小學(xué)五年級奧數(shù)講義教師版30講全

1、小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（五年級）第1講數(shù)字迷（一）第2講 數(shù)字謎（二）第3講 定義新運算（一）第4講 定義新運算（二）第5講 數(shù)的整除性（一）第6講 數(shù)的整除性（二）第7講 奇偶性（一） 第8講 奇偶性（二） 第9講 奇偶性（三） 第10講 質(zhì)數(shù)與合數(shù) 第11講 分解質(zhì)因數(shù) 第12講 最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)（一） 第13講最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)（二） 第14講 余數(shù)問題第15講 孫子問題與逐步約束法第16講 巧算24第17講 位置原則 第18講 最大最小 第19講 圖形的分割與拼接 第20講 多邊形的面積第21講 用等量代換求面積 第22講用割補法求面積 第23講列方程解應(yīng)用題 第24講 行程問題（

2、一） 第25講 行程問題（二） 第26講 行程問題（三） 第27講 邏輯問題（一）第28講 邏輯問題（二）第29講 抽屜原理（一）第30講 抽屜原理（二）第1講數(shù)字謎（一）數(shù)字謎的內(nèi)容在三年級和四年級都講過， 同學(xué)們已經(jīng)掌握了不少方法。例如用猜想、拼湊、排除、 枚舉等方法解題。數(shù)字謎涉及的知識多，思考性強，所以很能鍛煉我們的思維。這兩講除了復(fù)習(xí)鞏固學(xué)過的知識外， 還要講述數(shù)字謎的代數(shù)解法及小數(shù)的除法豎式問題。例 1 把+, -,X,寧四個運算符號，分別填入下面等式的。內(nèi)，使等式成立（每個運算符號只準使 用一次）：（501307）0（1709）=12。分析與解：因為運算結(jié)果是整數(shù)，在四則運算中只

3、有除法運算可能出現(xiàn)分數(shù)，所以應(yīng)首先確定 “十”的位置。當“寧”在第一個O內(nèi)時，因為除數(shù)是 13,要想得到整數(shù)，只有第二個括號內(nèi)是 13 的倍數(shù), 此時只有下面一種填法，不合題意。（5- 13-7）X（17+9）。當“寧”在第二或第四個O內(nèi)時，運算結(jié)果不可能是整數(shù)。 當“十”在第三個O內(nèi)時，可得下面的填法：（5+13X7）-（ 17-9） =12。例 2 將 19 這九個數(shù)字分別填入下式中的中，使等式成立： 口口乂 口=* =5568。解：將 5568 質(zhì)因數(shù)分解為 5568=2X3X29。由此容易知道，將 5568 分解為兩個兩位數(shù)的乘積 有兩種：58X96 和 64X87,分解為一個兩位數(shù)與

4、一個三位數(shù)的乘積有六種：12X464,16X348,24X232,29X192,32X174,48X116。顯然，符合題意的只有下面一種填法：174X32=58X96=556& 例 3 在 443 后面添上一個三位數(shù)，使得到的六位數(shù)能被573 整除。分析與解：先用 443000 除以 573,通過所得的余數(shù)，可以求出應(yīng)添的三位數(shù)。由443000-573=77371推知，443000+ （573-71 ） =443502 一定能被 573 整除，所以應(yīng)添 502。例 4 已知六位數(shù) 33口 44 是 89 的倍數(shù)，求這個六位數(shù)。分析與解：因為未知的數(shù)碼在中間，所以我們采用兩邊做除法的方法求解。先

5、從右邊做除法。由被除數(shù)的個位是 4,推知商的個位是 6;由左下式知，十位相減后的差是 1, 所以商的十位是 9。這時，雖然 89X96=8544,但不能認為六位數(shù)中間的兩個內(nèi)是 85,因為還 沒有考慮前面兩位數(shù)。9 9 6 68 8 5JCO45JCO4 4 45 5 3 3 4 48 8 0 0 1 1再從左邊做除法。如右上式所示，a 可能是 6 或 7,所以 b 只可能是 7 或&由左、右兩邊做除法的商，得到商是 3796 或 3896。由 3796X89=337844, 3896X89=346744 知，商是 3796,所求六位數(shù)是 337844。例 5 在左下方的加法豎式中，不同的字母

6、代表不同的數(shù)字，相同的字母代表相同的數(shù)字，請你用適 當?shù)臄?shù)字代替字母，使加法豎式成立。FORTYTEN + TENSIXTY分析與解：先看豎式的個位。由 Y+N+N=Y Y+ 10,推知 N 要么是 0,要么是 5。如果 N=5,那么 要向上進位，由豎式的十位加法有 T+E+E+仁或 T+10,等號兩邊的奇偶性不同，所以 NM5, N=Q 此時，由豎式的十位加法T+E+E=T 或 T+10, E 不是 0 就是 5,但是 N=0,所以 E=5豎式千位、萬位的字母與加數(shù)的千位、萬位上的字母不同，說明百位、千位加法都要向上進位。因為 N=0,所以 I 工 0,推知 1=1 , 0=9,說明百位加法

7、向千位進 2。再看豎式的百位加法。因為十位加法向百位進1,百位加法向千位進 2,且 XM0 或 1,所以 R+T+T+P22,再由 R, T 都不等于 9 知，T 只能是 7 或&29786850 +85031486第1講數(shù)字謎（一）若 T=7,則 R=8, X=3,這時只剩下數(shù)字 2, 4, 6 沒有用過，而 S 只比 F 大 1, S, F 不可能是 2, 4, 6中的數(shù)，矛盾。第2講數(shù)字謎（二）若 T=8,則 R 只能取 6 或 7。R=6 時，X=3,這時只剩下 2,4, 7,同上理由，出現(xiàn)矛盾；R=7 時,X=4,剩下數(shù)字 2, 3, 6,可取 F=2, S=3,丫=&所求豎式見上頁

8、右式。解這類題目，往往要找準突破口，還要整體綜合研究，不能想一步填一個數(shù)。這個題目是美國數(shù) 學(xué)月刊上刊登的趣題，豎式中從上到下的四個詞分別是 40 , 10 , 10 , 60 ,而 40+10+10 正好是 60,真是巧極了！例 6 在左下方的減法算式中，每個字母代表一個數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)字。請你填上適當 的數(shù)字，使豎式成立。107021070310704ABCBDEFAG-98 H- 9 皿 二 9816_ EEAG + FFFggg 8S88S8FFFABCBD分析與解：按減法豎式分析，看來比較難。同學(xué)們都知道，加、減法互為逆運算，是否可以把減 法變成加法來研究呢(見右上式)？

9、不妨試試看。因為百位加法只能向千位進 1,所以 E=9, A=1, B=0b如果個位加法不向上進位，那么由十位加法 1+F=10,得 F=9,與 E=9 矛盾，所以個位加法向上 進 1,由 1+F+1=1Q 得到 F=8,這時 C=7。余下的數(shù)字有 2, 3, 4, 5, 6,由個位加法知，G 比 D 大 2,所以 G, D分別可取 4, 2 或 5, 3 或 6, 4。所求豎式是解這道題啟發(fā)我們，如果做題時遇到麻煩，不妨根據(jù)數(shù)學(xué)的有關(guān)概念、法則、定律把原題加以變 換，將不熟悉的問題變?yōu)槭煜さ膯栴}。另外，做題時要考慮解的情況，是否有多個解。練習(xí) 11. 在一個四位數(shù)的末尾添零后，把所得的數(shù)減去

10、原有的四位數(shù)，差是621819,求原來的四位數(shù)。解：621819-( 100-1 ) = 6281。2. 在下列豎式中，不同的字母代表不同的數(shù)字，相同的字母代表相同的數(shù)字。請你用適當?shù)臄?shù)字代替字母，使豎式成立：(1)A B (2) A B A B+ B C A - A C A _A B CB A A C5 48 7 8 T+4 9 5E 9 85 4 97 6 8 9(1) 由百位加法知，A=B+1 再由十位加法 A+C=B+10 推知 C=9,進而得到 A=5, B=4 (見上右式)(2) 由千位加法知 B=A-1，再由個位減法知 C=Q 因為十位減法向百位借 1,百位減法向千位借 1,所以

11、百位減法是(10+B-1) -A=A,化簡為 9+B=2A 將 B=A-1 代入，得 A=8, B=7 (見右上式)。3. 在下面的算式中填上括號，使得計算結(jié)果最大：1 2 3 4 5 6 7 8 9。解：1-( 2-3- 4- 5-6 -7 -8 -9) =90720。4. 在下面的算式中填上若干個()，使得等式成立：1-2-3-4-5-6-7-8-9=2.8。解：1-( 2-3)- 4-( 5-6-7-8)- 9=2.8。提示*因為2,2蘭I而1必須在分子上，2必須在分母上，即器乂耳，剩下的3, 4, 6, 8, 9,五個數(shù)填在耳中，應(yīng)使*4只有3X6X51X3X6X7X3F一種埴法。由2

12、X4X5X9=28可侍答案。5.將 19 分別填入下式的中，使等式成立： *口=* =3634。提示：3634=2X23X79。46X79= 23X158= 3634。6. 六位數(shù) 391 是 789 的倍數(shù)，求這個六位數(shù)。提示：仿照例 3。391344。7. 已知六位數(shù) 7口 888 是 83 的倍數(shù)，求這個六位數(shù)。提示：仿例 4,商的后 3 位是 336,商的第一位是 8 或 9。774888。這一講主要講數(shù)字謎的代數(shù)解法及小數(shù)的除法豎式問題。例 1 在下面的算式中，不同的字母代表不同的數(shù)字，相同的字母代表相同的數(shù)字，求abcde.labcdex3=abcde1分析與解：這道題可以從個位開

13、始，比較等式兩邊的數(shù)，逐個確定各個字母所代表的數(shù)碼?，F(xiàn) 在，我們從另一個角度來解。labcde 與 abcdel 只是 1 所在的位置不同，設(shè) x=abcde 則算式變?yōu)椋?00000+x）x3=10 x+1,300000+3x=10 x+1,7x=299999,x=42857。這種代數(shù)方法干凈利落，比用傳統(tǒng)方法解簡潔。我們再看幾個例子。例 2 在內(nèi)填入適當?shù)臄?shù)字，使左下方的乘法豎式成立。 1 24x8 1x8 1 1 24 口99 2_ 1 0 044解：設(shè)被乘數(shù)為壯由&9的知袈10000知 Q求豎式。37,1口善。因為誥是整數(shù)，所以汁12軋右上式為所例 3 左下方的除法豎式中只有一個 8,

14、請在內(nèi)填入適當?shù)臄?shù)字，使除法豎式成立解：豎式中除數(shù)與 8 的積是三位數(shù)，而與商的百位和個位的積都是四位數(shù)，所以衙為跑 9。設(shè)除數(shù)為梟由如 玉1000 知心 由豎式特點知，除Jij ：;,；-. I.j廠、J 好肚數(shù)，所以 x=112,被除數(shù)為 989x112=110768 右上式為所求豎式。代數(shù)解法雖然簡潔，但只適用于一些特殊情況，大多數(shù)情況還要用傳統(tǒng)的方法。例 4 在內(nèi)填入適當數(shù)字，使下頁左上方的小數(shù)除法豎式成立。分析與解：先將小數(shù)除法豎式化為我們較熟悉的整數(shù)除法豎式（見下頁右上方豎式）?？梢钥闯觯龜?shù)與商的后三位數(shù)的乘積是 1000=23x53的倍數(shù)，即除數(shù)和商的后三位數(shù)一個是 23=8

15、的 倍數(shù)，另一個是 53=125 的奇數(shù)倍，因為除數(shù)是兩位數(shù)，所以除數(shù)是 8 的倍數(shù)。又由豎式特點知 a=9,從而除數(shù)應(yīng)是 96 的兩位數(shù)的約數(shù)，可能的取值有 96, 48, 32, 24 和 16。因為，c=5, 5 與除數(shù)的乘積仍是兩位數(shù)，所以除數(shù)只能是 16,進而推知 b=6。因為商的后 三位數(shù)是 125 的奇數(shù)倍，只能是 125, 375, 625 和 875 之一，經(jīng)試驗只能取 375。至此，已求 出除數(shù)為16,商為 6.375，故被除數(shù)為 6.375x16=102。上頁右式即為所求豎式。求解此類小數(shù)除法豎式題，應(yīng)先將其化為整數(shù)除法豎式，如果被除數(shù)的末尾出現(xiàn)n 個 0,則在除數(shù)和商中

16、，一個含有因子 2n（不含因子 5）,另一個含有因子 5n（不含因子 2）,以此為突破 口即可求解。例 5 一個五位數(shù)被一個一位數(shù)除得到下頁的豎式（1）,這個五位數(shù)被另一個一位數(shù)除得到下頁的豎 式（2）,求這個五位數(shù)。 8DnonnnuIX口989112)1107681008996896100S1008例4二二二bDDc6375 0口 0 0二口0-皿0120112第2講數(shù)字謎（二）分析與解：由豎式（1）可以看出被除數(shù)為 10*0 （見豎式（1），豎式（1）的除數(shù)為 3 或9。在豎式（2）中，被除數(shù)的前兩位數(shù) 10 不能被整數(shù)整除，故除數(shù)不是 2 或 5,而被除數(shù)的 后兩位數(shù)*0 能被除數(shù)整除

17、，所以除數(shù)是 4, 6 或 8。當豎式（1）的除數(shù)為 3 時，由豎式（1） 知，a=1 或2,所以被除數(shù)為 100*0 或 101*0，再由豎式（2）中被除數(shù)的前三位數(shù)和后兩 位數(shù)分別能被除數(shù)整除，可得豎式（2）的除數(shù)為 4,被除數(shù)為 10020;當豎式（1）的除數(shù)為 9 時，由能被 9 整除的數(shù)的特征，被除數(shù)的百位與十位數(shù)字之和應(yīng)為 & 因為豎式（2）的除數(shù)只能是 4, 6, 8,由豎式（2）知被除數(shù)的百位數(shù)為偶數(shù)，故被除數(shù)只有 10080, 10260，10440 和 10620 四種可能，最后由豎式（2）中被除數(shù)的前三位數(shù)和后兩位數(shù)分別能被除 數(shù)整除，且十位數(shù)不能被除數(shù)整除，可得豎式（2

18、）的除數(shù)為 8,被除數(shù)為 10440。所以這個五位數(shù)是 10020 或 10440。練習(xí) 21.下面各算式中，相同的字母代表相同的數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)字，求岀abcdabccyz：（1） labcdX 3 = abcd5;（2）7 X abcxyz 6X xyzabco答案(1)4285；(2)461538。汀“*丁. ：”，.：打,7X(10OOA+ B)=6X(10OOB + A),化簡后得 538A=461B 由于 538 與 461 互質(zhì)，且 A, B 均為三位數(shù)，所以 A=461, B= 538。所求六位數(shù)是 461538。用代數(shù)方法求解下列豎式：3.在內(nèi)填入適當?shù)臄?shù)字，使下

19、列小數(shù)除法豎式成立: 8 7. . ) . ) . 口口 8 口口0 00答案(1) 124X8 仁 10044;( 2) 117684- 12= 9807。所以 a=12o提示： (1)設(shè)被乘數(shù)為 a,由 8a 10000,推知,.-所以 a=124。8 （2）根據(jù)豎式特點知，商是9807。設(shè)除數(shù)是 a,根據(jù)豎式特點由 8av100, 9a 100,推知5*)*蕈憲童歡-童躍P(I)1_*)10*091*_辛軌*JK*2.) 口 3.答案（1）先將豎式化為整數(shù)除法豎式如左下式：易知 f=2 , g=0;由 g=0 知 b, d 中有一個是 5,另一個是偶數(shù)而 f= 2,所以 b= 5,進而推

20、知 d= 6 ;再由 d= 6 , f= 2 知 a= 2 或 7,而 e=3 或 4,所以 a=7;最后求出 c=5。見上頁右下式。（2）先將除法豎式化為整數(shù)除法豎式如左下式：由豎式特點知b=c=0；因為除數(shù)與 d 的乘積是 1000的倍數(shù)， d 與 e 都不為 0,所以 d 與除數(shù)中必分別含有因子 23和 52， 故 d=8,除數(shù)是 125 的奇數(shù)倍，因此 e=5;又 f 工 0, e= 5，所以 f=g=5 ;由 g=5, d=8 得到除數(shù)為 5000- 8=625,再由 625Xa 是三位 數(shù)知 a=1,所以被除數(shù)為 625X1008=630000,所求豎式見右上式。第3講定義新運算(

21、我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過加、減、乘、除運算，這些運算，即四則運算是數(shù)學(xué)中最基本的運算，它們的意 義、符號及運算律已被同學(xué)們熟知。 除此之外，還會有什么別的運算嗎？這兩講我們就來研究這個問 題。這些新的運算及其符號，在中、小學(xué)課本中沒有統(tǒng)一的定義及運算符號，但學(xué)習(xí)討論這些新運算,對于開拓思路及今后的學(xué)習(xí)都大有益處。例 1 對于任意數(shù) a，b，定義運算“ *”： a*b=axb-a-b。求 12*4 的值。分析與解：根據(jù)題目定義的運算要求，直接代入后用四則運算即可。12*4=12X4-12-4=48-12-4=32。亠 亠 心亠+斗1山丄A1根據(jù)以上的規(guī)定，求例2已知 aAb 表示日的 23 倍減去 b 的

22、例如；1A2 = 1X3-2X_ =2O由上面三例看出，定義新運算通常是用某些特殊符號表示特定的運算意義。新運算使用的符號應(yīng)避免使用課本上明確定義或已經(jīng)約定俗成的符號，如+, -,X,寧，V,等，以防止發(fā)生混淆，而表示新運算的運算意義部分， 應(yīng)使用通常的四則運算符號。 如例1中， a*b=axb-a-b ,新運算符號使 用“ * ”，而等號右邊新運算的意義則用四則運算來表示。因為於(j0|)沒有械重新定義，所以其意義與四則運算中的意義相同，即先進行小括號中的運算，再進行小括號外面的運算至右進行運算例3對于如b, c, d,規(guī)定 5b, c, d=2ab-o己知“2,3 ，x=2，求 x 的值分

23、析與解：按照定義的運算,=2,x=6例仏 戰(zhàn)示兩個數(shù)MaOb = 2420（-0 ?分析與解：按新運算的定義，符號3 1 1（2）-QOx = -,求x = ?462表示求兩個數(shù)的平均數(shù)。役有掖重新定義，所以其意義與按通常的規(guī)則從左10A6 的值由(討)+2冷，解衛(wèi)=卸例5規(guī)定I42=4+4423二2+22+222f14=1+11+111+1111 o求35二？分析與解： 從已知的三式來看， 運算“總”表示幾個數(shù)相加， 每個加數(shù)各數(shù)位上的數(shù)都是符號前面 的那個數(shù)，而符號后面的數(shù)是幾，就表示幾個數(shù)之和，其中第1 個數(shù)是 1 位數(shù)，第 2 個數(shù)是 2 位數(shù)，第 3 個數(shù)是 3 位數(shù)按此規(guī)定，得 3

24、 粘 5=3+33+333+3333+33333=37035從例 5 知，有時新運算的規(guī)定不是很明顯，需要先找規(guī)律，然后才能進行運算。例 6 對于任意自然數(shù)，定義：n! =1X2Xxn。例如 4 ! =1X2X3X4。那么 1! +2! +3! +100!的個位數(shù)字是幾？分析與解：1! =1，2!=1X2=2，3!=1X2X3=6，4!=1X2X3X4=24，5!=1X2X3X4X5=120,6!=1X2X3X4X5X6=720,由此可推知，從 5!開始，以后 6!，7!，8!,，100!的末位數(shù)字都是 0。所以，要求 1! +2! +3! +100!的個位數(shù)字，只要把 1!至 4!的個位數(shù)字

25、相加便可求得：1+2+6+4=13 所求的個位數(shù)字是 3。例 7 如果 m n 表示兩個數(shù)，那么規(guī)定：nDn=4n- (m+r)寧 2。求 30(406)012 的值。解：30(406)012=304X6- (4+6)十 2O12=3019012=4X19- (3+19)十 2012=65012=4X12- (65+12)十 2=9.5練習(xí) 31.對于任意的兩個數(shù) a 和 b,規(guī)定 a*b=3Xa-b -3。求 8*9 的值。(值為 2)2.已知 ab 表示 a 除以 3 的余數(shù)再乘以 b，求 134的值。(值為 4)3. 已知 a | b 表示(a-b)-( a+b)，試計算：(5 | 3)

26、(10 丨 6)。(值為 0)解：(53) (16)=4. 規(guī)定 a b 表示 a 與 b 的積與 a 除以 b 所得的商的和，求 82 的值。答案-二：05. 假定 nOn 表示 m 的 3 倍減去 n 的 2 倍，即n=3m-2no(2)相當于由 1X2X3X -Xx=40320,求 X。40320 - 2= 20160,20160- 3= 6720 , 6720-4=1680, 1680-5=336,8-8=1,即 1/40320=1X1/2X1/3X1/4X1/5X1/6X1/7X1/8。所以 x=8。7對于任意的兩個數(shù) P, Q,規(guī)定 盼 Q= ( PXQ)+ 4。例如：2 8= (

27、2X8)十 4。已知 x( 85) =10，求 x 的 值。解：x( 85) = x ( 8X5 寧 4) = x 10= xX10*4,由 xX10*4=10，求得 x=4。8.定義：ab=ab-3b, a b=4a-b/a。計算：(43)( 2l：b) 解：(43)(26)= (4X3-3X3)(4X2-6/2) = 35=3X5-3X5=09.已知： 2 3=2X3X4, 4 5=4X5X6X7X8,求(4 *4)*( 3 3)的值。提示：新運算“ |”是：從第一個數(shù)字起，求越來越大的連續(xù)幾個自然數(shù)的乘積，因數(shù)個數(shù)是 第二個數(shù)字。(44)*(3) = (4X5X6X7)*( 3X4X5)

28、 =14。計算肓4) )召34(2) 已知 x( 401) =7,求 x 的值答案提示:(2)xO(401)= 7,x(4X3-1X2)= 7,6一規(guī)定R = l,x010=7,2 V = 1X 13x-10X2=7,x=9。4V -IX 1x3x2,2343V = 1X丄23(1)求(7V)*(5V)的值：已知刃二詁亓求案的值。& CD ;(2)乩乩第4講定義新運算(二)例 1 已知 b= (a+b) - (a-b)，求 9 探 2 的值。分析與解：這是一道很簡單的題，把 a=9, b=2 代入新運算式，即可算出結(jié)果。但是，根據(jù)四則 運算的法則，我們可以先把新運算“”化簡，再求結(jié)果。a 探

29、b=(a+b)- (a-b)=a+b-a+b=2b。 所以，仝2=2x2=4。由例 1 可知，如果定義的新運算是用四則混合運算表示，那么在符合四則混合運算的性質(zhì)、 法則的前提下，不妨先化簡表示式。這樣，可以既減少運算量，又提高運算的準確度。例 2 定義運算：ab=3a+5ab+kb,其中 a, b 為任意兩個數(shù)，k 為常數(shù)。比如：207=3x2+5X2x7+7k。(1) 已知 502=73。問：805 與 508 的值相等嗎？2)當 k 取什么值時，對于任何不同的數(shù) a，b，都有 a b=ba，即新運算“O”符合交換律？ 分析與解： (1)首先應(yīng)當確定新運算中的常數(shù) k。 因為 502=3x5

30、+5X5X2+kX2=65+2k，所以由已知 502=73,得65+2k=73,求得k= (73-65) - 2=4。 定義的新運算是： a0b=3a+5ab+4b 805=3X8+5X8X5+4x5=244,508=3X5+5X5X8+4X8=247。因為 244 工 247,所以 805 工 508。(2)要使 a0b=b0a,由新運算的定義，有3a+5ab+kb=3b+5ab+ka 3a+kb-3b-ka=0 ,3x(a-b)-k(a-b)=O,(3-k)(a-b)=0。對于兩個任意數(shù) a, b,要使上式成立，必有 3-k=0，即 k=3。當新運算是 a0b=3a+5ab+3b 時，具有

31、交換律，即a0b=b0a。例 3 對兩個自然數(shù) a 和 b,它們的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的差，定義為 ab,即 ab=a , b- (a,b)。比如，10 和 14 的最小公倍數(shù)是 70,最大公約數(shù)是 2,那么 10 14=70-2=68。(1)求 1221 的值；(2)已知 6x=27，求 x 的值。分析與解：(1) 1221=12 , 21- (12, 21) =84-3=81;(2)因為定義的新運算“”沒有四則運算表達式，所以不能直接把數(shù)代入表達式 求 x，只能用推理的方法。因為 6x=6 , x- (6, x) =27,而 6 與 x 的最大公約數(shù)(6, x)只能是 1, 2, 3,

32、6。所以 6 與 x 的最小公倍數(shù)6 , x只能是 28, 29 , 30 , 33。這四個數(shù)中只有 30 是 6 的倍數(shù)，所以 6 與 x 的最小公倍數(shù)和最大公約數(shù)分別是 30 和 3。因為 axb=a , bx(a, b),所以 6xx=30 x3,由此求得 x=15。例4 a表示順時針旋轉(zhuǎn)90, b表示順時針旋轉(zhuǎn)180, c表示逆時針旋轉(zhuǎn)90, d表示不轉(zhuǎn)。 定義 運算“”表示“接著做”。求：ab； bc； c a。分析與解：a b 表示先順時針轉(zhuǎn) 90,再順時針轉(zhuǎn) 180,等于順時針轉(zhuǎn) 270,也等于逆時針轉(zhuǎn) 90,所以ab=c。bc 表示先順時針轉(zhuǎn) 180,再逆時針轉(zhuǎn) 90,等于順時

33、針轉(zhuǎn) 90,所以 bc=a。c a 表示先逆時針轉(zhuǎn) 90,再順時針轉(zhuǎn) 90,等于沒轉(zhuǎn)動，所以 c a=d。對于 a, b, c, d 四種運動，可以做一個關(guān)于“”的運算表(見下表)。比如 c b,由 c 所在 的行和b 所在的列，交叉處 a 就是 cb 的結(jié)果。因為運算符合交換律，所以由 c 所在的列和 b 所 在的行也可得到相同的結(jié)果。abcdabcd耳bcdabcda.blcdcd例 5 對任意的數(shù) a, b,定義：f (a) =2a+1, g (b) =bxb。(1)求 f (5) -g (3)的值；(2)求 f (g (2) +g (f (2)的值；(3)已知 f (x+1) =21，

34、求 x 的值。解：(1) f (5) -g (3) = (2X5+1) - (3X3) =2；(2) f(g(2)+g(f(2)=f(2x2)+g(2x2+1)=f(4)+g(5)=(2x4+1)+(5X5)=34；(3) f (x+1) =2X(x+1) +1=2x+3,由 f (x+1) =21，知 2x+3=21,解得 x=9。練習(xí)4虛犠第昭A.Erm( AA3B=Bfe(譏(觀M洌)Hi答案,n廝ov?EH=4+r因劃唏嫌衛(wèi)所呱血呱憾職孵(2)從(1)順啓過T有詫宦32=23,ST 以(382) -；(203) = 0#伽)坯+訥 22=凱 2 礙+玄=弱，5 心)=5 誘=畸=其胡7

35、顯然,O3)25 (強 2),所癥算“耳殳有結(jié)合巖2.定義兩種運算“”和“”如下：b 表示 a, b 兩數(shù)中較小的數(shù)的 3 倍，aAb 表示 a, b 兩數(shù)中較大的數(shù)的 2.5 倍。比如：厶5=4X3=12, 4A5=5X2.5=12.5。計算：(0.6 探 0.5)+(0.3 0.8) - (1.2 探 0.7)-(0.64 0.2)解：原式=(0.5X3+0.8X2.5 )- (0.7X3-0.64X2.5)=7。刪=16,?92=30,9011=47,2厠0=外喲竝龍5813X5+13=34. 設(shè) m n 是任意的自然數(shù)，A 是常數(shù)，定義運算 nOn= (AXm-n)* 4,并且 203

36、=0.75。試確定常數(shù) A,并計算：(507)X(202)*(302)提示：由 2O3= (AX2-3 )* 4=0.75，推知 A=3 定義的運算是：mOn= (3m-n)* 4。( 507)X(202)*(302)=(3X5-7) *4X(3X2- 2)*4*(3X3-2) *4=2X1*7/4=8/7。5. 用 a, b, c 表示一個等邊三角形圍繞它的中心在同一平面內(nèi)所作的旋轉(zhuǎn)運動：a 表示順時針旋轉(zhuǎn) 240 , b 表示順時針旋轉(zhuǎn) 120, c 表示不旋轉(zhuǎn)。6. 對任意兩個不同的自然數(shù) a 和 b,較大的數(shù)除以較小的數(shù)，余數(shù)記為 a 三 b。比如 7 工 3=1,5 三 29=4,4

37、 20=0。( 1)計算：1998 2000,( 5 19)19, 5(19 9);(2)已知 11 x=4, x 小于 20,求 x 的值。6. (1) 2, 3, 1;( 2) 7 或 14。提示：(1)( 5 9)19= 4 19=3, 5(19 5) = 5 4= 1。(2) 當 xV11 時，x 是 7;當 x 11 時，x 是 14。7. 對于任意的自然數(shù) a, b,定義：f (a) =aXa-1 , g (b) =b* 2+1。(1)求 f (g (6) -g (f (3)的值；(2)已知 f (g (x) =8,求 x 的值。解：(1) f (g (6) - g (f (3)

38、= f(6 *2+1)- g (3X3-1 ) = f( 4)- g (8)=(4X4-1 ) - (8*2+1) = 10 ;。(2)由 f( g (x) )= 8=3X3-1，推知 g (x) = 3 ;再由 x* 2+仁 3,得 x=4。提示：從已知的四式發(fā)現(xiàn),第一個數(shù)的 4 倍加上第二個數(shù)等于結(jié)果,所環(huán)三 m:：乏運算“V”表示“接著做”。試以 a, b, c 為運算對象做運算表Vbc& bcabca bca bc1第5講數(shù)的整除性（一）三、四年級已經(jīng)學(xué)習(xí)了能被 2, 3, 5 和 4, 8, 9, 6 以及 11 整除的數(shù)的特征，也學(xué)習(xí)了一些整除 的性質(zhì)。這兩講我們系統(tǒng)地復(fù)習(xí)一下數(shù)的

39、整除性質(zhì)，并利用這些性質(zhì)解答一些問題。數(shù)的整除性質(zhì)主要有：（1）如果甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)能被丙數(shù)整除。（2）如果兩個數(shù)都能被一個自然數(shù)整除，那么這兩個數(shù)的和與差都能被這個自然數(shù)整除。（3）如果一個數(shù)能分別被幾個兩兩互質(zhì)的自然數(shù)整除，那么這個數(shù)能被這幾個兩兩互質(zhì)的自然數(shù)的乘積整除。（4） 如果一個質(zhì)數(shù)能整除兩個自然數(shù)的乘積， 那么這個質(zhì)數(shù)至少能整除這兩個自然數(shù)中的一個。（5）幾個數(shù)相乘，如果其中一個因數(shù)能被某數(shù)整除，那么乘積也能被這個數(shù)整除。靈活運用以上整除性質(zhì)，能解決許多有關(guān)整除的問題。例 1 在里填上適當?shù)臄?shù)字，使得七位數(shù)7358口能分別被 9, 25 和 8 整除。

40、分析與解：分別由能被 9, 25 和 8 整除的數(shù)的特征，很難推斷出這個七位數(shù)。因為9, 25, 8 兩兩互質(zhì)，由整除的性質(zhì)（3）知，七位數(shù)能被 9X25X8=1800 整除，所以七位數(shù)的個位，十位 都是 0;再由能被 9 整除的數(shù)的特征，推知首位數(shù)應(yīng)填 4。這個七位數(shù)是 4735800。例 2 由 2000 個 1 組成的數(shù) 11111 能否被 41 和 271 這兩個質(zhì)數(shù)整除？分析與解：因為 41X27 仁 11111,所以由每 5 個 1 組成的數(shù) 11111 能被 41 和 271 整除。按“ 11111”把 2000 個 1 每五位分成一節(jié)，2000 - 5=400,就有 400 節(jié)

41、，.|廠.丫 :1 廠.i,.奄_ _ioo4iini因為 2000 個 1 組成的數(shù) 1111 能被 11111 整除，而 11111 能被 41 和 271 整除，所以根據(jù) 整除的性質(zhì)（1）可知，由 2000 個 1 組成的數(shù) 11111 能被 41 和 271 整除。例 3 有四個數(shù)：76550, 76551, 76552, 76554。能不能從中找出兩個數(shù)，使它們的乘積能被 12 整除？ 分析與解：根據(jù)有關(guān)整除的性質(zhì)，先把 12 分成兩數(shù)之積：12=12X仁 6X2=3X4。要從已知的四個數(shù)中找出兩個，使其積能被12 整除，有以下三種情況：（1） 找出一個數(shù)能被 12 整除，這個數(shù)與其

42、它三個數(shù)中的任何一個的乘積都能被12 整除；（2）找出一個數(shù)能被 6 整除，另一個數(shù)能被 2 整除，那么它們的積就能被 12 整除；（3）找出一個數(shù)能被 4 整除，另一個數(shù)能被 3 整除，那么它們的積能被 12 整除。容易判斷，這四個數(shù)都不能被 12 整除，所以第（1）種情況不存在。對于第 （2） 種情況， 四個數(shù)中能被 6 整除的只有 76554,而 76550, 76552 是偶數(shù)， 所以可以 選 76554和 76550, 76554 和 76552。對于第（3）種情況，四個數(shù)中只有 76552 能被 4 整除，76551 和 76554 都能被 3 整除，所以 可以選 76552 和

43、76551, 76552 和 76554。綜合以上分析， 去掉相同的， 可知兩個數(shù)的乘積能被 12 整除的有以下三組數(shù)： 76550 和 76554, 76552和 76554, 76551 和 76552。例 4 在所有五位數(shù)中，各位數(shù)字之和等于 43 且能夠被 11 整除的數(shù)有哪些？分析與解：從題設(shè)的條件分析，對所求五位數(shù)有兩個要求：各數(shù)位上的數(shù)字之和等于 43; 能被 11 整除。因為能被 11 整除的五位數(shù)很多，而各數(shù)位上的數(shù)字之和等于 43 的五位數(shù)較少，所以應(yīng)選 擇為突破口。有兩種情況：（1）五位數(shù)由一個 7 和四個 9 組成；（2）五位數(shù)由兩個 8 和三個 9 組成。上面兩種情況

44、中的五位數(shù)能不能被 11 整除？ 9, 8, 7 如何擺放呢？根據(jù)被 11 整除的數(shù)的特 征，如果奇數(shù)位數(shù)字之和是 27,偶數(shù)位數(shù)字之和是 16,那么差是 11,就能被 11 整除。滿足這 些要求的五位數(shù)是： 97999 , 99979, 98989。例 5 能不能將從 1 到 10 的各數(shù)排成一行，使得任意相鄰的兩個數(shù)之和都能被3 整除？分析與解：10 個數(shù)排成一行的方法很多，逐一試驗顯然行不通。我們采用反證法。假設(shè)題目的要求能實現(xiàn)。那么由題意，從前到后每兩個數(shù)一組共有 5 組，每組的兩數(shù)之和都 能被3 整除，推知 110 的和也應(yīng)能被 3 整除。實際上，110 的和等于 55,不能被 3

45、整除。這 個矛盾說明假設(shè)不成立，所以題目的要求不能實現(xiàn)。練習(xí)51. 已知 4205 和 2813 都是 29 的倍數(shù)，1392 和 7018 是不是 29 的倍數(shù)？（ 1）提示：.是。7018 和 1392 分別是 4205 與 2813 的和與差。2. 如果兩個數(shù)的和是 64，這兩個數(shù)的積可以整除 4875，那么這兩個數(shù)的差是多少？ （14）。提示：已知這兩個數(shù)的積可以整除 4875,說明這兩個數(shù)都是 4875 的因數(shù)。4875= 3X5X5X5X13,用這些因子湊成兩個數(shù)，使它們的和是 64,顯然這兩個數(shù)是 3X13=39 和 5X5=25。它 們的差是 39-25=14。3.173 是個

46、四位數(shù)。數(shù)學(xué)老師說：“我在這個中先后填入3 個數(shù)字，所得到的 3 個四位數(shù)，依次可以被 9，11, 6 整除?！眴枺簲?shù)學(xué)老師先后填入的 3 個數(shù)字之和是多少？ （ 19） 提示：先后填入的三個數(shù)依次是 7，8，4。因阪謝懺 O+b 喘林整除,推規(guī)畝又麗蹴 4 觴,耕黠 4 豔由山或珈肛6進 而知 f=4，所求數(shù)為 123654 和321654。佛卜伉憐眥牛稱融其中不同的字母代表 I 中不同的數(shù)字。要暢能槪整除 a：的倍數(shù)，歸是 6 的倍數(shù)。歸林晰幾個伽納 答案：123654 和 321654。提示：由題意知，b，d，f 是偶數(shù)，e= 5，所以 a，c 只能是 1 和 3。班有多少名學(xué)生?提示：

47、總分等于平均分乘以學(xué)生人數(shù)，因為平均分 90=9X10,所以總 分 I 畫撤 10 酚 馳詢X 所求學(xué)住人數(shù)是 49 滬 90 比（人）。6.能不能將從 1到9的各數(shù)排成一行，使得任意相鄰的兩個數(shù)之和都能被3 整除？答案：不能。提示：假設(shè)能。因為前兩個數(shù)的和能被 3 整除，第 2、第 3 個數(shù)的和也能被 3 整除，所以第 1、第 3 兩個數(shù)除以 3 的余數(shù)相同。類似可知，排在第 1, 3, 5, 7, 9 位的數(shù)除以 3 的余數(shù)都相同。 在 19中，除以 3 的余數(shù)相同的數(shù)只有 3 個，不可能有 5 個。這個矛盾說明假設(shè)不成立。第6講數(shù)的整除性（二）我們先看一個特殊的數(shù)一一 1001。因為 1

48、001=7X11X13，所以凡是 1001 的整數(shù)倍的數(shù)都能 被 7,11 和 13 整除。例1畑血能否斯11利13整除?分析與解；因Sabcabc=abcX 1001, 1001是7, 11和的倍數(shù)，所以 血血能被7、11和1弓整除&能被 7, 11 和 13 整除的數(shù)的特征：如果數(shù) A 的末三位數(shù)字所表示的數(shù)與末三位數(shù)以前的數(shù)字所表示的數(shù)之差（大數(shù)減小數(shù)）能被 7 或 11 或 13 整除，那么數(shù) A 能被 7 或 11 或 13 整除。否則，數(shù) A 就不能被 7 或 11 或 13 整除 例 2判斷 306371 能否被 7 整除？能否被 13 整除？解：因為 371-306=65, 6

49、5 是 13 的倍數(shù)，不是 7 的倍數(shù)，所以 306371 能被 13 整除，不能被 7 整除。 例3 已知 10 口 8971 能被 13 整除，求中的數(shù)。解：10 口 8-97 仁 1008-971 + 0=37+口 0。上式的個位數(shù)是 7,若是 13 的倍數(shù)，則必是 13 的 9 倍， 由13X9-37=80，推知中的數(shù)是 8。他訓(xùn)瀨堿戚廠趕二 I 飾鹼怖與勒黠別麗贏磁否棉嘴謹竄可以就 H12位數(shù)進行改寫。根據(jù)十進制數(shù)的意義，有abbaabbaabba=abbax100010001因為 100010001 各數(shù)位上數(shù)字之和是 3,能夠被 3 整除，所以這個 12 位數(shù)能被 3 整除。根據(jù)

50、能被 7（或 13）整除的數(shù)的特征，100010001 與（100010-仁）100009 要么都能被 7（或 13）整除，要么都不能被 7 （或 13）整除。同理，100009 與（100-9= ） 91 要么都能被 7 （或 13）整除，要么都不能被 7 （或 13）整除。 因為91=7X13,所以 100010001 能被 7 和 13 整除，推知這個 12 位數(shù)能被 7 和 13 整除。臟呆4懶豎口響砌絲耳，那么中間方格內(nèi)熾字是幾？202）只杯子全部口朝下放在桌子上，每次翻轉(zhuǎn)其中的（m-1）只杯子。經(jīng)過若干次翻轉(zhuǎn)， 能使杯口全部朝上嗎？分析與解：當 m 是奇數(shù)時，（m-1）是偶數(shù)。由例

51、 2 的分析知，如果每次翻轉(zhuǎn)偶數(shù)只杯子，那么無論 經(jīng)過多少次翻轉(zhuǎn)，杯口朝上（下）的杯子數(shù)的奇偶性不會改變。一開始m 只杯子全部杯口朝下，即杯口朝下的杯子數(shù)是奇數(shù)，每次翻轉(zhuǎn)（m-1）即偶數(shù)只杯子。無論翻轉(zhuǎn)多少次，杯口朝下的杯子 數(shù)永遠是奇數(shù)，不可能全部朝上。當 m 是偶數(shù)時，（m-1）是奇數(shù)。為了直觀，我們先從 m=4 的情形入手觀察，在下表中用U表 示杯口朝上，G表示杯口朝下，每次翻轉(zhuǎn) 3 只杯子，保持不動的杯子用*號標記。翻轉(zhuǎn)情況如下：n nnn第一爛轉(zhuǎn)uuu第二爛轉(zhuǎn)U屮nn第三爛轉(zhuǎn)n 7F n*u第四爛轉(zhuǎn)TT由上表看出，只要翻轉(zhuǎn) 4 次，并且依次保持第 1, 2, 3, 4 只杯子不動，就

52、可達到要求。一般 來說，對于一只杯子，要改變它的初始狀態(tài)，需要翻奇數(shù)次。對于 m 只杯子，當 m 是偶數(shù)時，因為 （m-1）是奇數(shù)，所以每只杯子翻轉(zhuǎn)（m-1 ）次，就可使全部杯子改變狀態(tài)。要做到這一點，只需要 翻轉(zhuǎn) m 次，并且依次保持第 1, 2,，m 只杯子不動，這樣在 m 次翻轉(zhuǎn)中，每只杯子都有一次沒有 翻轉(zhuǎn)，即都翻轉(zhuǎn)了（ m-1）次。綜上所述：m 只杯子放在桌子上，每次翻轉(zhuǎn)（m-1 ）只。當 m 是奇數(shù)時，無論翻轉(zhuǎn)多少次，m 只杯子 不可能全部改變初始狀態(tài)；當 m 是偶數(shù)時，翻轉(zhuǎn) m 次，可以使 m 只杯子全部改變初始狀態(tài)。例 4 一本論文集編入 15 篇文章，這些文章排版后的頁數(shù)分別

53、是 1, 2, 3,，15 頁。如果將這些文章按某種次序裝訂成冊，并統(tǒng)一編上頁碼，那么每篇文章的第一面是奇數(shù)頁碼的最多有幾篇？分析與解：可以先研究排版一本書，各篇文章頁數(shù)是奇數(shù)或偶數(shù)時的規(guī)律。一篇有奇數(shù)頁的文章，它的第一面和最后一面所在的頁碼的奇偶性是相同的，即排版奇數(shù)頁的文章，第一面是奇數(shù)頁碼，最后一面也是奇數(shù)頁碼，而接下去的另一篇文章的第一面是排在偶數(shù)頁碼上。一篇有偶數(shù)頁的文 章，它的第一面和最后一面所在的頁碼的奇偶性是相異的，即排版偶數(shù)頁的文章，第一面是奇（偶）數(shù)頁碼，最后一面應(yīng)是偶（奇）數(shù)頁碼，而緊接的另一篇文章的第一面又是排在奇 （偶）數(shù)頁碼上。以上說明本題的解答主要是根據(jù)奇偶特點來

54、處理。 題目要求第一面排在奇數(shù)頁碼的文章盡量多。首先考慮有偶數(shù)頁的文章，只要這樣的第一篇 文章的第一面排在奇數(shù)頁碼上（如第 1 頁），那么接著每一篇有偶數(shù)頁的文章都會是第一面排在 奇數(shù)頁碼上，共有 7 篇這樣的文章。 然后考慮有奇數(shù)頁的文章， 第一篇的第一面排在奇數(shù)頁碼上， 第二篇的第一面就會排在偶數(shù)頁碼上，第三篇的第一面排在奇數(shù)頁碼上，如此等等。在 8 篇奇數(shù) 頁的文章中，有 4 篇的第一面排在奇數(shù)頁碼上。因此最多有 7+4=11（篇）文章的第一面排在奇數(shù) 頁碼上。例 5 有大、小兩個盒子，其中大盒內(nèi)裝 1001 枚白棋子和 1000 枚同樣大小的黑棋子，小盒內(nèi)裝有足 夠多的黑棋子。 阿花每

55、次從大盒內(nèi)隨意摸出兩枚棋子， 若摸出的兩枚棋子同色， 則從小盒內(nèi)取一 枚黑棋子放入大盒內(nèi)； 若摸出的兩枚棋子異色，則把其中白棋子放回大盒內(nèi)。問： 從大盒內(nèi)摸了 1999 次棋子后，大盒內(nèi)還剩幾枚棋子？它們都是什么顏色？分析與解 ：大盒內(nèi)裝有黑、白棋子共 1001+1000=2001（枚）。因為每次都是摸出 2 枚棋子放回 1 枚棋子，所以每摸一次少 1 枚棋子，摸了 1999 次后，還2001-1999=2（枚）棋子。從大盒內(nèi)每次摸 2 枚棋子有以下兩種情況： （1）所摸到的兩枚棋子是同顏色的。此時從小盒內(nèi)取一枚黑棋子放入大盒內(nèi)。當所摸兩枚棋子同是 黑色，這時大盒內(nèi)少了一枚黑棋子；當所摸兩枚棋

56、子同是白色，這時大盒內(nèi)多了一枚黑棋子。（2）所摸到的兩枚棋子是不同顏色的，即一黑一白。這時要把拿出的白棋子放回到大盒，大盒內(nèi)少 了一枚黑棋子。綜合（1）（2），每摸一次，大盒內(nèi)的黑棋子總數(shù)不是少一枚就是多一枚，即改變了黑棋子數(shù)的奇偶 性。原來大盒內(nèi)有 1000 枚即偶數(shù)枚黑棋子，摸了 1999 次，即改變了 1999 次奇偶性后，還剩奇數(shù) 枚黑棋子。因為大盒內(nèi)只剩下 2 枚棋子，所以最后剩下的兩枚棋子是一黑一白。例 6 一串數(shù)排成一行：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,到這串數(shù)的第 1000 個數(shù)為止，共有 多少個偶數(shù)？分析與解：首先分析這串數(shù)的組成規(guī)律和奇偶數(shù)

57、情況。1+仁 2, 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13，這串數(shù)的規(guī)律是,從第三項起, 每一個數(shù)等于前兩個數(shù)的和。 根據(jù)奇偶數(shù)的加法性質(zhì),可以得出 這串數(shù)的奇偶性：奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，容易看出，這串數(shù)是按“奇，奇，偶”每三個數(shù)為一組周期變化的。1000 十 3=3331,這串數(shù)的前 1000 個數(shù)有 333 組又 1 個數(shù)，每組的三個數(shù)中有 1 個偶數(shù)，并且是第 3 個數(shù)，所以這 串數(shù)到第 1000 個數(shù)時，共有 333 個偶數(shù)。練習(xí) 81. 在 11, 111, 1111, 11111,這些數(shù)中，任何一個數(shù)都不會是某一個自然數(shù)的平方。這樣說對嗎？答案：對。提示：因為平方數(shù)

58、能被 4 整除或除以 4 余 1,而形如 11111 的數(shù)除以 4 的余數(shù)與 11除以 4 的余數(shù)相同,余 3,所以不是平方數(shù)。2. 一本書由 17 個故事組成，各個故事的篇幅分別是 1, 2, 3,，17 頁。這 17 個故事有各種編排法,但無論怎樣編排,故事正文都從第 1 頁開始,以后每一個故事都從新一頁碼開始。如果要求安排 在奇數(shù)頁碼開始的故事盡量少,那么最少有多少個故事是從奇數(shù)頁碼開始的？答案 2.5 個。提示：與例 4 類似分析可知,先排 9 個奇數(shù)頁的故事,其中有 5 個從奇數(shù)頁開始,再 排 8 個偶數(shù)頁的故事,都是從偶數(shù)頁碼開始。3. 桌子上放著 6 只杯子,其中 3 只杯口朝上

59、, 3 只杯口朝下。如果每次翻轉(zhuǎn) 5 只杯子,那么至少翻轉(zhuǎn) 多少次,才能使 6 只杯子都杯口朝上？ 3 次。提示：見下表。U U u n n n第-牖U n n u u u第二爛轉(zhuǎn)n n u n n nIJu uIJu u4、70 個數(shù)排成一行，除了兩頭的兩個數(shù)以外，每個數(shù)的3 倍都恰好等于它兩邊的兩個數(shù)的和，這一行數(shù)的最左邊的幾個數(shù)是這樣的：0，1，3，8，21,問：最右邊的一個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？ 答案：偶數(shù)。提示：這行數(shù)的前面若干個數(shù)是：0, 1, 3, 8, 21, 55，144，377, 987, 2584, 這些數(shù)的奇偶狀況是：偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，從前到后按一偶二奇的

60、順序循環(huán)出現(xiàn)。70 十 3=231,第 70 個數(shù)是第 24 組數(shù)的第一個數(shù)，是偶數(shù)5.學(xué)校組織運動會，小明領(lǐng)回自己的運動員號碼后， 小玲問他：“今天發(fā)放的運動員號碼加起來是奇 數(shù)還是偶數(shù)？ ”小明說：“除開我的號碼，把今天發(fā)的其它號碼加起來，再減去我的號碼，恰好 是 100。 ”今天發(fā)放的運動員號碼加起來，到底是奇數(shù)還是偶數(shù)？答案：偶數(shù)。提示：號碼總和等于 100 加上小明號碼的 2 倍。6.在黑板上寫出三個整數(shù)，然后擦去一個換成所剩兩數(shù)之和，這樣繼續(xù)操作下去，最后得到88, 66,99。問：原來寫的三個整數(shù)能否是 1, 3, 5?答案：不能。提示：如果原來寫的是 1, 3, 5,那么第一次