曲線論基本定理

1、5曲線論基本定理曲線論基本定理一一般結(jié)果曲線論基本定理曲線論基本定理給定區(qū)間 I (a, b) 上的連續(xù)可微函數(shù)(s) 0 和連續(xù)函數(shù)(s) ，則在 E3 中 存在弧長 s 參數(shù)化曲線 C: r r(s) ，使其曲率函數(shù) (s) (s) ，并且其撓率函數(shù) (s) (s) ； 上述曲線 C 在合同意義下是唯一的曲線論基本定理的考慮對(duì)象實(shí)際上是無逗留點(diǎn)的正則曲線；其含義明顯分為存在性和唯一性兩個(gè)方面；其證明將分成若干步驟進(jìn)行曲線論基本定理證明的過程中在本質(zhì)上需要用到適當(dāng)?shù)奈⒎址匠探M求解的存在唯一性結(jié)果 只要考慮到曲率、撓率和弧長微元與位置向量微分運(yùn)算的關(guān)系，并注意到Frenet公式一一般結(jié)果因此，

2、下面將不加證明地引用關(guān)于齊次線性常微分方程組的解的存在唯一性定理圍繞著存在性，首先建立并考察聯(lián)立的兩個(gè)齊次線性常微分方程組(6.1)dr ds e1 ； (6.2)d ds e1 e2 e3 0 0 0 0 0 e1 e2 e3 聯(lián)立方程組中所包含的未知向量函數(shù)組 r(s); e1(s), e2(s), e3(s) 可以理解成由12個(gè)普通未知函數(shù)而構(gòu)成聯(lián)立方程組在給定的初值條件下有滿足初始條件的唯一解（且在整個(gè)區(qū)間上延拓有定義）一一般結(jié)果引理引理1給定單位正交右手標(biāo)架 r0; T0, N0, B0 ，在曲線論基本定理?xiàng)l件下任取一點(diǎn) s0I ，則聯(lián)立方程組 (6.1)-(6.2) 的滿足初始條件

3、r(s0); e1(s0), e2(s0), e3(s0) r0; T0, N0, B0 的唯一解恰好為一條弧長 s 參數(shù)化曲線 C: r r(s) 的Frenet標(biāo)架場首先證明所討論的解函數(shù)組 r(s); e1(s), e2(s), e3(s) 構(gòu)成單位正交標(biāo)架場再證明參數(shù)曲線 C: r r(s) 為一條弧長 s 參數(shù)化曲線進(jìn)一步證明解函數(shù)組 r(s); e1(s), e2(s), e3(s) 是曲線 C 的Frenet標(biāo)架場一一般結(jié)果v引理引理1給定單位正交右手標(biāo)架 r0; T0, N0, B0 ，在曲線論基本定理?xiàng)l件下任取一點(diǎn) s0I ，則聯(lián)立方程組 (6.1)-(6.2) 的滿足初始條

4、件r(s0); e1(s0), e2(s0), e3(s0) r0; T0, N0, B0 的唯一解恰好為一條弧長 s 參數(shù)化曲線 C: r r(s) 的Frenet標(biāo)架場v從上述證明過程可以看到，確定曲線的過程可以表現(xiàn)為確定其附屬的標(biāo)架場的過程；從中可以體會(huì)標(biāo)架空間在幾何學(xué)中的合理運(yùn)用一一般結(jié)果引理引理1給定單位正交右手標(biāo)架 r0; T0, N0, B0 ，在曲線論基本定理?xiàng)l件下任取一點(diǎn) s0I ，則聯(lián)立方程組 (6.1)-(6.2) 的滿足初始條件r(s0); e1(s0), e2(s0), e3(s0) r0; T0, N0, B0 的唯一解恰好為一條弧長 s 參數(shù)化曲線 C: r r(

5、s) 的Frenet標(biāo)架場曲線論基本定理曲線論基本定理給定區(qū)間 I (a, b) 上的連續(xù)可微函數(shù)(s) 0 和連續(xù)函數(shù)(s) ，則在 E3 中 存在弧長 s 參數(shù)化曲線 C: r r(s) ，使其曲率函數(shù) (s) (s) ，并且其撓率函數(shù) (s) (s) ； 上述曲線 C 在合同意義下是唯一的曲線論基本定理的證明曲線論基本定理的證明引理1說明存在性結(jié)論成立以下證明唯一性結(jié)論.設(shè)兩條曲線 C: r r(s) 和 C*: r r*(s) 同時(shí)以 s 為弧長參數(shù)并具有相同的曲率函數(shù) (s) *(s) 0 和相同的撓率函數(shù) (s) *(s) ；要證這兩條曲線合同 任取定點(diǎn) s0I ，這兩條曲線在此對(duì)

6、應(yīng)點(diǎn)的Frenet標(biāo)架分別記為 r(s0); T(s0), N(s0), B(s0) 和 r*(s0); T*(s0), N*(s0), B*(s0) ，則兩個(gè)標(biāo)架之間相差的正交變換對(duì)應(yīng)于一個(gè)剛體運(yùn)動(dòng) : E3E3 由于弧長、曲率和撓率在剛體運(yùn)動(dòng)下都不變，故不妨設(shè) C* 在 下的像 (C*) 在點(diǎn) s0 處的Frenet標(biāo)架重合于 r(s0); T(s0), N(s0), B(s0) 再由引理1，可知 (C*) 與 C 重合；此即 C* 與 C 合同，結(jié)論得證一一般結(jié)果曲線論基本定理說明，無逗留點(diǎn)曲線的曲率 0 和撓率 分別作為弧長 s 的函數(shù)而共同確定了不計(jì)位置意義下的唯一一條曲線；因而，函

7、數(shù)組 (s) 0 , (s) 通常稱為曲線的內(nèi)在方程內(nèi)在方程或自然方程自然方程一般而言，從內(nèi)在方程出發(fā)而去確定參數(shù)方程往往是比較困難的，因?yàn)橥ǔＲ獨(dú)w結(jié)為求解曲線論基本方程的通解或特解當(dāng)然，對(duì)于已知內(nèi)在方程的曲線，有時(shí)就可以采取反驗(yàn)的方法確定其參數(shù)方程全體例例1 1 已知曲線 C 具有常值曲率 0 0 和常值撓率 0 0 ，試確定其參數(shù)方程二平面曲線的相對(duì)曲率v平面曲線在非逗留點(diǎn)處的撓率恒為零，故而按照曲線論基本定理，有更為簡單的內(nèi)在方程v一個(gè)不容忽視的事實(shí)是，在逗留點(diǎn)及其附近并沒有找到能夠確定空間曲線的一般的完全不變量系統(tǒng)當(dāng)然，處處為逗留點(diǎn)的曲線只能是直線 z O y xv觀察第一章圖1-5以

8、及相關(guān)例題可見，空間曲線在逗留點(diǎn)附近有可能具有相當(dāng)任意的“自由度”允許單側(cè)相差圍繞逗留點(diǎn)處切線的旋轉(zhuǎn)； 而圖2-10所示的平面曲線在孤立逗留點(diǎn)附近只有有限的“自由度”允許單側(cè)相差關(guān)于逗留點(diǎn)處切線的反射二平面曲線的相對(duì)曲率v平面曲線在非逗留點(diǎn)處，有更為簡單的內(nèi)在方程v在逗留點(diǎn)及其附近并沒有找到能夠確定空間曲線的一般的完全不變量系統(tǒng)處處為逗留點(diǎn)的曲線是直線v空間曲線在逗留點(diǎn)附近有可能具有相當(dāng)任意的“自由度”；而平面曲線在孤立逗留點(diǎn)附近只有有限的“自由度”這種行為的直觀表現(xiàn)，就是曲線在逗留點(diǎn)處“迷失”了方向；其解析表現(xiàn)，就是曲線的Frenet標(biāo)架在逗留點(diǎn)處沒有定義，并且其在逗留點(diǎn)兩側(cè)的單側(cè)極限有可能

9、不相等v如果想象曲線在三維空間內(nèi)被弧長、曲率、撓率三個(gè)量“限定”，那么，平面曲線將被弧長、曲率“限定”，一般固定曲面上的任意曲線也將被弧長和另外一個(gè)幾何量“限定”二平面曲線的相對(duì)曲率v平面曲線在非逗留點(diǎn)處，有更為簡單的內(nèi)在方程v在逗留點(diǎn)及其附近并沒有找到能夠確定空間曲線的一般的完全不變量系統(tǒng)處處為逗留點(diǎn)的曲線是直線v空間曲線在逗留點(diǎn)附近有可能具有相當(dāng)任意的“自由度”；而平面曲線在孤立逗留點(diǎn)附近只有有限的“自由度”v下面將完善平面曲線的完全不變量系統(tǒng)，而曲面上曲線的相關(guān)討論將在第六章深入進(jìn)行v在所在的平面上，平面曲線在每一點(diǎn)處有唯一的一條法線法線（即過該點(diǎn)且垂直于切線的直線）；其連續(xù)可微的單位法

10、向量場可由單位切向和所在平面的定向如下確定二平面曲線的相對(duì)曲率v下面將完善平面曲線的完全不變量系統(tǒng)v在所在的平面上，平面曲線在每一點(diǎn)處有唯一的一條法線法線（即過該點(diǎn)且垂直于切線的直線）；其連續(xù)可微的單位法向量場可由單位切向和所在平面的定向如下確定v不妨考慮右手直角坐標(biāo)系 Oxyz 下坐標(biāo)平面 xOy 之上的弧長參數(shù)化曲線 C: r r(s) ，其參數(shù)方程簡記為r(s) (x(s), y(s) ； 則其單位切向T(s) (x(s), y(s) Nr T Nr , N C j N T i圖2-11二平面曲線的相對(duì)曲率v定義定義1 1給定二階連續(xù)可微的弧長 s 參數(shù)化平面曲線 C: r r(s) (

11、x(s), y(s) x(s)i + y(s)j ，其中 i, j, k 為 E3 的單位正交右手系的基向量，稱 x 軸的正向 i 到 C 的單位切向 T 的有向夾角 為 C 的有向切線方向角有向切線方向角，簡稱切向角切向角，即對(duì) 有(6.10) T(s) = (x(s), y(s) = (cos(s), sin(s) .v從局部來看，C 的切向角函數(shù) 在 C 的任一點(diǎn)的附近總可取到可微的單值支，這只要注意到 Nr T Nr , N C j N T i圖2-11局部總可取之為多值函數(shù) Arctan (y/x) 或 Arccot (x/y) 的單值支二平面曲線的相對(duì)曲率v在 C的可以取到可微切向

12、角函數(shù) 的局部，利用可微性可以獲得許多方便此時(shí)，(6.10) 式對(duì)弧長參數(shù)求導(dǎo)，得曲率向量 (6.11) T (s) (s) ( sin(s), cos(s) (s) ( y(s) , x(s).v定義定義2 2對(duì)上述平面曲線 C ，分別稱 (6.12) Nr (cos ( + /2), sin ( + /2) ( y(s), x(s), (6.13) r (s) 為 C 的相對(duì)主法向相對(duì)主法向和相對(duì)曲率相對(duì)曲率 (6.10) T(s) = (x(s), y(s) = (cos(s), sin(s) . vC 的切向角函數(shù) 在 C 的任一點(diǎn)的附近總可取到可微的單值支二平面曲線的相對(duì)曲率v顯然，

13、此時(shí)曲率是相對(duì)曲率的絕對(duì)值； 相對(duì)主法向在逗留點(diǎn)仍然有定義，并且使 T, Nr 與所在平面的定向相符，即 TNr ij k v相對(duì)曲率是平面上剛體運(yùn)動(dòng)（即平移變換和旋轉(zhuǎn)變換的有限次復(fù)合）的不變量；而切向角不是（參見習(xí)題），但可以“控制”(6.10) T(s) = (x(s), y(s) = (cos(s), sin(s) .(6.11) T (s) (s) ( sin(s), cos(s) (s) ( y(s) , x(s).v定義定義2 2對(duì)上述平面曲線 C ，分別稱 (6.12) Nr (cos ( + /2), sin ( + /2) ( y(s), x(s), (6.13) r (s) 為 C 的相對(duì)主法向相對(duì)主法向和相對(duì)曲率相對(duì)曲率二平面曲線的相對(duì)曲率