第二章、平面匯交力系

1、第二章第二章平面匯交力系平面匯交力系 第二章第二章 平面匯交力系平面匯交力系一、學習目標一、學習目標 1 1、理解平面匯交力系的定義；、理解平面匯交力系的定義； 2 2、掌握平面匯力系的合成方法和平衡條件；、掌握平面匯力系的合成方法和平衡條件； 3 3、熟練應用圖解法、解析法求解工程中的平衡問題；、熟練應用圖解法、解析法求解工程中的平衡問題； 4 4、為研究更復雜的平面力系打下基礎。、為研究更復雜的平面力系打下基礎。本章學習指導本章學習指導理理 論論 力力 學學學習目的學習目的 第二章第二章 平面匯交力系平面匯交力系二、重點與難點二、重點與難點 1 1、重點：求解力系平衡問題的方法與解題步驟；

2、、重點：求解力系平衡問題的方法與解題步驟； 2 2、難點：理解匯交力系平衡的條件及力系的投影表示。、難點：理解匯交力系平衡的條件及力系的投影表示。三、本章內容三、本章內容 1 1、平面匯交力系合成的平面匯交力系合成的幾何法幾何法與平衡的幾何條件；與平衡的幾何條件； 2 2、平面匯交力系合成的平面匯交力系合成的解析法解析法和平衡的解析條件和平衡的解析條件 平衡方程平衡方程本章學習指導本章學習指導理理 論論 力力 學學 學習目標學習目標 第一節(jié)第一節(jié) 平面匯交力系的合成與平衡平面匯交力系的合成與平衡 幾何法幾何法第二章第二章 平面匯交力系平面匯交力系平面匯交力系平面匯交力系 是指各力的作用線都位于

3、同一平面內且是指各力的作用線都位于同一平面內且 匯交于一點的力系。匯交于一點的力系。 作用在作用在xyxy平面的四個力，按力平面的四個力，按力 的可傳性，將各力的作用點沿的可傳性，將各力的作用點沿 其作用線移至匯交點其作用線移至匯交點A,A,然后然后 連續(xù)應用力的三角形法則將各連續(xù)應用力的三角形法則將各 力依次合成。力依次合成。2-1 合成與平衡合成與平衡 幾何法幾何法理理 論論 力力 學學力系合成力系合成幾何法幾何法 A A1F2F3F4FY YX XO O第二章第二章 平面匯交力系平面匯交力系力多邊形法則力多邊形法則 求合力的幾何作圖方法。求合力的幾何作圖方法。2-1平面匯交力系的合成與平

4、衡平面匯交力系的合成與平衡 幾何法幾何法理理 論論 力力 學學A1F2F3F4Fbacde1F2F3F4FRFR2FR1F 各力矢與合力矢構成的多邊形稱為各力矢與合力矢構成的多邊形稱為力多邊形力多邊形。 表示合力矢的邊表示合力矢的邊aeae稱為力多邊形的稱為力多邊形的封閉邊封閉邊，用力多邊形合力，用力多邊形合力F FR R的幾何作圖規(guī)則稱為的幾何作圖規(guī)則稱為力的多邊形法則力的多邊形法則。這種方法稱為。這種方法稱為幾何法幾何法. .圖圖a a稱為稱為位置圖位置圖，圖，圖b b、c c稱為稱為矢量圖矢量圖。 力系合成力系合成幾何法幾何法a ab b1F2F3F4FRFc c第二章第二章 平面匯交力

5、系平面匯交力系2-1平面匯交力系的合成與平衡平面匯交力系的合成與平衡 幾何法幾何法理理 論論 力力 學學A1F2F3F4Fbacde1F2F3F4FRFR2FR1F1F2F3F4FRF 若各力合成的次序不同，則得到的力矢圖的形狀顯然各不若各力合成的次序不同，則得到的力矢圖的形狀顯然各不相同，但是所得相同，但是所得合力矢合力矢F FR R則完全相同，由此可知，合力矢則完全相同，由此可知，合力矢F FR R與與各分力矢的各分力矢的作圖次序無關作圖次序無關。力系合成力系合成幾何法幾何法第二章第二章 平面匯交力系平面匯交力系2-1平面匯交力系的合成與平衡平面匯交力系的合成與平衡 幾何法幾何法理理 論論

6、 力力 學學A1F2F3F4Fbacde1F2F3F4FRFR2FR1F1F2F3F4FRF結論結論: : 平面匯交力系可以合成為一個合力，合力作用線通過平面匯交力系可以合成為一個合力，合力作用線通過 匯交點，合力的大小和方向可由力多邊形的封閉邊矢量匯交點，合力的大小和方向可由力多邊形的封閉邊矢量 確定，即等于各分力的矢量和確定，即等于各分力的矢量和。矢量表達式矢量表達式：R123niF FFFFFF力系合成力系合成幾何法幾何法第二章第二章 平面匯交力系平面匯交力系 若作用在剛體上的平面匯交力系用力的若作用在剛體上的平面匯交力系用力的多邊形則合成時，各力系所構成的折線恰好封閉，它表示力系多邊形

7、則合成時，各力系所構成的折線恰好封閉，它表示力系的合力的合力F FR R等于零，于是該力系為一等于零，于是該力系為一平衡力系平衡力系。￥平面匯交力系平衡的必要和充分的平面匯交力系平衡的必要和充分的 幾何條件：幾何條件： 該力系的力多邊形自行封閉。該力系的力多邊形自行封閉。￥平衡的必要和充分條件：平衡的必要和充分條件： 該力系的合力等于零。該力系的合力等于零。理理 論論 力力 學學R0iF FF即即2-1平面匯交力系的合成與平衡平面匯交力系的合成與平衡 幾何法幾何法平衡的幾何條件平衡的幾何條件nF4F3F2F1F第二章第二章 平面匯交力系平面匯交力系平面匯交力系的平衡條件平面匯交力系的平衡條件2

8、-1平面匯交力系的合成與平衡平面匯交力系的合成與平衡 幾何法幾何法理理 論論 力力 學學匯交力系平衡的解析條件匯交力系平衡的解析條件平衡方程平衡方程合力為零合力為零2222R()()0RxRyxyFFFFF即即:平面匯交力系的平面匯交力系的平衡方程平衡方程: 00yxFF平面匯交力系平衡的必要且充分的解析條件為：平面匯交力系平衡的必要且充分的解析條件為：力系中各力在兩個坐標軸上投影的代數(shù)和分別等于零。力系中各力在兩個坐標軸上投影的代數(shù)和分別等于零。平面匯交力系有兩個獨立平衡方程，可求解兩個未知數(shù)。平面匯交力系有兩個獨立平衡方程，可求解兩個未知數(shù)。力在坐標軸的投影力在坐標軸的投影 第二節(jié)第二節(jié)

9、力在坐標軸上的投影力在坐標軸上的投影第二章第二章 平面匯交力系平面匯交力系理理 論論 力力 學學2-2力在坐標軸上的投影力在坐標軸上的投影力在坐標軸的投影力在坐標軸的投影 設力作用于設力作用于A A點，在力作用線所在的平面內任取直角坐標系點，在力作用線所在的平面內任取直角坐標系oxyoxy，從力矢，從力矢ABAB的兩端向的兩端向x x、y y軸作垂線，分別用軸作垂線，分別用F Fx x、F Fy y表示力表示力在在x x、y y軸的投影表示。軸的投影表示。 力在坐標軸上的投影是代數(shù)量，力在坐標軸上的投影是代數(shù)量，而分力則是矢量。而分力則是矢量。 并規(guī)定其投影的指向與并規(guī)定其投影的指向與軸正向相

10、同時為正值，軸正向相同時為正值，反之為負值。反之為負值。OxAByFxFyFyFxFji第二章第二章 平面匯交力系平面匯交力系理理 論論 力力 學學coscosFFFFyx22cos, cosxyyxFFFFFFF2-2 力在坐標軸上的投影力在坐標軸上的投影力在坐標軸的投影力在坐標軸的投影 投影與力的大小及方向有關。投影與力的大小及方向有關。 設力設力F F與坐標軸正向間的夾角分別為與坐標軸正向間的夾角分別為及及，則分力的大小為：則分力的大小為： 即力在某軸上的投影等于力的大小即力在某軸上的投影等于力的大小乘以力與該軸的正向間夾角的余弦。乘以力與該軸的正向間夾角的余弦。 反之，若已知力在反之，

11、若已知力在xyxy軸上的投影軸上的投影F Fx x及及F Fy y則該力的大小及則該力的大小及 方向余弦為：方向余弦為：y yF Fy yF Fx xF Fx xO O 第二章第二章 平面匯交力系平面匯交力系理理 論論 力力 學學2-2力在坐標軸上的投影力在坐標軸上的投影 力在坐標軸的投影力在坐標軸的投影必須注意必須注意：力的分量和力的投影是兩個不同概念。：力的分量和力的投影是兩個不同概念。 力的投影是代數(shù)量，由于力力的投影是代數(shù)量，由于力F F可確定投影可確定投影F Fx x、F Fy y，但是由于，但是由于投影只可確定力矢的大小，確定不出作用位置；投影只可確定力矢的大小，確定不出作用位置；

12、 而力的分量是力沿該方向的分作用，是矢量，由于力的而力的分量是力沿該方向的分作用，是矢量，由于力的分量能完全確定力的三要素。分量能完全確定力的三要素。 只有在直角坐標系中，力在軸上的投影才和力沿該軸的只有在直角坐標系中，力在軸上的投影才和力沿該軸的分量的大小相等，而投影的正負號可表明該分量的指向。分量的大小相等，而投影的正負號可表明該分量的指向。力力F F在平面直角坐標軸分解的表達式為：在平面直角坐標軸分解的表達式為：式中式中i 、j 為坐標軸為坐標軸x、y的正向的的正向的單位矢量單位矢量。xyxyFFFF iF j 第三節(jié)第三節(jié) 平面匯交力系的合成與平衡平面匯交力系的合成與平衡 解析法解析法

13、第二章第二章 平面匯交力系平面匯交力系理理 論論 力力 學學 設作用在剛體的平面匯交力系是設作用在剛體的平面匯交力系是F F1 1、F F2 2、F F3 3、F F4 4, ,自任選點自任選點a a作力多邊形作力多邊形abcdeabcde, ,則封閉邊則封閉邊aeae表示該表示該力系的合力力系的合力F FR R。取坐標系。取坐標系oxyoxy，將所有的力系投影在，將所有的力系投影在x x軸、軸、y y軸上軸上. .從圖上可見從圖上可見 a a1 1e e1 1 = a = a1 1b b1 1 + b + b1 1c c1 1 + c + c1 1d d1 1 + d + d1 1e e1

14、1 a a2 2e e2 2 = a = a2 2b b2 2 + b + b2 2c c2 2 + c + c2 2d d2 2 - d - d2 2e e2 2即即 x x軸上的投影代數(shù)和軸上的投影代數(shù)和 F FRxRx = F= F1x1x+ F+ F2x2x+ F+ F3x3x+ F+ F4x4x y y軸上的投影代數(shù)和軸上的投影代數(shù)和 F FRyRy = F= F1y1y+ F+ F2y2y+ F+ F3y3y+ F+ F4y4y2-3平面匯交力系的合成與平衡平面匯交力系的合成與平衡解析法解析法力系合成力系合成解析法解析法ya1c2a1a1b1d1e2b2c2e2dbcdeRF1F2

15、F3F4FxO第二章第二章 平面匯交力系平面匯交力系理理 論論 力力 學學 將上述合力投影與分力投影的關系將上述合力投影與分力投影的關系推廣到推廣到n n個力組成的平面匯交力系中，則得個力組成的平面匯交力系中，則得 F FRxRx = F= F1x1x+ F+ F2x2x+ F+ F3x3x+ F+ Fnxnx= = F Fx x F FRyRy = F= F1y1y+ F+ F2y2y+ F+ F3y3y+ F+ Fnyny= F= Fy y即即 合力投影定理合力投影定理： 合力在任意軸上的投影，等于合力在任意軸上的投影，等于它的各分力在同一軸上的投影它的各分力在同一軸上的投影代數(shù)和。代數(shù)和

16、。2-3平面匯交力系的合成與平衡平面匯交力系的合成與平衡解析法解析法力系合成力系合成解析法解析法a1c2a1a1b1d1e2b2c2e2dbcde1F2F3F4FxOyF Fn n第二章第二章 平面匯交力系平面匯交力系理理 論論 力力 學學 算出合力算出合力F FR R的投影的投影F FRxRx與與F FRyRy后，就可以求得合力的大小及其后，就可以求得合力的大小及其與與x x軸正向間的夾角為軸正向間的夾角為 計算合力的大小及方向的這種方法，稱為平面匯交力系計算合力的大小及方向的這種方法，稱為平面匯交力系合成的合成的解析法解析法或或投影法投影法。2-3平面匯交力系的合成與平衡平面匯交力系的合成

17、與平衡解析法解析法力系合成力系合成解析法解析法2222()()()()arctanarctanRRxRyxyRyyRxxFFFFFFFFF 第二章第二章 平面匯交力系平面匯交力系理理 論論 力力 學學 平面匯交力系平衡的必要與充分條件是該利息的合力平面匯交力系平衡的必要與充分條件是該利息的合力F FR R等于零，等于零，則有則有亦即亦即 平面匯交力系解析法平衡的必要與充分條件是：平面匯交力系解析法平衡的必要與充分條件是： 力系中所有力在作用面內兩個任選的坐標軸上的投影代數(shù)和力系中所有力在作用面內兩個任選的坐標軸上的投影代數(shù)和分別等于零。稱為平面匯交力系的分別等于零。稱為平面匯交力系的平衡方程平

18、衡方程。2-3平面匯交力系的合成與平衡平面匯交力系的合成與平衡解析法解析法平面匯交力系平面匯交力系平衡平衡22()()0RxyFFF 00 xyFF第二章第二章 平面匯交力系平面匯交力系理理 論論 力力 學學 平面匯交力系平衡方程平面匯交力系平衡方程 應用平面匯交力系平衡的解析條件可以求兩個未知量。應用平面匯交力系平衡的解析條件可以求兩個未知量。 解題時，未知力的指向可先假設，若計算結果為正值，解題時，未知力的指向可先假設，若計算結果為正值，則表示所指方向與力的實際指向相同；則表示所指方向與力的實際指向相同； 若為負值，則表示所設指向與實際指向相反。若為負值，則表示所設指向與實際指向相反。 選

19、坐標系以投影方便為原則，注意投影的正負和大小的選坐標系以投影方便為原則，注意投影的正負和大小的計算。計算。 2-3平面匯交力系的合成與平衡平面匯交力系的合成與平衡解析法解析法平面匯交力系平面匯交力系平衡平衡22()()0RxyFFF 00 xyFF第二章第二章 平面匯交力系平面匯交力系理理 論論 力力 學學 1 1、本章研究平面匯交力系的合成與平衡，重點是解析法、本章研究平面匯交力系的合成與平衡，重點是解析法 解平衡問題。解平衡問題。 用有向線段表示力矢，直接作幾何圖形量取結果或用幾何用有向線段表示力矢，直接作幾何圖形量取結果或用幾何關系計算的關系計算的幾何法幾何法（力多邊形法）；（力多邊形法

20、）； 用投影表示力矢，進行計算的用投影表示力矢，進行計算的解析法解析法（投影法）。（投影法）。2 2、平面匯交力系的合成結果只有兩種：、平面匯交力系的合成結果只有兩種： F FR R 0 0，力系有一合力；，力系有一合力； F FR R = 0 = 0，力系平衡。，力系平衡。 本章小結本章小結本章小結本章小結第二章第二章 平面匯交力系平面匯交力系理理 論論 力力 學學 3 3、平面匯交力系平衡的、平面匯交力系平衡的充要條件充要條件是合力是合力F FR R = 0. = 0.在幾何法中在幾何法中 是力多邊形自行封閉，在解析法中是平衡方程是力多邊形自行封閉，在解析法中是平衡方程 F FX X =

21、0= 0，F(xiàn) FY Y = 0 = 0 都只能求解兩個未知量。都只能求解兩個未知量。4 4、求解平衡問題的主要步驟是：、求解平衡問題的主要步驟是： （1 1）選取研究對象；）選取研究對象； （2 2）進行受力分析，畫出受力圖；）進行受力分析，畫出受力圖； （3 3）應用平衡條件（列平衡方程）求解；）應用平衡條件（列平衡方程）求解； （4 4）進行校核，必要時應分析和討論計算結果。）進行校核，必要時應分析和討論計算結果。 本章小結本章小結本章小結本章小結應應 用用 舉舉 例例第二章第二章 平面匯交力系平面匯交力系理理 論論 力力 學學例題例題 2-12-1 已知已知 F F1 1=200N F=

22、200N F2 2=300N F=300N F3 3=100N =100N F F4 4=250N =250N 各力的方向如圖所示，各力的方向如圖所示， 試求該平面匯交力系的合力。試求該平面匯交力系的合力。解：（解：（1 1）計算合力的投影）計算合力的投影由合力投影定理，得合力的投影由合力投影定理，得合力的投影2F3F4F1FxRF30604545yR1234cos 30cos 60cos 45cos 45129.3NxFFFFFR1234sin 30sin 60sin 45sin 45112.3NyFFFFF應用舉例應用舉例第二章第二章 平面匯交力系平面匯交力系 （2 2）確定合力的大小和方

23、向）確定合力的大小和方向理理 論論 力力 學學2222RRR129.3112.3 N171.3NxyFFFRRR129.3cos0.7548171.3ixxFFFFRRR112.3cos0.6556171.3yixFFFF40.9949.01合力合力F FR R的作用線通過力系的匯交點的作用線通過力系的匯交點A A，方向與，方向與x x、y y 軸的正方向軸的正方向 之間的夾角分別為：之間的夾角分別為：例題例題 2-12-1應用舉例應用舉例第二章第二章 平面匯交力系平面匯交力系理理 論論 力力 學學例題例題 2-22-2 重重P = 5KNP = 5KN的電動機放在的電動機放在水平梁水平梁AB

24、AB的中央，梁的的中央，梁的A A端受固定端受固定鉸支座的約束，鉸支座的約束，B B端以撐桿端以撐桿BCBC支持，支持，如圖所示。如圖所示。若不計梁與撐桿自重，試求撐桿若不計梁與撐桿自重，試求撐桿BCBC所受的力。所受的力。解：解：（1 1）選取研究對象）選取研究對象: :AB梁梁 （包括電動機）（包括電動機）（2 2）畫受力圖）畫受力圖Pl/2lBAC30P30AFyABBCFDx應用舉例應用舉例第二章第二章 平面匯交力系平面匯交力系理理 論論 力力 學學例題例題 2-22-2（3 3）取坐標系取坐標系 Axy ，列平衡方程列平衡方程0sin30sin300yABCFFFP， 0cos 30

25、cos 300 xABCFFF，（4 4）求解未知量）求解未知量解得解得: :5kNBCAFFP F FBCBC為正值為正值，表示其假設方向，表示其假設方向與實際方向相同，即桿與實際方向相同，即桿 BC BC 受壓；受壓；而而 F FA A為負值為負值，則表明其假設方向，則表明其假設方向與實際方向相反。與實際方向相反。P30AFyABBCFDx應用舉例應用舉例第二章第二章 平面匯交力系平面匯交力系理理 論論 力力 學學例題例題 2-32-3 如圖所示，重力如圖所示，重力P = 20KN P = 20KN 的重物，用鋼絲繩掛在的重物，用鋼絲繩掛在鉸車鉸車 D 與滑輪與滑輪 B 上。上。 A、B、

26、C 處均為光滑鉸鏈連接。處均為光滑鉸鏈連接。若鋼絲繩、桿和滑輪的自重不計，若鋼絲繩、桿和滑輪的自重不計，并忽略摩擦以及滑輪尺寸，試求系統(tǒng)并忽略摩擦以及滑輪尺寸，試求系統(tǒng)平衡時桿平衡時桿 ABAB 和和 BC BC 所受的力。所受的力。P PA A30306060B BC CD D應用舉例應用舉例第二章第二章 平面匯交力系平面匯交力系理理 論論 力力 學學例題例題 2-32-3 解：（解：（1 1）選?。┻x取滑輪滑輪 B B 為為研究對象研究對象 （2 2）畫受力圖）畫受力圖CBCFCBFBP PA A30306060B BC CD DABAFABFB2FBAF1F3060 xyBF FBC應用

27、舉例應用舉例第二章第二章 平面匯交力系平面匯交力系理理 論論 力力 學學例題例題 2-32-3解：（解：（3 3）選取圖示坐標系，選取圖示坐標系，列平衡方程列平衡方程 （4 4）求解未知量）求解未知量 （壓力）（壓力） （壓力）（壓力） 120cos60cos300 xBAFFFF 120cos30cos600yBCFFFF 0.3667.321NBAFP 1.36627.32 NBCFP2FBAF1F3060 xyBF FBC應用舉例應用舉例后接后接 1 1、例、例 2-42-4 2 2、本章小結、本章小結 3 3、作業(yè)、作業(yè) 4 4、本章結束、本章結束第二章第二章 平面匯交力系平面匯交力系

28、理理 論論 力力 學學例題例題 2-42-4 如圖所示，已知如圖所示，已知P = 534NP = 534N，求使兩根繩索，求使兩根繩索 AC, , BC始終保持張緊所需力始終保持張緊所需力 F F 的取值范圍。的取值范圍。AFPACFBCFyCx60解：（解：（1 1）選取節(jié)點）選取節(jié)點 C C為研究對象為研究對象 （2 2）畫受力圖）畫受力圖FPBC433060應用舉例應用舉例第二章第二章 平面匯交力系平面匯交力系理理 論論 力力 學學例題例題 2-42-4（3 3）選取圖示坐標軸，列平衡方程）選取圖示坐標軸，列平衡方程30,sin3005xBCACFFFF40,cos3005yACFFPF

29、（4 4）求解未知量）求解未知量2453A CFPF314553BCFFPF為使兩根繩索保持張緊，則為使兩根繩索保持張緊，則F FACAC0, 0, 且且F FBCBC00由此得到由此得到F F 的取值范圍為的取值范圍為: 290.34N F 667.5N: 290.34N F 667.5NFPACFBCFyCx60第二章第二章 平面匯交力系平面匯交力系理理 論論 力力 學學例題例題 2-52-5 簡易壓榨機由兩端鉸接的桿簡易壓榨機由兩端鉸接的桿AB、BC和壓板和壓板D組組成，如圖所示。已知成，如圖所示。已知 AB = BCAB = BC，桿的傾角為，桿的傾角為，點，點B 的鉛垂壓的鉛垂壓力為

30、力為F F 。若不計各構件的自重與各處摩擦，試求水平壓榨力的。若不計各構件的自重與各處摩擦，試求水平壓榨力的大小。大小。解：（解：（1 1）先選取銷釘）先選取銷釘 B為研究對象，畫受力圖。為研究對象，畫受力圖。 建立圖坐標系建立圖坐標系Bxy ，相應的平衡方程為，相應的平衡方程為: :FCDABABFBFBCFx xy y應用舉例應用舉例第二章第二章 平面匯交力系平面匯交力系理理 論論 力力 學學例題例題 2-52-50,coscos0 xABBCFFF0,sinsin0yABBCFFFF2sinBCBAFFF解得解得:（2 2）再選取壓板）再選取壓板D D為研究對象，為研究對象， 其受力圖如圖所示。其受力圖如圖所示。 列出在列出在Dx 軸上投影的平衡方程：軸上投影的平衡方程：10,cos0 xBCFFFABFBFBCFx xy yDDxNDFBCF1F應用舉例應用舉例第二章第二章 平面匯交力系平面