2017-2018版高中數(shù)學(xué)第二章統(tǒng)計2.3.1變量之間的相關(guān)關(guān)系2.3.2兩個變量的線

1、231 變量之間的相關(guān)關(guān)系2.3.2兩個變量的線性相關(guān)學(xué)習(xí)目標(biāo)導(dǎo)航1.理解兩個變量的相關(guān)關(guān)系的概念.（難點）2 會作散點圖，并利用散點圖判斷兩個變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系.3.會求回歸直線方程.（重點）4相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系.（易混點）階股1認知預(yù)習(xí)質(zhì)疑:知枳被理婪點韌棵基礎(chǔ)初探教材整理 1 變量之間的相關(guān)關(guān)系閱讀教材 P84P86的內(nèi)容，完成下列問題.1 相關(guān)關(guān)系：不像勻速直線運動中時間與路程的關(guān)系那樣是完全確定的，而是帶有不_確定性.2散點圖：將樣本中幾個數(shù)據(jù)點（x, yj（i= 1,2，n）描在平面直角坐標(biāo)系中得到 的圖形.3.正相關(guān)與負相關(guān)：散點圖中的點散布在從左下角到右上角的區(qū)域，對于兩

2、個變量的這種相關(guān)關(guān)系，稱它為正相關(guān).若散點圖中的點分布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi),對于兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系，稱它為負相關(guān).4相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的辨析相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系均是指兩個變量間的關(guān)系，它們的不同點如下：（1）函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系；相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系，即不能用一個函數(shù)關(guān) 系式來嚴格地表示變量之間的關(guān)系.（2）函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系例如，有人發(fā)現(xiàn)，對于在校兒童，腳的大小與閱讀能力有很強的相關(guān)關(guān)系，然而學(xué)會更多的新 詞并不能使腳變大， 而是涉及第三個因素一一年齡，當(dāng)兒童長大一些以后，他們的閱讀能力會提高，而且腳也會變大.（重點）2如圖

3、 2-3-1 所示的兩個變量不具有相關(guān)關(guān)系的有 _【解析】 是確定的函數(shù)關(guān)系； 中的點大都分布在一條曲線周圍；中的點大都分布在一條直線周圍；中點的分布沒有任何規(guī)律可言，x,y不具有相關(guān)關(guān)系.【答案】教材整理 2 回歸直線方程閱讀教材 P87P89的內(nèi)容，完成下列問題.1 回歸直線：如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，就稱這兩個變 量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線.2.回歸方程:回歸直線對應(yīng)的方程叫回歸直線的方程，簡稱回歸方程.3最小二乘法：求回歸直線時，使得樣本數(shù)據(jù)的點到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法.4.求回歸方程：若兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組

4、數(shù)據(jù)為：(xi,yi), (X2,y,3(4)選取一組數(shù)據(jù)中的部分點得到的回歸方程與由整組數(shù)據(jù)得到的回歸方程是同一個方(Xn,yn)，則所求的回歸方程為AAAAAy=bx+a,其中a,b為待定的參數(shù)，由最小二乘法得:n xiyin x yi=1n 2 2vXin xi=1a=yb x.b是回歸直線斜率，；是回歸直線在y軸上的截距.- o 鍛體驗-1.判斷(正確的打“V”，錯誤的打“X”)(1) 回歸方程中，由x的值得出的y值是準確值.()(2) 回歸方程一定過樣本點的中心.()(3) 回歸方程一定過樣本中的某一個點.()zAi=1b= 一Xixyiynzi=1Xixn4程.()【答案】x(2)

5、V(3)X(4)X2.過（3,10） , （7,20） , （11,24）三點的回歸直線方程是（ ）A.y= 1.75 + 5.75xB.y= 1.75 + 5.75xAAC.y= 5.75 + 1.75xD.y= 5.75 1.75x【解析】求過三點的回歸直線方程，目的在于訓(xùn)練求解回歸系數(shù)的方法，這樣既可以訓(xùn)練計算，又可以體會解題思路，關(guān)鍵是能套用公式代入系數(shù)公式得 代入直線方程，求得y= 5.75 + 1.75x.故選 C.【答案】C3.已知x與y之間的一組數(shù)據(jù):x01234y13579則y與x的線性回歸方程y=bx+a必過點()A. (1,2)B. (5,2)C. (2,5)D. (2.

6、5,5)【解析】 線性回歸方程一定過樣本中心（x,y）.故必過點（2,5）【答案】CA. 正方體的棱長和體積B. 圓半徑和圓的面積C. 正 n 邊形的邊數(shù)和內(nèi)角度數(shù)之和D. 人的年齡和身高對變量x,y有觀測數(shù)據(jù)（Xi,yi）（i= 1,2，10），得散點圖；對變量u,v有觀b= 1.75 ,a= 5.75.0 + 1 + 2+ 3 + 451 + 3 + 5+ 7 + 95=5.階股2介作探究通關(guān)小組合作型相關(guān)關(guān)系的判斷卜例（1）下列兩個變量之間的關(guān)系，哪個不是函數(shù)關(guān)系（）5測數(shù)據(jù)(Ui,Vi)(i= 1,2，10)，得散點圖.由這兩個散點圖可以判斷()2-3-2【精彩點撥】 結(jié)合相關(guān)關(guān)系，函

7、數(shù)關(guān)系的定義及正負相關(guān)的定義分別對四個選項作出判斷.【嘗試解答】 (1)A、B C 都是函數(shù)關(guān)系，對于 A,V=a3;對于 B,S=nr2;對于 C,g(n) = (n 2)n.而對于 D,年齡確定的不同的人可以有不同的身高，.選(2)由圖象知，變量x與y呈負相關(guān)關(guān)系；u與v呈正相關(guān)關(guān)系.【答案】(1)D (2)C判斷兩個變量x和y間是否具有線性相關(guān)關(guān)系， 常用的簡便方法就是繪制散點圖， 如果 發(fā)現(xiàn)點的分布從整體上看大致在一條直線附近， 那么這兩個變量就是線性相關(guān)的， 注意不要 受個別點的位置的影響.再練一題1.某公司 20112016 年的年利潤x(單位：百萬元)與年廣告支出y(單位：百萬元

8、)的 統(tǒng)計資料如下表所示：年份201120122013201420152016利潤x12.214.6161820.422.3支出y0.620.740.810.8911.11A. 利潤中位數(shù)是 16,x與y有正線性相關(guān)關(guān)系B. 利潤中位數(shù)是 18,x與y有負線性相關(guān)關(guān)系C. 利潤中位數(shù)是 17,x與y有正線性相關(guān)關(guān)系A(chǔ). 變量x與y正相關(guān),u與v正相關(guān)B. 變量x與y正相關(guān),u與v負相關(guān)C. 變量x與y負相關(guān),u與v正相關(guān)D. 變量x與y負相關(guān),u與v負相關(guān)D.302520151051234567*6050403020100 1 2 3 4 5 6 7v6D. 利潤中位數(shù)是 17,x與y有負線性

9、相關(guān)關(guān)系71【解析】由表知，利潤中位數(shù)是 2（16 + 18） = 17,且y隨x的增大而增大，故選 C.【答案】次試驗，收集數(shù)據(jù)如下:零件數(shù)x（個）102030405060708090100加工時間y（分）626875818995102108115122y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系？如果y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的回歸直線方程.T寫回歸直線方程【嘗試解答】（1）畫散點圖如下:x加工吋間)20110100908070 -60 -10 20 4ft 50 60 70 SO 90 100 零件蠹由上圖可知y與x具有線性相關(guān)關(guān)系.列表、計算：i12345678910Xi102030405060

10、708090100yi626875818995102108115122Xiyi6201 3602 2503 2404 4505 7007 1408 6401035012200 x= 55,y= 91.7 ,10 10 10Z =x2= 38 500，送y2= 87 777，送Xiy= 55 950i=1i=1i=1卜例求回歸直線方程一個車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間,為此進行了 10【精彩點撥】確定相關(guān)關(guān)系T求回歸直線系數(shù)481+ 2+ 3 + 45(2) x=4= 2,1 + 3+ 4+ 510 Xiyi- 10 x yi=155 95010X55X91.738 5001

11、0X550.668 ,a=yb x=91.70.668X55=54.96.即所求的回歸直線方程為：y= 0.668x+ 54.96.用公式求回歸方程的一般步驟:1列表Xi，yi，xyi；nn2計算x，y，送x2，送xy；=1i=1；i 代入公式計算a,a的值;4寫出回歸方程.再練一題x1234y1345【解】(1)散點圖如圖所示:10 _2vXi- 10X2i=12已知變量x,y有如下對應(yīng)數(shù)據(jù):(1) 作出散點圖；(2) 用最小二乘法求關(guān)于x,y的回歸直線方程.9應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（噸標(biāo)準煤）的幾組對照數(shù)據(jù):X3456y2.5344.5（1）請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖；（2）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最

12、小二乘法求出回歸方程y=bx+a；（3）已知該廠技改前 100 噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90 噸標(biāo)準煤.試根據(jù)（2）求出的線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn) 100 噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準煤？【精彩點撥】（1）以產(chǎn)量為橫坐標(biāo)，以生產(chǎn)能耗對應(yīng)的測量值為縱坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫散點圖；（2）應(yīng)用計算公式求得線性相關(guān)系數(shù)b,a的值；（3）實際上就是求當(dāng)x= 100 時，對應(yīng)的v的值.【嘗試解答】（1）散點圖，如圖所示：02468產(chǎn) xy= 1 + 6 + 12 + 20 = 39,i=142 Xi= 1 + 4 + 9+ 16= 30,i=1513394X X4131013413 5X10 2

13、=0,所以y=掙為所求回歸直線方程.卜例因F 表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改進后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相554535251555453525154 4 1 1 2 2 E E a a利用回歸方程對總體進行估計7047044104(2)由題意，得Xiyi= 3X2.5 + 4X3+ 5X4+ 6X4.5 = 66.5 ,i=111822丄，22+ 12 + 14 + 164X8+ 12+ 14+ 162I 4 丿438 412.525.5660 625 = 355170，a=yb x=5 + 8 + 9+ 11518+12+14+16X33514.5 ,2.5 + 3 + 4 + 4.

14、5y=4=3.5，42 2 .22 2二Xi= 3 + 4 + 5 + 6 = 86,i=1A66.54X4.5X3.5b2864X4.5a=yb x=3.50.7X4.5=0.35,故線性回歸方程為y= 0.7x+ 0.35.70.35（噸）,故耗能減少了 90 70.35 = 19.65（噸）標(biāo)準煤.回歸分析的三個步驟：判斷兩個變量是否線性相關(guān)：可以利用經(jīng)驗，也可以畫散點圖；2 求線性回歸方程，注意運算的正確性；8 根據(jù)回歸直線進行預(yù)測估計：估計值不是實際值，兩者會有一定的誤差.I_I再練一題3某種產(chǎn)品的廣告費支出 y（百萬元）與銷售額 x（百萬元）之間的關(guān)系如下表所示.x8121416y

15、58911（1）假定y與x之間存在線性相關(guān)關(guān)系，求其回歸直線方程.（2）若廣告費支出不少于 60 百萬元，則實際銷售額應(yīng)不少于多少?【解】（1）設(shè)回歸直線方程為y=b x+a,貝 Ub8 + 12+ 14 + 16 5 + 8+ 9+ 114X4X466.5 6386 810.7 ,（3）根據(jù)回歸方程的預(yù)測，現(xiàn)在生產(chǎn)100 噸產(chǎn)品消耗的標(biāo)準煤為0.7X100+0.3570470441225X =-26516-7，則所求回歸直線方程為y=70X7-由y= 71x-7 60,得x4|6疋84,所以實際銷售額不少于84 百萬元.70/51探究共研型關(guān)系?【提示】 任意兩個統(tǒng)計數(shù)據(jù)均可以作出散點圖，對

16、于作出的散點圖， 如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線上，就用該函數(shù)來描述變量之間的關(guān)系，即變量之間具有函數(shù)關(guān)系.特別地，若所有的樣本點都落在某一直線附近，變量之間就具有線性相關(guān)關(guān)系；如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系； 如果散點圖中的點的分布幾乎沒有什么規(guī)則，則這兩個變量之間不具有相關(guān)關(guān)系.【提示】(1)建立直角坐標(biāo)系，兩軸的長度單位可以不一致.(2) 將n個數(shù)據(jù)點描在平面直角坐標(biāo)系中.(3) 畫回歸直線時，一定要畫在多數(shù)點經(jīng)過的區(qū)域，可以先觀察有哪兩個點在直線上.探究 3 回歸系數(shù)b的含義是什么?【提示】(1)b代表x每增加一個單位，y的平均增加單位數(shù)，而不是增加單

17、位數(shù).(2)當(dāng)b 0 時，兩個變量呈正相關(guān)關(guān)系，含義為：x每增加一個單位，y平均增加b個單位數(shù)；當(dāng)bv0 時，兩個變量呈負相關(guān)關(guān)系，含義為：x每增加一個單位，y平均減少b個單位數(shù).探究 4 回歸直線方程與直線方程的區(qū)別是什么？【提示】 線性回歸直線方程中y的上方加記號“A”是與實際值y相區(qū)別，因為線性 回歸方程中的“y”的值是通過統(tǒng)計大量數(shù)據(jù)所得到的一個預(yù)測值，它具有隨機性，因而對于每一個具體的實際值而言，y的值只是比較接近，但存在一定的誤差，即探究 11任意兩個統(tǒng)計數(shù)據(jù)是否均可以作出散點圖？怎么根據(jù)散點圖判斷變量之間的探究 2如何畫回歸直線?y=y+e（其中e散點圖的特征回歸直線的特征13為

18、隨機變量)，預(yù)測值y與實際值y的接近程度由隨機變量e的標(biāo)準差決定. 訓(xùn)已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表：x12345614y021334假設(shè)根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得線性回歸直線方程為y=bx+a.若某同學(xué)根據(jù)上表中的前兩組數(shù)據(jù)（1,0）和（2,2）求得的直線方程為y= bx+a,則以下結(jié)論正確的是（ ）AA.bb,AaaAB.bb,AaaAAAAC.baD.bb,aa【精彩點撥】先由已知條件分別求出b,a的值，再由b,；的計算公式分別求解b,a的值，即可作出比較.【嘗試解答】根據(jù)所給數(shù)據(jù)求出直線方程y=bx+a和回歸直線方程的系數(shù)，并比較大小.由(1,0) , (2,2)求b,aa=02x1= 2.求b

19、,a時，6、xy= 0+ 4 + 3 + 12+ 15 + 24 = 58,i=113x= 3.5 ,y=,6、X2= 1 + 4 + 9+ 16+ 25 + 36 = 91,i=1 ba【答案】 C再練一題4 設(shè)某大學(xué)的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關(guān)關(guān)系根據(jù)一組A樣本數(shù)據(jù)（Xi,yi）（i= 1,2，n），用最小二乘法建立的回歸方程為y= 0.85x- 85.71，貝Ua=13-辛3.5=13615F 列結(jié)論中不正確的是（）A.y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B. 回歸直線過樣本點的中心（X , ?。〤.若該大學(xué)某女生身高增加1 cm,則其體重約增加 0.85 kgD.若該大學(xué)某女生身高為170 cm，則可斷定其體重必為58.79 kg【解析】b為正數(shù)，所以兩變量具有正的線性相關(guān)關(guān)系，故A 正確；B, C 顯然正確;若該大學(xué)某女生身高為170 cm，則可估計其體重為 58.79 kg.【答案】D階段3體驗落實評價課堂回靖和時達標(biāo)i設(shè)一個回歸方程y= 3+1.2x，則變量x增加一個單位時A.y平均增加 1.2 個單位C.y平均減少 1.2 個單位【解析】由b= 1.20，故選 A.【答案】 AB. y 平均增加 3 個單位D. y 平均減少 3 個單位2.下列有關(guān)線性回歸的說法，不正確的是（）A.變量取值一定