由遞推公式求通項(xiàng)公式的幾種基本類型[1]

1、例 1 1 在數(shù)列an中，ai3, ,anian1n(n 1)，求通項(xiàng)公式網(wǎng)課7 :由遞推公式求通項(xiàng)公式的幾種基本類型求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的九種方法利用遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式，在理論上和實(shí)踐中均有較高的價(jià)值自從二十世紀(jì)八十年代以來，這一直是全國(guó)高考和高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的熱點(diǎn)之一、作差求和法解:原遞推式可化為：an 111a3a223a4a3111nn 1134nan4n、作商求和法解：原遞推式可化為:1 1沖11an則a2a1,n n 11 21逐項(xiàng)相加得:ana111. .故1 nnn例 2 2 設(shè)數(shù)列an是首項(xiàng)為的正項(xiàng)數(shù)列, 且(n 1)an2nanan 1an0(n=1,2,3(n=1,2,3)，

2、則它的通項(xiàng)公式是an= =_20002000 年高考 1515 題)(n 1)an 1nan(an1an)=0=0an 1an0,an 1nann 1電a1ann 1 an 1n逐項(xiàng)相an1a1n即an= =. .n三、換元法4已知數(shù)列 an ,其中a1,a23時(shí)，anan 1（an1an 2），求通項(xiàng)公式an（198619863年高考文科第八題改編）解：設(shè)bn 1anan 1，原遞推式可化為:bn 1an1bn 2,bn是一個(gè)等比數(shù)列,3b (1)n2d ()331 1n()22 3bn 1b1a2ai1(1)n2()n. .故9 33anan 11341G 3 G)n.由31，公比為9逐差

3、法可例 4 4 已知數(shù)列an，其中a11,a22，且當(dāng) n n 3 3 時(shí),an求通項(xiàng)公式an。解 由an2an 1an 21得:(anan 1)bn 1anan 1，則上式為bn1bn因此bnb-ia2a11, 公差為 1.1.故bnn. .。由于bib2bn 1a2a1a3a2an又bib2bn1 32所以an11 1?n(n 1)，即an(n22)四、積差相消法例 5 5 （19931993 年全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)賽題一試第五題）設(shè)正數(shù)列滿足.anan 2an 1an 2= =2an 1(n 2)且a0a1解 將遞推式兩邊冋除以an 1an 2整理得： .anVan 1an，則b1n 12an 1

4、an 21,(an 1an 1anao,a1,an 2)1，令等差數(shù)列，an，an,1，求an的通項(xiàng)公式. .a1=1=1 ,bn2bn 11，故有a。b22bi1b32b21bn2bn 11( (n 1) )由2n 2+ +2n 3bn1 2 222n1= =2n1，即逐項(xiàng)相乘得:an= =(21)2(221)2n1)2，考慮到a。1,+ +(+(n 1) )2得故an12 2 2(2 1) (2 1)(2n1)2(n 0)(n 1)五、取倒數(shù)法例 6 6 已知數(shù)列an中，其中a11,，且當(dāng) n n 22 時(shí)，anan 12an 11求通項(xiàng)公工式an。解將anan 12an 11兩邊取倒數(shù)得

5、:1 1anan 1這說明個(gè)等差11數(shù)列，首項(xiàng)是1，公差為 2 2，所以1 (n 1)2a1an2n 1，即an12n 1六、取對(duì)數(shù)法例 7 7 若數(shù)列an中，a1=3=3 且an 12an(n n 是正整數(shù))，則它的通項(xiàng)公式是an= =_20022002 年上海高考題)由題意知an 0 0 ,將an 12an兩邊取對(duì)數(shù)得lg an 12 lg an,即1、an 1AanB（A A、B B 為常數(shù)）型，可化為an i=A=A （a“）的形式Sn3 4Snn 12n 12nlganlgai2 lg3，即a.3七、平方(開方)法例 8 8 若數(shù)列an中，ai=2=2 且any3 a* i（n n2

6、），求它的通項(xiàng)公式是a*. .I22222解 將an3an1兩邊平方整理得anan 13。數(shù)列an是以ai=4=4 為首項(xiàng)，3 3 為公差的等差數(shù)列。a；a；（n 1） 3 3n 1。因?yàn)閍. 0 0,所以an3n 1。八、待定系數(shù)法待定系數(shù)法解題的關(guān)鍵是從策略上規(guī)范一個(gè)遞推式可變成為何種等比數(shù)列，可以少走彎路其變換的基本形式如下:例 9 9 若數(shù)列an中，ai=1=1 ,Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)之和，且S（n n1）,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an. .lg an 1lg an2，所以數(shù)列l(wèi)g an是以lg ai= =lg 3為首項(xiàng)，公比為2 2 的等比數(shù)列,解遞推式Sn i33S(1)設(shè)（1 1

7、 ）式可化為丄Sn 113(J)Sn(2)比較（1 1 ）式與（2 2） 式的系數(shù)可得2，則有1Sn 13(右Sn2）。故數(shù)列2 是以SnSi23為首項(xiàng)，3 3 為公比的等比數(shù)列。g 2,31M。所以anSnSn 113n213n 1232nn2 3。8 3n12數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an2 3n32n8 3n12(n(n1)。2)式。2 2、an 1AanBCn1= =A(an例 1010 在數(shù)列an中,解：原遞推式可化為:an 132(anCnCn)ai3n，下同）型，可化為1,an 12an4 3n 1,求通項(xiàng)公式an。1)比較系數(shù)得 =-4=-4，式即是：an 1則數(shù)列an4 3n 1是

8、一個(gè)等比數(shù)列,an43n 15 2n 1n 1n 1即an4 35 24 3n2(an4 3n1). .其首項(xiàng)a1431 1公比是 2.2.3 3、an 2A an 1B an型，可化為an 2(A)(an 1an)的形例 1111 在數(shù)列an中，a11, a22，當(dāng)nN，an 25an 16an通項(xiàng)公式an. .解：式可化為:an 2an 1(5)(an 1an)比較系數(shù)得 =-3=-3 或 =-2=-2，不妨取=-2.=-2.式可化為:an 22an 13(an 12an)則an 12an是- -個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng)a22a1=2-2=2-2(-1(-1 ) =4=4 , 公比為 3.3. an 12an43n 1利用上題結(jié)果有:an43n 152* 14、an 1BnC型，可化為an 11nAan1(n 1)2的形式。例 1212 在數(shù)列an中,