第六章 彎曲—內(nèi)力-1

1、第六章第六章 彎彎 曲曲 梁：承受橫向力梁：承受橫向力墻墻樓板樓板橋板橋板6-1 6-1 平面彎曲及梁的類型平面彎曲及梁的類型 起重機大梁起重機大梁P鏜刀桿鏜刀桿P火車輪軸火車輪軸火車輪軸簡化火車輪軸簡化彎曲特點彎曲特點以彎曲變形為主的桿件通常稱為梁以彎曲變形為主的桿件通常稱為梁受力特點：在構(gòu)件的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，受到垂直于桿件軸線的受力特點：在構(gòu)件的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，受到垂直于桿件軸線的外力（即橫向力）或力偶的作用外力（即橫向力）或力偶的作用變形特點：桿件的軸線在此平面內(nèi)由原來的直線變成曲線變形特點：桿件的軸線在此平面內(nèi)由原來的直線變成曲線常見梁截面常見梁截面具有縱向?qū)ΨQ面具有縱向?qū)ΨQ面外力都作用在

2、此面內(nèi)外力都作用在此面內(nèi)彎曲變形后軸線變成對稱面內(nèi)的平面曲線彎曲變形后軸線變成對稱面內(nèi)的平面曲線平面彎曲平面彎曲梁載荷的分類梁載荷的分類qq(x)均勻分布載荷均勻分布載荷線性（非均勻）線性（非均勻）分布載荷分布載荷P集中集中力mm集中力偶集中力偶 m分布載荷分布載荷載荷集度載荷集度 q(N/m)注意還有支座反力注意還有支座反力mA固定端支座固定端支座（fixed support)XAYAA滾動鉸支座滾動鉸支座 (roller support)YAA固定鉸支座固定鉸支座 (pin support)YAXA支座種類支座種類支座反力支座反力AB 簡支梁簡支梁AP2P1YBYAXA梁的類型梁的類型 懸

3、臂梁懸臂梁 ABP1P2mAYAXAP1P2 外伸梁外伸梁ABCYAYBXA步驟：步驟：解解除約束，取分離體；解解除約束，取分離體；畫受力圖；畫受力圖；列平衡方程，求得支座反力；列平衡方程，求得支座反力；用截面法求截面上的內(nèi)力用截面法求截面上的內(nèi)力 0Y0PRRBA 0AM0 PalRB由：由：得：得：lpaRlpalRBA,6-2 6-2 梁彎曲時的內(nèi)力梁彎曲時的內(nèi)力- -剪力與彎矩剪力與彎矩（一）截面法求內(nèi)力（一）截面法求內(nèi)力剪力剪力Q與彎矩與彎矩Mxx2lABPa221x11PBABRAR1Q1M 0y01 QRAARQ1 00FM011xRMA11xRMA力平衡：力平衡：力矩平衡：力矩

4、平衡：剪力：剪力：彎矩：彎矩：在在1-1截面上：截面上：剪力：剪力：梁橫截面上切向分力的合力。梁橫截面上切向分力的合力。彎矩：彎矩：橫截面上內(nèi)力偶的矩稱為彎矩。矩橫截面上內(nèi)力偶的矩稱為彎矩。矩心心O是截面的形心。是截面的形心。6-2 6-2 梁彎曲時的內(nèi)力梁彎曲時的內(nèi)力- -剪力與彎矩剪力與彎矩oA1xAR在在2-2截面上：截面上： 0y02QPRAARPQ2 00FM0)(222axPxRMA)(222axPxRMA力平衡：力平衡：力矩平衡：力矩平衡：剪力：剪力：彎矩：彎矩：oBR2Q2MPA2xAR2Q2Mo6-2 6-2 梁彎曲時的內(nèi)力梁彎曲時的內(nèi)力- -剪力與彎矩剪力與彎矩6-2 6-

5、2 梁彎曲時的內(nèi)力梁彎曲時的內(nèi)力- -剪力與彎矩剪力與彎矩（二）剪力與彎矩正負(fù)號的規(guī)定（二）剪力與彎矩正負(fù)號的規(guī)定-以變形為依據(jù)以變形為依據(jù)口訣口訣-剪力：左上右下，剪力為正；左下右上，剪力為負(fù)；剪力：左上右下，剪力為正；左下右上，剪力為負(fù)；+-彎矩：左順右逆，彎矩為正。左逆右順，彎矩為負(fù)。彎矩：左順右逆，彎矩為正。左逆右順，彎矩為負(fù)。 或上壓下拉為正，上拉下壓為負(fù)或上壓下拉為正，上拉下壓為負(fù)+例例 題題ABC2qaqaa求求A A截面右側(cè)、截面右側(cè)、B B截面左右側(cè)的剪力、截面左右側(cè)的剪力、 彎矩。彎矩。0qaYY- :0YBA02302qaaqaaY :MBAqa25Yqa23YBA(正號

6、表明力方向與標(biāo)注相反）正號表明力方向與標(biāo)注相反）（1）計算支反力）計算支反力解：解：qYAYBABC2qaaa6-2 6-2 梁彎曲時的內(nèi)力梁彎曲時的內(nèi)力- -剪力與彎矩剪力與彎矩（2）計算各截面內(nèi)力）計算各截面內(nèi)力 A A右截面右截面 B B左截面左截面 B B右截面右截面0Mqa0QYA2AA右右002左左BABAMaYqaQY0a21qaM0qaQBB右右2AAqaMqa23Q右右2BBqa21Mqa23Q左左2BBqa21MqaQ右右AYA2qaMA右QA右MB左AYA2qaBaQB左BCqaMB右QB右6-2 6-2 梁彎曲時的內(nèi)力梁彎曲時的內(nèi)力- -剪力與彎矩剪力與彎矩例題例題4-

7、14-1：一簡支梁一簡支梁ABAB，如圖，在如圖，在C C點處作用一集中力點處作用一集中力 P=10KN P=10KN ，求距左端求距左端0.80.8m m處截面處截面 n-nn-n上的剪力和彎矩。上的剪力和彎矩。ABC1.5m0.8m4mRARBP=10KNnnARARB0.8mQB2.5mcP=10KNQMM3.2m0.7m解解: (1): (1)求支反力求支反力 由平衡方程由平衡方程 M MA A=0, R=0, RB B4- P1.5=0 , 4- P1.5=0 , R RB B=1.5P/4=1.5=1.5P/4=1.5* *10/4=3.75KN10/4=3.75KN Y=0Y=0

8、， R RA A+R+RB B-P=0, R-P=0, RA A=P-R=P-RB B=10-3.75=6.25KN=10-3.75=6.25KN（2 2） 求求n-n n-n 截面上的剪力和彎矩截面上的剪力和彎矩 將截面截開，取左段梁為研究對象，假設(shè)截面上剪力將截面截開，取左段梁為研究對象，假設(shè)截面上剪力Q Q和彎矩和彎矩M M為正，則由平衡方程：為正，則由平衡方程： Y=0Y=0， R RA A-Q=0-Q=0 Q=RQ=RA A=6.25KN=6.25KN M MO O=0=0，-R-RA A0.8+M=0 0.8+M=0 M=RM=RA A0.8=6.250.8=6.250.8=5KN

9、m0.8=5KNmARARB0.8mQB2.5mcP=10KNQMM3.2m0.7m22剪力的規(guī)則剪力的規(guī)則：梁的任一截面上的剪力的大小等于：梁的任一截面上的剪力的大小等于截面之左（或右）所有外力（包括約束反力）的截面之左（或右）所有外力（包括約束反力）的代數(shù)和。代數(shù)和。彎矩的規(guī)則彎矩的規(guī)則：梁的任一截面上的彎矩的大小等于：梁的任一截面上的彎矩的大小等于截面之左（或右）所有外力（包括力偶）對該截截面之左（或右）所有外力（包括力偶）對該截面形心之矩的代數(shù)和。面形心之矩的代數(shù)和。 FMMFQoy6-2 6-2 梁彎曲時的內(nèi)力梁彎曲時的內(nèi)力- -剪力與彎矩剪力與彎矩PBABRAR23計算橫截面上彎矩

10、的法則計算橫截面上彎矩的法則：凡是向上的外力，其矩取凡是向上的外力，其矩取正正值；值；凡是向下的外力，其矩取凡是向下的外力，其矩取負(fù)負(fù)值。值。梁上作用的力偶，截面左側(cè)順時針轉(zhuǎn)向或截面右梁上作用的力偶，截面左側(cè)順時針轉(zhuǎn)向或截面右側(cè)逆時針轉(zhuǎn)向的力偶取正值，反之取負(fù)值。側(cè)逆時針轉(zhuǎn)向的力偶取正值，反之取負(fù)值。6-2 6-2 梁彎曲時的內(nèi)力梁彎曲時的內(nèi)力- -剪力與彎矩剪力與彎矩注意注意:當(dāng)梁的跨度當(dāng)梁的跨度(兩支點間的距離兩支點間的距離)較大時，較大時，剪力相比于彎矩較小，在工程上可不考慮剪剪力相比于彎矩較小，在工程上可不考慮剪力的作用，只考慮彎矩。力的作用，只考慮彎矩。 6-3 6-3 剪力圖和彎矩

11、圖剪力圖和彎矩圖 梁橫截面上的剪力和彎矩，一般隨橫截面的位梁橫截面上的剪力和彎矩，一般隨橫截面的位置而變化，以坐標(biāo)置而變化，以坐標(biāo) x x 表示橫截面位置，則剪力和表示橫截面位置，則剪力和彎矩可表示為彎矩可表示為x x的函數(shù)：的函數(shù)： 分別分別稱為梁的剪力方程和彎矩方程稱為梁的剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖的作法剪力圖和彎矩圖的作法先求得梁的支座反力，列出剪力方程和彎矩方先求得梁的支座反力，列出剪力方程和彎矩方程，然后選擇適當(dāng)?shù)谋壤?，以程，然后選擇適當(dāng)?shù)谋壤?，以x x為橫坐標(biāo)，剪力為橫坐標(biāo)，剪力或彎矩為縱坐標(biāo)，按方程作圖。正的剪力或彎或彎矩為縱坐標(biāo)，按方程作圖。正的剪力或彎矩畫在矩畫在x x

12、的上方，負(fù)的畫在下方。的上方，負(fù)的畫在下方。)()(xMMxQQ 例例4-24-2：懸臂梁：懸臂梁ABAB，在自由端受集中力在自由端受集中力P P的作用，作剪力圖的作用，作剪力圖及彎矩圖及彎矩圖（1 1）列剪力方程和彎矩方程）列剪力方程和彎矩方程xlPABxxPAQMPxQ)(PxxM)(lx 0lx 0（2 2）作剪力圖和彎矩圖）作剪力圖和彎矩圖剪力不隨剪力不隨 X X 變化，為一常數(shù)，故變化，為一常數(shù)，故剪力圖為剪力圖為X X 軸下方一條直線；軸下方一條直線； 彎彎矩矩M M是是X X 的一次函數(shù)，故也是一條的一次函數(shù)，故也是一條直線，如右圖所示：直線，如右圖所示：彎矩在固定端有最大值，為

13、：彎矩在固定端有最大值，為：xpplPlMmax6-3 6-3 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖剪力圖彎矩圖221ql（-）QMqlmnx例例2 2、圖示一受均布載荷的懸、圖示一受均布載荷的懸臂梁，畫該梁剪力圖和彎矩臂梁，畫該梁剪力圖和彎矩圖。圖。2)xl (q212xl)xl (qMxqQ6-3 6-3 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖（-）ql32/32ql32/32qlBAl例例4 4、簡支梁受均布載荷作用試寫出、簡支梁受均布載荷作用試寫出剪力方程和彎矩方程，并畫出剪力圖和剪力方程和彎矩方程，并畫出剪力圖和彎矩圖。彎矩圖。解：解：1 1確定約束力確定約束力00，BAMMFAy FBy ql/22

14、 2寫出剪力與彎矩方程寫出剪力與彎矩方程yxCx lxqxqlxxM 02/2/23. 3. 依方程畫出剪力圖和彎矩圖。依方程畫出剪力圖和彎矩圖。Mx8/2ql 2ql2qlxQqxqlqxRxQA 2)()0(lx 剪力圖和彎矩圖可知：在靠近兩支座的橫剪力圖和彎矩圖可知：在靠近兩支座的橫截面上剪力的絕對值最大；在梁的中間橫截面上剪力的絕對值最大；在梁的中間橫截面上，剪力為零，彎矩最大。截面上，剪力為零，彎矩最大。6-3 6-3 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖BAlFAYFBY例例3 3、圖示簡支梁、圖示簡支梁 C C 點受集中力作用。試寫出剪力方程和點受集中力作用。試寫出剪力方程和彎矩方程，并

15、畫出剪力圖和彎矩圖。彎矩方程，并畫出剪力圖和彎矩圖。解：解：1 1確定約束力確定約束力00，BAMMF FAyAyFb/l F FByByFa/l2 2寫出彎矩方程寫出彎矩方程x2x13. 3. 依方程畫圖。依方程畫圖。 MxlFab/CFablFblFaQAC axlFbxxM 1110/ lFbRxQA ax 0CB lxalxlFaxM 222/ lFbRxQB lxa 6-3 6-3 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖 BAl例例5 5、圖示簡支梁、圖示簡支梁C C點受集中力偶作用。試寫出剪力和彎矩方程點受集中力偶作用。試寫出剪力和彎矩方程，并畫出剪力和彎矩圖。，并畫出剪力和彎矩圖。解：解：

16、1 1確定約束力確定約束力00，BAMMFAyM / l FBy -M / l2 2寫出剪力和彎矩方程寫出剪力和彎矩方程x2lMa/x1AC axlMxxM 1110/CB bxlMxxM 2220/3. 3. 依方程畫圖。依方程畫圖。lMb/CMab lMRxQA )0(lx 剪力方程剪力方程彎矩方程彎矩方程lM剪力圖和彎矩圖的內(nèi)在規(guī)律：剪力圖和彎矩圖的內(nèi)在規(guī)律：若梁上某段無均布載荷，則剪力圖為水平線，彎矩圖為斜直線；若梁上某段無均布載荷，則剪力圖為水平線，彎矩圖為斜直線；若梁上某段有均布載荷，則剪力圖為斜直線，彎矩圖為二次拋物線；若梁上某段有均布載荷，則剪力圖為斜直線，彎矩圖為二次拋物線；

17、若梁上有集中力，則在集中力作用處，剪力圖若梁上有集中力，則在集中力作用處，剪力圖 有突變，突變值即為該有突變，突變值即為該處集中力的大小，彎矩圖在此處有折角；處集中力的大小，彎矩圖在此處有折角；若梁上有集中力偶，則在集中力偶處，剪力圖無變化，而彎矩圖有突若梁上有集中力偶，則在集中力偶處，剪力圖無變化，而彎矩圖有突變，突變值即為該處集中力偶的力偶矩；變，突變值即為該處集中力偶的力偶矩；1.1. 在剪力在剪力Q=0Q=0的地方，彎矩取極值。的地方，彎矩取極值。xppllabPlpalpb2ql2ql82qllMolbMolaMo例例4-6：一外伸梁受均布載荷和集中力偶作用，如圖所示，：一外伸梁受均

18、布載荷和集中力偶作用，如圖所示， 作此梁的剪作此梁的剪力圖及彎矩圖。力圖及彎矩圖。解：(1)求支反力 由梁的平衡方程：MoRARB0,0qaRRYBA02, 022aRMMBOqaA得：KNRKNRBA15,35ABCDma1RBRAxMoma1ma1（2）作剪力圖（3）作彎矩圖15KN20KN15kN.m5kN.m10kN.mmKNq/20mKN 20 規(guī)律：規(guī)律：在梁上沒有分布載荷的地方，彎矩圖為一直線，在梁上沒有分布載荷的地方，彎矩圖為一直線，且一般為一傾斜直線。且一般為一傾斜直線。(2)(2)在有均布載荷的一段梁內(nèi)，彎矩圖為一拋物線。在有均布載荷的一段梁內(nèi)，彎矩圖為一拋物線。(3)(3)在集中力作用處，彎矩圖在此為一折角。在集中力作用處，彎矩圖在此為一折角。(4)(4)在集中力偶作用處，彎矩圖有突變，突變之值在集中力偶作用處，彎矩圖有突變，突變之值即為該處集中力偶之力偶矩。即為該處集中力偶之力偶矩。6-3 6-3 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖例例6 6、圖示外伸梁受載荷如圖所、圖示外伸梁受載荷如圖所示。已知示。已知q q和和a a值，值，試寫出彎矩方試寫出彎矩方程，并畫出彎矩圖。程，并畫出彎矩圖。aaaACBDqP=qaRARB解：解：1 1確定約束力確定約束力qaRqaPRRFqaRaqaaPaRFMABAyBByA410, 047025