高等數(shù)學-多元函數(shù)積分學

1、第四節(jié)第四節(jié) 二重積分的概念和性質二重積分的概念和性質第五節(jié)第五節(jié) 直角坐標系下二重積分的計算直角坐標系下二重積分的計算第九節(jié)第九節(jié) 格林公式格林公式（曲線積分和面積分的橋梁）曲線積分和面積分的橋梁）第八節(jié)第八節(jié) 曲線積分曲線積分（對弧長，對坐標）（對弧長，對坐標）二重積分的計算為必考題，出現(xiàn)在解答題中。二重積分的計算為必考題，出現(xiàn)在解答題中。第七節(jié)第七節(jié) 二重積分的應用二重積分的應用第六節(jié)第六節(jié) 極坐標系下二重積分的計算極坐標系下二重積分的計算積分區(qū)域積分區(qū)域定積分定積分二重積分二重積分D曲線積分曲線積分一型：對弧長一型：對弧長二型：對坐標二型：對坐標格林公式格林公式1 1二重積分的概念和性

2、質二重積分的概念和性質回憶定積分. 設一元函數(shù) y = f (x) 在a, b可積. niiibaxfxxf10)(limd)(則.d)(,0)(面積在幾何上表示曲邊梯形時當baxxfxf如圖0 xyabxixi+1 iy = f (x)f ( i)其中 ixi, xi+1, xi = xi+1 xi , 表小區(qū)間xi, xi+1的長, f ( i) xi表示小矩形的面積.設有一立體. 其底面是 xy 面上的區(qū)域D, 其側面為母線平行于 z 軸的柱面, 其頂是曲面 z= f (x, y)0, 連續(xù). 稱為曲頂柱體.立體的頂是平行于 xy 面的平面. 則平頂柱體的體積 = 底面積高.0yzxz

3、= f (x,y)D如圖 一、二重積分幾何由來（一、二重積分幾何由來（2種理解）種理解）(i)用曲線將D分成 n 個小區(qū)域 D1, D2, Dn , 每個小區(qū)域Di 都對應著一個小曲頂柱體.如圖z = f (x,y)0yzxz = f (x,y)DDiDi(ii)由于Di很小, z = f (x,y)連續(xù), 柱體可近似看作柱體. ( i , i) Di .小平頂柱體的高 = f ( i , i).若記 i = Di的面積. 則小平頂柱體的體積 = f ( i , i) i 小曲頂柱體體積 f ( i , i) ( i , i)Diz = f (x,y)(iii)因此, 柱體的體積niiiifV

4、1),(分割得越細, 則右端的近似值越接近于精確值V, 若分割得無限細, 則右端近似值會無限接近于精確值V.也就是niiiifV1),(lim(iv) ,max 1的直徑記iniD.,),(lim 10niiiifV則其中 ( i , i) Di , i = Di 的面積.xyDi如圖(1)平面薄板的.當平面薄板的質量是均勻分布時, 有, 平面薄板的.若平面薄板的質量的. 這時, 薄板的質量不能用上述公式算, 應如何算該薄板的?用曲線將D分成 n 個小區(qū)域 D1, D2, Dn ,設一, 面密度 (x, y) 0 連續(xù). (x, y) D. 求該平面薄板的.(i)如圖0 xyDDiDi的面積記

5、作 i .0 xyDDi由于, 從而當Di很小時, (x, y) 在Di上的變化不大, 可近似看作從而可用算均勻薄板的質量的方法算出Di這一小塊質量的近似值.(ii)即, ( i , i) Di , 以 ( i , i)作為Di 這一小片薄板的面密度. 從而,(iii)故, 平面薄板的質量niiiiM1),(iv) ,max 1的直徑若記iniD.),(lim 10niiiiM則1.1.定義定義 設z=f (x,y)是定義在DR2上的有界函數(shù). 將D任意無公共內點的小區(qū)域Di(I=1, 2, , n), 其面積記為 i. (i, i) Di, 作積f (i, i) i,.max1的直徑記ini

6、D,),(1niiiif作和 二、二重積分的概念與性質二、二重積分的概念與性質 若對任意的, 當 0時, 和式niiiif1),(則稱f (x,y)在D上可積, 記為f (x,y) R(D),并稱此極限值 I 為f (x,y)在D上的二重積分. 記作Ddyxf,),(即niiiiDfdyxf10),(lim),(其中“ ”稱為二重積分符號, , f (x,y)稱為被積函數(shù), d稱為面積元素, . 和式.),(1稱為積分和niiiif注注1. 定積分niiibaxfdxxf10)(lim)(二重積分niiiiDfdyxf10),(lim),(區(qū)別在將小區(qū)間的換成小區(qū)域的將在數(shù)軸上點 i 處的函數(shù)

7、值 f (i)換成在平面上點(i, i)處的函數(shù)值 f (i, i). 注注2. 若將D用兩族平行于x軸和y軸的直線分割.(如圖)DiD則除邊界上區(qū)域外, Di的面積故也將二重積分寫成Ddxdyyxf),(注注3. 可以證明若f (x, y)在D上則f (x, y)在D上, 若f (x, y)在D上, 且在D內只有, 或只在有限條曲線上不連續(xù), 設D為有界閉區(qū)域, 以下涉及的積分均存在.性質1. .|,|的面積為區(qū)域其中DDDdD性質2. DDDdyxgyxfdyxgyxf),(),(),(),(性質3. DDdyxfkdyxkfk),(),(,則為常數(shù)設性質4. 則無公共內點且設,2121D

8、DDDD21),(),(),(DDDdyxfdyxfdyxf若在D上有f (x, y) g (x, y), 則DDdyxgdyxf),(),(特別: (i) 若在D上f (x, y)0, 則0),(Ddyxf(ii)DDdyxfdyxf| ),(|),(這是因為 | f (x, y)| f (x, y) | f (x, y) |積分后即得.性質5. 若在D上 m f (x, y) M, 則|),(DMdyxfDmD設 f (x, y) C(D), 則(,)D, 使得|),(),(DfdyxfD性質6. 性質7. (i) 當z=f (x, y)0時,.),(曲頂柱體的體積Ddyxf(ii) 當z

9、= f (x, y)0時,)(),(曲頂柱體的體積Ddyxf(iii)則上在上在無公共內點且若, 0),(, 0),(,212121yxfDyxfDDDDDD21),(),(),(DDDdyxfdyxfdyxf= .),(,的代數(shù)和表示各小曲頂柱體體積一般Ddyxf由意義知, 當f (x, y)0時, VdyxfD曲頂柱體的體積),(如圖若點x處截面面積為則體積.)(badxxAVxy0axA(x)三、二重積分的計算三、二重積分的計算., 0),(,),(連續(xù)其中考慮yxfzdyxfD(1)設是由兩條平行于y軸的直線x=a, x=b及兩條曲線 y = y1(x), y = y2(x)圍成. 如

10、圖即, 稱為x型區(qū)域.特別情形是A、B退縮成一點, E、F退縮成一點.xy0ABEFDy = y1(x)y = y2(x)ab由幾何意義知,),(),(為頂表示以yxfzdyxfD以D為底的如圖.過點x0作,截面是平面x= x0上的, 以z=f (x0, y)為曲邊的曲邊梯形. 由意義,)()(000201,),()(xyxydyyxfxA)()(21.),()(,xyxydyyxfxA一般zx0yy2(x0)y1(x0)Dy=y2(x)y=y1(x)z=f (x, y)z=f (x0, y)x0ab從而, baxyxybadxdyyxfdxxAV,),()()()(21故 baxyxyDdx

11、dyyxfdyxf),(),()()(21右端稱為的二次積分(累次積分).計算原則計算原則: 由里到外.即先將即先將x 看作常數(shù)看作常數(shù), 以y 為積分變量, 求里層積分.得到的結果是只含x, 不含 y 的函數(shù)式, 再求外層積分(以x為積分變量).注注1. 公式 baxyxyDdxdyyxfdyxf),(),()()(21雖是在條件 f (x, y) 0下得到的, 但對一般的 f (x, y)都成立, 只須D是x型區(qū)域即可.注注2. 習慣上常將右端的二次積分記作baxyxydyyxfdx)()(21),(即baxyxyDdyyxfdxdyxf)()(21),(),( baxyxydxdyyxf

12、),()()(21(2)類似, 若D: x1(y) x x2(y), c y d, 稱為 y 型區(qū)域,則二重積分可化為的二次積分. 即 dcyxyxdydxyxf)()(21),(xy0dcEFx=x2(y)x=x1(y)DDdyxf),(dcyxyxdxyxfdy)()(21),(3). 比如x0yx0yx0y則既可先對 x 積分, 又可先對 y 積分.等等,dcyxyxbaxyxydxyxfdydyyxfdx)()()()(2121),(),(Ddyxf),(當用此時,(4)若D的形狀較復雜, 既不是 x型區(qū)域, 也不是 y型區(qū)域.xy0D1D2D3D則可用一些平行于 x 軸和平行于 y

13、軸的直線將其使每一塊或為x型, 或為 y型, 分塊積. 如圖321),(),(),(),(DDDDdyxfdyxfdyxfdyxf(5) 設D: y1(x) y y2(x), a x b, 為 x 型區(qū)域.其中y2(x)為分段函數(shù). 如圖則baxyxyDdyyxfdxdyxf)()(21),(),(里層積分上限無法確定用哪一個表達式. .xy0D1D2y = 1(x)y = 2(x)ab(6) 不論是先對 x 積分dcyxyxDdxyxfdydyxf)()(21),(),(baxyxyDdyyxfdxdyxf)()(21),(),(還是先對 y 積分里層積分的上、下限總是曲線的函數(shù)表達式, 而

14、外層積分的上、下限是點的坐標.且上限上限 下限下限.稱為從里到外、線從里到外、線線線; 點點點點. 例例1.1.,)(2圍成和由其中求xyxyDdyxDxy0y=xy=x2x為確定累次積分的上、下限.作與y軸同向的射線, 從下至上穿過D.則y是由下方的曲線y=x2變到上方的曲線y=x的.解解: : .法1. 先對y積分.里層積分的下限為x2, 上限為x.由于該射線變化范圍是0, 1.因此, 外層積分下限為0, 上限為1. 即102)()(xxDdyyxdxdyxdxyxyxx210221dxxxx104322123203101416310543xxxxy0y=xy=x211法法2. 先對 x

15、積分.作與 x 軸同向射線, 從左至右穿過D.y則 x 是從左方曲線x=y變到右方曲線y=x2. 即.的yx 故里層. y而該射線的變化范圍是0, 1. 故外層對 y 的積分下限為0, 上限為1.10)()(yyDdxyxdydxdyyx10221dyyxxyy102232321dyyyy203635241103252yyy例例2.2. .0, 2,2第一象限的區(qū)域圍成的和由其中求yxyxyDxydxdyD解解: : 先畫D的圖形.先對 x 積分. 作與 x 軸同向的射線穿過D. 易知, x 從左方曲線y=x2即變到y(tǒng)x 102yyDxydxdyxydxdy右方曲線 y=x+2即 x=2 y.

16、 而 y0, 1. xy0y=x+2y=x2112故所以, 原式 = 102yyxydxdy102221dyxyyy102)2(21dyyyy247問問, 若先對若先對 y 積分積分, 情形怎樣情形怎樣?xy0y=x+2y=x2112例例3.3. 求.sin110ydxxxdy解：解：由于1sinydxxx是“積不出”的，怎么辦？要改換積分次序.由積分表達式知，D： y x 1, 0 y 1畫曲線 x=y 和 x=1，直線y=0, y=1.如圖：故 原式 =Ddxdyxxsinxdyxxdx010sin10sinxdxxx10sindxx1cos1cos10 xyx0Dy = x由例2，例3知

17、，有時能使積分變得。在作題時，當按某一順序積分很難，或不可行時，可改換積分順序試一試。例例4.4. 改換.),(2140的積分順序xxdyyxfdx解：解：寫出D的表達式，. 40,21:xxyxD畫 D 的圖形改為先對x再對y的積分xxdyyxfdx2140),(yydxyxfdy2202),(yx0Dxy21xy 24例例5.5. 關于分塊函數(shù)在D上的積分.Ddxy|求其中D：解：解：積分區(qū)域如圖記 f (x, y) = | y x |=yx, 當y x時,xy, 當y x時,且區(qū)域D1: y x和D2: y x分處在直線y=x的上，下方.故，原式 =21)()(DDdyxdxyyx011DD2y = xD1xxdyyxdxdyxydx010110)()(10021012)21()21(dxyxydxxyyxx10210221)2121(dxxdxxx31注：注：分塊函數(shù)的積分要分塊(區(qū)域)來積.另外，帶絕對值的函數(shù)是分塊函數(shù)。yx0D211y = xD1D在將二重積分化為二次積分的公式,),(),()()(21中xyxybaDdyyxfdxdyxf右邊的，.關于利用對稱性積分的問題(1) 若D的圖形關于x軸對稱.(i) 若f (x, y) = f (x, y), 其中點(x, y) 與(x, y) 關于x軸對稱，即函數(shù)也關于x軸對稱.yx0D2D11),(2),(