一般矩陣的相似對角形

1、矩陣的相似對角化矩陣的相似對角化一、矩陣與對角陣相似的條件：一、矩陣與對角陣相似的條件：相似，與對角陣設AAPPPn1，使階可逆陣存在一個nnPPPP2121),(，設APP1),(21nAPAPAPAP),(2211nnPPP., 2 , 1,niPAPiii是否為特征向量？）（iPnnPPP2121),(PAP=0P為非零向量。nPPP,21是特征向量。nPPP,21是特征值；n,21對應的特征向量為的特征值是反之設,21An.,21nPPP則有：，設,),(2121nnPPPP),(21nAPAPAPAPnnPPP2121),(),(2211nnPPP P由此可得什么結(jié)論？線性無關(guān)?？赡?/p>

2、nPPPPA,21（且線性無關(guān)。）定理定理1：n階矩陣階矩陣A與對角陣相似的充要條件為與對角陣相似的充要條件為A有有n個線性個線性 無關(guān)的特征向量。無關(guān)的特征向量。推論：推論：若若A有有n個互異的特征值，則個互異的特征值，則A與對角陣相似；但反之不對。與對角陣相似；但反之不對。 思考：思考：矩陣能否與對角陣相似，取決于矩陣能否有矩陣能否與對角陣相似，取決于矩陣能否有n個線性無個線性無關(guān)的特征向量。關(guān)的特征向量。 若矩陣若矩陣A的特征值互異，則矩陣能與對角陣相似，問題已經(jīng)解的特征值互異，則矩陣能與對角陣相似，問題已經(jīng)解決；若矩陣決；若矩陣A有重特征值，則不能馬上斷言。這時要看特征向量了。有重特征

3、值，則不能馬上斷言。這時要看特征向量了。實際上，只要實際上，只要k重特征值對應重特征值對應k個線性無關(guān)的特征向量就行了。個線性無關(guān)的特征向量就行了。性無關(guān)的特征向量。個線有即個線性無關(guān)的解向量，就有則重特征值，只要為設kAkOXEAknEArk)(,)(綜上，有：iimiimrnEArAnrrrr)(,121則：設定理2,21mA，的相異特征值為其重數(shù)分別為為對角陣。，使可逆陣在相似時求能否與對角陣相似，并例：判斷APPPA1101131002解：101131002EAA3, 2, 1321,)2 , 1 , 0(111T，求得特征向量為對),(321P二、矩陣相似對角化的方法：二、矩陣相似對角化的方法：.)0 , 1 , 0(333T，求得特征向量為對T) 1 , 0 , 1 (222，求得特征向量為對)3)(2)(1 (0121010103000200011APP矩陣相似對角化的步驟：矩陣相似對角化的步驟：不與對角陣相似。則一定與對角陣相似；否時，當?shù)闹財?shù)為每個中互異的為與對角陣相似；若則互異，若的所有特征值求出AAmirnEArrAAiiiiimnnn, 2 , 1,)(,)(212