分布函數(shù)ppt課件

1、 第三節(jié) 隨機(jī)變量的分布函數(shù) 對(duì)于離散型隨機(jī)變量，假設(shè)知道了它的對(duì)于離散型隨機(jī)變量，假設(shè)知道了它的概率分布概率分布,也就知道了該隨機(jī)變量取值的概率也就知道了該隨機(jī)變量取值的概率規(guī)律規(guī)律. 在這個(gè)意義上，我們說(shuō)在這個(gè)意義上，我們說(shuō) 前一講，我們引見(jiàn)了離散型隨機(jī)變量及前一講，我們引見(jiàn)了離散型隨機(jī)變量及其概率分布其概率分布.離散型隨機(jī)變量由它的概率分布獨(dú)一確定離散型隨機(jī)變量由它的概率分布獨(dú)一確定. 一、分布函數(shù)的概念一、分布函數(shù)的概念 為了對(duì)隨機(jī)變量為了對(duì)隨機(jī)變量r.vrandom variable給出一種一致的描畫(huà)方法，下面引進(jìn)分給出一種一致的描畫(huà)方法，下面引進(jìn)分布函數(shù)的概念布函數(shù)的概念.1.分布

2、函數(shù)的定義分布函數(shù)的定義設(shè)設(shè) X 是一個(gè)是一個(gè) r.v，稱(chēng)，稱(chēng))()(xXPxF)(x為為 X 的分布函數(shù)的分布函數(shù). 記作記作 X F(x) 或或 FX(x). 假設(shè)將假設(shè)將X看作數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)看作數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo),那么分那么分布函數(shù)布函數(shù)F(x)的值就表示的值就表示X落在區(qū)間落在區(qū)間(-, x的概的概率率. |xxX 對(duì)恣意實(shí)數(shù)對(duì)恣意實(shí)數(shù) x1x2，隨機(jī)點(diǎn)，隨機(jī)點(diǎn)X落在區(qū)間落在區(qū)間 x1 , x2 的概率為：的概率為：P x1X x2 = P X x2 - P X x1 = F(x2)-F(x1) 因此，只需知道了隨機(jī)變量因此，只需知道了隨機(jī)變量X的分布函的分布函數(shù)，數(shù)， 它的統(tǒng)計(jì)特

3、性就可以得到全面的描畫(huà)它的統(tǒng)計(jì)特性就可以得到全面的描畫(huà).由定義，由定義， F(x) 是是r.v X取值不大于取值不大于 x 的概率的概率.重要公式重要公式),()() 1 (aFbFbXaP ).(1) 2(aFaXP 證明證明,bXaaXbX 因?yàn)橐驗(yàn)? bXaaX,bXaPaXPbXP 所所以以).()(aFbFbXaP 故故隨機(jī)變量的概率問(wèn)題可經(jīng)過(guò)分布函數(shù)來(lái)表示隨機(jī)變量的概率問(wèn)題可經(jīng)過(guò)分布函數(shù)來(lái)表示)()(aFbFaXPbXPbXaP )(11cFcXPcXP )0(lim0 aFaXPaXP)0()( aFaFaXPaXPaXP,bXaP ,bXaP bXaP 類(lèi)似地，類(lèi)似地， ( )

4、iixxF xP Xxp x 分布函數(shù)分布函數(shù)分布律分布律 iip xP Xx2.2.離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量分布律與分布函數(shù)的關(guān)系離散型隨機(jī)變量分布律與分布函數(shù)的關(guān)系 ( )().iiiixxxxF xP Xxp xP Xx 例例1 1 拋擲均勻硬幣拋擲均勻硬幣, , 令令 ., 0, 1出出反反面面出出正正面面X求隨機(jī)變量求隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)的分布函數(shù).解解1 Xp0 Xp,21 0 1x,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x0)(0)( PxXPxF 0 1x,10時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x)(xXPxF 0 XP;21 ,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x)(xXPxF 0 XP1 XP2121

5、. 1 . 1, 1, 10,21, 0, 0)(xxxxF得得例：知 X 的分布律如下：X 1 2 3 4P 1/2 1/4 1/8 a答案：答案：433)2(81)1( XPa求求1 1a; a; 2 2PX3.PX3.注注 意意 點(diǎn)點(diǎn) 對(duì)離散隨機(jī)變量的分布函數(shù)應(yīng)留意：對(duì)離散隨機(jī)變量的分布函數(shù)應(yīng)留意： (1) F(x)是遞增的階梯函數(shù)是遞增的階梯函數(shù); (2) 其延續(xù)點(diǎn)均為右延續(xù)的其延續(xù)點(diǎn)均為右延續(xù)的; (3) 其延續(xù)點(diǎn)即為其延續(xù)點(diǎn)即為X的能夠取值點(diǎn)的能夠取值點(diǎn); (4) 其延續(xù)點(diǎn)的騰躍高度是對(duì)應(yīng)的概率值其延續(xù)點(diǎn)的騰躍高度是對(duì)應(yīng)的概率值.xo)(xF 1x 2x 1p 2p 1);,(,

6、1)(0)1( xxF);(),()()2(2121xxxFxF 證明證明21xx 由由,21xXPxXP 得得).()(21xFxF 故故1xX ,2xX ,)(11xXPxF 又又,)(22xXPxF 3.分布函數(shù)的性質(zhì)分布函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)不減性單調(diào)不減性), 0)(lim)()3( xFFx; 1)(lim)( xFFx,)(xXPxF 0lim)(lim xXPxFxxxoxo證明證明,越越來(lái)來(lái)越越小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,的的值值也也越越來(lái)來(lái)越越小小xXP 有有時(shí)時(shí)因因而而當(dāng)當(dāng), x.),(,(,內(nèi)必然落在時(shí)當(dāng)而的值也會(huì)增大增大時(shí)當(dāng)同樣X(jué)xxXxXPx. 1lim)(lim xXPxFxx所

7、以所以).(),()(lim)4(000 xxFxFxx即任一分布函數(shù)處處右延續(xù)即任一分布函數(shù)處處右延續(xù). 反過(guò)來(lái)反過(guò)來(lái),假設(shè)一個(gè)函數(shù)具有上述性質(zhì)，那假設(shè)一個(gè)函數(shù)具有上述性質(zhì)，那么一定是某個(gè)么一定是某個(gè)r.v X 的分布函數(shù)的分布函數(shù). 也就是說(shuō)，也就是說(shuō)，性質(zhì)性質(zhì)(1)-(4)是鑒別一個(gè)函數(shù)能否是某是鑒別一個(gè)函數(shù)能否是某r.v的分的分布函數(shù)的充分必要條件布函數(shù)的充分必要條件.,00, 00,)(,3的值求常數(shù)為常數(shù)其中函數(shù)為其分布在整個(gè)實(shí)軸上取值已知隨機(jī)變量例BAxxBeAxFXx.,)(.)(11001 BABAFAF于于是是有有由由分分布布函函數(shù)數(shù)的的右右連連續(xù)續(xù)性性由由分分布布函函數(shù)數(shù)

8、的的性性質(zhì)質(zhì)知知解解例例4 4 一個(gè)靶子是半徑為一個(gè)靶子是半徑為2 2米的圓盤(pán)米的圓盤(pán), ,設(shè)擊中靶上任設(shè)擊中靶上任一同心圓盤(pán)上的點(diǎn)的概率與該圓盤(pán)的面積成正比一同心圓盤(pán)上的點(diǎn)的概率與該圓盤(pán)的面積成正比, ,并設(shè)射擊都能中靶并設(shè)射擊都能中靶, ,以以X X表示彈著點(diǎn)與圓心的間隔表示彈著點(diǎn)與圓心的間隔. .試求隨機(jī)變量試求隨機(jī)變量 X X 的分布函數(shù)的分布函數(shù). .解解,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,是不可能事件是不可能事件xXP ,20時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x.,02是常數(shù)是常數(shù)kkxxXP , 120 XP由由, 14 k得得.41 k即即.402xxXP 因因而而; 0)( xXPxF于于是是于是于是)(xXPxF ,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x故故 X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 . 2, 1, 20,4