的值的操作程序；給（一個角的三角函數(shù)）值求（另一個三角函數(shù)）值的問題，一般要用“給值”的角表示“求值”的角，再用兩角和（差）的三角公式求得.【例2】已知且，則 . 【答案】. 【解析】由平方得，又由知.則有.，得.有，所以.【點評】此類問題經(jīng)常出現(xiàn)在各類考試中，而且錯誤率都比較高.原因是不能根據(jù)角所在的象限，對函數(shù)值進行正確的取舍.【知識點2】兩角和與差公式、誘導(dǎo)公式、倍角公式【例1】設(shè)

2、且求【答案】.【解析】故由得由得 【點評】兩角和與差公式、誘導(dǎo)公式、倍角公式等在應(yīng)用時，都比較注重尋求角與角的聯(lián)系，尤其是建立已知角與所求角的聯(lián)系.【例2】已知 求證【解析】由題設(shè)：即 【點評】注意題設(shè)中的角和結(jié)論中角的關(guān)系.【知識點3】萬能公式【例1】已知，求的值.【答案】.【解析】由得：，則或.又，所以.由萬能公式得，.知.【點評】先通過正余弦的齊次式處理方法求出正切值，再根據(jù)萬能公式得出答案.【知識點4】正余弦定理【例1】有一個解三角形的題因紙張破損有一個條件不清，具體如下：“在中，角A，B，C所對的邊分別為已知_，求角”經(jīng)推斷破損處的條件為三角形一邊的長度，且答案提示試將條件補充完整【

3、答案】.【解析】由得正弦定理得.【點評】此題很容易由得,但答案不能填，否則題目中的答案角算出來有兩解不符合題意.【例2】在ABC中，分別是對邊的長.已知成等比數(shù)列，且，求的大小及的值.【答案】，.【解析】由成等比數(shù)列得，則化成，由余弦定理得，.由得，所以=.【點評】三角形中邊角運算時通常利用正弦定理、余弦定理轉(zhuǎn)化為角（或邊）處理.有關(guān)的齊次式（等式或不等式），可以直接用正弦定理轉(zhuǎn)化為三角式；當(dāng)知道ABC三邊平方的和差關(guān)系，常聯(lián)想到余弦定理解題.【知識點5】判斷三角形形狀【1】 在ABC中，若，則ABC的形狀一定是（）A、等腰直角三角形；B、直角三角形；C、等腰三角形；D、等邊三角形.【答案】C

4、.【解析】在三角形ABC中：，則.所以ABC是等腰三角形.【點評】判斷三角形形狀一般有兩種思路，一是通過角的轉(zhuǎn)化，二是用邊的關(guān)系。此題也可以通過正余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系去解題.【知識點6】解三角形應(yīng)用題【例1】如圖，旅客從某旅游區(qū)的景點A 處下山至C 處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C ，另一種從A沿索道乘纜車到B ，然后從B 沿直線步行到C . 現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A 處下山，甲沿AC 勻速步行，速度為50米/分鐘，在甲出發(fā)2分鐘后，乙從A 乘纜車到B ，在B 處停留1 分鐘后，再從B 勻速步行到C . 假設(shè)纜車勻速直線運動的速度為130 米/分鐘，山路AC 長1260 米 ，經(jīng)測量，（

5、1）求索道AB 的長；（2）問乙出發(fā)后多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？【答案】（1）的長為1040米；（2）當(dāng)(min)時，甲、乙兩游客距離最短.【解析】（1）在中，2分5分由正弦定理，得，7分所以索道的長為1040米8分（2）假設(shè)乙出發(fā)分鐘后，甲、乙兩游客距離為米，此時，甲行走了米，乙距離處米，由余弦定理得：11分，即，12分故當(dāng)(min)時，甲、乙兩游客距離最短14分【點評】熟練運用正余弦定理，讀懂題意，找到函數(shù)關(guān)系，轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題.【知識點7】三角函數(shù)周期、最值、單調(diào)性【例1】函數(shù)的最小正周期為 ；最大值為 ；單調(diào)遞增區(qū)間為 ；在區(qū)間上，方程的解集為 .【答案】；2；.【解析

6、】由.所以函數(shù)的最小正周期為；最大值為2；單調(diào)遞增區(qū)間滿足，即；由，則，或得或，又由得解集為.【點評】欲求三角函數(shù)的周期、最值、單調(diào)區(qū)間等，應(yīng)注意運用二倍角正（余）弦公式，半角公式降次即：；引入輔助角（特別注意，經(jīng)常弄錯）使用兩角和、差的正弦、余弦公式（合二為一），將所給的三角函數(shù)式化為的形式.函數(shù)的周期是函數(shù)周期的一半.【例2】已知函數(shù)，求的最大值與最小值.【答案】最大、最小值分別為與.【解析】函數(shù).由，則，所以函數(shù)的最大、最小值分別為與.【點評】當(dāng)自變量的取值受限制時，求函數(shù)的值域，應(yīng)先確定的取值范圍，再利用三角函數(shù)的圖像或單調(diào)性來確定的取值范圍，并注意A的正負(fù)；千萬不能把取值范圍的兩端點

7、代入表達(dá)式求得.【例3】已知函數(shù)，其中常數(shù)若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為_.【答案】.【解析】因為，根據(jù)題意有【點評】本題一個要注意最終答案要加上題干中的這個條件，另一方面其實就只能是的子區(qū)間【知識點8】三角函數(shù)對稱性【例1】若函數(shù)的圖像關(guān)于點成中心對稱，則_.【答案】.【解析】由的圖像關(guān)于點成中心對稱知，.【點評】正（余）弦函數(shù)圖像的對稱中心是圖像與“平衡軸”的交點.【例2】已知函數(shù)，且是偶函數(shù)，則滿足條件的最小正數(shù)_.【答案】.【解析】是偶函數(shù)，則是它圖像的一條對稱軸.時，函數(shù)取最大（?。┲?，.所以滿足條件的最小正數(shù).【點評】正（余）弦函數(shù)圖像的對稱軸是平行于軸且過函數(shù)圖像的最高點或最低

8、點.【知識點9】三角函數(shù)圖像變換【例1】要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（ ）A、向右平移個單位；B、向右平移個單位；C、向左平移個單位；D、向左平移個單位.【答案】A【解析】，故應(yīng)選A.【點評】當(dāng)函數(shù)名不一樣的時候，可以先通過誘導(dǎo)公式變成同名再作其他變換.【知識點10】三角函數(shù)性質(zhì)綜合【例1】已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，其圖像關(guān)于點對稱，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求的值【答案】，.【解析】由是上的偶函數(shù)，得，即，展開整理得：，對任意都成立，且，所以又，所以由的圖象關(guān)于點對稱，得取，得， 所以，所以，即；綜上所得，【點評】此類題型一般利用奇偶性、單調(diào)性先把的通解解出，再根據(jù)題目條件確定的取值.【例2】

9、已知,且在區(qū)間有最小值,無最大值,則 【答案】【解析】如圖所示,因為,且,又在區(qū)間內(nèi)只有最小值、無最大值,所以在處取得最小值,所以,所以又,所以當(dāng)時,；當(dāng)時,此時在區(qū)間內(nèi)有最大值,故【點評】結(jié)合三角函數(shù)圖像解題更加直觀【知識點11】反三角函數(shù)和最簡三角方程【例1】已知，若，求實數(shù)a的取值范圍【答案】【解析】的定義域是，而和在上都是增函數(shù)，又都是奇函數(shù)， 在上既是增函數(shù)，又是奇函數(shù) 解得a的取值范圍為.【點評】熟記反三角函數(shù)的定義域、值域及基本性質(zhì)是解決反三角類型的關(guān)鍵.【例2】求的取值范圍 ，使得關(guān)于的方程在上 (1)無解；     

10、     (2)僅有一解；          (3)有兩解.【答案】(1)；(2)；   (3)；【解析】用分離參數(shù)的方法，只需要考慮與函數(shù)的交點個數(shù)就是方程解的個數(shù)，令，則函數(shù)，畫出二次函數(shù)在上的圖像，觀察常值函數(shù)與二次函數(shù)的交點個數(shù)，可知(1)當(dāng)時，兩函數(shù)圖像沒有交點，即原方程無解；(2)當(dāng)時，兩函數(shù)圖像只有一個交點，即原方程只有一個解；(3)當(dāng)時，兩函數(shù)圖像有兩個交點，即原方程有兩個解.【點評】分離參數(shù)是處理方程有解問題的常用方法

11、，此題也可以用換元法，轉(zhuǎn)化為二次方程根的分布問題.2、 一模真題匯編1、 填空題1. （寶山區(qū)2018年一模3題）函數(shù)的最小正周期為 . 【答案】.2. （青浦區(qū)2018年一模4題）函數(shù)的最大值為 . 【答案】.3. （虹口區(qū)2018年一模4題）在中，、所對邊分別是、，若，則 .【答案】.4. （虹口區(qū)2018年一模9題）已知和的圖像的連續(xù)的三個交點、構(gòu)成三角形，則的面積等于 . 【答案】.5. （松江區(qū)2018年一模5題）已知角的終邊與單位圓交于點，則 . 【答案】.6. （松江區(qū)2018年一模7題）函數(shù)的圖像與的圖像在區(qū)間上交點的個數(shù)是 【答案】.7.（楊浦區(qū)2018年一模3題）已知，則

12、. 【答案】.8.（楊浦區(qū)2018年一模9題）在中，若、成等比數(shù)列，則角的最大值為 . 【答案】.9.（楊浦區(qū)2018年一模11題）已知函數(shù)，設(shè)，若函數(shù)為奇函數(shù)，則的值為 . 【答案】.10.（徐匯區(qū)2018年一模8題）某船在海平面處測得燈塔在北偏東30°方向，與相距6.0海里，船由向正北方向航行8.1海里到達(dá)處，這時燈塔與船相距 海里（精確到0.1海里）.【答案】.11.（長寧嘉定區(qū)2018年一模3題）已知，則 . 【答案】.12.（長寧嘉定區(qū)2018年一模8題）在中，角、所對的邊分別為、，若，則 . 【答案】.13.（普陀區(qū)2018年一模2題）若，則 . 【答案】.14.（普陀區(qū)

13、2018年一模6題）函數(shù)的值域為 . 【答案】.15.（浦東區(qū)2018年一模11題） 已知函數(shù)（），將的圖像向左平移個單位得到函數(shù)的圖像，令，如果存在實數(shù)，使得對任意的實數(shù)，都有成立，則的最小值為 . 【答案】.16.（奉賢區(qū)2018年一模4題）已知，且，則 . 【答案】 .17.（奉賢區(qū)2018年一模12題）已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，圖像關(guān)于點對稱，在是單調(diào)函數(shù)，則符合條件的數(shù)組有_對. 【答案】. 18.（崇明區(qū)2018年一模6題）若函數(shù)的最小正周期是，則 .【答案】.2、 選擇題1.（青浦區(qū)2018年一模14題）已知函數(shù)，若對任意實數(shù)，都，則的最小值是（ ） A、； B、； C、2； D、4

14、.【答案】C.2. （長寧嘉定區(qū)2018年一模13題）設(shè)角的始邊為軸正半軸，則“的終邊在第一、二象限”是“”的（ ）A、充分非必要條件； B、必要非充分條件；C、充分必要條件； D、既非充分又非必要條件.【答案】A.3.（浦東區(qū)2018年一模16題）關(guān)于的方程恰有3個實數(shù)根、，則（ ） A、1； B、2； C、； D、.【答案】B.3、 解答題1. （寶山區(qū)2018年一模18題）已知函數(shù).（1）求在上的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）設(shè)的內(nèi)角、所對應(yīng)的邊依次為、，若且，求面積的最大值，并指出此時為何種類型的三角形.【答案】（1），在遞減；（2），等邊三角形.2.（青浦區(qū)2018年一模19題）如圖，某大型廠

15、區(qū)有三個值班室、，值班室在值班室的正北方向2千米處，值班室在值班室的正東方向千米處.（1）保安甲沿從值班室出發(fā)行至點處，此時，求的距離；（2）保安甲沿從值班室出發(fā)前往值班室，保安乙沿從值班室出發(fā)前往值班室，甲乙同時出發(fā)，甲的速度為1千米/小時，乙的速度為2千米/小時，若甲乙兩人通過對講機聯(lián)系，對講機在廠區(qū)的最大通話距離為3千米（含3千米），試問有多長時間兩人不能通話？【答案】（1）；（2）兩人不能通話的時間為小時.【解析】（1）在中，；所以，在中，由余弦定理可得：，.（2）在中，. 設(shè)甲出發(fā)后的時間為小時，則由題意可知， 設(shè)甲在線段上的位置為點，則當(dāng)時，設(shè)乙在線段上的位置為點，則，如圖所示，在

16、中，由余弦定理得，解得或，所以.當(dāng)時，乙在值班室處，在中，由余弦定理得：，解得或，又，不合題意舍去.綜上所述時，甲乙間的距離大于千米，所以兩人不能通話的時間為小時.【考點】解三角形.3.（虹口區(qū)2018年一模18題）已知函數(shù)，其中，且此函數(shù)的最小正周期等于.（1）求的值，并寫出此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求此函數(shù)在的最大值和最小值.【答案】（1），；（2）最大值為2，最小值. 4.（松江區(qū)2018年一模17題）在中，.（1）求邊的長；（2）求的面積.【答案】（1）；（2）. 5.（徐匯區(qū)2018年一模18題） 如圖是函數(shù)（，）圖像的一部分，、是它與軸的兩個交點，、分別為它的最高點和最低點，是線

17、段的中點.（1）若點的坐標(biāo)為，求點、點和點的坐標(biāo)；（2）若點的坐標(biāo)為（），且，試確定函數(shù)解析式.【答案】（1），；（2）. 6.（普陀區(qū)2018年一模19題）設(shè)函數(shù)（，），已知角的終邊經(jīng)過點，點、是函數(shù)圖像上的任意兩點，當(dāng)時，的最小值是.（1）求函數(shù)的解析式；（2）已知面積為，角所對的邊，求的周長.【答案】（1）；（2）. 7.（金山區(qū)2018年一模18題）已知函數(shù)（）.（1）寫出函數(shù)的最小正周期以及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在中，角、所對的邊分別為、，若，且，求的值.【答案】（1），；（2）.8.（浦東區(qū)2018年一模18題）在中，角、所對的邊分別為、，已知，且.（1）求；（2）若，且，求的值.【

18、答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，2分由正弦定理得：，2分； 由，2分；1分（2）由，；4分由知，2分.1分【考點】三角函數(shù).9.（閔行區(qū)2018年一模17題）已知函數(shù)（其中）.（1）若函數(shù)的最小正周期為，求的值，并求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，且，求的值.【答案】（1），；（2）或.10.（奉賢區(qū)2018年一模19題）如圖，某公園有三條觀光大道圍成直角三角形，其中直角邊，斜邊（1）若甲乙都以每分鐘的速度從點出發(fā)，甲沿運動，乙沿運動，乙比甲遲2分鐘出發(fā)，求乙出發(fā)后的第1分鐘末甲乙之間的距離；（2）現(xiàn)有甲、乙、丙三位小朋友分別在點設(shè)，乙丙之間的距離是甲乙之間距離的2倍，且，請將甲乙之間的距離表示為的函數(shù)，并求甲乙之間的最小距離【答案】（1）；（2）.【解析】（1）可用余弦定理求得 2分 2分 3分（2） 1分 1分 1分（式子出來3分） 1分 2分答：. 1分 【考點】解三角形.11. （崇明區(qū)2018年一模18題）（本題滿分14分，本題共有2