統(tǒng)計學(xué)——利用線性回歸進(jìn)行預(yù)測

1、利用線性回歸進(jìn)行預(yù)測 回歸分析回歸分析的主要的主要目的目的是根據(jù)所建立的估計的回歸方是根據(jù)所建立的估計的回歸方程進(jìn)行程進(jìn)行預(yù)測預(yù)測或或控制控制。預(yù)測預(yù)測是通過自變量是通過自變量x的取值來預(yù)測因變量的取值來預(yù)測因變量y的取值。的取值?？刂瓶刂剖歉鶕?jù)一個想要的是根據(jù)一個想要的y值值,求得所要求的求得所要求的x的值（與的值（與預(yù)測恰好相反）。預(yù)測恰好相反）。我們這里講的主要是預(yù)測方面的內(nèi)容我們這里講的主要是預(yù)測方面的內(nèi)容利用線性回歸進(jìn)行預(yù)測1 點估計點估計 2 區(qū)間估計區(qū)間估計 點 估 計點 估 計1.對于自變量對于自變量 x 的一個給定值的一個給定值 ，根據(jù)回歸方程，根據(jù)回歸方程得到因變量得到因變

2、量 y 的一個估計值就是點估計的一個估計值就是點估計點估計值有點估計值有 y 的的平均值平均值的點估計的點估計 y 的的個別值個別值的點估計的點估計3. 在點估計條件下，平均值的點估計和個別值的在點估計條件下，平均值的點估計和個別值的的點估計是一樣的，但在區(qū)間估計中則不同。的點估計是一樣的，但在區(qū)間估計中則不同。0 x平 均 值 的 點 估 計利用估計的回歸方程，對于自變量利用估計的回歸方程，對于自變量 x 的的一個給定值一個給定值 x0 ，求出因變量，求出因變量 y 的平均的平均值的一個估計值值的一個估計值E(y0) ，就是，就是平均值的平均值的點估計點估計個 別 值 的 點 估 計利用估計

3、的回歸方程，對于自變量利用估計的回歸方程，對于自變量 x 的一個給定值的一個給定值 x0 ，求出因變量，求出因變量 y 的一的一個個別值的估計值個個別值的估計值 ，就是，就是個別值個別值的點估計的點估計.0 y案例 區(qū) 間 估 計區(qū) 間 估 計對于自變量對于自變量 x 的一個給定值的一個給定值 ，根據(jù)回歸方，根據(jù)回歸方程得到因變量程得到因變量 y 的一個估計值的區(qū)間就是區(qū)的一個估計值的區(qū)間就是區(qū)間估計。間估計。點估計值也有點估計值也有 y 的的平均值平均值的區(qū)間估計的區(qū)間估計置信區(qū)間置信區(qū)間 y 的的個別值個別值的區(qū)間估計的區(qū)間估計預(yù)測區(qū)間預(yù)測區(qū)間3. 在區(qū)間估計條件下，即使對于同一個在區(qū)間估

4、計條件下，即使對于同一個 平均值平均值的區(qū)間估計和個別值的的區(qū)間估計也是不一的區(qū)間估計和個別值的的區(qū)間估計也是不一樣的，預(yù)測區(qū)間要比置信區(qū)間寬一些。樣的，預(yù)測區(qū)間要比置信區(qū)間寬一些。0 x0 x置 信 區(qū) 間 估 計 y 的期望值的置信區(qū)間估計的期望值的置信區(qū)間估計 利用估計的回歸方程，對于自變量利用估計的回歸方程，對于自變量 x 的一個的一個給定值給定值 x0 ，求出因變量，求出因變量 y 的期望值的期望值E(y0)的的估計區(qū)間估計區(qū)間 ，這一估計區(qū)間稱為，這一估計區(qū)間稱為置信區(qū)間置信區(qū)間1. E(y0) 在在1- 置信水平下的置信區(qū)間為置信水平下的置信區(qū)間為niiexxxxnSty1220

5、201sy00 y預(yù) 測 區(qū) 間 估 計 y 的個別值的預(yù)測區(qū)間估計的個別值的預(yù)測區(qū)間估計 利用估計的回歸方程，對于自變量利用估計的回歸方程，對于自變量 x 的一個的一個給定值給定值 x0 ，求出因變量，求出因變量 y 的一個個別值的的一個個別值的估計區(qū)間，這一區(qū)間稱為估計區(qū)間，這一區(qū)間稱為預(yù)測區(qū)間預(yù)測區(qū)間 1. y0在在1- 置信水平下的預(yù)測區(qū)間為置信水平下的預(yù)測區(qū)間為niiexxxxnSty12202011置信區(qū)間、預(yù)測區(qū)間、回歸方程xy10 案例案例1 選取了廣東省高等學(xué)校在校生人數(shù)從1995年到2009年共15年的兩個時間序列數(shù)據(jù)為樣本進(jìn)行分析和預(yù)測，數(shù)據(jù)分別見表1-1。 問題：運用適

6、當(dāng)模型對2010年的在校生數(shù)進(jìn)行預(yù)測。我國的高等學(xué)校在校生我國的高等學(xué)校在校生人數(shù)的修正指數(shù)曲線為人數(shù)的修正指數(shù)曲線為所以，將所以，將t=16代入，可代入，可以得到以得到2010年的高等學(xué)年的高等學(xué)校在校生人數(shù)的預(yù)測值校在校生人數(shù)的預(yù)測值tty)1453. 1 (112.213778.1465.17016)1453. 1x(112.213778.14y（萬人）（萬人）案例案例2 根據(jù)某地區(qū)歷年人均收入（元）與商品銷售額（萬元）根據(jù)某地區(qū)歷年人均收入（元）與商品銷售額（萬元）資料計算的有關(guān)數(shù)據(jù)如下：資料計算的有關(guān)數(shù)據(jù)如下：計算：計算： 建立以商品銷售額為因變量的直線回歸方程，建立以商品銷售額為因

7、變量的直線回歸方程， 并解釋回歸系數(shù)的含義。并解釋回歸系數(shù)的含義。 若若2002年人均收入年人均收入14000元，試推算該年商品銷元，試推算該年商品銷售額。售額。 9n 546x 260y 234362x16918xy 解解： 回歸系數(shù)回歸系數(shù)b的含義：人均收入每增加的含義：人均收入每增加1元，商品銷售額平均元，商品銷售額平均增加增加0.925萬元。萬元。 x= 14000元，2229 16918546 2600.9259 34362546nxyxybnxx 2605460.92527.2399aybx 27.230.925cyabxx 27.23 0.925 14000 12922.77cy

8、 案例3 根據(jù)5位同學(xué)西方經(jīng)濟學(xué)的學(xué)習(xí)時間（x）與成績（y）計算出如下資料： 5n 40 x 310y 2370 x 220700y 16918xy 計算： 編制以學(xué)習(xí)時間為自變量的直線回歸方程。（要求計算結(jié)果保留2位小數(shù)） 若某位同學(xué)的西方經(jīng)濟學(xué)的學(xué)習(xí)時間為X=10， 以95%的概率估計其西方經(jīng)濟學(xué)的成績。解：（1） 72.4105.2020.40 y2225 274040 3105.205 37040nxyxybnxx 310405.2020.405520.405.20caybxyabxx（2）當(dāng)x=10時，21.2225)5310(5207002222nynxSe（置信區(qū)間估計）75.1185370)810(5121.2212212200niieyxxxxnSS1824. 3) 25 () 2(025. 02tnt查表的因此，當(dāng)西方經(jīng)濟學(xué)的學(xué)習(xí)時間為X=10時，可以以95%的概率估計西方經(jīng)濟學(xué)的分?jǐn)?shù)均值在 35109.79之間。得 置信區(qū)間為： 0yE75.111824. 34 .72當(dāng)x=10時，4 .721020. 54 .20y（預(yù)測區(qū)間估計）1