高等數(shù)學(xué) 8-1

1、數(shù)量關(guān)系數(shù)量關(guān)系 第八章第一部分第一部分 向量代數(shù)向量代數(shù)第二部分第二部分 空間解析幾何空間解析幾何 在三維空間中在三維空間中: :空間形式空間形式 點點, , 線線, , 面面基本方法基本方法 坐標(biāo)法坐標(biāo)法; ; 向量法向量法坐標(biāo)坐標(biāo), , 方程（組）方程（組）空間解析幾何與向量代數(shù) 四、利用坐標(biāo)作向量的線性運算四、利用坐標(biāo)作向量的線性運算 第一節(jié)一、向量的概念一、向量的概念二、向量的線性運算二、向量的線性運算 三、空間直角坐標(biāo)系三、空間直角坐標(biāo)系五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 向量及其線性運算 .a或表示法表示法:向量的模向量的模 : 向量的大小向量的大小, ,21M

2、M記作記作一、向量的概念一、向量的概念向量向量:(又稱又稱矢量矢量). 1M2M既有既有大小大小, 又有又有方向方向的量稱為向量的量稱為向量向徑向徑 (矢徑矢徑):自由向量自由向量: 與起點無關(guān)的向量與起點無關(guān)的向量.起點為原點的向量起點為原點的向量.單位向量單位向量: 模為模為 1 的向量的向量,. .a或或記作記作 a零向量零向量: 模為模為 0 的向量的向量,. .00 或或，記作記作有向線段有向線段 M1 M2 ,或或 a ,a或.a或規(guī)定規(guī)定: 零向量與任何向量平行零向量與任何向量平行 ;若向量若向量 a 與與 b大小相等大小相等, 方向相同方向相同, 則稱則稱 a 與與 b 相等相

3、等,記作記作 ab ;若向量若向量 a 與與 b 方向相同或相反方向相同或相反,則稱則稱 a 與與 b 平行平行, ab ;與與 a 的模相同的模相同, 但方向相反的向量稱為但方向相反的向量稱為 a 的的負(fù)向量負(fù)向量,記作記作因平行向量可平移到同一直線上因平行向量可平移到同一直線上, 故兩向量平行又稱故兩向量平行又稱 兩向量共線兩向量共線 .若若 k (3)個向量經(jīng)平移可移到同一平面上個向量經(jīng)平移可移到同一平面上 , 則稱此則稱此 k 個向量共面?zhèn)€向量共面 .記作記作a ;二、向量的線性運算二、向量的線性運算1. 向量的加法向量的加法三角形法則三角形法則:平行四邊形法則平行四邊形法則:運算規(guī)律

4、運算規(guī)律 : 交換律交換律結(jié)合律結(jié)合律三角形法則可推廣到多個向量相加三角形法則可推廣到多個向量相加 .bbabbacba )()(cbacbaabcba cb)(cbacba )(aaba ba s3a4a5a2a1a54321aaaaas2. 向量的減法向量的減法三角不等式ab)( ab有時特別當(dāng),ab aa )( aababaabababa0babaaa3. 向量與數(shù)的乘法向量與數(shù)的乘法 是一個數(shù)是一個數(shù) ,.a規(guī)定規(guī)定 :時，0，同向與aa,0時,0時.0a;aa;1aa可見可見;1aa;aa 與與 a 的乘積是一個新向量的乘積是一個新向量, 記作記作，反向與aa總之總之:運算律運算律

5、: 結(jié)合律結(jié)合律)(a)(aa分配律分配律a)(aa)(baba, 0a若a則有單位向量.1aa因此因此aaa 定理定理1. 設(shè)設(shè) a 為非零向量為非零向量 , 則則( 為唯一實數(shù)為唯一實數(shù))證證: “ ”., 取取 且且再證數(shù)再證數(shù) 的唯一性的唯一性 .則則,0故.即abab設(shè)設(shè) abba取正號取正號, 反向時取負(fù)號反向時取負(fù)號, a , b 同向時同向時則則 b 與與 a 同向同向,設(shè)又有設(shè)又有 b a ,0)(aaa baab.ab故,0a而“ ”則則,0 時當(dāng)例例1. 設(shè)設(shè) M 為為MBACD解解:ABCD 對角線的交點對角線的交點,0 時當(dāng)ba,0 時當(dāng),aAB ,bDAACMC2M

6、A2BDMD2MB2已知已知 b a ,b0a , b 同向同向a , b 反向反向ab .,MDMCMBMAba表示與試用baab)(21baMA)(21abMB)(21baMC)(21abMDxyz三、空間直角坐標(biāo)系三、空間直角坐標(biāo)系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個空間直角坐標(biāo)系. 坐標(biāo)原點 坐標(biāo)軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z 軸(豎軸)過空間一定點 o ,o 坐標(biāo)面 卦限(八個)面xoy面yozzox面1. 空間直角坐標(biāo)系的基本概念空間直角坐標(biāo)系的基本概念xyzo向徑向徑在直角坐標(biāo)系下在直角坐標(biāo)系下 11坐標(biāo)軸上的點坐標(biāo)軸上的點 P, Q , R ;坐標(biāo)面上的點坐標(biāo)面上的點 A ,

7、B , C點點 M特殊點的坐標(biāo)特殊點的坐標(biāo) : :有序數(shù)組有序數(shù)組),(zyx 11)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC(稱為點稱為點 M 的的坐標(biāo)坐標(biāo))原點原點 O(0,0,0) ;rrM坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸 : 軸x00zy00 xz軸y軸z00yx坐標(biāo)面坐標(biāo)面 :面yox0 z面zoy0 x面xoz0 yxyzo2. 向量的坐標(biāo)表示向量的坐標(biāo)表示在空間直角坐標(biāo)系下在空間直角坐標(biāo)系下,設(shè)點設(shè)點 M , ),(zyxM則則沿三個坐標(biāo)軸方向的沿三個坐標(biāo)軸方向的分向量分向量.kzjyixr),(zyxxoyzMNBCijkA,軸上的

8、單位向量分別表示以zyxkji的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為此式稱為向量此式稱為向量 r 的的坐標(biāo)分解式坐標(biāo)分解式 ,rkzjyix稱為向量,r任意向量任意向量 r 可用向徑可用向徑 OM 表示表示.NMONOMOCOBOA, ixOA, jyOBkzOC四、利用坐標(biāo)作向量的線性運算四、利用坐標(biāo)作向量的線性運算設(shè)設(shè)),(zyxaaaa , ),(zyxbbbb 則則ba),(zzyyxxbababaa),(zyxaaaab,0 時當(dāng)aabxxabyyabzzabxxabyyabzzab平行向量對應(yīng)坐標(biāo)成比例平行向量對應(yīng)坐標(biāo)成比例:，為實數(shù)例例2.求解以向量為未知元的線性方程組求解以向量為未知元的線性方程組a

9、yx35byx23.211,212），（），（其中ba解解: 2 3 , 得得bax32)10, 1,7(代入代入得得)3(21bxy)16,2,11(例例3. 已知兩點已知兩點在在AB直線上求一點直線上求一點 M , 使使解解: 設(shè)設(shè) M 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為, ),(zyx如圖所示如圖所示ABMo11MAB, ),(111zyxA),(222zyxB及實數(shù)及實數(shù), 1得得),(zyx11),(212121zzyyxx即即.MBAMAMMBAMOAOM MBOMOB AOOM )(OMOB OMOBOA(說明說明: 由由得得定比分點公式定比分點公式:,121xx,121yy121zz,1時當(dāng)點點

10、 M 為為 AB 的中點的中點 ,于是得于是得x,221xx y,221yy z221zz ABMoMAB),(zyx11),(212121zzyyxxxyz中點公式中點公式:五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 1. 向量的模與兩點間的距離公式向量的模與兩點間的距離公式222zyx),(zyxr 設(shè)則有則有OMr 222OROQOPxoyzMNQRP由勾股定理得由勾股定理得),(111zyxA因因AB得兩點間的距離公式得兩點間的距離公式:),(121212zzyyxx212212212)()()(zzyyxx對兩點對兩點與與, ),(222zyxB, rOM作OMr OROQ

11、OPBABAOAOBBA例例4. 求證以求證以)3,2,5(, )2, 1 ,7(, ) 1 ,3,4(321MMM證證:1M2M3M21MM 2)47( 2)31 ( 2) 12( 1432MM 2)75( 2) 12( 2)23( 631MM 2)45( 2)32( 2) 13( 63132MMMM即即321MMM為等腰三角形為等腰三角形 .的三角形是等腰三角形的三角形是等腰三角形 . 為頂點為頂點例例5. 在在 z 軸上求與兩點軸上求與兩點)7, 1 ,4(A等距等距解解: 設(shè)該點為設(shè)該點為, ),0,0(zM,BMAM因為 2)4(212)7(z 23252)2(z解得解得,914z故

12、所求點為故所求點為及及)2,5,3(B. ),0,0(914M思考思考: (1) 如何求在如何求在 xoy 面上與面上與A , B 等距離之點的軌跡方程等距離之點的軌跡方程?(2) 如何求在空間與如何求在空間與A , B 等距離之點的軌跡方程等距離之點的軌跡方程 ?離的點離的點 . 提示提示:(1) 設(shè)動點為設(shè)動點為, )0,(yxM利用利用,BMAM得得,028814 yx(2) 設(shè)動點為設(shè)動點為, ),(zyxM利用利用,BMAM得得014947zyx且且0z例例6. 已知兩點已知兩點)5,0,4(A和和, )3, 1 ,7(B解解:求求141)2,1,3(142,141,143.BABA

13、BABAoyzx2. 方向角與方向余弦方向角與方向余弦設(shè)有兩非零向量設(shè)有兩非零向量 ,ba任取空間一點任取空間一點 O ,aOA作,bOBOAB稱稱 =AOB (0 ) 為向量為向量 ba,的的夾角夾角. ),(ab或類似可定義類似可定義向量與軸向量與軸, 軸與軸軸與軸的的夾角夾角 . ,0),(zyxr給定與三坐標(biāo)軸的夾角與三坐標(biāo)軸的夾角 , , rr稱為其為其方向角方向角.cosrx222zyxx方向角的余弦稱為其方向角的余弦稱為其方向余弦方向余弦. 記作記作),(baoyzxrcosrx222zyxxcosry222zyxycosrz222zyxz1coscoscos222方向余弦的性質(zhì)

14、方向余弦的性質(zhì):的單位向量向量 rrrr)cos,cos,(cos例例7. 已知兩點已知兩點)2,2,2(1M和和, )0,3, 1(2M的模的模 、方向余弦和方向角、方向余弦和方向角 . 解解:,21,23)20計算向量計算向量)2, 1, 1(222)2(1) 1(2,21cos,21cos22cos,32,34321MM(21MM21MM例例8. 設(shè)點設(shè)點 A 位于第一卦限位于第一卦限,解解: 已知已知角依次為角依次為,43求點求點 A 的坐標(biāo)的坐標(biāo) . ,43則則222coscos1cos41因點因點 A 在第一卦限在第一卦限 ,故故,cos21于是于是(6,21,22)21)3,23

15、,3(故點故點 A 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為 . )3,23,3(向徑向徑 OA 與與 x 軸軸 y 軸的夾軸的夾 ,6AO且OAOAAO3. 3. 向量在軸上的投影向量在軸上的投影1) 空間一點在軸上的投影空間一點在軸上的投影u AA 2）空間一向量在軸上的投影）空間一向量在軸上的投影A uABB ABjuPr. BA向量的向量的投影投影的性質(zhì)：的性質(zhì)：) )c co os sP Pr r( (c co os s) )( ( aajaauu 即即性質(zhì)性質(zhì)1 1).).PrPrPrPr) )( (PrPr( () )( () )( () )( (bjajbajbabauuuuuu 即即性質(zhì)性質(zhì)2 2) ). .P Pr r) )( (P Pr r( () )( () )( (ajajaauuuu 即即性質(zhì)性質(zhì)3 3; ;軸的夾角軸的夾角與與為向量為向量其中其中ua 思考題思考題解解: 因因pnma34)853(4kji)742(3kji)45(kjikji157131. 設(shè)設(shè),853kjim,742kjin求向量求向量pnma