利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖像-曲線的繪制

1、第四節(jié) 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖像 曲線的繪制主要內(nèi)容：一、函數(shù)的凸凹性二、利用導(dǎo)數(shù)繪制函數(shù)的圖像 在研究函數(shù)特性時(shí)往往需要在研究函數(shù)特性時(shí)往往需要知道函數(shù)的直觀圖形，利用函知道函數(shù)的直觀圖形，利用函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)可以繪制數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)可以繪制出函數(shù)的較精細(xì)的圖形出函數(shù)的較精細(xì)的圖形. .本節(jié)將本節(jié)將研究這個(gè)問(wèn)題研究這個(gè)問(wèn)題. .一、曲線彎曲方向凹凸性觀察右圖：觀察右圖：xyo)(xfy )0(fx 當(dāng)當(dāng) 從從小小變變大大時(shí)時(shí)，也也從從小小變變大大. .( )xfx ( )f x 的的圖圖像像為為凹凹弧弧單單調(diào)調(diào)增增加加( )f x 切線的斜率切線的斜率越來(lái)越大越來(lái)越大觀察右圖：觀察右圖：

2、xyo)(xfy )0(fx ( )xfx 當(dāng)當(dāng) 從從小小變變大大時(shí)時(shí)，從從大大變變小小. .( )f x 的的圖圖像像為為凸凸弧弧單單調(diào)調(diào)減減少少( )fx 切線的斜率越切線的斜率越來(lái)越小來(lái)越小例例判判斷斷曲曲線線的的凹凹凸凸性性31.yx 解解當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，0 x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，0 x 0,) 曲曲線線在在為為凹凹的的. .(0,0).注注意意到到點(diǎn)點(diǎn)是是曲曲線線由由凸凸變變凹凹的的分分界界點(diǎn)點(diǎn)(,0 曲曲線線在在為為凸凸的的；23,yx 6 ,yx :(,).D 0,y 0,y 凸凸弧弧凹凹弧弧3yx ( ),( ).yf xPPLLyf x 當(dāng)當(dāng)曲曲線線上上的的一一動(dòng)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)沿沿著著曲曲線線移移

3、向向無(wú)無(wú)窮窮點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí) 如如果果點(diǎn)點(diǎn)到到某某定定直直線線 的的距距離離趨趨向向于于那那么么直直線線就就稱稱為為曲曲線線的的一一條條定定義義 零零漸漸近近線線二、利用導(dǎo)數(shù)繪制函數(shù)的圖像、曲曲線線的的漸漸近近線線1曲曲線線的的漸漸近近線線鉛鉛直直漸漸近近線線水水平平漸漸近近線線斜斜漸漸近近線線()x垂垂直直于于軸軸的的鉛鉛漸漸近近線線漸漸近近線線直直 如如果果或或那那么么就就是是的的一一條條鉛鉛直直漸漸近近線線000lim( )lim( )( ).xxxxf xf xxxyf x 水水平平漸漸近近線線 平平行行于于軸軸的的漸漸近近線線()x 如如果果或或?yàn)闉槌３?shù)數(shù) 那那么么就就是是的的一一條條水水

4、平平漸漸近近線線lim( )lim( )()( ).xxf xbf xb bybyf x 例例如如有有兩兩條條鉛鉛直直漸漸近近線線1(2)(3)2,3.yxxxx 兩條兩條鉛鉛直漸近直漸近線線有有兩兩條條水水平平漸漸近近線線arctan,.22yxyy 如如果果或或?yàn)闉槌３?shù)數(shù)那那么么就就是是的的一一條條斜斜漸漸近近線線lim ( )()0lim ( )()0( ,)( ).xxf xaxbf xaxba byaxbyf x 斜漸近線斜漸近線求法求法: :( )lim,lim ( ).xxf xaf xaxbx即即為為曲曲線線的的一一條條斜斜漸漸近近線線( ).yaxbyf x 斜斜漸漸近近線

5、線( )lim( )lim,lim ( ),( ).xxxf xxf xaxf xaxyf x 注注意意： 如如果果不不存存在在， 或或存存在在但但不不存存在在 可可以以斷斷定定不不存存 在在斜斜漸漸近近線線 例例求求曲曲線線的的漸漸近近線線2(2)(3)2( ).1xxf xx 解解 函函數(shù)數(shù)的的定定義義域域?yàn)闉?(,1)(1,),D 112(2)(3)lim( )lim,1xxxxf xx 曲曲線線的的漸漸近近線線鉛鉛直直漸漸近近線線水水平平漸漸近近線線斜斜漸漸近近線線提示與分析：提示與分析：定義域不存在的點(diǎn)定義域不存在的點(diǎn)自變量趨向無(wú)窮遠(yuǎn)自變量趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處，函數(shù)的極限處，函數(shù)的極限斜漸近

6、線與水平漸近斜漸近線與水平漸近線不會(huì)同時(shí)出現(xiàn)線不會(huì)同時(shí)出現(xiàn)112(2)(3)lim( )lim.1xxxxf xx 2(2)(3)lim2 1xxxxx 2(2)(3)2 (1)lim1xxxx xx 又又( )limxf xx .1x 是是曲曲線線的的鉛鉛直直漸漸近近線線24.yx是是曲曲線線一一條條斜斜漸漸近近線線的的2(2)(3)lim(1)xxxx x2, 4, 通分通分412lim1xxx 的的兩兩條條漸漸近近線線如如圖圖2(2)(3)( )1xxf xx 、利利用用導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)繪繪制制函函數(shù)數(shù)的的圖圖像像2圖形描繪的步驟：圖形描繪的步驟：(1)(2)(3)(4)確確定定函函數(shù)數(shù)的的定定

7、義義域域；考考察察函函數(shù)數(shù)的的對(duì)對(duì)稱稱性性、周周期期性性；求求函函數(shù)數(shù)的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)、不不可可導(dǎo)導(dǎo)點(diǎn)點(diǎn)，把把定定義義域域分分成成若若干干個(gè)個(gè)子子區(qū)區(qū)間間；列列表表討討論論函函數(shù)數(shù)在在各各個(gè)個(gè)凸凸駐駐子子區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)的的增增減減性性、性性，判判斷斷極極值值點(diǎn)點(diǎn)凹凹點(diǎn)點(diǎn)和和拐拐點(diǎn)點(diǎn)；確確定定曲曲線線的的漸漸近近線線；求求曲曲線線上上的的一一些些輔輔助助點(diǎn)點(diǎn)，比比如如與與坐坐標(biāo)標(biāo)軸軸的的交交點(diǎn)點(diǎn)；根根據(jù)據(jù)以以上上討討論論，從從左左到到右右，把把曲曲線線上上的的特特殊殊點(diǎn)點(diǎn)用用平平滑滑曲曲線線連連接接起起來(lái)來(lái)，完完成成作作圖圖(5)(6)(7).( )x ( )0,0,xx 駐駐點(diǎn)點(diǎn)令令得得 例例作

8、作函函數(shù)數(shù)e e的的圖圖形形23( ).xx 解解 定定義義域域?yàn)闉?(,),D 函函數(shù)數(shù)為為偶偶函函數(shù)數(shù)，令令得得特特殊殊點(diǎn)點(diǎn)( )0,22,22.xxx 只只需需做做的的函函數(shù)數(shù)圖圖像像，(0,) ( )x e e22,xx e e2()x eeee22224.xxx e e2( 2)xx e e得得水水平平漸漸近近線線2lim ( )lim0,. 0 xxxxy 列列表表確確定定單單調(diào)調(diào)區(qū)區(qū)間間、凹凹凸凸區(qū)區(qū)間間及及極極值值、拐拐點(diǎn)點(diǎn).x( )x ( )x ( )x 002 極極大大值值12(0,)2 220 拐拐點(diǎn)點(diǎn)e e21(,)22(,)2 凸凸凹凹e ee ee ee e2222

9、22( )2,( )242(21).xxxxxxxxx xyo2222 1三、應(yīng)用舉例這這是是一一道道關(guān)關(guān)于于最最大大、最最小小值值的的應(yīng)應(yīng)用用題題.例例已已知知某某廠廠生生產(chǎn)產(chǎn) 件件產(chǎn)產(chǎn)品品的的成成本本為為 元元 ，問(wèn)問(wèn)：若若使使平平均均成成本本最最小小，應(yīng)應(yīng)該該生生產(chǎn)產(chǎn)多多少少件件產(chǎn)產(chǎn)品品？若若產(chǎn)產(chǎn)品品以以每每件件元元售售出出，要要使使利利潤(rùn)潤(rùn)最最大大，應(yīng)應(yīng)該該生生產(chǎn)產(chǎn)多多少少件件產(chǎn)產(chǎn)品品？24( )25000200()40(1)(2)500 xxC xx 先先建建立立目目標(biāo)標(biāo)函函數(shù)數(shù)，然然后后再再用用求求最最值值的的方方法法求求出出未未知知量量. .提示與分析：提示與分析：解解由由得得2

10、(1)( )25000200,40 xC xxd d因因而而d dCx 平平均均成成本本250( )2000040 xC xx() 225000,140 x 舍去舍去d d令令得得d d0,Cx 故故生生產(chǎn)產(chǎn)件件產(chǎn)產(chǎn)品品可可使使平平均均成成本本最最小小1000.或或10001000.xx 唯一唯一駐點(diǎn)駐點(diǎn)利利潤(rùn)潤(rùn)函函數(shù)數(shù)(2)( )L x d d由由得得d d30006000,20Lxxx故故生生產(chǎn)產(chǎn)件件產(chǎn)產(chǎn)品品，可可使使利利潤(rùn)潤(rùn)最最大大6000.2(25000200)40 xx500 x總總收收入入成成本本唯一唯一駐點(diǎn)駐點(diǎn)函數(shù)的增減性函數(shù)的增減性最值問(wèn)題最值問(wèn)題例例心心理理學(xué)學(xué)研研究究表表明明，小小學(xué)學(xué)生生對(duì)對(duì)概概念念的的接接受受能能力力即即學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)興興趣趣、注注意意力力、理理解解力力的的某某種種量量度度 隨隨時(shí)時(shí)間間 的的變變化化規(guī)規(guī)律律為為問(wèn)問(wèn) 為為何何值值時(shí)時(shí)學(xué)學(xué)生生學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)興興趣趣增增加加或或減減退退？何何時(shí)時(shí)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)興興趣趣最最大大？25()( )0.12.6430,30.GtG ttttt 解解( )0.22.60.2(13),G ttt 所所以以是是的的最最大大值值13( ).xG t 13. 可可見(jiàn)見(jiàn)講講課課開(kāi)開(kāi)始始后后第第分分鐘鐘時(shí)時(shí)小小學(xué)學(xué)生生興興趣趣最最大大 在在此此時(shí)時(shí)刻刻之