線性代數(shù)：3-2 矩陣的秩(經(jīng)管類版)

1、 n n 矩陣矩陣 A 的的 n 階子式階子式只有一個(gè)：只有一個(gè)：Am n 矩陣矩陣 A 的的 1 階子式共有階子式共有 mn 個(gè)個(gè) 由矩陣秩的定義易知：由矩陣秩的定義易知：若矩陣若矩陣 A 中有一個(gè)中有一個(gè) s 階子式不為零，則階子式不為零，則秩秩(A) s；若若 A 中所有中所有 t 階子式全為零，則階子式全為零，則 0 秩秩(A) min m , n .秩秩(AT) = 秩秩(A) .()0AAm nm nO秩()n nn秩 A稱為稱為0A秩秩(A) t. 求矩陣求矩陣 A 的秩，其中的秩，其中123423-12 .46-24A 1248012481 ,11113139274AA設(shè)求矩陣

2、 的秩提示：提示：4A 中有一個(gè)階范德蒙子式不為030030400B 求行階梯形矩陣求行階梯形矩陣 B 的秩，其中的秩，其中答案：答案：( ) = 3R B=階梯階梯個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)行階梯形矩陣的秩行階梯形矩陣的秩=非零行的行數(shù)非零行的行數(shù)一般矩陣可經(jīng)初等變換化為行階梯形矩陣，一般矩陣可經(jīng)初等變換化為行階梯形矩陣，但初等變換是否保持矩陣的秩相等呢？但初等變換是否保持矩陣的秩相等呢？下面的定理對(duì)此作出了肯定的回答下面的定理對(duì)此作出了肯定的回答. 任意矩陣都可經(jīng)初等變換化為行階梯形矩陣。任意矩陣都可經(jīng)初等變換化為行階梯形矩陣。 初等變換不改變矩陣的秩。即初等變換不改變矩陣的秩。即

3、推論推論 （略）（略） 設(shè)設(shè)32050323612015316414A, 求矩陣求矩陣 A 的秩的秩. 41461351021632305023 A6-4-143-236-12015-3320501對(duì) 作初等變換，化成階梯形矩陣：A 6-4-1431-1-1297-11-16128-1200-4016-4-140-431-12015-3320501 6-4-1431-10-1-44008-000408 6-4-1431-10-1-44000000800由行階梯矩陣有由行階梯矩陣有3個(gè)非零行可知，個(gè)非零行可知， 3。 設(shè)設(shè)1221124802,2423336064A,b 求矩陣求矩陣 A 及矩陣

4、及矩陣 B = ( A , b ) 的秩的秩.求矩陣秩也可用列變，但下面例只能用行變。求矩陣秩也可用列變，但下面例只能用行變。（想想為什么？）（想想為什么？）-22-112-4802() =-24-2333-60-164B = A,b22110635021500006311 ( ) = 2,( ) = 3.秩秩AB00000221101500001102 132202132015AA已知矩陣，求的秩, 022031 102120231 502320231 而而A的的3階子式有階子式有, 0 , 0 510312223 512310221 , 0 , 0 . 0 . 2 AR A對(duì)矩陣做初等變換

5、:,13-223-2202-130-13-2015000012A 階梯矩陣中非零行的行數(shù)為階梯矩陣中非零行的行數(shù)為2， . 2 AR本題用初等本題用初等變換法簡(jiǎn)單變換法簡(jiǎn)單.12122-2=2 -1510-3Att設(shè)的秩為 ， 求A對(duì)作初等變換，化成行階梯形矩陣：21212122-2-42=-152 +62 +610-3000111-000000021Attt 12161202+0000、換t2 3列2 3列互互000001011212t2 ( )=R A 10t.1t從而 設(shè)設(shè)1211321563Aa,b 已知已知 R(A) = 2，求，求 a 與與 b 的值的值.（1） （2）（3） （4

6、） 矩陣的秩有以下性質(zhì)：矩陣的秩有以下性質(zhì)：（5） / 或或 （6） （7） R(AB) R(A) R(AB) R(B) 補(bǔ)充：補(bǔ)充： （8）R(A + E) + R(A E) = n .因因 (A + E) + (E A) = 2E，由由矩陣秩的性質(zhì)矩陣秩的性質(zhì)矩陣秩的性質(zhì)矩陣秩的性質(zhì)（1） 0 0R R( (A Am m n n) ) min min m m , , n n ; ;（2） R R( (A AT T) = ) = R R( (A A) ;) ;（3） 若若若若 A A B B, , 則則則則 R R( (A A) = ) = R R( (B B) ;) ;（4） 若若若若 P

7、 P，Q Q 可逆，則可逆，則可逆，則可逆，則 R R( (PAQPAQ ) = ) = R R( (A A) ;) ;（6） R R( (A A + + B B) ) R R( (A A) + ) + R R( (B B) ). .（7） R R( (ABAB) ) minminR R( (A A) , ) , R R( (B B) ) . .（8）若若若若 A Am m n nB Bn n l l= O= O，則則則則 R R( (A A) + ) + R R( (B B) ) n n . .（5） maxmaxR R( (A A) , ) , R R( (B B) ) R R( (A A, , B B) ) R R( (A A) + ) + R R( (B B) ), ,特別地，當(dāng)特別地，當(dāng)特別地，當(dāng)特別地，當(dāng) B B = = b b 為列向量時(shí)，有為列向量時(shí)，有為列向量時(shí)，有為列向量時(shí)，有R R( (A A) ) R R( (A A, , b b) ) R R( (A A) +1 .) +1 .(6)有有R(A + E) + R(E A) R(2E) = n ，而而 R(E A) = R(A E) ，所以，所以R(A + E) + R(A E) n . 設(shè)設(shè) A 為為 n 階方陣且階方陣且A2=E，證明，證明由性質(zhì)由性質(zhì)(8)又因?yàn)橛忠驗(yàn)?A + E) (A E)