高中數(shù)學(xué)：122《組合》課件(人教A版選修2-3)(共55張PPT)

1、高中數(shù)學(xué)：1.2.2組合課件（人教A版選修2-3）1.2.2組合教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo) v1.理解組合的意義，掌握組合數(shù)的計(jì)算公式；v2.能正確認(rèn)識(shí)組合與排列的聯(lián)系與區(qū)別v 教學(xué)重點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)：v理解組合的意義，掌握組合數(shù)的計(jì)算公式問題一：問題一：從甲、乙、丙從甲、乙、丙3 3名同學(xué)中選出名同學(xué)中選出2 2名去參名去參加某天的一項(xiàng)活動(dòng)，其中加某天的一項(xiàng)活動(dòng)，其中1 1名同學(xué)參加上午的名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，活動(dòng)，1 1名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有多少種不名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有多少種不同的選法？同的選法？問題二：問題二：從甲、乙、丙從甲、乙、丙3 3名同學(xué)中選出名同學(xué)中選出2 2名去參名去參加某天一項(xiàng)活動(dòng)

2、，有多少種不同的選法？加某天一項(xiàng)活動(dòng)，有多少種不同的選法？236A 甲、乙；甲、丙；乙、丙甲、乙；甲、丙；乙、丙 3 3情境創(chuàng)設(shè)情境創(chuàng)設(shè)從已知的從已知的3個(gè)個(gè)不同元素中不同元素中每次取出每次取出2個(gè)個(gè)元素元素, ,并成一并成一組組問題二問題二從已知的從已知的3 個(gè)不同元素個(gè)不同元素中每次取出中每次取出2個(gè)元素個(gè)元素, ,按按照一定的順照一定的順序排成一列序排成一列. .問題一問題一排列排列組合組合有有順順序序無無順順序序 一般地，從一般地，從n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m（mn）個(gè)元素個(gè)元素并成一組并成一組，叫做從，叫做從n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)個(gè)元素的一個(gè)組合組

3、合. . 排列與組合的排列與組合的概念有什么共概念有什么共同點(diǎn)與不同點(diǎn)？同點(diǎn)與不同點(diǎn)？ 概念講解概念講解組合定義組合定義: :? ?組合定義組合定義: 一般地，從一般地，從n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m（mn）個(gè)元素個(gè)元素并成一組并成一組，叫做從，叫做從n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m個(gè)元個(gè)元素的一個(gè)素的一個(gè)組合組合排列定義排列定義: 一般地，從一般地，從n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m (mn) 個(gè)元素，個(gè)元素，按照一定的順序排成一列按照一定的順序排成一列，叫做從，叫做從 n 個(gè)不個(gè)不同元素中取出同元素中取出 m 個(gè)元素的一個(gè)個(gè)元素的一個(gè)排列排列.共同點(diǎn)共同點(diǎn): 都要都要“從從

4、n個(gè)不同元素中任取個(gè)不同元素中任取m個(gè)元素個(gè)元素” 不同點(diǎn)不同點(diǎn): : 排列排列與元素的順序有關(guān)，與元素的順序有關(guān)， 而組合而組合則與元素的順序無關(guān)則與元素的順序無關(guān). .概念講解概念講解思考一思考一:aB與與Ba是相同的排列是相同的排列 還還是相同的組合是相同的組合?為什么為什么? ?思考二思考二: :兩個(gè)相同的排列有什么特點(diǎn)兩個(gè)相同的排列有什么特點(diǎn)? ?兩個(gè)相同兩個(gè)相同的組合呢的組合呢? ?）元素相同；）元素相同；）元素排列順序相同）元素排列順序相同. .元素相同元素相同概念理解概念理解 構(gòu)造排列分成兩步完成，先取后排；構(gòu)造排列分成兩步完成，先取后排；而構(gòu)造組合就是其中一個(gè)步驟而構(gòu)造組合就

5、是其中一個(gè)步驟. .思考三思考三: :組合與排列有聯(lián)系嗎組合與排列有聯(lián)系嗎? ?判斷下列問題是組合問題還是排列問題判斷下列問題是組合問題還是排列問題? ? (1)設(shè)集合設(shè)集合A=a,b,c,d,e，則集合，則集合A的含有的含有3個(gè)元素的個(gè)元素的子集有多少個(gè)子集有多少個(gè)?(2)某鐵路線上有某鐵路線上有5個(gè)車站，則這條鐵路線上共需準(zhǔn)備個(gè)車站，則這條鐵路線上共需準(zhǔn)備多少種車票多少種車票? 有多少種不同的火車票價(jià)？有多少種不同的火車票價(jià)？組合問題組合問題排列問題排列問題(3)10人聚會(huì)，見面后每兩人之間要握手相互問候人聚會(huì)，見面后每兩人之間要握手相互問候,共共需握手多少次需握手多少次?組合問題組合問題

6、組合問題組合問題組合是選擇的結(jié)果，排列組合是選擇的結(jié)果，排列是選擇后再排序的結(jié)果是選擇后再排序的結(jié)果.1.從從 a , b , c三個(gè)不同的元素中取出兩個(gè)元素的所三個(gè)不同的元素中取出兩個(gè)元素的所有組合分別是有組合分別是:ab , ac , bc 2.已知已知4個(gè)元素個(gè)元素a , b , c , d ,寫出每次取出兩個(gè)元寫出每次取出兩個(gè)元素的所有組合素的所有組合.ab c d b c d cd ab , ac , ad , bc , bd , cd(3(3個(gè)個(gè)) )(6(6個(gè)個(gè)) )概念理解概念理解 從從n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m（mn）個(gè)元素的所）個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從有組合

7、的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的個(gè)元素的組合數(shù)組合數(shù)，用符號(hào)，用符號(hào) 表示表示.mnC233C246C 如如:從從 a , b , c三個(gè)不同的元素中取出兩個(gè)元素三個(gè)不同的元素中取出兩個(gè)元素的所有組合個(gè)數(shù)是的所有組合個(gè)數(shù)是:如如:已知已知4個(gè)元素個(gè)元素a 、b 、 c 、 d ,寫出每次取出寫出每次取出兩個(gè)元素的所有組合個(gè)數(shù)是：兩個(gè)元素的所有組合個(gè)數(shù)是：概念講解概念講解組合數(shù)組合數(shù) 是一個(gè)數(shù)，應(yīng)該把它與是一個(gè)數(shù)，應(yīng)該把它與“組合組合”區(qū)別開來區(qū)別開來 mnC1.寫出從寫出從a,b,c,d 四個(gè)元素中任取三個(gè)元素的所有四個(gè)元素中任取三個(gè)元素的所有組合組合abc ， ab

8、d ， acd ，bcd .bcddcbacd組合組合排列排列abcabdacdbcdabc bac cabacb bca cbaabd bad dabadb bda dbaacd cad dacadc cda dcabcd cbd dbcbdc cdb dcb（三個(gè)元素的）（三個(gè)元素的）1 1個(gè)組合，對(duì)應(yīng)著個(gè)組合，對(duì)應(yīng)著6 6個(gè)排列個(gè)排列你發(fā)現(xiàn)了你發(fā)現(xiàn)了什么什么?PPC333434 34 4C第一步，（）個(gè)；33 6A第二步，（）個(gè)；333.434 CAA根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，334343ACA從而34A對(duì)于對(duì)于，我們可以按照以下步驟進(jìn)行，我們可以按照以下步驟進(jìn)行組合數(shù)公式組合數(shù)公式 排列與組合

9、是有區(qū)別的，但它們又有聯(lián)系排列與組合是有區(qū)別的，但它們又有聯(lián)系 一般地，求從一般地，求從n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的個(gè)元素的排列數(shù)，可以分為以下排列數(shù)，可以分為以下2步：步： 第第1 1步，先求出從這步，先求出從這n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m個(gè)個(gè)元素的組合數(shù)元素的組合數(shù) mnC第第2步，求每一個(gè)組合中步，求每一個(gè)組合中m個(gè)元素的全排列數(shù)個(gè)元素的全排列數(shù) mnA根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得到：根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得到：mmmnmnACA因此：因此： !121mmnnnnAACmmmnmn 這里這里m,n是自然數(shù)，且是自然數(shù)，且 m n ，這個(gè)公式叫做，這個(gè)公式叫做 概念講解概念講解

10、組合數(shù)公式組合數(shù)公式: :(1)(2)(1)!mmnnmmAn nnnmCAmmmmnmnCAA!()!mnnCm nm01.nC我們規(guī)定：從從 n個(gè)不同元中取出個(gè)不同元中取出m個(gè)元素的排列數(shù)個(gè)元素的排列數(shù)例例1 1、計(jì)算：、計(jì)算： 47C 710C例例2.2.甲、乙、丙、丁甲、乙、丙、丁4 4支足球隊(duì)舉行單循環(huán)賽，支足球隊(duì)舉行單循環(huán)賽，（1 1）列出所有各場比賽的雙方；）列出所有各場比賽的雙方；（2 2）列出所有冠亞軍的可能情況）列出所有冠亞軍的可能情況. .（2 2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙?。┘滓?、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 乙甲乙甲、丙甲丙甲、丁甲丁甲、丙乙丙乙、丁乙丁乙、丁

11、丙丁丙（1 1） 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁解：解：例題分析例題分析32 nnCA（3）已知：）已知： ，求，求n的值的值 3535 (2) (2) 120120例3.11CmnmCmnmn:求證,! :）（！證明mnmnCmn)!1()!1(! 111mnmnmnmmnmCmn)!1)(! )!1(1mnmnnmm.! )( !Cmnmnmn 1.理解組合的定義，區(qū)別排列與組合之間的關(guān)系.思悟小結(jié)（2）同是從）同是從n個(gè)元素中取個(gè)元素中取m個(gè)元素，但是組合個(gè)元素，但是組合一旦取完就結(jié)束，而排列還要繼續(xù)進(jìn)行排序一旦取完就結(jié)束，而排列還要繼續(xù)進(jìn)行排序（1

12、）有序與無序的區(qū)別）有序與無序的區(qū)別2.2.理解組合數(shù)的的定義與公式理解組合數(shù)的的定義與公式(1)(2)(1)!mmnnmmAn nnnmCAm（1 1）!()!mnnCmnm（2 2）mnC3.103.10名學(xué)生，名學(xué)生，7 7人掃地，人掃地，3 3人推車，那么不同人推車，那么不同 的分工方的分工方法有法有 種；種；組合應(yīng)用組合應(yīng)用【練習(xí)練習(xí)】1.用用m、n表示表示2.2.從從8 8名乒乓球選手中選出名乒乓球選手中選出3 3名打團(tuán)體賽，共名打團(tuán)體賽，共 有有 種種不同的選法；如果這三個(gè)選手又按照不同順序安排，不同的選法；如果這三個(gè)選手又按照不同順序安排，有有 種方法種方法. . 例例1. 1

13、. 在產(chǎn)品檢驗(yàn)中，常從產(chǎn)品中抽出一部分在產(chǎn)品檢驗(yàn)中，常從產(chǎn)品中抽出一部分進(jìn)行檢查進(jìn)行檢查. .現(xiàn)有現(xiàn)有100100件產(chǎn)品，其中件產(chǎn)品，其中3 3件次品，件次品，9797件件正品正品. .要抽出要抽出5 5件件進(jìn)行檢查，根據(jù)下列各種要求，進(jìn)行檢查，根據(jù)下列各種要求，各有多少種不同的抽法？各有多少種不同的抽法？(1)無任何限制條件；無任何限制條件；(2)全是正品；全是正品；(3)只有只有2件正品；件正品；(4)至少有至少有1件次品；件次品；(5)至多有至多有2件次品；件次品；(6)次品最多次品最多.解答：解答：5100C（1 1）597C（2 2）23973CC（3 3）5510097CC（4 4

14、）413223973973973CCCCCC，或，或（5 5）504132973973973CCCCCC23973CC（6 6）1. 1.有有1010道試題，從中選答道試題，從中選答8 8道，共有道，共有 種選法、種選法、又若其中又若其中6 6道必答，共有道必答，共有 不同的種選法不同的種選法. .2.2.某班有某班有5454位同學(xué)，正、副班長各位同學(xué)，正、副班長各1 1名，現(xiàn)選派名，現(xiàn)選派6 6名同學(xué)名同學(xué)參加某科課外小組，在下列各種情況中參加某科課外小組，在下列各種情況中 ，各有多少種，各有多少種不同的選法？不同的選法？（1 1）無任何限制條件；）無任何限制條件；（2 2）正、副班長必須入

15、選；）正、副班長必須入選；（3 3）正、副班長只有一人入選；）正、副班長只有一人入選；（4 4）正、副班長都不入選；）正、副班長都不入選；（5 5）正、副班長至少有一人入選；）正、副班長至少有一人入選；（5 5）正、副班長至多有一人入選；）正、副班長至多有一人入選；練習(xí)：練習(xí)：小結(jié)：至多至少問題常用分類的或排除法小結(jié)：至多至少問題常用分類的或排除法. .例例2 從數(shù)字從數(shù)字1,2,5,7中任選兩個(gè)中任選兩個(gè) 練習(xí)練習(xí) 有不同的英文書有不同的英文書5本本,不同的中文書不同的中文書7本本, 從中選出兩本書從中選出兩本書.(1)若其中一本為中文書若其中一本為中文書,一本為英文書一本為英文書. 問共有

16、多少種選法問共有多少種選法?(1) 可以得到多少個(gè)不同的和可以得到多少個(gè)不同的和? (2)可以得到多少個(gè)不同的差可以得到多少個(gè)不同的差?(2)若不限條件若不限條件,問共有多少種選法問共有多少種選法?6個(gè)12個(gè)35種66種例例4 4 有有1212名劃船運(yùn)動(dòng)員名劃船運(yùn)動(dòng)員, ,其中其中3 3人只會(huì)劃左舷人只會(huì)劃左舷, , 4 4人只會(huì)劃右舷人只會(huì)劃右舷, , 其它其它5 5人既會(huì)劃左舷人既會(huì)劃左舷, , 又會(huì)劃又會(huì)劃右舷右舷, , 現(xiàn)要從這現(xiàn)要從這1212名運(yùn)動(dòng)員中選出名運(yùn)動(dòng)員中選出6 6人平均分人平均分在左右舷參加劃船比賽在左右舷參加劃船比賽, ,有多少種不同的選法有多少種不同的選法? ?例例3

17、 在在MON的邊的邊OM上有上有5個(gè)異于個(gè)異于O點(diǎn)的點(diǎn)點(diǎn)的點(diǎn),ON上有上有4個(gè)異于個(gè)異于O點(diǎn)的點(diǎn)點(diǎn)的點(diǎn),以這十個(gè)點(diǎn)以這十個(gè)點(diǎn)(含含O)為為頂點(diǎn)頂點(diǎn),可以得到多少個(gè)三角形可以得到多少個(gè)三角形?NOMABCDEFG HI練習(xí)練習(xí) 如圖如圖,在以在以AB為直徑的半圓周上有異于為直徑的半圓周上有異于A,B的六個(gè)點(diǎn)的六個(gè)點(diǎn)C1, C2 ,C3 , C4 ,C5 ,C6 , AB上有異上有異于于A, B的四個(gè)點(diǎn)的四個(gè)點(diǎn)D1 , D2 , D3 , D4,問問 (1)以這以這10個(gè)點(diǎn)中的個(gè)點(diǎn)中的3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)可作多少個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)可作多少個(gè)三角形個(gè)三角形? (2)以圖中以圖中12個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn)(包括包括A,B)中的四個(gè)

18、為頂中的四個(gè)為頂點(diǎn)點(diǎn),可作多少個(gè)四邊形可作多少個(gè)四邊形?ABD1D2D3D4C1C2C3C4C5C696979999CC練習(xí)（練習(xí)（1 1）求）求 的值的值 組合數(shù)的性質(zhì)組合數(shù)的性質(zhì)mn mnnCC（1 1）11mmmnnnCCC（2 2）221717xxCC（2 2）求滿足）求滿足 的的x值值11122mmmmnnnnCCCC（3 3）求證：）求證：11111mmmmnnnnCCCC129999CCC（4 4）求）求 的值的值1617005或25111. 排列與組合之間的區(qū)別在于有無順序。組合中常見的問題有：選派問題、抽樣問題、圖形問題、集合問題、分組問題，解答組合問題的關(guān)鍵是用好組合的定義

19、和兩個(gè)基本原理，只選不排，合理分類、分步.2.理解組合數(shù)的性質(zhì)3.解受條件限制的組合題，通常有直接法（合理分類）和間接法（排除法）.思悟小結(jié)組合與組合數(shù)組合與組合數(shù) 通過前面的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道了組合的定義，組合的定義，組合數(shù)及其一些性質(zhì)和組合與排列的關(guān)系。今天我組合數(shù)及其一些性質(zhì)和組合與排列的關(guān)系。今天我們將在此基礎(chǔ)上，繼續(xù)學(xué)習(xí)它們的一些應(yīng)用們將在此基礎(chǔ)上，繼續(xù)學(xué)習(xí)它們的一些應(yīng)用（一）組合數(shù)的（一）組合數(shù)的公式及其性質(zhì)：公式及其性質(zhì)：(1)(2)(1)!mmnnnmAn nnnmCAm!()!mnnCmnm組合數(shù)性質(zhì)組合數(shù)性質(zhì)1 1：mnmnnCC 11mmmnnnCCC 2 2：01nnn

20、CC特別地：特別地：_,4A3A2918nnn則已知7_3337410ACC0_,231010 xCCxx則1,或或5_9910098999799CCC5050練習(xí)一練習(xí)一129999CCC（5 5）求）求 的值的值（1 1）（2 2）（3 3）（4 4）5111231112!3!4!nnn 求證：求證：例題解讀例題解讀 ! (1)!(1) (1)!nnnn證明：證明：11(1)(1)!nnnn因?yàn)橐驗(yàn)樽筮呑筮? =111111112!2!3!3!4!(1)!nn注意階乘的變形形式：注意階乘的變形形式：11!n = =左邊，左邊，評(píng)注：評(píng)注： (1)!(1)!nnn所以等式成立所以等式成立練習(xí)

21、精選：練習(xí)精選： 證明下列等式證明下列等式 ：1)!1(! 33! 22! 1nnn（1 1）11122110mmnmmnnnnCCCCC（2 2）22264290C C C 222642C C C33A22236423C C CxA2226423315C C CxAmmmmnmnmmnnCCCA 12365360C C C12336533360C C C A例例1 16 6本不同的書，按下列要求各有多少種不同本不同的書，按下列要求各有多少種不同的選法：的選法：（5 5）分給甲、乙、丙三人，每人至少）分給甲、乙、丙三人，每人至少1 1本本 22264290C C C 12336533360C

22、C C A 436390C A 元素相同問題隔板策略元素相同問題隔板策略例例. .有有1010個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，再分給個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，再分給7 7個(gè)班，每個(gè)班，每班至少一個(gè)班至少一個(gè), ,有多少種分配方案？有多少種分配方案？ 解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)?010個(gè)名額沒有差別，把它們排成個(gè)名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成個(gè)空隙。一排。相鄰名額之間形成個(gè)空隙。在個(gè)空檔中選個(gè)位置插個(gè)隔板，在個(gè)空檔中選個(gè)位置插個(gè)隔板，可把名額分成份，對(duì)應(yīng)地分給個(gè)可把名額分成份，對(duì)應(yīng)地分給個(gè)班級(jí)，每一種插板方法對(duì)應(yīng)一種分法班級(jí)，每一種插板方法對(duì)應(yīng)一種分法共有共有_種分法。種分法。一班二班三班四班五班六班七班69C11mn

23、C59C59126C 2615C 1234666623126CCCC4425624C34A24C34A3620C 一生產(chǎn)過程有一生產(chǎn)過程有4道工序，每道工序需道工序，每道工序需要安排一人照看現(xiàn)從甲、乙、丙等要安排一人照看現(xiàn)從甲、乙、丙等6名名工人中安排工人中安排4人分別照看一道工序，第一人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排道工序只能從甲、乙兩工人中安排1人，人，第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排1人，則不同的安排方案共有（人，則不同的安排方案共有（ ）A24種種 B36種種 C48 D72種種 B 甲、乙、丙甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至位

24、志愿者安排在周一至周五的周五的5天中參加某項(xiàng)志愿者活動(dòng)，要求天中參加某項(xiàng)志愿者活動(dòng)，要求每人參加一天且每天至多安排一人，并要每人參加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外兩位前面。不同的安排方求甲安排在另外兩位前面。不同的安排方法共有（法共有（ ）A. 20種種 B. 30種種 C. 40種種 D. 60種種 A某人有某人有4種顏色的燈泡（每種顏色的種顏色的燈泡（每種顏色的燈泡足夠多），要在如題（燈泡足夠多），要在如題（16）圖所示的）圖所示的6個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn)A、B、C、A1、B1、C1上各裝一個(gè)上各裝一個(gè)燈泡，要求同一條線段兩端的燈泡不同色，燈泡，要求同一條線段兩端的燈泡不同色，則每種顏色的燈泡都至少用一個(gè)的安裝方則每種顏色的燈泡都至少用一個(gè)的安裝方法共有法共有 種（用數(shù)字作答）種（用數(shù)字作答）. 216455C 222mntC C C22mnC C3122440C 211182772()AC C C1277C A211182772()AC C C1277C A9. 9. 某餐廳供應(yīng)盒飯，每位顧客可以在餐廳提供的菜某餐廳供應(yīng)盒飯，每位顧客可以在餐廳提供的菜肴中任選肴中任選2 2葷葷2 2素共素共4 4種不同的品種種不同的品種. .現(xiàn)在餐廳準(zhǔn)備了現(xiàn)在餐廳準(zhǔn)備了5 5種不同的葷菜，若要保證每位顧客有種不同的葷菜，若要保證每位顧客有200200種以上種以上的不同選擇，則餐廳至