【2020年】廣東省茂名市高考數(shù)學一模試卷(理科)及解析

1、廣東省茂名市高考數(shù)學一模試卷（理科）一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分，在每小題給出的四個 選項中，只有一項是符合題目要求的1. （5 分）若集合 A=x|x2-2x-3V0，B= - 1, 0，1, 2，則 AHB=（）A.-1，0，1，2B. x|-1vxv3C. 0，1，2D.-1，0，12. （5 分）已知復數(shù) z 滿足（z- i） i=2+i，i 是虛數(shù)單位，則| z| =（）A.B.C.: D. 33. （5 分）已知變量 x，y 滿足約束條件* x+y4，則 z=3x+y 的最大值為（）A. 12 B. 11 C. 3 D.- 14. （5 分）設 X

2、N （1, 1），其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，那么向正方形 ABCD中隨機投擲 10000 個點，則落入陰影部分的點的個數(shù)的估計值是（）（注：若 XN（，d2），貝UP（廠（VXvP+o）=68.26% P（廠 2eVXvp+2o）=95.44%）1BA013 3 * *A. .7539 B. 6038C. 7028 D. 65875. （5 分）數(shù)學文化算法統(tǒng)宗是明朝程大位所著數(shù)學名著，其中有這樣一段表述：遠看巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八一 ”，其意大致為：有 一棟七層寶塔，每層懸掛的紅燈數(shù)為上一層的兩倍， 共有 381 盞燈，則該塔中間 一層有（）盞燈.A. 24 B. 48 C

3、. 12 D. 606. （5 分）甲、乙、丙三人參加某公司的面試，最終只有一人能夠被該公司錄用，得到面試結果以后，甲說：丙被錄用了；乙說：甲被錄用了；丙說：我沒被錄用.若 這三人中僅有一人說法錯誤，則下列結論正確的是（）A.丙被錄用了 B.乙被錄用了C甲被錄用了 D.無法確定誰被錄用了10. （5 分）已知 ABC 的三個內(nèi)角 A, B、C 的對邊分別為 a、b、c,若 2sin2-）=1,且 a=2,則厶 ABC 的面積的最大值為（）6A.二 B.C 三D. 2 -32VI1X2018D. 2C（5 分）函數(shù) ： _一的部分圖象大致為（7.11.（5 分）三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐

4、外接球的體積為（）魚XA.廠B. 1C.二D. 12. （5 分）定義在 R 上的奇函數(shù) f （x）滿足條件 f （1+x） =f （1 - x）,當 x 0,1時，f（x） =x,若函數(shù) g（x） =|f （x） | - ae-lxl在區(qū)間-2018, 2018上有 4032個零點，則實數(shù) a 的取值范圍是（）A. (0, 1) B. (e, e3)C. (e, e2)D. (1, e3)二、填空題：本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分，13. （5 分）已知，二 * 二.1_、，若 I ，貝 U 入 _ .14._（5分） 在 （1- x）2（1 - 7）4的展開式中，x2的系數(shù)

5、是_ .JT十iI I15.（5 分）已知函數(shù) f（x）=4sinw-sin2（7+） -2sin23x（30）在區(qū)間A I 上是增函數(shù)，且在區(qū)間0, x上恰好取得一次最大值，則w的取值范圍是_ .16.（5 分）從拋物線 x2=4y 的準線 I 上一點 P 引拋物線的兩條切線 PA PB,且 A、B 為切點，若直線 AB 的傾斜角為-,則 P 點的橫坐標為_6、解答題：本大題共 5 小題，共 70 分其中 仃至 21 題為必做題，22、23 題側視團側視團為選做題解答過程應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17.( 12 分)設正項等比數(shù)列an，a4=81，且臣，a3的等差中項為：.：(I)

6、求數(shù)列an的通項公式；(II)若bn=log3a2n-i，數(shù)列bn的前 n 項和為 Sn,數(shù)列,Tn11n4 Sn-1為數(shù)列cn的前 n 項和，若 TnV入恒成立，求入的取值范圍.18. (12 分)女口圖，在四棱錐 P ABCD 中，PC 丄底面 ABCD AD/ BC, AD=2BC=2PC=2 ABC 是以 AC 為斜邊的等腰直角三角形，E 是 PD 的中點.(I) 求證：平面 EACL 平面 PCD(II)求直線 PA 與平面 EAC 所成角的正弦值.19. (12 分)交強險是車主必須為機動車購買的險種，若普通 6 座以下私家車投 保交強險第一年的費用(基準保費)統(tǒng)一為 a 元，在下

7、一年續(xù)保時，實行的是費率浮動機制，保費與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系，發(fā)生交通事故的次數(shù)越多，費率就越高，具體浮動情況如表：交強險浮動因素和浮動費率比率表浮動因素浮動比率A1上一個年度未發(fā)生有責任道路交通事故下浮 10%A2上兩個年度未發(fā)生有責任道路交通事故下浮 20%A3上三個及以上年度未發(fā)生有責任道路交通事故下浮 30%A4上一個年度發(fā)生一次有責任不涉及死亡的道路交通事故0%A5上一個年度發(fā)生兩次及兩次以上有責任道路交通事故上浮 10%A上一個年度發(fā)生有責任道路交通死亡事故上浮 30%某機構為了解某一品牌普通 6 座以下私家車的投保情況，隨機抽取了 100 輛車齡 已滿三年的該

8、品牌同型號私家車的下一年續(xù)保時的情況，統(tǒng)計如下表：類型A1A2A3A4A5A6數(shù)量201010302010以這 100 輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率，完成下列問題：（I） 按照我國機動車交通事故責任強制保險條例汽車交強險價格的規(guī)定，a=950（元），記 X 為某同學家的一輛該品牌車在第四年續(xù)保時的費用， 求 X 的分布列與數(shù)學期望；（II） 某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車，且將下一年的交強險保費高于基本保費的車輛記為事故車，假設購進一輛事故車虧損5000 元，一輛非事故車盈利 10000 元：1若該銷售商購進三輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，求這三輛車中至多有一

9、輛事故車的概率；2若該銷售商一次購進 100 輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，求該銷售商獲得 利潤的期望值.20.（12 分）已知橢圓 Ci: +耳二1 （ab0）的一個焦點為 Fi（山晶）,乩乩 b且經(jīng)過點P I 亓（I） 求橢圓 C 的標準方程；（II） 已知橢圓 C2的中心在原點，焦點在 y 軸上，且長軸和短軸的長分別是橢圓C1的長軸和短軸的長的 入倍（心 1），過點 C（- 1, 0）的直線 I 與橢圓 C2交于 A，B 兩個不同的點，若求厶 OAB 面積取得最大值時直線 I 的方程.21.（12 分）已知函數(shù)（a R）.x（I） 討論 g （x）的單調性；（II） 當-時，函數(shù)-I

10、-:.在其定義域內(nèi)有兩個不同的e2極值點，記作 X1，X2，且 X1 2 的解集；(U)設函數(shù) f (x)的最大值為 M，若不等式 x2+2x+mM 有解，求 m 的取值 范圍.2018 年廣東省茂名市高考數(shù)學一模試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分，在每小題給出的四個 選項中，只有一項是符合題目要求的1.（5 分）若集合 A=x|x2-2x-3V0，B= - 1, 0，1, 2，則 AHB=（）A.-1，0，1，2B.x|-1vxv3C.0，1，2 D.-1，0，1【解答】解：集合 A=x| x2- 2x- 3v0 =x| - 1vxv

11、3，B= - 1, 0, 1, 2，則 AHB=0,1,2.故選：C.2.（5 分）已知復數(shù) z 滿足（z- i） i=2+i, i 是虛數(shù)單位，則| z| =（）A.匚 B. = C. - D. 3 【解答】解：由（z- i） i=2+i，得 z- i= i 1i-i2 z=1- i,則 lzl =：+ _| i -故選：A.3.（5 分）已知變量 x, y 滿足約束條件-x+y4 ,則 z=3x+y 的最大值為（）A. 12 B. 11 C. 3 D.- 1【解答】解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：由 z=3x+y 得 y= - 3x+z,平移直線 y=- 3x+z,由圖象可知當直線 y

12、=-3x+z,經(jīng)過點 A 時，直線的截距最大，此時 z 最大.由飯，解得(應,Lx-y=l1尸2即 A ( 1 , 2),此時 Zmax=3X3+2=11,4. (5 分)設 XN (1,1),其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，那么向正方形 ABCD 中隨機投擲 10000 個點，則落入陰影部分的點的個數(shù)的估計值是()(注：若 XN( , d2),貝UP(廠oXV戍o) =68.26% P(廠 2eVXvp+2 o)=95.44%)D. 6587【解答】解：XN (1 , 1),Ap= 1o=1p+o=2 P( p- oXVp+d=68.26%, 則 P(0X2)=68.26%則 P (1 X 2)

13、 =34.13%,A陰影部分的面積為：0.6587.A正方形 ABCD 中隨機投擲 10000 個點,貝 U 落入陰影部分的點的個數(shù)的估計值是A. .7539 B. 6038C. 70286587.故選：D5. （5 分）數(shù)學文化算法統(tǒng)宗是明朝程大位所著數(shù)學名著，其中有這樣一段表述：遠看巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八一 ”，其意大致為：有 一棟七層寶塔，每層懸掛的紅燈數(shù)為上一層的兩倍， 共有 381 盞燈，則該塔中間 一層有（）盞燈.A. 24 B. 48 C. 12 D. 60【解答】解：根據(jù)題意，設最底一層有 a 盞燈，則由題意知從下而上，第一層至第七層的燈的盞數(shù)構成一個以a 為首

14、項，以 1 為2公比的等比數(shù)列，a（l7）2十又由3=.=381，1-2解可得 a=192,則 a4=ax（書）3=24，2即該塔中間一層有 24 盞燈；故選：A.6. （5 分）甲、乙、丙三人參加某公司的面試，最終只有一人能夠被該公司錄用，得到面試結果以后，甲說：丙被錄用了；乙說：甲被錄用了；丙說：我沒被錄用.若 這三人中僅有一人說法錯誤，則下列結論正確的是（）A.丙被錄用了 B.乙被錄用了C甲被錄用了 D.無法確定誰被錄用了【解答】解：假設甲說的是真話，即丙被錄用，則乙說的是假話，丙說的是假話， 不成立；假設甲說的是假話，即丙沒有被錄用，貝 U 丙說的是真話，若乙說的是真話，即甲被錄用，成

15、立，故甲被錄用；若乙被錄用，則甲和乙的說法都錯誤，不成立.故選：C.1010CABD否否Ar2008是輸出S結束結束7.（5分） 函數(shù)七8. （5 分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，那么輸出的 S 值是（）A.丄 B.- 1 C. 2018 D. 2【解答】解：f （- x） =- f （x）,可得 f （x）為奇函數(shù)，排除 B, .-；-二0 時，【；.亠，i I- H 匚，.在區(qū)間（1, +X）上 f （X）單調遞 刃刃3X增，排除 D，故選 C.開皓開皓k=k-l【解答】解：依題意，執(zhí)行如圖所示的程序框圖可知：初始 S=2 當 k=0 時，SD=-1, k=1 時，Si=,2同理 S?=2,

16、S3=- 1,SF丄，2可見 Sn 的值周期為 3.當 k=2017 時，S2oi7=S，2k=2018,退出循環(huán)輸出 S=.2故選：A.229. （5 分）設 P 是雙曲線1. I.H上的點，F(xiàn)i,冃是其焦點，且a2b2PFi丄 PF2,若厶 PFF2的面積是 1,且 a+b=3,則雙曲線的離心率為（）A. .2 B.： C.匚 D.2 2【解答】解：方法一：設|PF|=m, |PR|= n,由題意得由 PF 丄 PR, PF1F2的面積是 1,貝 mn=1,得 mn=2,2 RtAPF1F2中，根據(jù)勾股定理得 m2+n2=4c2 （ m - n）2=m2+n2- 2mn=4c?- 4,結合

17、雙曲線定義，得（m- n）2=4a2,4c?- 4=4a?，化簡整理得 c - a2=1，即 b2=1,則 b=1,由 a+b=3，得 a=2,所以 c=二=,該雙曲線的離心率為 e= = -,a 2故選 C.V 2方法二：由雙曲線的焦點三角形的面積公式S= $，/RPFFB,taiTT由 PF 丄 PE，則/RPFF902則厶 PFF2的面積 S _=b2=1，由 a+b=3,得 a=2,所以。=：2+護,該雙曲線的離心率為 e=-,a 2故選 c.10. （5 分）已知 ABC 的三個內(nèi)角 A, B、C 的對邊分別為 a、b、c,若 2sin2-_） =1,且 a=2,則厶 ABC 的面積

18、的最大值為（）6A.B.C.D.2_、32【解答】解：T2sin（-）=1,A（0, n）,2 6一 , L一 = 一- -= ,2 6 6根據(jù)基本不等式得：4=b2+c2+bc2bc+bc=3bc.即卩 bcW 3當且僅當 b=c 時,等號成立. ABC 面積 S=bcsi nAw -=-（當且僅當 b=c 時，等號成立）22 323 ABC 的面積的最大值.3故選：B.11. （5 分）三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐外接球的體積為（又 a=2 ,由余弦定理得:4=b2+c?2bc即4=b2+c2+bc.【解答】解析：三棱錐的直觀圖如圖，以厶 PBC 所在平面為球的截面,A. W“ B.

19、二 C. - :TD.:T側視團側視團則截面圓 Oi 的半徑為：.：-I ,以厶 ABC 所在平面為球的截面,2血岀則截面圓 02 的半徑為1球心 H 到厶 ABC 所在平面的距離為| -亠所以球的體積為 r .- |=4.3故選：A.12. (5 分)定義在 R 上的奇函數(shù) f (x)滿足條件 f (1+x) =f( 1 - x),當 x 0,1時，f(x) =x,若函數(shù) g(x) =|f (x) | - ae-lxl在區(qū)間-2018, 2018上有 4032 個零點，則實數(shù) a 的取值范圍是()A. (0, 1)B.(e, e3)C. (e, e2)D. (1, e3)【解答】解： f (

20、x)滿足條件 f (1+x) =f (1 - x)且為奇函數(shù)，函數(shù) f (x) =f(2 - x) = - f (- x) f (- x) =f (2+x) ? f (x+4) =f (x)二 f (x)周期為 4,當 x 0, 1時，f (x) =x，根據(jù) m (x) =| f (x) | 與 n (x) =ae|x圖象，函數(shù) g (x) =|f (x) | - ae-|x|在區(qū)間-2018, 2018上有 4032 個零點，即 m (x) =| f (x) |與 n (x) =ae-|x|在0, 4有且僅有兩個交點，.fmdXnd)二二 即 evave3.故選：B則球的半徑 R 為二、填空

21、題：本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分，13-（5分）已知 i 二* 二.|_、.，若-一，則入=一-【解答】解：:,-1 = 1+2 入=0解得入=2故答案為：1.214. （5 分）在（1 x）2（1 -.；:）4的展開式中，x2的系數(shù)是-10 .【解答】解：（1 x）2（1 T）4= （1 2x+x2） （1 4 T+ ：，：-；_&/； : -+x2） x2的系數(shù)=1 2 :+仁-10.4 4故答案為：-10.15. (5 分)已知函數(shù) f (x) =4sinwsin2(-+ ) 2sin2wx( w0)在區(qū)間24二.二上是增函數(shù)，且在區(qū)間0, x上恰好取得一次最大

22、值，則w的取值范圍是【解答】解:f(x)=4sinw sin2(+)-2sin2wx壬兀、1-c 口 s32w -二-2sinwx 23x(1+sinw) 2sinwx=2sinw，即：f（x）=2sinw，/-，土是函數(shù)含原點的遞增區(qū)間.又；函數(shù)在一上遞增， = 乂_ 亍=4sin=2sinjr ”兀- -W 加 4 得 3 兀三兀，得又I 30, -二0又函數(shù)在區(qū)間o,n上恰好取得一次最大值，根據(jù)正弦函數(shù)的性質可知 CDx=2k 士士, k Z,2即函數(shù)在 Xh+處取得最大值，可得 0W-W n,G) 223-3,2綜上，可得 !-.亍故答案是：=16. (5 分)從拋物線 x2=4y 的

23、準線 I 上一點 P 引拋物線的兩條切線 PA PB,且 A、 B 為切點，若直線 AB 的傾斜角為則 P 點的橫坐標為_一匚63【解答】解：如圖，設 A (xi, yi), B (X2, y2), P (xo,- 1),Vs6 32切線PB的方程為 y- =(x- x?),即:.-.,-.r000),所以 _（4 分）（II ） 由（I ）得：門二.由題意， 得閔二中qj二名3 q+丑Q且+巧q)（2分）（5 分） （6 分）故答案為：；戸n（b i+bn） nl + （2n-l） 2.1，（8 分）n4n2-l22n-l 2n+l 一 _ 1 11 i .,1_ .，（10分）若.% 2

24、口+1則2n+l18.（12 分） 女口圖， 在四棱錐 P ABCD 中， PC 丄底面 ABCD AD/ BC, AD=2BC=2PC=2 ABC 是以 AC 為斜邊的等腰直角三角形，E 是 PD 的中點.（I）求證：平面 EACL 平面 PCD（II） 求直線 PA 與平面 EAC 所成角的正弦值.【解答】 證明：（I）： PC 丄底面 ABCD AC?底面 ABCD - PCX AC,由題意可知，AD / BC,且 AD=2BC=2 ABC 是等腰直角三角形，AC：二.，CD=匚，- （2 分）CD2+AC2=AD2，即卩 ACXCD, （3 分）又 PCH CD=C （4 分）AC 丄

25、平面 PCD, - （5 分）：AC?平面 EAC 平面 EACX平面 PCD- （6 分）解：（II）解法 1:由（1）得平面 EACX平面 PCD 平面 EACH 平面 PCD=EC作 PH 丄 EC,則 PH 丄平面 EAC, （8 分）PA 與平面 EAC 所成角為/ PAH, （9 分）在 RtAPAC 中, PA=二,2n-l 2n+l 2n+lb0)的一個焦點為 R (0,晶),Z 11 2a b且經(jīng)過點 P.(I) 求橢圓Ci的標準方程；(II)已知橢圓 C2的中心在原點，焦點在 y 軸上，且長軸和短軸的長分別是橢圓Ci的長軸和短軸的長的 入倍(心 1),過點 C(- 1, 0

26、)的直線 I 與橢圓 C2交于 A,B 兩個不同的點，若 ,求厶 OAB 面積取得最大值時直線 I 的方程.【解答】解：(1)設橢圓 G 的另一個焦點為F 噸)，由題意可得， PFF2為直角三角形，則.：I -7H-， A】1 Ti :- :2v由橢圓的定義得.-廠 w : - .，即 a=3,又由 b2+c2=a2,得 b=2,橢圓 G 的標準方程-:，-;942 2(2)設橢圓 C2 的方程為-+-=1, A (X1, yj, B (X2, y.942 1,A 點 C (- 1, 0)在橢圓內(nèi)部，直線 I 與橢圓必有兩個不同的交點. 當直線 I垂直于 x 軸時，百-斥(不是零向量)，不合條

27、件；故設直線 I 方程為 y=k (x+1) (A, B, O 三點不共線，故 kM 0),V -:-,而點 C (- 1, 0),(1 -X1,- yj =2 (X2+1, y2),即 y1=- 2y2,貝 U y1+y2= - y2,-18k 9+4k2丄fy=k(x+l)4/+9F二36入得:|-.9+4k2:.OAB 的面積為SAOAB=SAO(+SABO(= _I |R_、 ，|_1 ii i 3 12|k| = Zl / 27 _9= =- 一 .上式取等號的條件是，即 k= 時， OAB 的面積取得最大值. 直線1的方程為.-：或.-1 i :21- (12分)已知函數(shù)-(a R

28、) x(I) 討論 g (x)的單調性；(II)當一時，函數(shù)_1 :-，:,在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點，記作 X1, X2,且 X1 0 , 方程 2/+x - a=0 的兩根為_-1+8 呂_ _1+V1 +Sa：T -二 -，當-一匸時，X1 X20 時，X1 0X2, g (乂乂)在(X2, + +X)為增函數(shù)，在(0, X2為減函數(shù)，綜上所述：當 a0 時，g (X)的增區(qū)間為(X2, +x),減區(qū)間(0, X2,(II)證明：f (X)=XInx$x2 x+a,所以f(X)=lnx- ax因為 f (X)有兩極值點 X1, X2,所以 InX1=ax1, InX2=ax2,欲證,

29、.V.- .等價于要證：. 1,即 1+mvIn xi+m In x2,所以 1+mvInxi+mInX2=axi+max2=a (xi+mx2),因為 m1, 0vxivx2,所以原式等價于要證明： 又 Inxi=axi, Inx2=ax?,作差得 In=a (xi- X2),所以 a=-x所以原式等價于要證明：X ! -Z 2 X J +lBX2X2XJ+IDZ2令 t=3 , t ( 0, i),上式等價于要證：1*(山)t-1),t ( 0, i), Xo t+m當 mi 時，h (t)0,所以 h (t)在(0, i) 上單調遞增，因此 h (t)vh (i) =0,所以 I-在 t ( 0, i)上恒成立，所以原不等式成立.請考生在第 22、23 兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分，作答時，請用 2B 鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑.選修 4-4 :坐標 系與參數(shù)方程選講22.( i0 分)在直角坐標系 xOy 中，直線 I 傾斜角為a其參數(shù)方程為，:(y=tsina所以- :- 11/八”丄丄X I/n?t (t+lD) )（t 為參數(shù)），在以原點 0 為