附不等式約束的平差理論

1、附不等式約束的平差理論經(jīng)典平差模型的擴展中南大學朱建軍中南大學n中南大學由 湖南醫(yī)科大學、長沙鐵道學院與中南工業(yè)大學于2000年合并組建而成n全國首批211學校，985n國家一級重點學科6個，其他二級重點學科12個，總共25個n兩院院士15人，博士導師574人，教授及正高職稱898人，n擁有博士學位授權一級學科17個，博士學位授權二級學科102個，博士后科研流動站22個n2000年以來，中南大學獲國家科技三大獎37項，獲獎數(shù)居全國高校第二位，其中一等獎3項，居全國高校第一位中南大學測繪學科n1953年籌建n1956年招收本科生n1959年招收研究生n1986年在全國首批獲工程測量博士學位授予權

2、n2003年獲測繪科學與技術一級學科博士點n2003年獲批測繪科學與技術博士后流動站n2003年與湖南省國土資源廳合建湖南省地理空間信息工程技術研究中心n2006年湖南省重點學科n2008年獲湖南省精密工程測量與形變?yōu)暮ΡO(jiān)測重點實驗室學科點的情況n博士點：大地測量學與測量工程攝影測量與遙感地圖制圖與地理信息工程國土資源遙感光電測量與信息處理n碩士點：大地測量學與測量工程攝影測量與遙感地圖制圖與地理信息工程國土資源遙感光電測量與信息處理地圖學與地理信息系統(tǒng)土地資源管理目錄p附不等式平差問題的提出p主要研究進展p附不等式約束平差精度實驗p存在的主要問題附不等式平差問題的提出經(jīng)典平差模型n條件平差：

3、AVWn間接平差模型：LVBXn附未知參數(shù)的條件平差：AVBXWn附條件的間接平差：LVBXCXW經(jīng)典平差模型 p概括模型：附有限制條件的條件平差模型 p最小二乘解為：p其中 CWXCLXBAV)(21122LSCccTbbLSECLSXCWNCNXXCNCNBNBNAQANbbTccaaTbbTaa11,經(jīng)典平差模型n模型：n附不等式約束的平差問題LVBXCXW看看這個模型怎么辦？不等式約束n平差前有先驗信息可以用不等式約束表示：n滑坡一般是沿某個方向；n大橋一般是沿上下方向振動；n高層建筑沿水平方向擺動；n船舶、火車、飛機等動態(tài)物體模型的軌跡一定是連續(xù)的，并且其高程起伏正常情況下在一定的范

4、圍內；n方差估計中，方差是正的（大于0）n某某目標位于某某目標的東或南等等n這些先驗信息是可以用來改善平差結果的統(tǒng)一模型p考慮不等式約束，概括模型可擴展為：p擴展的模型的意義n克服等式限制條件的局限性 n改善平差結果，提高平差精n測量平差理論的發(fā)展 cWXCLXBAV兩大問題p與經(jīng)典測量平差方法相比不等式約束存在如下兩大難題：n解的顯示表達n解的統(tǒng)計性質分析主要研究進展附不等式約束平差的主要算法不等式約束平差經(jīng)典算法p最小距離方法 p有效約束法p橢圓約束法 pBayes法 p基于TK條件的算法p虛擬觀測方法最小距離方法n對于附不等式約束的平差模型n在最小二乘準則下，有LVBXCXWmin()(

5、)()Tf XBXLP BXLCXW最小距離方法n令n上式可變換成：n這是一個典型的最小距離問題，可利用最優(yōu)方法中的最小距離方法求解。1()()min TXXXQXXCXW11(),()TTTXXB PBB PL QB PB最小距離方法p評述：p可以得到最后解，但其算法與傳統(tǒng)的平差算法相差很遠，特別需要測量工作者掌握傳統(tǒng)平差知識以外的其它知識。p不能得到解向量與觀測向量之間的顯式表達式，因此也就不能進行精度評定。有效約束法n附不等式約束的平差模型在其最優(yōu)解處，必定出現(xiàn)兩種情況：n第一種情況下，約束條件對最優(yōu)解起了約束作用，稱為有效約束，第二種情況下，約束對最優(yōu)解不發(fā)生作用，稱為無效約束。 11

6、C XW22C XW有效約束法n如果我們事先通過某種方法能找到起作用的有效約束。那么我們可以將不等式約束模型轉換為等式約束模型 ：n該方法的關鍵是尋找有效約束11LVBXC XW有效約束法p有效約束法做為二次規(guī)劃常用算法，它是通過類似窮舉法實現(xiàn)對有效果約束的尋找，因此當不等式約束條件數(shù)量大時，該方法的計算量也隨之增大。p雖然許文緣教授對該算法進行了改進，但仍然很難滿足大規(guī)模運算的需要。橢圓約束法n該方法的思路是將所有不等式約束合并、轉換成一個橢圓約束：n或n然后在最大最小準則下，可以求得解為：n KTCXWXXT00()() KTCXWXXXXTPLBNXPLBTkPBBXXTTT101210

7、)(橢圓約束法p1、解是有偏的，并且不一定能滿足不等式.p2、它只適用于約束條件能形成閉區(qū)間的情形.p3、沒有一種有效的方法將不等式轉換成橢圓約束，因而實用性差.貝葉斯方法n基本思想：不等式約束代表的是對參數(shù)的一種先驗知識，這種先驗知識可以用某種概率分布來描述。n在觀測誤差服從正態(tài)分布的假設下，有：elseWGXSXfXWGX00/1)() , 0(, f(X)X ,20eQNeeBXL貝葉斯方法n按Bayes方法，可求得參數(shù)的驗后分布：n基于后驗分布的貝葉斯估計可以獲得四種不同的估計：基于均值基于中位數(shù)基于眾數(shù)損失函數(shù)最小點12011exp()() if 2(|)0 elseTVLBXQLB

8、XCXWsf X Lp基于眾數(shù)的貝葉斯估計可以表示為 pp圖(a)密度最大值位于最小二乘解，因此貝葉斯估值就是p圖(b)密度最大值位于，因此貝葉斯估值就是p圖(c)密度最大值位于，因此貝葉斯估值就是1w2w2-3-(a)x 1w2w2-3-(b)x x 1w2-3-(c)x XX1wX 1wX 2wX 2wX n基于均值的貝葉斯解為 ：n其方差為：WGXdxLXfXX)/(dXXXQXXCXXT)()(exp1dXLXfXXXXXDTWGX)/()()(dXXXQXXCXXXXXTTWGX)()(exp)(1p貝葉斯估計的優(yōu)點在于不僅能夠利用先驗信息改善解的結果。從使得方差較小方面來說，基于均

9、值的貝葉斯估計也優(yōu)于傳統(tǒng)的解法。p缺點是不能得到參數(shù)與觀測值的顯式表達，如果參數(shù)維數(shù)較高時，積分計算較復雜，還需進一步改進。基于KuhnTucker條件的不等式約束平差算法 n令由約束極值問題中的KuhnTucker條件知,在最優(yōu)解處必有： ()0g XCXW1()()0()00kjjjf XgXCXWn在庫恩塔克條件約束的前提下 ，把不等式約束換成等式，根據(jù)求極值的方法可以得到：n聯(lián)合KuhnTucker條件，可按下式求拉格朗日乘子1()()TTC B PBCCXWn最后求得解為：1()()TTC B PBCCXW()00CXW1()TTXXB PBC 虛擬誤差方程法vLCXWXCWXCWX

10、CWXCWXCc122112211211vLCXvXXn根據(jù)最小二乘原理：21vvVCEnmnnBWXLXLcxPQP001*VBxLn組合間接方程為：iik v00 v0cPn這里的關鍵是虛擬觀測的權：n結果*11()TTxxcxxxQQQ CPCQ CCQ*1()TTTcccXXA PA C PCC P WCx經(jīng)典平差模型的擴展與統(tǒng)一 n經(jīng)典平差統(tǒng)一模型可擴展為n根據(jù)上述虛擬觀測方法，及一系列推算，統(tǒng)一模型平差的結果可表示為：cWXCLXBAV122()()TTIC L SL Sb bcccL SXXNCP CCPWC X經(jīng)典平差模型的擴展與統(tǒng)一算法過程n1、迭代法：)( 2)(1)(2)

11、(LSckcTkcTbbLSkICLSCXWPCCPCNXXn2、轉換法：)( 212LSccTcTbbLSICLSCXWPCCPCNXXqCNXXTabcLSICLS12 wMqhWCXqCCNWXCcLSTabccICLS 21經(jīng)典平差模型的擴展與統(tǒng)一算法0),(0qhqhTCPCNNcTbbabcLNBNXaaTbbLS112TabcCCNM1根據(jù)K-T條件，上式還滿足 其中：經(jīng)典平差模型的擴展與統(tǒng)一算法過程0q0wwh w如果顯然此時即為無效約束。這樣，我們假設由幾個正數(shù)組成，是一個非負變量，這樣重新表示如下：wMqhWCXqCCNWXCcLSTabccICLS 21wdMqh附不等式

12、約束平差精度的模擬實驗模擬實驗 n圖示為一理想邊坡 n建立了三個約束條件n在不同約束條件下，（1）無約束條件（2）約束條件a，（3）約束條件b，(4)約束條件a和b，用蒙特卡羅模擬方法模擬2000次觀測)(0)(02/35 . 0)(02/35 . 0cdbddaddxyxyxdbda （1）無約束條件n（2）約束條件an（3）約束條件bn(4)約束條件a和bnn實驗的結論n假設隨機誤差服從正態(tài)分布，附不等式約束的平差的結果并不像我們常見的等式約束平差的結果那樣服從正態(tài)分布，它的參數(shù)的約束區(qū)間再也不是一個完整的空間，而是在約束條件所規(guī)定的區(qū)域內，因此它的結果也就不再服從正態(tài)區(qū)域，其實這一點也可

13、以從bayes估計的角度來解釋。n從統(tǒng)計意義上來說，附不等式約束平差的估計結果一般是有偏的。但這種有偏是誤差不對稱造成，如果誤差對稱那么估計就會無偏，或無誤差時，估計也是無偏的。n從幾何意義上可以認為不滿足約束條件的局部最優(yōu)解通過映射的方式投影到相應的約束邊界上，而這些約束邊界直線就是有效約束條件。n無約束平差的精度不等式平差的精度等式約束平差的精度應用前景n在病態(tài)問題中的應用n在邊坡和建筑物監(jiān)測中的應用n在粗差探測中的應用在病態(tài)問題中的應用n病態(tài)問題產生的原因是設計矩陣存在復共線關系，為了消除法方程奇異，我們必須附加先驗信息 ，不等式約束條件就是其中的一種算例分析nn法方程系數(shù)陣的條件數(shù)為，

14、病態(tài)性嚴重。未知參數(shù)有5個，它們的真值為，觀測噪聲按，由軟件模擬產生。本文由軟件模擬產生的一組噪聲0000. 50000. 20000. 20000. 30000. 40000. 30100. 20000. 20000. 20000. 40000. 35000. 20000. 20000. 10000. 57000.125000. 10000. 30000. 70000. 34900. 04000. 00000. 30000. 10000. 14000. 85000. 00000. 42000. 30000. 10000. 75000. 00000. 45000. 20000. 14000.

15、20000. 10000. 10000. 10000. 25000. 80500. 10000. 10000. 40000. 25000. 90000. 10000. 10000. 50000. 2A5102892. 1), 0(20IN10小結p當約束條件比較松時，橢球約束法的計算結果不及傳統(tǒng)的嶺跡法的結果，p但隨著約束條件的苛刻橢球約束法的結果將明顯由于傳統(tǒng)嶺估計的方法。p特別是約束條件越精確、越苛刻，用橢球約束法估計得到的結果的越小，即越接近真值，同時精度也越高。p約束條件的越苛刻表示先驗信息越多和越可靠，因而解越準確，這一規(guī)律符合實際。p使用橢球約束法的前提是約束條件可以定義到一個凸集的橢球約束區(qū)域里面。在邊坡和建筑物監(jiān)測中的應用p目前對GPS大型建筑物變形監(jiān)測，在GPS單歷元模糊度解算中對許多先驗信息沒有利用或只有