電磁場(chǎng)及電磁波習(xí)題答案

1、-第二章 2-1假設(shè)真空中相距為d的兩個(gè)電荷q1及q2的電量分別為q及4q，當(dāng)點(diǎn)電荷位于q1及q2的連線上時(shí)，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，試求的大小及位置。解 要使系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，點(diǎn)電荷受到點(diǎn)電荷q1及q2的力應(yīng)該大小相等，方向相反，即。則，由，同時(shí)考慮到，求得可見點(diǎn)電荷可以任意，但應(yīng)位于點(diǎn)電荷q1和q2的連線上，且與點(diǎn)電荷相距。習(xí)題圖2-2z*E3E2E12-2真空中有三個(gè)點(diǎn)電荷，其電量及位置分別為：試求位于點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。解 令分別為三個(gè)電電荷的位置到點(diǎn)的距離，則，。利用點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)公式，其中為點(diǎn)電荷q指向場(chǎng)點(diǎn)的單位矢量。則，在P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小為，方向?yàn)?。在P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小為，方向?yàn)椤Ｔ赑點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小為

2、，方向?yàn)閯t點(diǎn)的合成電場(chǎng)強(qiáng)度為2-3直接利用式2-2-14計(jì)算電偶極子的電場(chǎng)強(qiáng)度。解 令點(diǎn)電荷位于坐標(biāo)原點(diǎn)，為點(diǎn)電荷至場(chǎng)點(diǎn)P的距離。再令點(diǎn)電荷位于+坐標(biāo)軸上，為點(diǎn)電荷至場(chǎng)點(diǎn)P的距離。兩個(gè)點(diǎn)電荷相距為，場(chǎng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為r,f。根據(jù)疊加原理，電偶極子在場(chǎng)點(diǎn)P產(chǎn)生的電場(chǎng)為考慮到r >> l，= er，則上式變?yōu)槭街幸詾樽兞?，并將在零點(diǎn)作泰勒展開。由于，略去高階項(xiàng)后，得利用球坐標(biāo)系中的散度計(jì)算公式，求出電場(chǎng)強(qiáng)度為2-4 真空中兩個(gè)點(diǎn)電荷的電量均為C，相距為2cm，如習(xí)題圖2-4所示。試求：P點(diǎn)的電位；將電量為C的點(diǎn)電荷由無(wú)限遠(yuǎn)處緩慢地移至P點(diǎn)時(shí)，外力必須作的功。ÅÅ1cmP

3、1cmqq1cm習(xí)題圖2-4解 根據(jù)疊加原理，點(diǎn)的合成電位為因此，將電量為的點(diǎn)電荷由無(wú)限遠(yuǎn)處緩慢地移到點(diǎn)，外力必須做的功為2-5 通過(guò)電位計(jì)算有限長(zhǎng)線電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度。習(xí)題圖2-5r0Pzodllq1q2y解 建立圓柱坐標(biāo)系。 令先電荷沿z軸放置，由于構(gòu)造以z軸對(duì)稱，場(chǎng)強(qiáng)與無(wú)關(guān)。為了簡(jiǎn)單起見，令場(chǎng)點(diǎn)位于yz平面。設(shè)線電荷的長(zhǎng)度為，密度為，線電荷的中點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，場(chǎng)點(diǎn)的坐標(biāo)為。利用電位疊加原理，求得場(chǎng)點(diǎn)的電位為式中。故因，可知電場(chǎng)強(qiáng)度的z分量為電場(chǎng)強(qiáng)度的r分量為式中，則，合成電強(qiáng)為當(dāng)L®¥時(shí)，則合成電場(chǎng)強(qiáng)度為可見，這些結(jié)果與教材2-2節(jié)例4完全一樣。2-6 分布在半徑為a的半

4、圓周上的電荷線密度，試求圓心處的電場(chǎng)強(qiáng)度。習(xí)題圖2-6ay*oE解 建立直角坐標(biāo)，令線電荷位于*y平面，且以y軸為對(duì)稱，如習(xí)題圖2-6所示。則，點(diǎn)電荷在圓心處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度具有兩個(gè)分量E*和Ey。由于電荷分布以y軸為對(duì)稱，因此，僅需考慮電場(chǎng)強(qiáng)度的分量，即考慮到，代入上式求得合成電場(chǎng)強(qiáng)度為2-7 真空中半徑為a的圓環(huán)上均勻地分布的線電荷密度為，試求通過(guò)圓心的軸線上任一點(diǎn)的電位及電場(chǎng)強(qiáng)度。習(xí)題圖2-7*yzProadly解 建立直角坐標(biāo)，令圓環(huán)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，如習(xí)題圖2-7所示。則，點(diǎn)電荷在z軸上點(diǎn)產(chǎn)生的電位為根據(jù)疊加原理，圓環(huán)線電荷在點(diǎn)產(chǎn)生的合成電位為因電場(chǎng)強(qiáng)度，則圓環(huán)線電荷在點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為2

5、-8 設(shè)寬度為W，面密度為的帶狀電荷位于真空中，試求空間任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。習(xí)題圖2-8*yzory*d*¢*¢(a)(b)P(*,y)解 建立直角坐標(biāo)，且令帶狀電荷位于*z平面，如習(xí)題圖2-8所示。帶狀電荷可劃分為很多條寬度為的無(wú)限長(zhǎng)線電荷，其線密度為。則，該無(wú)限長(zhǎng)線電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度與坐標(biāo)變量z無(wú)關(guān)，即式中得則2-9 均勻分布的帶電圓盤半徑為a，面電荷密度為，位于z = 0平面，且盤心與原點(diǎn)重合，試求圓盤軸線上任一點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度。習(xí)題圖2-9o*yzrdrP(0,0,z)解如圖 2-9所示，在圓盤上取一半徑為，寬度為的圓環(huán)，該圓環(huán)具有的電荷量為。由于對(duì)稱性，該圓環(huán)電荷在z軸上

6、任一點(diǎn)P產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度僅的有分量。根據(jù)習(xí)題2-7結(jié)果，獲知該圓環(huán)電荷在P產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度的分量為則，整個(gè)圓盤電荷在P產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為2-10 電荷密度為及的兩塊無(wú)限大面電荷分別位于* = 0及* = 1平面，試求及區(qū)域中的電場(chǎng)強(qiáng)度。解 無(wú)限大平面電荷產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)分布一定是均勻的，其電場(chǎng)方向垂直于無(wú)限大平面，且分別指向兩側(cè)。因此，位于* = 0平面的無(wú)限大面電荷，在* < 0區(qū)域中產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度，在* > 0區(qū)域中產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度。位于* = 1平面的無(wú)限大面電荷，在* < 1區(qū)域中產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度，在* > 1區(qū)域中產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度。由電場(chǎng)強(qiáng)度法向邊界條件獲知，即由此求得根據(jù)疊加

7、定理，各區(qū)域中的電場(chǎng)強(qiáng)度應(yīng)為2-11假設(shè)在球坐標(biāo)系中，電荷分布函數(shù)為試求及區(qū)域中的電通密度。解 作一個(gè)半徑為r的球面為高斯面，由對(duì)稱性可知式中q為閉合面S包圍的電荷。則在區(qū)域中，由于q = 0，因此D = 0。在區(qū)域中，閉合面S包圍的電荷量為因此，在區(qū)域中，閉合面S包圍的電荷量為因此，2-12 假設(shè)帶電球的外區(qū)域中的電場(chǎng)強(qiáng)度為試求球外各點(diǎn)的電位。解 在區(qū)域中，電位為在區(qū)域中，2-13 圓球坐標(biāo)系中空間電場(chǎng)分布函數(shù)為試求空間的電荷密度。解 利用高斯定理的微分形式，得知在球坐標(biāo)系中則，在區(qū)域中電荷密度為在區(qū)域中電荷密度為2-14 真空中的電荷分布函數(shù)為式中r為球坐標(biāo)系中的半徑，試求空間各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)

8、度。解 由于電荷分布具有球?qū)ΨQ性，取球面為高斯面，則根據(jù)高斯定理在區(qū)域中在區(qū)域中2-15 空間電場(chǎng)強(qiáng)度，試求0,0,0與1,1,2兩點(diǎn)間的電位差。解設(shè)P1點(diǎn)的坐標(biāo)為0,0,0, P2點(diǎn)的坐標(biāo)為1,1,2,，則，兩點(diǎn)間的電位差為式中，因此電位差為2-16 同軸圓柱電容器的導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體的半徑為b。假設(shè)填充介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)。試求在外導(dǎo)體尺寸不變的情況下，為了獲得最高耐壓，外導(dǎo)體半徑之比。解 假設(shè)同軸線單位長(zhǎng)度的電荷量為q1，則同軸線電場(chǎng)強(qiáng)度。為了使同軸線獲得最高耐壓，應(yīng)在保持外導(dǎo)體之間的電位差V不變的情況下，使同軸線最大的電場(chǎng)強(qiáng)度到達(dá)最小值，即應(yīng)使導(dǎo)體外表處的電場(chǎng)強(qiáng)度到達(dá)最小值。因?yàn)橥S線

9、單位長(zhǎng)度的電容為則同軸線導(dǎo)體外表處電場(chǎng)強(qiáng)度為令b不變，以比值為變量，對(duì)上式求極值，獲知當(dāng)比值時(shí)，取得最小值，即同軸線獲得最高耐壓。2-17 假設(shè)在一個(gè)電荷密度為，半徑為a的均勻帶電球中，存在一個(gè)半徑為b的球形空腔，空腔中心與帶電球中心的間距為d，試求空腔中的電場(chǎng)強(qiáng)度。習(xí)題圖2-17obaPrdr¢o¢解 此題可利用高斯定理和疊加原理求解。首先設(shè)半徑為的整個(gè)球充滿電荷密度為的電荷，則球點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為式中是由球心o點(diǎn)指向點(diǎn)的位置矢量， 再設(shè)半徑為的球腔充滿電荷密度為的電荷，則其在球點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為式中是由腔心點(diǎn)指向點(diǎn)的位置矢量。則，合成電場(chǎng)強(qiáng)度即是原先空腔任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度，即式中

10、是由球心o點(diǎn)指向腔心點(diǎn)的位置矢量。可見，空腔的電場(chǎng)是均勻的。2-18 介質(zhì)圓柱體的半徑為a，長(zhǎng)度為l，當(dāng)沿軸線方向發(fā)生均勻極化時(shí)，極化強(qiáng)度為，試求介質(zhì)中束縛*yza習(xí)題圖2-18Ply電荷在圓柱外軸線上產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度。解 建立圓柱坐標(biāo)，且令圓柱的下端面位于*y平面。由于是均勻極化，故只考慮面束縛電荷。而且該束縛電荷僅存在圓柱上下端面。面束縛電荷密度與極化強(qiáng)度的關(guān)系為式中en為外表的外法線方向上單位矢量。由此求得圓柱體上端面的束縛電荷面密度為，圓柱體下端面的束縛面電荷密度為。由習(xí)題2-9獲知，位于*y平面，面電荷為的圓盤在其軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度為因此，圓柱下端面束縛電荷在z軸上產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為而圓柱

11、上端面束縛電荷在z軸上產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為則，上下端面束縛電荷在z軸上任一點(diǎn)產(chǎn)生的合成電場(chǎng)強(qiáng)度為2-19 半徑為a，外半徑為b的均勻介質(zhì)球殼的介電常數(shù)為，假設(shè)在球心放置一個(gè)電量為q的點(diǎn)電荷，試求：介質(zhì)殼外外表上的束縛電荷；各區(qū)域中的電場(chǎng)強(qiáng)度。解 先求各區(qū)域中的電場(chǎng)強(qiáng)度。根據(jù)介質(zhì)中高斯定理在區(qū)域中，電場(chǎng)強(qiáng)度為在區(qū)域中，電場(chǎng)強(qiáng)度為在區(qū)域中，電場(chǎng)強(qiáng)度為再求介質(zhì)殼外外表上的束縛電荷。由于，則介質(zhì)殼外表上束縛電荷面密度為外外表上束縛電荷面密度為2-20 將一塊無(wú)限大的厚度為d的介質(zhì)板放在均勻電場(chǎng)中，周圍媒質(zhì)為真空。介質(zhì)板的介電常數(shù)為，均勻電場(chǎng)的方向與介質(zhì)板法線的夾角為，如習(xí)題圖2-20所示。當(dāng)介質(zhì)板中的電場(chǎng)

12、線方向時(shí)，試求角度及介質(zhì)外表的束縛電荷面密度。Eedq1q 1q2q2e0e0E習(xí)題圖2-20E2en2en1解 根據(jù)兩種介質(zhì)的邊界條件獲知，邊界上電場(chǎng)強(qiáng)度切向分量和電通密度的法向分量連續(xù)。因此可得；，則由上式求得介質(zhì)外表的束縛電荷，則，介質(zhì)左外表上束縛電荷面密度為介質(zhì)右外表上束縛電荷面密度為2-21 兩個(gè)導(dǎo)體球的半徑分別為6cm及12cm，電量均為C，相距很遠(yuǎn)。假設(shè)以導(dǎo)線相連后，試求：電荷移動(dòng)的方向及電量；兩球最終的電位及電量。解 設(shè)兩球相距為d，考慮到d >> a, d >> b，兩個(gè)帶電球的電位為；兩球以導(dǎo)線相連后，兩球電位相等，電荷重新分布，但總電荷量應(yīng)該守恒，

13、即及，求得兩球最終的電量分別為可見，電荷由半徑小的導(dǎo)體球轉(zhuǎn)移到半徑大的導(dǎo)體球，移動(dòng)的電荷量為。兩球最終電位分別為2-22 兩個(gè)導(dǎo)體球的重量分別為m1=5g，m2=10g，電量均為C，以無(wú)重量的絕緣線相連。假設(shè)絕緣線的長(zhǎng)度l = 1m，且遠(yuǎn)大于兩球的半徑，試求；絕緣線切斷的瞬時(shí)，每球的加速度；絕緣線切斷很久以后，兩球的速度。解 絕緣線切斷的瞬時(shí)，每球受到的力為因此，兩球獲得的加速度分別為 當(dāng)兩球相距為l時(shí)，兩球的電位分別為；此時(shí)，系統(tǒng)的電場(chǎng)能量為絕緣線切斷很久以后，兩球相距很遠(yuǎn)(l>>a, l>>b)，則，兩球的電位分別為;由此可見，絕緣線切斷很久的前后，系統(tǒng)電場(chǎng)能量的變

14、化為這局部電場(chǎng)能量的變化轉(zhuǎn)變?yōu)閮汕虻膭?dòng)能，根據(jù)能量守恒原理及動(dòng)量守恒定理可得以下方程：，由此即可求出絕緣線切斷很久以后兩球的速度v1和v2：；2-23 如習(xí)題圖2-23所示，半徑為a的導(dǎo)體球中有兩個(gè)較小的球形空腔。假設(shè)在空腔中心分別放置兩個(gè)點(diǎn)電荷q1及q2，在距離處放置另一個(gè)點(diǎn)電荷q3，試求三個(gè)點(diǎn)電荷受到的電場(chǎng)力。q1q2rq3a習(xí)題圖2-23解 根據(jù)原書2-7節(jié)所述，封閉導(dǎo)體空腔具有靜電屏蔽特性。因此，q1與q2之間沒(méi)有作用力，q3對(duì)于q1及q2也沒(méi)有作用力。但是q1及q2在導(dǎo)體外外表產(chǎn)生的感應(yīng)電荷-q1及-q2，對(duì)于q3有作用力?？紤]到r>>a，根據(jù)庫(kù)侖定律獲知該作用力為2-2

15、4 證明位于無(wú)源區(qū)中任一球面上電位的平均值等于其球心的電位，而與球外的電荷分布特性無(wú)關(guān)。解 電位與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系為，又知，由此獲知電位滿足以下泊松方程利用格林函數(shù)求得泊松方程的解為式中?？紤]到，代入上式得假設(shè)閉合面為無(wú)源區(qū)，即，則假設(shè)閉合面S為一個(gè)球面，其半徑為a，球心為場(chǎng)點(diǎn)，則，則上式變?yōu)榭紤]到差矢量的方向?yàn)樵撉蛎娴陌霃椒较?，即與的方向恰好相反，又,則上式變?yōu)橛捎谠诿鏌o(wú)電荷，則，則由此式可見，位于無(wú)源區(qū)中任一球面上的電位的平均值等于其球心的電位，而與球外的電荷分布無(wú)關(guān)。2-25 可變電容器的最大電容量，最小電容量，外加直流電壓為300V，試求使電容器由最小變?yōu)樽畲蟮倪^(guò)程中外力必須作的功。解

16、在可變電容器的電容量由最小變?yōu)樽畲蟮倪^(guò)程中，電源作的功和外力作的功均轉(zhuǎn)變?yōu)殡妶?chǎng)儲(chǔ)能的增量，即式中因此，外力必須作的功為2-26假設(shè)使兩個(gè)電容器均為C的真空電容器充以電壓V后，斷開電源相互并聯(lián)，再將其中之一填滿介電常數(shù)為的理想介質(zhì)，試求：兩個(gè)電容器的最終電位；轉(zhuǎn)移的電量。解 兩電容器斷開電源相互并聯(lián)，再將其中之一填滿相對(duì)介電常數(shù)為理想介質(zhì)后，兩電容器的電容量分別為兩電容器的電量分別為，且由于兩個(gè)電容器的電壓相等，因此聯(lián)立上述兩式，求得，因此，兩電容器的最終電位為考慮到，轉(zhuǎn)移的電量為e2ae1b習(xí)題圖2-272-27 同軸圓柱電容器的導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體半徑為b，其一半填充介電常數(shù)為的介質(zhì)，另一半

17、填充介質(zhì)的介電常數(shù)為，如習(xí)題圖2-27所示。當(dāng)外加電壓為V時(shí)，試求：電容器中的電場(chǎng)強(qiáng)度；各邊界上的電荷密度；電容及儲(chǔ)能。解 設(shè)導(dǎo)體的外外表上單位長(zhǎng)度的電量為，外導(dǎo)體的外表上單位長(zhǎng)度的電量為。取外導(dǎo)體之間一個(gè)同軸的單位長(zhǎng)度圓柱面作為高斯面，由高斯定理求得，在兩種介質(zhì)的分界面上電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量必須連續(xù)，即，求得外導(dǎo)體之間的電位差為即單位長(zhǎng)度的電荷量為故同軸電容器中的電場(chǎng)強(qiáng)度為 由于電場(chǎng)強(qiáng)度在兩種介質(zhì)的分界面上無(wú)法向分量，故此邊界上的電荷密度為零。導(dǎo)體的外外表上的電荷面密度為；外導(dǎo)體的外表上的電荷面密度為；單位長(zhǎng)度的電容為電容器中的儲(chǔ)能密度為2-28 一平板電容器的構(gòu)造如習(xí)題圖2-28所示，間距為

18、d，極板面積為。試求： 接上電壓V時(shí)，移去介質(zhì)前后電容器中的電場(chǎng)強(qiáng)度、電通密度、各邊界上的電荷密度、電容及儲(chǔ)能；斷開電源后，再計(jì)算介質(zhì)移去前后以上各個(gè)參數(shù)。dl/2KVl/2ee 0習(xí)題圖2-28解接上電源，介質(zhì)存在時(shí)，介質(zhì)邊界上電場(chǎng)強(qiáng)度切向分量必須連續(xù)，因此，介質(zhì)外的電場(chǎng)強(qiáng)度是相等的，即電場(chǎng)強(qiáng)度為。但是介質(zhì)外的電通密度不等，介質(zhì)，介質(zhì)外。兩局部極板外表自由電荷面密度分別為，電容器的電量電容量為電容器儲(chǔ)能為假設(shè)接上電壓時(shí)，移去介質(zhì)，則電容器中的電場(chǎng)強(qiáng)度為電通密度為極板外表自由電荷面密度為電容器的電量為電容量為電容器的儲(chǔ)能為斷開電源后，移去介質(zhì)前，各個(gè)參數(shù)不變。但是假設(shè)移去介質(zhì)，由于極板上的電量

19、不變，電場(chǎng)強(qiáng)度為電通密度為 極板外表自由電荷面密度為兩極板之間的電位差為電容量為電容器的儲(chǔ)能為 2-29 假設(shè)平板電容器的構(gòu)造如習(xí)題圖2-29所示，尺寸同上題，計(jì)算上題中各種情況下的參數(shù)。d/2d/2ele 0習(xí)題圖2-29解接上電壓，介質(zhì)存在時(shí)，介質(zhì)外的電通密度均為，因此，介質(zhì)外的電場(chǎng)強(qiáng)度分別為；兩極板之間的電位差為。則 則電位移矢量為 ；極板外表自由電荷面密度為；介電常數(shù)為的介質(zhì)在靠近極板一側(cè)外表上束縛電荷面密度為 介電常數(shù)為與介電常數(shù)為的兩種介質(zhì)邊界上的束縛電荷面密度為此電容器的電量 則電容量為 電容器的儲(chǔ)能為 接上電壓時(shí)，移去介質(zhì)后：電場(chǎng)強(qiáng)度為 電位移矢量為 極板外表自由電荷面密度為

20、電容器的電量 電容量為 電容器的儲(chǔ)能為 (2) 斷開電源后，介質(zhì)存在時(shí)，各個(gè)參數(shù)與接上電源時(shí)完全一樣。但是，移去介質(zhì)后，由于極板上的電量不變，電容器中電場(chǎng)強(qiáng)度為，電通密度為極板外表自由電荷面密度為兩極板之間的電位差為電容量為電容器的儲(chǔ)能為2-30兩個(gè)電容器C1及C2的電量分別為q1及q2，試求兩者并聯(lián)后的總儲(chǔ)能。假設(shè)要求并聯(lián)前后的總儲(chǔ)能不變，則兩個(gè)電容器的電容及電量應(yīng)滿足什么條件.解 并聯(lián)前兩個(gè)電容器總儲(chǔ)能為并聯(lián)后總電容為，總電量為，則總儲(chǔ)能為要使，即要求方程兩邊同乘，整理后得方程兩邊再同乘，可得即由此獲知兩個(gè)電容器的電容量及電荷量應(yīng)該滿足的條件為2-31 假設(shè)平板電容器中介電e (*) Ad *0習(xí)題圖2-31A常數(shù)為平板面積為A，間距為d，如習(xí)題2-31所示。試求平板電容器的電容。解設(shè)極板上的電荷密度分別為，則由高斯定理，可得電通密度，因此電場(chǎng)強(qiáng)度為則，兩極板的電