大一高等數(shù)學(xué)第五章第五節(jié)定積分的近似計算

1、窄矩形的高，如圖窄矩形的高，如圖作為作為值值取小區(qū)間左端點(diǎn)的函數(shù)取小區(qū)間左端點(diǎn)的函數(shù)等分，等分，將區(qū)間將區(qū)間用分點(diǎn)用分點(diǎn)), 1 , 0(,10niynbabxxxain oxy)(xfy 0 xa 1x1 nxbxn 0y1y1 nyny)1()(1111 niiniibaynabxydxxf則有則有一、矩形公式一、矩形公式的高，如圖的高，如圖作為窄矩形作為窄矩形取右端點(diǎn)的函數(shù)值取右端點(diǎn)的函數(shù)值), 2 , 1(niyi )2()(11 niiniibaynabxydxxf稱為矩形法公式稱為矩形法公式、 )2()1(oxy)(xfy 0 xa 1x1 nxbxn 0y1y1 nyny則有則有

2、梯形法就是在每個小梯形法就是在每個小區(qū)間上，以窄梯形的區(qū)間上，以窄梯形的面積近似代替窄曲邊面積近似代替窄曲邊梯形的面積，如圖梯形的面積，如圖oxy)(xfy 0 xa 1x1 nxbxn 1y1 nyny0y)3()(21)(21)(21)(21)(121012110 nnnnbayyyyynabxyyxyyxyydxxf二、梯形公式二、梯形公式例例的近似值的近似值積分積分用矩形法和梯形法計算用矩形法和梯形法計算 102dxex解解,ix設(shè)設(shè)分分點(diǎn)點(diǎn)為為把把區(qū)區(qū)間間十十等等分分相應(yīng)的函數(shù)值為相應(yīng)的函數(shù)值為)10, 1 , 0(2 ieyixi)10, 1 , 0( iiixiy01234501

3、 . 02 . 03 . 04 . 05 . 000000. 199005. 096079. 091393. 085214. 077880. 0列表列表:iixiy10678916 . 07 . 08 . 09 . 069768. 061263. 052729. 044486. 036788. 0利用矩形法公式（），得利用矩形法公式（），得1001)(910102 yyydxex.77782. 0 利用矩形法公式（），得利用矩形法公式（），得1001)(1021102 yyydxex.71461. 0 利用梯形法公式（），得利用梯形法公式（），得)(211001921100102yyyyydx

4、ex 實際上是前面兩值的平均值，實際上是前面兩值的平均值，)71461. 077782. 0(21102 dxex.74621. 0 三、拋物線公式（辛普生公式）三、拋物線公式（辛普生公式）到定積分的近似值到定積分的近似值原來的曲線弧，從而得原來的曲線弧，從而得段弧來近似代替段弧來近似代替軸的二次拋物線上的一軸的二次拋物線上的一行于行于許多小段，用對稱軸平許多小段，用對稱軸平拋物線法是將曲線分為拋物線法是將曲線分為y), 2 , 1 , 0().(),(,10nixfyyxMnbxxxaiiiiin 點(diǎn)為點(diǎn)為這些分點(diǎn)對應(yīng)曲線上的這些分點(diǎn)對應(yīng)曲線上的（偶數(shù)）等分，（偶數(shù)）等分，把區(qū)間分成把區(qū)間分

5、成用分點(diǎn)用分點(diǎn)oxy)(xfy 0 xa 1x1 nxbxn 1y1 nyny0y2y因為經(jīng)過三個不同的點(diǎn)可以唯一確定一拋物線因為經(jīng)過三個不同的點(diǎn)可以唯一確定一拋物線,., ,212432210nnniMMMMMMMMMnM 組組互相銜接的分成互相銜接的分成故可將這些曲線上的點(diǎn)故可將這些曲線上的點(diǎn).,)2, 2 , 1(,22122222221222線弧線弧近似代替曲近似代替曲的二次拋物線的二次拋物線用經(jīng)過點(diǎn)用經(jīng)過點(diǎn)上上應(yīng)的子區(qū)間應(yīng)的子區(qū)間所對所對在每組在每組rqxpxyMMMxxnkMMMkkkkkkkk 邊梯形的面積邊梯形的面積為曲邊的曲為曲邊的曲的拋物線的拋物線上過三點(diǎn)上過三點(diǎn)計算在計算

6、在rqxpxyyhMyMyhMhh 2221100),(), 0(),(,可由下列方程組確定：可由下列方程組確定：拋物線方程中的拋物線方程中的rqp, .,22120rqhphyryrqhphy.222102yyyph 由由此此得得于是所求面積為于是所求面積為 hhdxrqxpxA)(2rhph2323 )62(312rphh ),4(31210yyyh 有關(guān)有關(guān)及底邊所在的區(qū)間長度及底邊所在的區(qū)間長度標(biāo)標(biāo)的縱坐的縱坐只與只與顯然，曲邊梯形的面積顯然，曲邊梯形的面積hyyyMMM2,210210 組曲邊梯形的面積為組曲邊梯形的面積為由此可知由此可知2n),4(31),4(31),4(31122

7、43222101nnnnyyyhAyyyhAyyyhA .nabh 其中其中)4().(4)(2)(3)(1312420 nnnbayyyyyyyynabdxxf例例 對如圖所示的圖形測量所得的數(shù)據(jù)如下表對如圖所示的圖形測量所得的數(shù)據(jù)如下表所示所示,用拋物線法計算該圖形的面積用拋物線法計算該圖形的面積 .A0123451 6站號站號y高高0305. 2865. 4974. 6568. 8559. 9011.10183.1078910111213站號站號y高高200.10200.10200.10200.10200.10200.10200.1014151617182019站號站號y高高400.10

8、416. 9015. 8083. 6909. 3814. 10yxo1A2A米米站之間的距離為站之間的距離為站到站到而而）為）為兩站之間的距離（站距兩站之間的距離（站距米，相鄰米，相鄰站之間的距離為站之間的距離為站到站到這里，這里，501359. 72018.14718.147200 解解來近似表示，即來近似表示，即軸構(gòu)成的三角形的面積軸構(gòu)成的三角形的面積的交點(diǎn)的連線與坐標(biāo)的交點(diǎn)的連線與坐標(biāo)它可以用曲線同坐標(biāo)軸它可以用曲線同坐標(biāo)軸表示表示站這一段的面積用站這一段的面積用站到站到從從101A 305. 25211 A).(763. 5平方米平方米 根據(jù)拋物線公式根據(jù)拋物線公式(4)，得，得3)(

9、2)(4)(1842195312002xyyyyyyyyyA ).(839.1194平方米平方米 839.1194768. 521 AAA).(602.1200平方米平方米 四、小結(jié)四、小結(jié)求定積分近似值的方法：求定積分近似值的方法：矩形法、梯形法、拋物線法矩形法、梯形法、拋物線法注意：對于以上三種方法當(dāng)取得越大時近注意：對于以上三種方法當(dāng)取得越大時近似程度就越好似程度就越好n一、一、 某河床的橫斷面如教材圖某河床的橫斷面如教材圖125 所示，為了計算最所示，為了計算最大排洪量，需要計算它的斷面積試根據(jù)圖示的大排洪量，需要計算它的斷面積試根據(jù)圖示的測量數(shù)據(jù)測量數(shù)據(jù)（單位為米）用梯形法計算其斷面積（單位為米）用梯形法計算其斷面積. .二、 用三種積分近似計算法計算用三種積分近似計算法計算