高考數(shù)學(xué)圓錐曲線的經(jīng)典性質(zhì)50條

1、橢圓與雙曲線的對偶性質(zhì)-(必背的經(jīng)典結(jié)論)1. 點P處的切線PT平分PF1F2在點P處的外角.2. PT平分PF1F2在點P處的外角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點3.以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線相離.4.5.6.7.8.以焦點半徑PFi為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切.22若Po(xo,yo)在橢圓與十4=1上，則過F0的橢圓的切線方程是容十誓=1.abab22xy.若P0(x0,y0)在橢圓=十彳=1外，則過Po作橢圓的兩條切線切點為Pab22xy橢圓=+22=1(ab0)的左右焦點分別為F1,F2,點P為橢圓上任意一點a2b222xy橢圓

2、2+2=1(ab0)的焦半徑公式：abP2,則切點弦P1P2的直線方程是岑+0*=1.a2b2NF1PF2=不，則橢圓的焦點角形的面積為Safg=b2tan.29.|MF/=aex。,|MF21=a-ex（Fi（-c,0）,F2（c,0）MNy。）.設(shè)過橢圓焦點F作直線與橢圓相交P、Q兩點，A為橢圓長軸上一個頂點，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點F的橢圓準(zhǔn)線于M、N兩點,MFNF.10.過橢圓一個焦點F的直線與橢圓交于兩點P、Q,AA2為橢圓長軸上的頂點，AP和A2Q交于點M,A2P和A1Q交于點N,則MFXNF.11.AB是橢圓即Kab=22xy二十上2=1的不平行于對稱軸的弦,abb2x02

3、0aV。M(x0,y)為AB的中點，則koMkABb2154.5.6.7.8.c.2，S.1PF2 =bc0t 2.222212 .若P0(x0,y0)在橢圓占+與=1內(nèi)，則被Po所平分的中點弦的方程是=+誓=，+與.ababab222213 .若F0(x0,y0)在橢圓占十A=1內(nèi)，則過Po的弦中點的軌跡方程是X?+-y2=jXo2X+-y2y.ababab雙曲線1. 點P處的切線PT平分PF1F2在點P處的內(nèi)角.2. PT平分PF1F2在點P處的內(nèi)角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點3. 以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線相交.以焦點半徑PF1為直徑

4、的圓必與以實軸為直徑的圓相切.(內(nèi)切：P在右支；外切：P在左支)22xyx0xy0y若P0(x0,y0)在雙曲線二一一二1(a0,b0)上，則過P0的雙曲線的切線方程是-一=1.abab22若P0(x0,y0)在雙曲線*2*=1(a0,b0)外，則過Po作雙曲線的兩條切線切點為P1、F2，則切點弦P1P2的直線方程是兇段一102y=1.ababx2y2雙曲線=一%=1(a0,bo)的左右焦點分別為F1,F2,點P為雙曲線上任意一點NF1PF2=,則雙曲線的焦點角形的面積為abxy雙曲線下一式2=1(a0,bo)的焦半徑公式：(F1(-c,0),F2(c,0)ab當(dāng)M(x0,y0)在右支上時，|

5、MF11=ex0+a,|MF2|=ex0-a.當(dāng)M(x0,y)在左支上時，|MF1尸ex0+a,|MF2|=-ex0-a9.設(shè)過雙曲線焦點F作直線與雙曲線相交P、Q兩點，A為雙曲線長軸上一個頂點，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點F的雙曲線準(zhǔn)線于M、N兩點,10.11.12.13.1.2.3.貝UMFNF.過雙曲線一個焦點2XAB是雙曲線一2aF的直線與雙曲線交于兩點2yb2二1P、Q,AA2為雙曲線實軸上的頂點，AP和A2Q交于點(a0,b0)的不平行于對稱軸的弦，M(x0,y0)為AB的中點，則KOMM,A2P和AiQ交于點N,則MFXNF.Kab若P0(x0,y0)在雙曲線若P0(x0,y0

6、)在雙曲線b22X2ab22=1.過橢圓數(shù)).2Xa2X2a2十二12a=1b2(a0,b0)內(nèi)，則被Po所平分的中點弦的方程是X0X2X0.2.2bx01/bx0一，即Kabayay。2y02x(a0,b0)內(nèi)，則過Po的弦中點的軌跡萬程是2a橢圓與雙曲線的對偶性質(zhì)(會推導(dǎo)的經(jīng)典結(jié)論)高三數(shù)學(xué)備課組橢圓2,2-ab2_y_XXb22,2abyoyb2=1(abo)的兩個頂點為A1(-a,0),A2(a,0),與y軸平行的直線交橢圓于P1P2時A1Pl與A2P2交點的軌跡方程是24=1(a0,b0)上任一點A(X0,y0)任意作兩條傾斜角互補的直線交橢圓于B,C兩點,b則直線BC有定向且kBC

7、b2X0a2y0(常22xy右P為橢圓一2*2=1(ab0)上異于長軸端點的任一點，F(xiàn)1,F2是焦點，PF1F2a,PF2F1aba-c,貝U=tancot.ac22224.設(shè)橢圓.十2=1(ab0)的兩個焦點為F1、F2,P(異于長軸端點)為橢圓上任意一點，在PF1F2中，記上F1PF2=aab5.6.7.8.9.10.11.Psin工，/FiF2P=,則有一ssin-sin22xy,八，若橢圓+2T=1(ab0)的左、右焦點分別為ab準(zhǔn)線距離d與PF2的比例中項.C一=e.aF1、F2,左準(zhǔn)線為L,則當(dāng)0b0)上任一點，F(xiàn)1,F2為二焦點，a為橢圓內(nèi)一定點，則2a|AF2|E|PA|十|P

8、F11M2a+|AF1|,當(dāng)且僅當(dāng)A,F2,Pab三點共線時，等號成立.(x-Xo)22a2x已知橢圓a的最大值為2x過橢圓a(y-y0)2_.222,22+mI與直線Ax+By+C=0有公共點的充要條件是Aa+Bb(Axo+Byo+C).b22b24a2b2=1(ab0),O為坐標(biāo)原點，P、Q為橢圓上兩動點，且OP_LOQ.(1)2+2|OP|OQ|OP|2+|OQ|22,2ab22b2;(3)SmPQ的最小值是a.a2b22=1(ab0)的右焦點F作直線交該橢圓右支于M,N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于P,則x已知橢圓a設(shè)P點是橢圓b2=1(ab0),A、B、是橢圓上的兩點，線段AB的垂

9、直平分線與x軸相交于點P(X0,0),則|PF|二.|MN|22,2a-b-:二Xoa2,2a-bb0)上異于長軸端點的任一點，F(xiàn)i、F2為其焦點記/F1PF2，則(i)|PFi|PF2|=ab2b2.(2)1cos-12.c，2，S.PF1F2=btan2.22xy設(shè)A、B是橢圓f+J=1（ab0）的長軸兩端點，P是橢圓上的一點，/PAB=c（,NPBA=P,2BPA=,c、a2b2e分別是橢圓的2ab21cos:|一o2a2b2半焦距曷心率，則有（1）|PA|=-22.（2）tan：tan-=1-e.（3）SPAB=2cota-ccosb-a22xy13.已知橢圓一十3=1（ab0）的右準(zhǔn)

10、線l與x軸相交于點E,過橢圓右焦點F的直線與橢圓相交于A、B兩點，點C在右7i線lab上，且BC-Lx軸，則直線AC經(jīng)過線段EF的中點.14 .過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點與相應(yīng)焦點的連線必與切線垂直15 .過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.16.橢圓焦三角形中，內(nèi)點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù)e（離心率）.（注：在橢圓焦三角形中，非焦頂點的內(nèi)、外角平分線與長軸交點分別稱為內(nèi)、外點.）17 .橢圓焦三角形中，內(nèi)心將內(nèi)點與非焦頂點連線段分成定比e.18 .橢圓焦三角形中，半焦距必為內(nèi)、外

11、點到橢圓中心的比例中項橢圓與雙曲線的對偶性質(zhì)（會推導(dǎo)的經(jīng)典結(jié)論）高三數(shù)學(xué)備課組雙曲線1.2x雙曲線一2-ay，,丁=1(a0,b0)的兩個頂點為b2A(a,0),A2(a,0),與y軸平行的直線交雙曲線于R、P2時A滬1與A2P2交點的軌跡方X程是今=1.2.過雙曲線2,2ab=1(a0,bo)上任一點A(X0,丫0)任意作兩條傾斜角互補的直線交雙曲線于B,C兩點，則直線BC有定向且3.4.5.kBC=b2Xg2ay。(常數(shù)).若P為雙曲線b2=1(a0,b0)右(或左)支上除頂點外的任一點,F1,F2是焦點,/PF1F2=,F2F1=P，則c-a=tancot22(或ca設(shè)雙曲線2,2ab=

12、tancot(a0,b0)/PF1F2=P/F1F2P=L則有的兩個焦點為FF2,P(異于長軸端點)為雙曲線上任意一點,PF1F2中，記FFF2=:-(sin-sin：)c一二e.a22xy/若雙曲線2一了=1(a0,b0)的左、右焦點分別為abF1、F2,左準(zhǔn)線為L,則當(dāng)10,b0)上任一點，F(xiàn)i,F2為二焦點，A為雙曲線內(nèi)一te點,ab則|AF2|-2aW|PA|+|PF1|,當(dāng)且僅當(dāng)A,F2,PP和A,F2在y軸同側(cè)時，等號成立.雙曲線一2一已知雙曲線b22xa2b1(a0,b0)與直線Ax+By+C=0有公共點的充要條件是=1(ba0),O為坐標(biāo)原點，P、Q為雙曲線上兩動點，且A222

13、,22Aa-Bb-C.OP_OQ.|OP|2|OQ|212a14a2b2)；(2)|OP|2+|OQ|2的取小值為-;(3)b2b2-a2S&PQ的最小值是2,2ab22.b-a22xy過雙曲線-2ab22、xy已知雙曲線一22ab2.2abXq.設(shè)p點是雙曲線SPF1F2=1(a0,b0)的右焦點F作直線交該雙曲線的右支于=1(a0,b0),A、B是雙曲線上的兩點，線段ABM,N兩點，弦MN的垂直平分線與x|PF|e的垂直平分線交x軸于P,則JL=一.|MN|22,2ab軸相交于點P(x0,0),貝Ux02或a2x2aY=b2cot.設(shè)A、B是雙曲線一2a22y2b22=1(a0,b0)上異

14、于實軸端點的任一點，F(xiàn)F2為其焦點記/F1PF2=日,則(1)|PF1|PF2|=.(2)b1-cos-2y2=1(a0,b0)的長軸兩端點，P是雙曲線上的一點，/PAB=a,2PBA=P/BPA=,c、e分別b213.14.2,.,是雙曲線的半焦距離心率，則有(1)pa=2ab12cos2|a-ccos|tan二tan：=1-e2.(3)Spab2,22ab,22COtba22xy.一-已知雙曲線2-=1（a0,b0）的右準(zhǔn)線l與x軸相交于點E,過雙曲線右焦點F的直線與雙曲線相交于A、B兩點，點C在右準(zhǔn)線abl上，且BC_LX軸，則直線AC經(jīng)過線段EF的中點.過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相