MATLAB第3章Z變換

1、第三章 Z變換數(shù)字信號(hào)處理第3章 Z變換第三章 Z變換數(shù)字信號(hào)處理第三章學(xué)習(xí)目標(biāo)第三章學(xué)習(xí)目標(biāo)l 掌握z變換及其收斂域，掌握因果序列的概念及判斷方法l 會(huì)運(yùn)用任意方法求z反變換l 理解z變換的主要性質(zhì)l 理解z變換與Fourier變換的關(guān)系l 掌握離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和頻率響應(yīng)，因果/穩(wěn)定系統(tǒng)的收斂域第三章 Z變換數(shù)字信號(hào)處理3.1 Z變換的定義和收斂域一. Z變換的定義( ) ( )( )nnX zZT x nx n z雙邊雙邊z變換變換 其中：其中：z為復(fù)變量，以其實(shí)部為橫坐標(biāo)，虛部為縱坐為復(fù)變量，以其實(shí)部為橫坐標(biāo)，虛部為縱坐標(biāo)構(gòu)成的平面稱為標(biāo)構(gòu)成的平面稱為z平面平面。0( ) ( )( )

2、nnX zZT x nx n z單邊單邊z變換變換第三章 Z變換數(shù)字信號(hào)處理二Z變換的收斂域1收斂域的定義：收斂域的定義：對(duì)任意給定序列對(duì)任意給定序列x(n)，使其，使其z變換收斂的所有變換收斂的所有z值的集合稱為值的集合稱為X(z)的收斂域。的收斂域。 2. 收斂條件：收斂條件：( )( )nnX zx n z| ( )|nnx n zM 的級(jí)數(shù)收斂的充的級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件是滿足絕對(duì)可和的條件，即要求分必要條件是滿足絕對(duì)可和的條件，即要求 要滿足此不等式，要滿足此不等式，|z|值必須在一定范圍之內(nèi)值必須在一定范圍之內(nèi)才行，這才行，這個(gè)范圍就是收斂域。個(gè)范圍就是收斂域。 第三章 Z變換數(shù)字

3、信號(hào)處理z平面上的收斂域一般可用環(huán)狀域表示，即平面上的收斂域一般可用環(huán)狀域表示，即 Rx-|z|Rx+收斂域是分別以收斂域是分別以Rx-和和Rx+為半徑的兩個(gè)圓所圍成的環(huán)為半徑的兩個(gè)圓所圍成的環(huán)狀域，狀域， Rx-和和Rx+稱為收斂半徑。稱為收斂半徑。Rx-可以小到零，可以小到零，Rx+可以大到無(wú)窮大?？梢源蟮綗o(wú)窮大。圖圖3-1 環(huán)形收斂域環(huán)形收斂域第三章 Z變換數(shù)字信號(hào)處理由于( )( )( )P zX zQ z，收斂域總是用極點(diǎn)限定其邊界。X(z)X(z)=0( )0( )( ) ( )P zQ zP zQ z則的零點(diǎn)：使的點(diǎn)， 即和當(dāng)階次高于時(shí)X(z)X(z)( )0( )( )( )Q

4、 zP zQ zP z 的極點(diǎn)：使的點(diǎn)， 即和當(dāng)階次高于時(shí)3z變換的零極點(diǎn)變換的零極點(diǎn)第三章 Z變換數(shù)字信號(hào)處理（1 1）有限長(zhǎng)序列）有限長(zhǎng)序列: : 三幾種序列的收斂域12( ),( )0,x nnnnx nn其他21( )( )nnn nX zx n z其其z變換為變換為收斂域?yàn)槭諗坑驗(yàn)?z 圖圖3-2 有限長(zhǎng)序列及其收斂域有限長(zhǎng)序列及其收斂域 （ 除外）除外） 120,00,nnzz ；第三章 Z變換數(shù)字信號(hào)處理另外另外 ，由，由21)()(nnnnznxzX 可見，可見，0與與兩點(diǎn)是否收斂與兩點(diǎn)是否收斂與n1、n2取值情況有關(guān)，取值情況有關(guān)，如果如果n10，則收斂域不包括，則收斂域不包

5、括|z|=0；如果如果n20，則收斂域不包括，則收斂域不包括|z|=。具體有限長(zhǎng)序列的收斂域表示如下：具體有限長(zhǎng)序列的收斂域表示如下： 12120|,00|,00|,0,0znznznn 第三章 Z變換數(shù)字信號(hào)處理（1）求矩形序列）求矩形序列的的 z變換變換例題例題3-1 nRN（2）求序列）求序列 的的z變換變換)10()(2)(nununxn第三章 Z變換數(shù)字信號(hào)處理01)()()()(11nnnnnnnnznxznxznxzX（2 2）右邊右邊序列序列: : 11, 0),()(nnnnnxnx其其z變換為變換為xRZ xRZ 0Z 其中：其中：Rx-為收斂域的最小半徑。為收斂域的最小半

6、徑。 右邊序列的右邊序列的收斂域收斂域第三章 Z變換數(shù)字信號(hào)處理 圖圖3-3 右邊序列及其收斂域右邊序列及其收斂域（n1|a| 這是一個(gè)無(wú)窮項(xiàng)的等比級(jí)數(shù)求和，只有在這是一個(gè)無(wú)窮項(xiàng)的等比級(jí)數(shù)求和，只有在|az-1|a|處收斂處收斂如圖如圖3-4所示所示。 111zazza解解 這是一個(gè)因果序列，其這是一個(gè)因果序列，其z變換為變換為 由于由于 ， 故在故在z=a處有一極點(diǎn)處有一極點(diǎn)(用用“”表示表示)，收斂域?yàn)闃O點(diǎn)所在圓，收斂域?yàn)闃O點(diǎn)所在圓|z|=|a|的外部。的外部。 第三章 Z變換數(shù)字信號(hào)處理圖圖3-4 的收斂域的收斂域 ( )( )nx na u n 收斂域上函數(shù)必須是解析收斂域上函數(shù)必須是

7、解析的，因此收斂域內(nèi)不允許有極的，因此收斂域內(nèi)不允許有極點(diǎn)存在。所以，點(diǎn)存在。所以，注意：注意：右邊序右邊序列的列的z變換如果有變換如果有N個(gè)有限極點(diǎn)個(gè)有限極點(diǎn) 存在，那么收斂存在，那么收斂域一定在模值最大的有限極點(diǎn)域一定在模值最大的有限極點(diǎn)所在圓以外，也即所在圓以外，也即但在但在 處是否收斂，則需處是否收斂，則需視序列存在的范圍另外加以討視序列存在的范圍另外加以討論。對(duì)于因果序列，論。對(duì)于因果序列，處也不處也不能有極點(diǎn)。能有極點(diǎn)。12,Nz zz12max|,|,|xNRzzzz 第三章 Z變換數(shù)字信號(hào)處理例題例題3-3 求求 的的Z變換及其收斂域。變換及其收斂域。(1/ 2)5( )04n

8、nx nn第三章 Z變換數(shù)字信號(hào)處理2210)()()()(nnnnnnnnznxznxznxzX（3 3）左邊左邊序列序列: : 22( ),( )0,x nnnx nnn其其z變換為變換為左邊序列的左邊序列的收斂域收斂域0|z|0|z| Rx+ 0 |z| Rx+其中：其中：Rx+為收斂域的最大半徑。為收斂域的最大半徑。注意：注意：若若 n2 0，收斂域包括，收斂域包括|z|=0，即，即|z| 0，故，故 z=0除外）除外）第三章 Z變換數(shù)字信號(hào)處理 例例3-4： x(n)=-anu(-n-1), 求其求其z變換及收斂域。變換及收斂域。 解：解： 這是一個(gè)左邊序列。其這是一個(gè)左邊序列。其z

9、變換為變換為 1111( )(1)()nnnnnnnnnnnX za unza za za z 此等比級(jí)數(shù)在此等比級(jí)數(shù)在|a-1z|1，即，即|z|a|處收斂。處收斂。 因此因此 1111( )| |11a zzX zzaa zzaaz序列序列z變換的收斂域變換的收斂域如圖如圖2-6所示所示。函數(shù)函數(shù) 在在z=a處有一極點(diǎn)，整個(gè)收斂域在極點(diǎn)所在圓以內(nèi)的處有一極點(diǎn)，整個(gè)收斂域在極點(diǎn)所在圓以內(nèi)的解析區(qū)域。解析區(qū)域。 111azazz第三章 Z變換數(shù)字信號(hào)處理ojImzReza|z|a|圖圖2-6 的收斂域的收斂域 ( )(1)nx na un 注意注意1：左邊序列的左邊序列的z變換如果變換如果有有

10、N個(gè)有限極點(diǎn)個(gè)有限極點(diǎn) 存存在，在，12,Nz zz12min|,|,|xNRzzz0z 注意注意2：z變換后，只給出變換后，只給出z變換的閉合表達(dá)式是不夠變換的閉合表達(dá)式是不夠的的,必須同時(shí)給出收斂域必須同時(shí)給出收斂域,才能唯一地確定一個(gè)序列。才能唯一地確定一個(gè)序列。 那么收斂域一定在模值最小那么收斂域一定在模值最小的有限極點(diǎn)所在圓之內(nèi)，即的有限極點(diǎn)所在圓之內(nèi)，即但在但在 處是否收斂處是否收斂,需視序列需視序列存在的范圍另外加以討論。存在的范圍另外加以討論。第三章 Z變換數(shù)字信號(hào)處理例題例題3-5求求 的的z z變換及其收斂域。變換及其收斂域。( )3(1)nx nun 第三章 Z變換數(shù)字信

11、號(hào)處理 雙邊序列指雙邊序列指n為任意值時(shí)，為任意值時(shí)，x(n)皆有值的序列，皆有值的序列，可以把它看作一個(gè)左邊序列和一個(gè)右邊序列之和，即可以把它看作一個(gè)左邊序列和一個(gè)右邊序列之和，即nnnnnnznxznxznxzX01)()()()(（4 4）雙）雙邊邊序列序列: : 如果如果Rx-Rx+，則無(wú)公共收斂區(qū)域，則無(wú)公共收斂區(qū)域，X(z)無(wú)收斂域無(wú)收斂域,故不存在故不存在z變換的解析式。變換的解析式。|z|Rx+Rx-|z|Rx-第三章 Z變換數(shù)字信號(hào)處理圖圖2-7 雙邊序列及收斂域雙邊序列及收斂域 第三章 Z變換數(shù)字信號(hào)處理例題例題3-6( )x n( )(1/3)( )(1/2)(1)nnx

12、 nu nun （1） ，a為實(shí)數(shù)，為實(shí)數(shù)， 求求 的的z變換及其收斂域。變換及其收斂域。（2）求序列）求序列 的的z變換及其收斂域。變換及其收斂域。( )nx na第三章 Z變換數(shù)字信號(hào)處理歸納右序列的收斂域是：左序列的收斂域是：有限長(zhǎng)序列的收斂域是：雙邊序列的收斂域:Z平面的全平面；Z平面內(nèi)某個(gè)圓的外部；Z平面內(nèi)某個(gè)圓的內(nèi)部；如果存在，是Z平面內(nèi)環(huán)形區(qū)域。第三章 Z變換數(shù)字信號(hào)處理定義定義:已知函數(shù)已知函數(shù)X(z)及其收斂域，反過(guò)來(lái)求序列及其收斂域，反過(guò)來(lái)求序列x(n)的變換稱為的變換稱為z反變換反變換，表示為，表示為xxnnRzRznxzX|)()(則則 ),()(21)(1xxncRR

13、cdzzzXjnx3.2 z3.2 z反變換反變換一、一、 z反變換的定義反變換的定義2. z反變換的一般公式反變換的一般公式1( )( )x nZX z若若第三章 Z變換數(shù)字信號(hào)處理圖圖2-8 圍線積分路徑圍線積分路徑 ojImzRez|z| Rxc|z| Rx 積分路徑積分路徑c為環(huán)形解析域（即收斂域）內(nèi)為環(huán)形解析域（即收斂域）內(nèi)環(huán)繞原點(diǎn)的一條逆時(shí)針閉合單圍線。環(huán)繞原點(diǎn)的一條逆時(shí)針閉合單圍線。第三章 Z變換數(shù)字信號(hào)處理圍線積分法（留數(shù)法）圍線積分法（留數(shù)法）;部分分式展開法部分分式展開法;冪級(jí)數(shù)展開法（長(zhǎng)除法）冪級(jí)數(shù)展開法（長(zhǎng)除法）.二二z反變換方法反變換方法 直接計(jì)算圍線積分是比較麻煩的

14、，實(shí)際上直接計(jì)算圍線積分是比較麻煩的，實(shí)際上, 求求z反變換時(shí)，往往可以不必直接計(jì)算圍線積分。反變換時(shí)，往往可以不必直接計(jì)算圍線積分。一般求一般求z反變換的常用方法有三種：反變換的常用方法有三種：第三章 Z變換數(shù)字信號(hào)處理111( )( )Re ( )2knnz zckx nX z zdzs X z zj 根據(jù)留數(shù)定理，若函數(shù)根據(jù)留數(shù)定理，若函數(shù)X(z)zn-1在圍線在圍線c以內(nèi)有以內(nèi)有K個(gè)極點(diǎn)個(gè)極點(diǎn)zk，而在，而在c以外有以外有M個(gè)極點(diǎn)個(gè)極點(diǎn)zm（M、K為有限為有限值），則有值），則有留數(shù)法留數(shù)法111( )( )Re ( )2mnnz zcmx nX z zdzs X z zj 其中：其中

15、： 表示函數(shù)表示函數(shù)X(z)zn-1在極點(diǎn)在極點(diǎn)z=zk（c以內(nèi)極點(diǎn)）上的留數(shù)。以內(nèi)極點(diǎn)）上的留數(shù)。 表示函數(shù)表示函數(shù)X(z)zn-1在極點(diǎn)在極點(diǎn)z=zm（c以外極點(diǎn)）上的留數(shù)。以外極點(diǎn)）上的留數(shù)。1Re ( )knz zs X z z1Re ( )mnz zs X z z第三章 Z變換數(shù)字信號(hào)處理如何求如何求X(z)zn-1在任一極點(diǎn)在任一極點(diǎn)zk處的留數(shù)？處的留數(shù)？ 1. 設(shè)設(shè)zk是是X(z)zn-1的單（一階）極點(diǎn)，則有的單（一階）極點(diǎn)，則有 2. 如果如果zk是是X(z)zn-1的多重極點(diǎn)，如的多重極點(diǎn)，如N階極點(diǎn)，則有階極點(diǎn)，則有 11Re ( )()( )kknnz zkz zs

16、X z zzzX z z11111Re ( )()( )(1)!kkNnknz zkz zNds X z zzzX z zNdz(3-1)(3-2)第三章 Z變換數(shù)字信號(hào)處理注意：注意：以上兩式都可以用于計(jì)算以上兩式都可以用于計(jì)算z反變換，應(yīng)根據(jù)具體反變換，應(yīng)根據(jù)具體情況來(lái)選擇。例如，情況來(lái)選擇。例如，如果如果當(dāng)當(dāng)n大于某一值大于某一值時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)X(z)zn-1在圍線的外部可能在圍線的外部可能有多重極點(diǎn)，這時(shí)選有多重極點(diǎn)，這時(shí)選c的外部極點(diǎn)計(jì)算留數(shù)就比較麻煩，的外部極點(diǎn)計(jì)算留數(shù)就比較麻煩，而而通常選通常選c的內(nèi)部極點(diǎn)求留數(shù)的內(nèi)部極點(diǎn)求留數(shù)則較簡(jiǎn)單。則較簡(jiǎn)單。如果如果當(dāng)當(dāng)n小于某一值小于某

17、一值時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)X(z)zn-1在圍線的內(nèi)部可能在圍線的內(nèi)部可能有多重極點(diǎn)，這時(shí)選用有多重極點(diǎn)，這時(shí)選用c外部的極點(diǎn)求留數(shù)外部的極點(diǎn)求留數(shù)就方便得多。就方便得多。111( )( )Re ( )2knnz zckx nX z zdzs X z zj111( )( )Re ( )2mnnz zcmx nX z zdzs X z zj 第三章 Z變換數(shù)字信號(hào)處理例例3-7：已知：已知 |11)(1azazzX求求z反變換。反變換。 解：解： 1111( )1nnnzX z zzazza當(dāng)當(dāng)n0時(shí)時(shí),在圍線在圍線c以內(nèi)有一個(gè)單極點(diǎn)以內(nèi)有一個(gè)單極點(diǎn)z=a ；如圖如圖2-9所示所示。應(yīng)用公式應(yīng)用公式(

18、3-1)，則，則( )Re()nnnz az azzx nszaazaza當(dāng)當(dāng)n|a| jImzRezcoa第三章 Z變換數(shù)字信號(hào)處理( )( )nx na u n注意：注意：在具體應(yīng)用留數(shù)法時(shí)，若能從收斂域判定序在具體應(yīng)用留數(shù)法時(shí)，若能從收斂域判定序列是因果的，就可以不必考慮列是因果的，就可以不必考慮n0時(shí)出現(xiàn)的極點(diǎn)了，時(shí)出現(xiàn)的極點(diǎn)了， 因?yàn)樗鼈兊牧魯?shù)和一定總是零。因?yàn)樗鼈兊牧魯?shù)和一定總是零。因此因此 Re,0( )0,0nnz azsanz ax nn即即 第三章 Z變換數(shù)字信號(hào)處理例例3-8 已知已知 |11)(1azazzX求求z反變換。反變換。 解解 由于極點(diǎn)由于極點(diǎn)a處在圍線處在圍

19、線c以外以外(見圖見圖2-13），），當(dāng)當(dāng)n0時(shí)圍線時(shí)圍線c內(nèi)無(wú)極點(diǎn)，因此內(nèi)無(wú)極點(diǎn)，因此 ；1111( )1nnnzX z zzazza而而n2收斂域?yàn)閨z|3( )x n ( )X z 1111(1 2)(1 3)zz2( )nu n( 3)(1)nun ( )11(2)(3)X zzzz(2)(3)zzzz收斂域?yàn)?|z|32( )( 3)(1)nnu nun 第三章 Z變換數(shù)字信號(hào)處理冪級(jí)數(shù)展開法（長(zhǎng)除法）冪級(jí)數(shù)展開法（長(zhǎng)除法）把X(z)展開成冪級(jí)數(shù)( )( )nnX zx n z1012( 1)(0)(1)(2)xzxzxzxz級(jí)數(shù)的系數(shù)就是序列x(n)第三章 Z變換數(shù)字信號(hào)處理根據(jù)收

20、斂域判斷根據(jù)收斂域判斷x(n)的性質(zhì)，在展開成相應(yīng)的的性質(zhì)，在展開成相應(yīng)的z的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù) 將將X(z) X(z)的的 x(n) 展成展成z的的 分子分母分子分母 按按z的的 右邊序列右邊序列 負(fù)冪級(jí)數(shù)負(fù)冪級(jí)數(shù) 降冪排列降冪排列 左邊序列左邊序列 正冪級(jí)數(shù)正冪級(jí)數(shù) 升冪排列升冪排列xzRxzR第三章 Z變換數(shù)字信號(hào)處理解：由解：由Roc判定判定x(n)是因果序列，用是因果序列，用長(zhǎng)除法展成長(zhǎng)除法展成z的負(fù)的負(fù)冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)11( ) (1)X zzaaz例：，求z反變換122330( )1nnnX zaza za za z ( )( )nx na u n11112222223333111 az

21、azazaza za za za za z122331aza za z第三章 Z變換數(shù)字信號(hào)處理11( ) (1)X zzaaz例：，求z反變換122331( )nnnX za za za za z -( )(1)nx na un 解：由解：由Roc判定判定x(n)是左邊序列，用是左邊序列，用長(zhǎng)除法展成長(zhǎng)除法展成z的正的正冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)111122221 11 aza za za za za z12233a za za z第三章 Z變換數(shù)字信號(hào)處理nnznxnxZTzX)()()(jrez njnnnnjjernxrenxreX)()()(1rjez 1,z變換等效成傅里葉變換即 z)()(nn

22、jjenxeX結(jié)論：在Z平面中單位圓上定義的序列Z變換即為序列的傅3.3 Z3.3 Z變換與傅里葉變換的關(guān)系變換與傅里葉變換的關(guān)系Z變換表達(dá)式： 令 ，代入上式得到：當(dāng)時(shí)， 即里葉變換。Z在單位圓上取值即即z變換等效成序列的傅里葉變換變換等效成序列的傅里葉變換第三章 Z變換數(shù)字信號(hào)處理3.4 z3.4 z變換的基本性質(zhì)和定理變換的基本性質(zhì)和定理 1. 1. 線性線性 Z變換是一種線性變換，它滿足疊加原理，即若有變換是一種線性變換，它滿足疊加原理，即若有: ZTx(n)=X(z) Rx-|z|R x+ ZTy(n)=Y(z) Ry-|z|Ry+ 那么對(duì)于任意常數(shù)那么對(duì)于任意常數(shù)a、b，z變換都能

23、滿足以下等式變換都能滿足以下等式： ZTax(n)+by(n)=aX(z)+bY(z) R-|z|R+ 注意：注意：1）通常兩序列和的）通常兩序列和的z變換的收斂域?yàn)樗鼈兏髯宰儞Q的收斂域?yàn)樗鼈兏髯允諗坑虻墓矃^(qū)域，即收斂域的公共區(qū)域，即 R-=max(Rx-, Ry-) R+=min(Rx+, Ry+)2）如果線性組合中某些零點(diǎn)與極點(diǎn)相互抵消，則收斂）如果線性組合中某些零點(diǎn)與極點(diǎn)相互抵消，則收斂域可能擴(kuò)大。域可能擴(kuò)大。 第三章 Z變換數(shù)字信號(hào)處理2. 序列的移位序列的移位() T ()( ),|mxxZx nmzX zRzR式中：式中：m為正為延遲為正為延遲(右移右移)， m為負(fù)為超前為負(fù)為超

24、前(左移左移)。 若序列若序列x(n)的的z變換為變換為 T ( )( ),xxZx nX zRzR則有則有 nkmkmnzXzzkxzzmnxmnxZ)()()()(證明：證明： 第三章 Z變換數(shù)字信號(hào)處理10232221T ( )( ),111T (3),1111T ( ),011nnnnzZu nu n zzzzzzzZu nzzzzzzzzZx nzzzz其中：例：例：求序列求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的的z變換。變換。解：解：( ) ( )(3)X zZT u nu n ( ) (3)ZT u nZT u n第三章 Z變換數(shù)字信號(hào)處理T( ),| |nxxzZa x nXa

25、 Rza Ra3. 乘以指數(shù)序列（乘以指數(shù)序列（z域尺度變換）域尺度變換） 若若( )T ( ),xxX zZx nRzR則則4. 序列的線性加權(quán)（序列的線性加權(quán)（z域求導(dǎo)數(shù)）域求導(dǎo)數(shù)）若已知若已知?jiǎng)t則( )T ( ),xxX zZx nRzR( )( )dZT nx nzX zdz xxRzR第三章 Z變換數(shù)字信號(hào)處理5. 共軛序列共軛序列式中，符號(hào)式中，符號(hào)“*”表示取共軛復(fù)數(shù)。表示取共軛復(fù)數(shù)。 若若( )T ( ),xxX zZx nRzR則則111T (),|xxZxnXzzRR6. 翻褶序列翻褶序列 若若( )T ( ),xxX zZx nRzR則則*T ( )Z x n *()xx

26、XzRzR，第三章 Z變換數(shù)字信號(hào)處理對(duì)于因果序列對(duì)于因果序列x(n)，即，即x(n)=0, n0, 有有 )0()(limxzXz7. 初值定理初值定理 8. 終值定理終值定理 設(shè)設(shè)x(n)為因果序列，且為因果序列，且X(z)=Zx(n)的全部極的全部極點(diǎn)，除有一個(gè)一階極點(diǎn)可以在點(diǎn)，除有一個(gè)一階極點(diǎn)可以在z=1 處外，其余都在處外，其余都在單位圓內(nèi)，則單位圓內(nèi)，則 1( )lim ( )lim(1)( )nzxx nzX z 1Re ( )zs X z第三章 Z變換數(shù)字信號(hào)處理9. 序列的卷積和（時(shí)域卷積和定理）序列的卷積和（時(shí)域卷積和定理）()mmnhmxnhnxny)()()()()(則

27、則 ( ) ( )( )( ),max, | min,xhxhY zZ y nX z H zRRzRR設(shè)設(shè)( ) ( ),( ) ( ),xxhhX zZ x nRzRH zZ h nRzR注意：注意：1）若時(shí)域?yàn)榫矸e和，則若時(shí)域?yàn)榫矸e和，則z變換域是相變換域是相乘的關(guān)系；乘的關(guān)系；2） 乘積乘積Y(z)的收斂域?yàn)榈氖諗坑驗(yàn)閄(z)、H(z)收斂域的公共部收斂域的公共部分。分。 若有極點(diǎn)被抵消，收斂域可擴(kuò)大。若有極點(diǎn)被抵消，收斂域可擴(kuò)大。 第三章 Z變換數(shù)字信號(hào)處理 在線性移不變系統(tǒng)中，如果輸入為在線性移不變系統(tǒng)中，如果輸入為x(n)，系統(tǒng)，系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為的單位脈沖響應(yīng)為h(n)，則輸出

28、，則輸出y(n)是是x(n)與與h(n)的的卷積卷積;利用利用時(shí)域卷積和定理時(shí)域卷積和定理，通過(guò)求出，通過(guò)求出X(z)和和H(z)，然后求出乘積然后求出乘積X(z)H(z)的的z反變換，從而可得反變換，從而可得y(n)。具體步驟如下：具體步驟如下：時(shí)域卷積和定理的應(yīng)用時(shí)域卷積和定理的應(yīng)用 求線性移不變系統(tǒng)輸出響應(yīng)求線性移不變系統(tǒng)輸出響應(yīng)1( ), ( )( ),( )( )( )( )( )( )x n h nX zH zY zX z H zy nZY z第三章 Z變換數(shù)字信號(hào)處理例例 3-12： 設(shè)設(shè)x(n)=anu(n), h(n)=bnu(n)-abn-1u(n-1)求求y(n)=x(n

29、) * h(n) 。 解：解： 1011( ) ( ),| |1( ) ( ),| |nnnzX zZ x na zzaazzazzH zZ h nazzbzbzazazbzbzbzb所以所以 ( )( )( )|zzazY zX z H zzbza zbzb其其z反變換為反變換為1( )( )( ) ( )( )ny nx nh nZY zb u n第三章 Z變換數(shù)字信號(hào)處理 顯然，在顯然，在z=a處，處，X(z)的極點(diǎn)被的極點(diǎn)被H(z)的零點(diǎn)所抵消，的零點(diǎn)所抵消，如果如果|b|a|，則，則Y(z)的收斂域比的收斂域比X(z)與與H(z)收斂域的重疊部收斂域的重疊部分要大。分要大。 obaj

30、ImzRez圖圖 2-14 Y(z)的零極點(diǎn)及收斂域的零極點(diǎn)及收斂域 第三章 Z變換數(shù)字信號(hào)處理例題1.已知 ， 的z變換，求 及 的z變換。2.已知某因果序列 的z變換 求 的初值 和 及終值。 )()(nuanxn10 a)( nx )(nnx)(nx)231)(1 (21)(112zzzzX)(nx)(lim)(nxxz(0)x第三章 Z變換數(shù)字信號(hào)處理3.53.5離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，系統(tǒng)的頻率響應(yīng) 在時(shí)域中，一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)完全可以由它在時(shí)域中，一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)完全可以由它的單位脈沖響應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)來(lái)表示，即來(lái)表示，即 ( )( )( )

31、y nx nh n)()()(zXzHzY)()()(zXzYzH一、系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)函數(shù)取取z變換變換 ( )( )nnZT h nh n z線性移不變系統(tǒng)線性移不變系統(tǒng)的的系統(tǒng)函數(shù)，系統(tǒng)函數(shù)，單單位沖激響應(yīng)的位沖激響應(yīng)的z變變換換 第三章 Z變換數(shù)字信號(hào)處理1. 因果系統(tǒng)因果系統(tǒng)| zRx二、因果穩(wěn)定系統(tǒng)二、因果穩(wěn)定系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)單位脈沖響應(yīng)h(n)為因果序列的系統(tǒng)是因果系為因果序列的系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)統(tǒng)，因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)具有包括具有包括z=點(diǎn)的點(diǎn)的收斂域，即收斂域，即 線性移不變系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充要條件是線性移不變系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充要條件是:( )0,0h n

32、n即因果系統(tǒng)的收斂域是半徑為即因果系統(tǒng)的收斂域是半徑為 的圓的外部，且的圓的外部，且必須包括必須包括|z|=在內(nèi)。在內(nèi)。xR第三章 Z變換數(shù)字信號(hào)處理 z變換的收斂域由滿足變換的收斂域由滿足 的的那些那些z值確定，因此值確定，因此穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)必必須在單位圓上收斂，須在單位圓上收斂，即收斂域包括單位圓即收斂域包括單位圓|z|=1的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。nnznh|)(|2. 穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)線性移不變系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是單位線性移不變系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是單位沖激響應(yīng)沖激響應(yīng)h(n)絕對(duì)可和絕對(duì)可和:nnh| )(|第三章 Z變換數(shù)字信號(hào)處理 因果穩(wěn)定系統(tǒng)的

33、系統(tǒng)函數(shù)因果穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)必須在從單位圓必須在從單位圓到到的整個(gè)的整個(gè)z域內(nèi)收斂，即收斂域必須包括域內(nèi)收斂，即收斂域必須包括 也就是說(shuō)，系統(tǒng)函數(shù)的也就是說(shuō)，系統(tǒng)函數(shù)的全部極點(diǎn)必須在單位圓內(nèi)全部極點(diǎn)必須在單位圓內(nèi)。 3. 因果穩(wěn)定系統(tǒng)因果穩(wěn)定系統(tǒng)xRz,01xR且第三章 Z變換數(shù)字信號(hào)處理注意：注意：1）同一個(gè)系統(tǒng)函數(shù)，收斂域不同，所代表的系統(tǒng)）同一個(gè)系統(tǒng)函數(shù)，收斂域不同，所代表的系統(tǒng)就不同，所以給出系統(tǒng)函數(shù)時(shí)必須同時(shí)給定系統(tǒng)就不同，所以給出系統(tǒng)函數(shù)時(shí)必須同時(shí)給定系統(tǒng)的收斂域才行。的收斂域才行。2）對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng)，其收斂域必須包括單位圓，因）對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng)，其收斂域必須包括單位圓，因而，在而，在z平面以極點(diǎn)、零點(diǎn)圖描述系統(tǒng)函數(shù)，通常平面以極點(diǎn)、零點(diǎn)圖描述系統(tǒng)函數(shù)，通常都畫出單位圓以便看出極點(diǎn)