二次函數(shù)中的三角形問題(含答案)

1、學(xué)習好資料歡迎下載二次函數(shù)中的三角形與三角形面積例 1 1:如圖，已知在同一坐標系中，直線y = kx -2-與 y y 軸交于點 P P,拋物線y = x?-2(k 1)x 4k與2x x 軸交于A(Xi,O), B(X2,O)兩點。(1)求二次函數(shù)的最小值(用含 k k 的代數(shù)式表示)(2) 若點 A A 在點 B B 的左側(cè)，且x1咲2：0。當 k k 取何值時，直線通過點 B B ； 是否存在實數(shù) k k,使S-ABSABC?如果存在，請求出此時拋物線的解析式；如果不存在，請說明理由。例 2 2：已知拋物線y - -x2-(m-4)x 3(m-1)與 x x 軸交于 A A、B B 兩

2、點，與 y y 軸交于 C C 點,(1)(1) 求 m m 的取值范圍；(2)(2) 若m：0，直線y =kx_1經(jīng)過點 A A，與 y y 軸交于點 D D，且AD BD =5. 2，求拋物線的解析式;(3 3)若 A A 點在 B B 點左邊，在第一象限內(nèi)，(2 2)中所得的拋物線上是否存在一點P P，使直線 PAPA 平分.：ACD的面積？若存在，求出 P P 點的坐標；若不存在，請說明理由。例 3 3.已知矩形 ABCDABCD 中，ABAB= 2 2, ADAD = 4 4,以 ABAB 的垂直平分線為 x x 軸，ABAB 所在的直線為 y y 軸，建立平 面直角坐標系( (如圖

3、) )。寫出 A A、B B、C C、D D 及 ADAD 的中點 E E 的坐標；(2)(2) 求以 E E 為頂點、對稱軸平行于 y y 軸，并且經(jīng)過點 B B、C C 的拋物線的解析式；(3)(3) 求對角線 BDBD 與上述拋物線除點 B B 以外的另一交點 P P 的坐標；PEBPEB 的面積SPEB與厶PBCPBC 的面積SPBC具有怎樣的關(guān)系？證明你的結(jié)論。112例 4.4.如圖 1 1，已知直線yx與拋物線y x26交于A,B兩點.24(1) 求A B兩點的坐標；(2) 求線段AB的垂直平分線的解析式；(3) 如圖 2 2,取與線段AB等長的一根橡皮筋， 端點分別固定在A B兩

4、處.用鉛筆拉著這根橡皮筋使筆尖P在直線AB上方的拋物線上移動，動點P將與A B構(gòu)成無數(shù)個三角形，這些三角形中是否存在一 個面積最大的三角形？如果存在，求出最大面積，并指出此時由.二與三角形形狀2例 5.5.如圖，拋物線y二ax -5ax 4經(jīng)過 ABC的三個頂點，已知BC / x軸，點A在x軸上，點C在C C 是拋物線的頂點。C C圖 1 1圖 2 2學(xué)習好資料歡迎下載y軸上，且AC =BC(1) 求拋物線的對稱軸；(2) 寫出A, B, C三點的坐標并求拋物線的解析式；(3) 探究：若點P是拋物線對稱軸上且在x軸下方的動點，是否存在PAB是等腰三角形若存在， 求出所有符合條件的點P坐標；不存

5、在，請說明理由.界 y y例 6.6.如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為(1,2)，點B的坐標為(31)，二次函數(shù)y = x2的圖象記為拋物線h.(1)平移拋物線h，使平移后的拋物線過點A，但不過點B，寫出平移后的一個拋物線的函數(shù)表達式：(任寫一個即可).(2)平移拋物線h，使平移后的拋物線過A, B兩點，記為拋物線12，如圖，求拋物線12的函數(shù)表達 式.(3)設(shè)拋物線12的頂點為C,K為y軸上一點.若SAABKABC，求點K的坐標.(4)請在圖上用尺規(guī)作圖的方式探究拋物線12上是否存在點P，使 ABP為等腰三角形若存在,x學(xué)習好資料歡迎下載請判斷點P共有幾個可能的位置(保留作圖痕跡)；若

6、不存在，請說明師.例 7.7.已知：如圖，拋物線y=ax2，bxc經(jīng)過A(1,0).B(5,0)、C(0,5)三點.(1) 求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(2) 若過點 C C 的直線y =kx比 與拋物線相交于點 E E (4 4, m m),請求出 CBECBE 的面積 S S 的值；(3) 在拋物線上求一點F0使得 ABPABPo為等腰三角形并寫出F0點的坐標；(4)除(3 3)中所求的Po點外，在拋物線上是否還存在其它的點P P 使得 ABPABP 為等腰三角形？若存在，2x請求出一共有幾個滿足條件的點P(要求簡要說明理由，但不證明)；若不存在這樣的點P，請說明理由.學(xué)習好資料歡迎下載例 8.

7、8.如圖，在直角坐標系中，點 A A 的坐標為( (一 2 2, 0)0)，連接OA，將線段OA繞原點 0 0 順時針旋轉(zhuǎn) 120120 , 得到線段0B0B.(1) 求點 B B 的坐標；(2) 求經(jīng)過 A A、0 0、B B 三點的拋物線的解析式；在中拋物線的對稱軸上是否存在點6 6 使B0CB0C 的周長最?。咳舸嬖?，求出點 C C 的坐標；若不存在，請說明理由；如果點 P P 是中的拋物線上的動點，且在 x x 軸的下方，那么AFABFAB 是否有最大面積？若有，求出此時 P P 點的坐標及PABPAB 的最大面積；若沒有，請說明理由. ( (注意：本題中的結(jié)果均保留根號 ) )三.二

8、次函數(shù)與三角形相似3例 9 9:已知一次函數(shù)yx-12的圖象分別交 x x 軸、y y 軸于 A A、C C 兩點,4(1(1)求出 A A、C C 兩點的坐標；2 2)在 x x 軸上找出點 B B,使ACB s.AOC，若拋物線過 A A、B B、C C 三點，求出此拋物線的解析式;(3) 在(2 2)的條件下，設(shè)動點 P P、Q Q 分別從 A A、B B 兩點同時出發(fā)，以相同速度沿 ACAC、BABA 向 C C、A A 運動, 連結(jié) PQPQ,使AP= m，是否存在 m m 的值，使以 A A、P P、Q Q 為頂點的三角形與ABC相似，若存在，求出所有 m m 的值；若不存在，請說

9、明理由。x學(xué)習好資料歡迎下載11例 10.10.如圖 7 7,在平面直角坐標系中，拋物線yx2_6與直線yx相交于A, B兩點.42(1) 求線段AB的長.(2) 若一個扇形的周長等于(1 1)中線段AB的長，當扇形的半徑取何值時，扇形的面積最大，最大面積 是多少？(3) 如圖 8 8，線段AB的垂直平分線分別交OM , OC, OD的長，111并驗證等式222是否成立.OC2OD2OM2(4(4)如圖 9 9，在RtAABC中，ZACB=90：,CD _ AB，垂足為D，設(shè)BC = a,AC= b,11 1- r - =-2 ,2,2 -AB = c.CD = h，試說明:學(xué)習好資料歡迎下載

10、a bh例 11.11.在直角坐標系中，OA A 的半徑為 4 4，圓心 A A 的坐標為(2 2,0 0), O A A 與 x x 軸交于 E E、F F 兩點，與 y y 軸交于 C C、D D 兩點，過點 C C 作 O A A 的切線 BCBC,交 x x 軸于點 B B.(1) 求直線 CBCB 的解析式；(2) 若拋物線 y=axy=ax2+bx+c+bx+c 的頂點在直線 BCBC 上，與 x x軸的交點恰為點 E E、F F,求該拋物線的解析式；(3) 試判斷點 C C 是否在拋物線上？(4)在拋物線上是否存在三個點，由它構(gòu)成的三角形與 AOCAOC 相似？直接寫出兩組這樣的

11、點.圖 9 9學(xué)習好資料歡迎下載例 12.12.如圖 1212,以邊長為2的正方形ABCD的對角線所在直線建立平面直角坐標系，拋物線y =x2 bx c經(jīng)過點B且與直線AB只有一個公共點.（1 1）求直線AB的解析式.（3 3 分）（2 2） 求拋物線y =x2，bx c的解析式.（3 3 分）（3 3） 若點P為（2 2）中拋物線上一點，過點P作PM _ x軸于點M，問是否 存在這樣的點P，使 PMC ADC?若存在，求出點P的坐標；若不存 在，請說明理由.（5 5 分）例 13.13.如圖，矩形A BC O是矩形OABC（邊0A在x軸正半軸上，邊0C在y軸正半軸上）繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)得到的，

12、0點在x軸的正半軸上，B點的坐標為（1,3）.2（1）如果二次函數(shù)y二ax bx c（a=0）的圖象經(jīng)過O,O兩點且圖象頂點M的縱坐標為-1,求這個二次函數(shù)的解析式；（2 2）在（1 1）中求出的二次函數(shù)圖象對稱軸的右支上是否存在點P，使得 POM為直角三角形？若存在，請求出P點的坐標和 POM的面積；若不存在，請說明理由；學(xué)習好資料歡迎下載答案：例 1 1：解：(1 1)y最小值=-(k-1)2。4(2 2)解得當k時，直線過 B B;322kk學(xué)習好資料歡迎下載過 C C 作CD丄AB于 D D，則CD = (k 1)2=(k1)2，把x=0代入直線y = kx + 2，得y = 2，22

13、學(xué)習好資料歡迎下載kkX1X2= 4k0k0,.OP = 2。2211k，即一AB OP AB CD, AB . 0OP二CD，即2二(k 1)2-2211.取k_2，.當k_2時，SABSABC從以上解答中可以看出三角形面積相等作為已知條件的作用是利用三角形的面積公式，再利用同底等高 的性質(zhì)推出線段相等，僅此而已。例 2.2.解：(1)m = -2;(2 2)y -X25x -6；（3 3）如圖，假設(shè)在第一象限內(nèi)，拋物線上存在點P P,使直線 PAPA 平分:ACD的面積，則直線 FAFA 必過 DCDC的中點 M M。521點 P P 的坐標為（2 2, 0 0）（即 A A 點）或（一，

14、）。這兩點均不在第一象限。416存在點 P P,使 PAPA 平分ACD的面積。本題第（3 3）小題是存在型問題，是結(jié)論開放題，應(yīng)先假設(shè)存在，然后在假設(shè)的前提下，通過計算說明在 第一象限內(nèi)右 S.S.ABP =SABC1解得 & = ,k2=2,；k :：:0,此時所求的拋物線的解析式為:y = x-x-2D(0,-1),C(0,-6),M(0,-7)。令y =0，則x25x-6 = 0,2解得x1= 2, x2= 3。：A在 B B 的左側(cè)，.A A 坐標是（2 2, 0 0）。設(shè)直線 PAPA 的解析式為y=kx + b,（kH0）F F2 2 解得2k +b=0, AMAM 的解

15、析式為y方程組77乙的解為2y=x +5x_65x2一421%晶學(xué)習好資料歡迎下載不存在符合要求的點（求出的點不在第一象限），有一定的難度，主要是這種題型學(xué)生不熟悉。學(xué)習好資料歡迎下載例 3.3.981M f(3W-4.:.1甘兒當文=3 時有 Jft 大值也“答：若便水池的總?cè)莘e逓大，工應(yīng)為気最大容積為 465?. . 8 分25.解】A(0, 1 八 B(0, T)C(4一 I)0(4, 1) * E(2 t).分說明主爲對 12 金給 1 分岳對 34 個堆 2 分4)設(shè)拋物線的解析式為=機文一 2F + 1 * . :.4 分V 拋物線經(jīng) U 點 B(0, -1) Au(0-2)2+

16、l = -l .解得挖=_|卜*拋物線的解析式為比=_*(工_2)十 .:. 5 分經(jīng)驗證，拋物線了=一寺 5_2 尸+1 螳過點 ca -1). .井說期*如果用一敖式求出解析式*蘋需驗 it*宜銭BD的解折式為寺工一 1，.7分.*. 9 #=g-Sjc.131=專X4X = 3,.K fE分別作PF丄BC.ElBC,垂足分別為P*氏Sg= yX2X2+ yX( y+8)Xl|-X3X-|-A(6 - 3)B 一(，4 2(2(2)作AB的垂直平分線交x軸，y軸于C, D兩點，交AB于M(如圖 1 1)由(1 1)可知：OA =3 5 OB = 2 5AB = 5 5例 4.4. 解 (1

17、(1)解：依題意得一26解之得Xi=6yi = 3X2- -4甘210分11分J2分得慮P的坐掠*PyX學(xué)習好資料歡迎下載.OMJABOB522過B作BE 丄 x軸，E為垂足心BEO亠OCM，得：簽聲,OC設(shè)CD的解析式為y = kx b(k = 0)同理：OD =22C40D 0,150 k b54旦 b2.AB的垂直平分線的解析式為：y = 2x -5.2(3 3)若存在點P使 APB的面積最大，則點P在與直線1y x m上，并設(shè)該直線與x軸，y軸交于G, H兩點2AB平行且和拋物線只有一個交點的直線(如圖 2 2).I 1.y x m2|1 2.y x 6I4121x x m -6 =

18、04v拋物線與直線只有一個交點,“25 p i234I 4 .丿在直線GH : y25中,24HO，525 廠GH 一 54設(shè)O到GH的距離為d,學(xué)習好資料歡迎下載 295211GHd OGOH22_ _125 51 25 25d二242 2 4.d =5527 AB / GH,P到AB的距離等于O到GH的距離d.例 5.5.解：（1 1）拋物線的對稱軸-5a 5x =- -=2a 2(2)A(O,0)B(5 4) C(Q 4)21把點A坐標代入y =ax -5ax 4中，解得a =-6.-1x25x 46 63 3）存在符合條件的點P共有 3 3 個A以設(shè)拋物線對稱軸與x軸交于N，與CB交y

19、 yB BC CM1曙x x過點B作BQ 丄 x軸于Q，易得BQ =4,A8AN =5.5,B有范RAB.以AB為腰且頂角為角A的 PA.AB2二 AQ2BQ22 2=84 =80BM在Rt ANP1中，RN,AR2_AN2二 AB2- AN280 -(5.5)2199以AB為腰且頂角為角B的厶 PAB有 1 1 個：F2AB.學(xué)習好資料歡迎下載 2952=.BP；- BM2二 AB2- BM280 - ?G 8-7295以AB為底，頂角為角P的 PAB有 1 1 個，即PjAB.在Rt BMP2中，MP?學(xué)習好資料歡迎下載畫AB的垂直平分線交拋物線對稱軸于P3，此時平分線必過等腰ABC的頂點

20、C.過點F3作P3K垂直y軸，垂足為K，顯然Rt F3CK s Rt BAQ.F3K BQ 1 cK_AQ - 2 .V F3K =2.5.CK =5于是OK =1 F3(2.5,-1)例 6.6.解：(1 1)有多種答案，符合條件即可.例如y=x?T,y = x2亠x,y=(x-1)2亠2或y = x5-2x亠3,5AABC二S梯形ADEB-S梯形 ADFC_S梯形 CFEBy =(x、2 -1)2,y =(x -1 -、一2)2.(2 2)設(shè)拋物線12的函數(shù)表達式為y =x2 bx c,T點A(1,2),B(31)在拋物線l2上，1 b c = 2,9 3b c =1解得b9，11c =2

21、學(xué)習好資料歡迎下載.拋物線l2的函數(shù)表達式為宀*冒.-C點的坐標為過A B, C三點分別作x軸的垂線，垂足分別為D, E, F,753則AD=2,CF,BE=1,DE =2,DF,FE二一.1644延長BA交y軸于點G，設(shè)直線AB的函數(shù)表達式為y = mx n,T點A(1,2),B(31)在直線AB上,(3)y224161 1Q2U27121516學(xué)習好資料歡迎下載2二 m n,i解得仁3m n.15.直線AB的函數(shù)表達式為y x 22(5 )G點的坐標為%設(shè)K點坐標為(0, h)，分兩種情況:5若K點位于G點的上方，貝U KG =h -.2連結(jié)AK, BK.SAABK- SABKG-SAKG

22、3 I24 4SAABC15tSAABK1651555h _ ，解得h =21616.K點的坐標為05._1 1 h_ ” 2 丿 25若K點位于G點的下方，貝U KG =5- h.225同理可得，h =.16(4 4)作圖痕跡如圖所示.由圖可知，點P共有 3 3 個可能的位置.例 7.7.解: ( 1 1)v 拋物線經(jīng)過點A(1,0)、B(5,0), y二a(x -1)(x -5).又拋物線經(jīng)過點C(0,5),- 5a =5,a =1.拋物線的解析式為y =(x - 1)(x - 5) = x2-6x 5.(2 2)v E E 點在拋物線上， m m = = 4 42 X 6+56+5 =

23、= - - 3.3.直線 y y = = kx+bkx+b 過點 C C (0 0, 5 5)、E E (4 4,4343),mJ,25n :2-K點的坐標為圖學(xué)習好資料歡迎下載4k亠b - -3.設(shè)直線 y=-y=- 2x+52x+5 與 x x 軸的交點為 D D,5當 y=0y=0 時，- -2x+5=02x+5=0，解得 x=x=.5二 D D 點的坐標為(一，0 0). S=SxBDC + SBDE= =1(5 _) 5+1(5 _5) 32 2 2 2=10=10.(3)v 拋物線的頂點P0(3 , - 4)既在拋物線的對稱軸上又在拋物線上，點F0(3, -4)為所求滿足條件的點.

24、(4)除 R R 點外，在拋物線上還存在其它的點P P 使得 ABPABP 為等腰三角形.理由如下：/AF0二BF042=2.5 4,分別以A、B為圓心半徑長為 4 4 畫圓，分別與拋物線交于點B、p、F2、P3、A、P4、P5、P6，除去B、A兩個點外，其余 6 6 個點為滿足條件的點.例& &解：(1 1)過點 B B 作 BDBD 丄 x x 軸于點 D D,由已知可得:OBOB = OA=2OA=2，/ BODBOD = 6060 在 RtRt OBDOBD中，/ ODBODB = 9090,/ OBDOBD = 3030 ODOD = 1 1 , DBDB = ,3,

25、3點 B B 的坐標是(1 1,- 3 )學(xué)習好資料歡迎下載(2(2)設(shè)所求拋物線的解析式為y二ax bx c，由已知可得:學(xué)習好資料歡迎下載c=04a -2b c =0解得：a 亠,b=2_I, c=033所求拋物線解析式為y3X2S3X33（備注：a a、b b 的值各得 1 1 分）（3 3）存在由3 2 2、33/.2 .3由yXX配萬后得：y （x T）3333拋物線的對稱軸為 x x = = - -1 1（也可用頂點坐標公式求出）點 C C 在對稱軸 X X = = -1-1 上， BOCBOC 的周長=OB+BC+COOB+BC+CO ; OB=2OB=2，要使 BOCBOC 的

26、周長最小，必須 BC+COBC+CO 最小，點 O O 與點 A A 關(guān)于直線 X X = = -1-1 對稱，有 CO=CACO=CA BOCBOC 的周長=OB+BC+COOB+BC+CO = OB+BC+CAOB+BC+CA當 A A、C C、B B 三點共線，即點 C C 為直線 ABAB 與拋物線對稱軸的交點時，BC+CABC+CA 最小，此時 BOCBOC 的周長最小。k b 3-2 k b = 0解得:當X = -1時，y33所求點 C C 的坐標為（一 1 1,）3_ 32 3(4 4)設(shè) P P( X, y)(-2 X V 0,y 0)，貝Vy =X2+- X33過點 P P

27、 作 PQPQ 丄 y y 軸于點 Q Q, PGPG 丄 X X 軸于點 G,G,過點 A A 作 AFAF 丄 PQPQ 軸于點 F,F,過點 B B 作 BEBE 丄 PQPQ 軸于點 E E, 則 PQ=PQ= -X-X , PG=PG=-y-y，由題意可得：5APAB=S弟形 AFEBAFPS BEPABAB 的解析式為y = kx b，則有:設(shè)直線直線ABAB 的解析式為y3X33學(xué)習好資料歡迎下載111=-(AF BE) FE - AF FP - PE BE2221ii_二(-y .3-y)(1 2)一(_y)(x 2)一(1x)(、3 -y)22 23丿3=y x一32 2SA

28、PAB_1當x時， PABPAB 得面積有最大值，最大面積為2例 9.9.解：(1 1)A(-16,0), B(0,-12)。(2) 過 C C 點作CB _ AC，交 x x 軸于點 B B，顯然，點 B B 為所求，設(shè)B(k,0)：ACBAOC,AB _ AC 16 k _ 20- -。AC AO 20161k=9,.B(9,0)，設(shè)y =a(x 16)(x-9)，把 C C 點坐標(0 0, 1212)代入上式，得a二丄。121127- y(x 16)(x-9)x x-12。1212 12(3)分兩種情況討論：PQ/CB:PQ _ AB。(解略)。結(jié)論是：存在m-100或m =空時，使9

29、9得以 A A、P P、Q Q 為頂點的三角形與ABC相似。從以上兩題可以看出與三角形相似有關(guān)的二次函數(shù)綜合題一般都是三角形相似作為求二次函數(shù)的條件來 解。例 10.10.解：(1 1) A A (-4-4 , -2-2 ), B B (6 6, 3 3)分別過 A A、B B 兩點作AE _x軸，BF _ y軸，垂足分別為 E E、F F AB=OA+OBAB=OA+OB 二 4 4222* . 6232= =5 559*38此時y=312:1 (丄乜34324將代入，化簡得:點 P P 的坐標為學(xué)習好資料歡迎下載(2)設(shè)扇形的半徑為x，則弧長為(5、5 -2x)，扇形的面積為y學(xué)習好資料歡

30、迎下載則y = !x(/5 -2x) = x2+5V5X2 2a=-1 - 0X-口時，函數(shù)有最大值y最大412516過點 A A作A AE E丄(3 3) / / CDCD 垂直平分 ABAB，點 M M 為垂足OM JABOA=口一2.一52 2 . AEO OMC,. EOA COMOE AOOMCOCOCO同理可得OD1OC21OM21OC2+-OD242(4)2(5)2425r(4(4)等式5丄OD2丄2a_ 1 2OM21丄成立.h220理由如下: ACB=90 ,CD11ab AB h22- ab = c hAB2- a2b2-c2h2- a2b2= (a2b2)h2a2b2a2

31、b2h2(a2b2)h2a2b2h2b2125+-16學(xué)習好資料歡迎下載例 11.11.1 1b2h2解：（1 1）方法一:連結(jié)AC，則AC _ BC OA=2, AC=4 , OC=OC=2、_3.AO OC又 RtRt AOCAOC s RtRtA COBCOB ,OC OB 0B=60B=6.點C坐標為（0,J3），點B坐標為（6,0）.設(shè)直線BC的解析式為 y=kx+by=kx+b,可求得直線BC的解析式八號方法二：連結(jié)AC，則AC _ BC./ OA = 2, AC=4=4 , / ACO=30ACO=30o,Z CAO=60CAO=60o. / CBA=30CBA=30o. AB=2AC=8AB=2AC=8. OB=AB-AO=6OB=AB-AO=6.以下同證法一.由題意得，OA與x軸的交點分別為E（-2,0）、F （