高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(理)人教通用版8.2空間幾何體的表面積與體積名師精編學(xué)案

1、名校名師推薦18§8.2空間幾何體的表面積與體積取新考明考情考向分析了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式.主要考查涉及空間幾何體的表面枳與體積.常以選擇題與填空題為主，涉及空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、三視圖等內(nèi)容，要求考生要有較強(qiáng)的空間想象能力和計(jì)算能力，難度為中低檔.基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)一回扣其礎(chǔ)知識(shí)訓(xùn)練基址題目一r知識(shí)梳理1 .多面體的表面積、側(cè)面積因?yàn)槎嗝骟w的各個(gè)面都是平面，所以多面體的側(cè)面積就是所有側(cè)面的面積之和，表面積是側(cè)面積與底面面積之和.2 .圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積公式側(cè)面展開(kāi)圖圓柱2 二 ” '”三r 1圓錐圓臺(tái)側(cè)面積S圓柱側(cè)=2 <1 公

2、式S圓臺(tái)側(cè)=S圓錐側(cè)=<1M.+r2）13 .柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體（棱柱和圓柱）S表面積=S側(cè)+2s底V=_sh錐體（棱錐和圓錐）s表面積=s側(cè)+s底V=%-3臺(tái)體（棱臺(tái)和圓臺(tái)）s表面積=s側(cè)+S上十s下v=g（s上+s下+Mss）h球S=4tR2【概念方法微思考】1 .如何求旋轉(zhuǎn)體的表面積？提示求旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積時(shí)需要將曲面展開(kāi)為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面積之和2 .如何求不規(guī)則幾何體的體積？提示求不規(guī)則幾何體的體積要注意分割與補(bǔ)形，將不規(guī)則的幾何體通過(guò)分割或補(bǔ)形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體求解.£基礎(chǔ)自測(cè)題組一思考辨析1 .判斷下列結(jié)論是否正確

3、(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打或“X”)(1)多面體的表面積等于各個(gè)面的面積之和.(V)(2)臺(tái)體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)錐體的體積之差.(V)(3)錐體的體積等于底面積與高之積.(X)31(4)已知球。的半徑為R,其內(nèi)接正萬(wàn)體的邊長(zhǎng)為a,則R=2a.(，)(5)圓柱的一個(gè)底面積為S,側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)正方形，那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是2tS.(X)題組二教材改編2 .已知圓錐的表面積等于12Ttcm2,其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則底面圓的半徑為()3A.1cmB.2cmC.3cmD.2cm答案B解析S表=<2+亦1=M+r2r=3<2=12u,r2=4,r=2.3 .如圖，將一個(gè)長(zhǎng)方體用過(guò)相鄰三條棱的中點(diǎn)的平

4、面截出一個(gè)棱錐，則該棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比為.答案1：47解析設(shè)長(zhǎng)方體的相鄰三條棱長(zhǎng)分別為a,b,c,它截出棱車B的體積V1=xx1ax1bx1c322221.147=48abe,剩下的幾何體的體積v2=abc-48abe=48abc，所以V1：5=1：47.題組三易錯(cuò)自糾4 .體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（）A.12TtB.子兀C.8兀D.4兀3答案A2,其體對(duì)角線為 2J3即為球的直徑，所以球的表面積為則該幾何體的體積為俯視圖解析由題意可知正方體的棱長(zhǎng)為4TR2=（2R）2h125故選A.5 .已知某幾何體的三視圖如圖所示,16答案16兀3解析由三視圖可

5、知，該幾何體是一個(gè)圓柱挖去了一個(gè)同底等高的圓錐，其體積為兀x22X222X2若兀.題型分類深度剖析真題典題深度剖析重點(diǎn)唯點(diǎn)姿維探究題型一求空間幾何體的表面積一”"自主演練1.（2018全國(guó)I）已知圓柱的上、下底面的中心分別為。1,。2,過(guò)直線。1。2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為（）A.12V2TtB.12%C.8V2兀D.10%答案B解析設(shè)圓柱的軸截面的邊長(zhǎng)為x,則由x2=8,得x=2gS圓柱表=2s底+S側(cè)=2X7tx（鉤2+27tx*X2*=12兀故選B.2.（2019撫順*II擬）下圖是某幾何體的三視圖，則此幾何體的表面積為（）主視圖左視圖佛視

6、圖A.4.2+2,3+2B.4.3+4C.2.2+4.3+2D.8.2+4答案A解析該幾何體為三棱錐，其直觀圖如圖所示，為三棱錐Bi-ACD,則其表面積為四個(gè)面面積之和S=2X2x2X2也2x2X2+乎X(272)2=46+243+2.思維升華空間幾何體表面積的求法（1）旋轉(zhuǎn)體的表面積問(wèn)題注意其側(cè)面展開(kāi)圖的應(yīng)用（2）多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理（3）以三視圖為載體的需確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及數(shù)量.題型二求空間幾何體的體積多 探命題點(diǎn)1求以三視圖為背景的幾何體的體積例1（2017全國(guó)n）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫(huà)出的是某幾何體的三視

7、圖,該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為（）A.90bB.63cC.42dD.36兀答案B解析方法一（割補(bǔ)法）由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個(gè)圓柱截去上面虛線部分所得，如圖所示.4 匕二二U b- s T將圓柱補(bǔ)全，并將圓柱從點(diǎn)A處水平分成上下兩部分.由圖可知，該幾何體的體積等于下部分 11圓柱的體積加上上部分圓柱體積的2，所以該幾何體的體積 V=兀X 3 X 4+ ttX 3 X6*2=63兀.故選B.12方法一 （估值法）由題思知,2V圓柱V幾何體V圓柱，又V圓柱=ttX 32X 10= 90冗, 45兀H幾何體90兀.觀察選項(xiàng)可知只有 63兀符合.故選B.命題

8、點(diǎn)2求簡(jiǎn)單幾何體的體積例2如圖，正三棱柱 ABC A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為 a D為BC的中點(diǎn)，則三 棱車B A- B1 DC1的體積為（）A.3C.1答案 C解析如題圖，因?yàn)?ABC是正三角形，且D為BC中點(diǎn)，則 ADXBC.又因?yàn)锽B1L平面ABC, AD?平面ABC故 BB/AD,且 BBnBC=B, BB1, BC?平面 BCCm所以AD,平面BCC1B1,所以AD是三棱錐A-B1DC1的高.所以丫三棱錐a B1DC1=1S-SAB1DC131 1AD=1x V3x 3=1.3思維升華空間幾何體體積問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略（1）直接利用公式進(jìn)行求解.（2）用轉(zhuǎn)換法、分割法、

9、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解.（3）以三視圖的形式給出的應(yīng)先得到幾何體的直觀圖跟蹤訓(xùn)練1（1）（2018蘭州模擬）九章算術(shù)是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有芻薨，下廣三丈，袤四丈；上袤二丈，無(wú)廣；高一丈，問(wèn)：積幾何？”其意思為：”今有底面為矩形的屋脊?fàn)畹男w，下底面寬3丈，長(zhǎng)4丈；上棱長(zhǎng)2丈，高1丈,問(wèn)它的體積是多少？”已知1丈為10尺，現(xiàn)將該楔體的三視圖給出，其中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1丈，則該楔體的體積為（）網(wǎng)視圖：J,立方尺B.5 500C.6 000立方尺D.6 500立方尺A.5000立方尺答案A解析（分割法）該楔體的直觀圖如圖中的幾何體ABCDEF.取AB的中點(diǎn)G,

10、CD的中點(diǎn)H,連接FG,GH,HF,則該幾何體的體積為四棱錐FGBCH與1二棱枉ADEGHF的體積之和.又可以將二棱枉ADEGHF割補(bǔ)成圖為EF,底面積為S=2X3X1331=3（平方丈）的一個(gè)直棱柱，故該楔體的體積V=3X2+qX2X3X1=5（立萬(wàn)丈）=5000（立萬(wàn)尺）.223（2）如圖，直三棱柱ABCA1B1C1的各條棱長(zhǎng)均為2,D為棱B1C1上任意一點(diǎn)，則三棱錐D一A1BC的體積是Ai解析Vd-A1BC=VbA1BC=VA1-B1BC=3SAB1BC3=3.題型三與球有關(guān)的切、接問(wèn)題-”師生共研例3已知直三棱柱ABCAiBiCi的6個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，若AB=3,AC=4,AB，

11、AC,AAi=12,則球O的半徑為()A.3-217B.210C.123D.3_10答案C解析如圖所示，由球心作平面ABC的垂線,則垂足為BC的中點(diǎn)M.15_1一又AM=2bC=5，OM=2aAi=6,所以球O的半徑R= OA =引申探究1.本例若將直三棱柱改為“棱長(zhǎng)為4的正方體”，則此正方體外接球和內(nèi)切球的體積各是多少？解由題意可知，此正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)即為其外接球的直徑，正方體的棱長(zhǎng)即為其內(nèi)切球的直徑.設(shè)該正方體外接球的半徑為R,內(nèi)切球的半徑為r.又正方體的棱長(zhǎng)為4,故其體對(duì)角線長(zhǎng)為4g3,從而V外接球=3tR3=37tx(243)3=32y3兀，4s4332兀V內(nèi)切球=34=37tx2=

12、3.2 .本例若將直三棱柱改為“正四面體”，則此正四面體的表面積S與其內(nèi)切球的表面積多的比值為多少？解正四面體棱長(zhǎng)為a,則正四面體表面積為&=4X乎a2=43a2,其內(nèi)切球半徑r為正四面體高的4,即r=；W6a=*a,因此內(nèi)切球表面積為$2=4行2=6:，則S|="3a"=63.63 .本例中若將直三棱柱改為“側(cè)棱和底面邊長(zhǎng)都是36的正四棱錐”，則其外接球的半徑是多少？解依題意，得該正四棱錐底面對(duì)角線的長(zhǎng)為30xy2=6,高為，（3M2£x6：2=3,因此底面中心到各頂點(diǎn)的距離均等于3,所以該正四棱錐的外接球的球心即為底面正方形的中心，其外接球的半徑為3.

13、思維升華“切”“接”問(wèn)題的處理規(guī)律（1） “切”的處理首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過(guò)作截面來(lái)解決，截面過(guò)球心（2） “接”的處理抓住外接的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑跟蹤訓(xùn)練2（1）（2018全國(guó)出）設(shè)A,B,C,D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，ABC為等邊三角形且其面積為9y3,則三棱錐D-ABC體積的最大值為（）A.123B.183C.24.3D.54.3答案B解析由等邊ABC的面積為9g可得*3AB2=9V3,所以AB=6,所以等邊4ABC的外接圓的半徑為r=/3AB=2F.設(shè)球的半徑為R,球心到等邊4ABC的外接圓圓心的距離為d,則d=>/R2-r2=16-12=2.所

14、以三棱錐DABC高的最大值為2+4=6,所以三棱錐DABC體積的最大值為1X9>/3X6=1873.3則這個(gè)棱錐的外接球的表面積（2）（2019長(zhǎng)春東北師大附中模擬）一個(gè)棱錐的三視圖如圖所示,為（）A.34%B.25%C.41兀D.50兀答案A寬、高分別是4,3,3的長(zhǎng)方體所解析根據(jù)題中所給的三視圖可以斷定該幾何體應(yīng)該是由長(zhǎng)、截成的四棱錐，所以該棱錐的外接球相當(dāng)于對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)方體的外接球，所以長(zhǎng)方體的體對(duì)角線142+32+32V342就是其外接球的直徑，所以有R=42=t4,從而求得其表面積為S=4充=34兀,故選A.課時(shí)作業(yè)“基礎(chǔ)保分練B.16 + 4-J3D.48 + 4v3A.16+8

15、,30.48+8,3答案0解析根據(jù)三視圖知，該幾何體是底面為等邊三角形，高為4的直三棱柱，畫(huà)出幾何體的直觀圖，如圖所示,結(jié)合圖中數(shù)據(jù)，計(jì)算它的表面積是S=2x1X2鎘X4+3X4X4=48+8v3.2 .（2018鞍山質(zhì)檢）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）左視圖B.2tt+ 8D.3 兀+ 4+4.2A.3tt+8C.2什4+472答案D解析由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)組合體，左邊是一個(gè)半球，球的半徑為1,右邊是一個(gè)三棱柱，三棱柱底面是斜邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，高為2,組合體表面積由球表面積的一半，圓面積、棱柱的側(cè)面積組成，其值為X4itX12+uX12+（272+2）X2

16、=371+4+4小,故選D.3 .（2018錦州*II擬）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）蝌現(xiàn)圖A.18B.24C.32D.36答案B解析由三視圖可知，幾何體是三棱柱削去一個(gè)同底的三棱錐，如圖,三棱柱的高為5,削去的三棱錐的高為3,三棱錐與三棱柱的底面為直角邊長(zhǎng)分別為3和4的直角三角形，所以幾何體的體積為1x3X4X5-IxX3X4X3=30-6=24.2324 .算術(shù)書(shū)竹簡(jiǎn)于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國(guó)現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典著，其中記載有求“困蓋”的術(shù)：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，該術(shù)相當(dāng)于給出圓錐的底面周長(zhǎng)l與高h(yuǎn),計(jì)算其體積V的近似公

17、式V=±l2h,它實(shí)際36上是將圓錐體積公式中的圓周率兀近似取3,那么，近似公式V"怒l2h相當(dāng)于將圓錐體積公942式中的兀近似?。?2A. 725 B.?157355D.而答案解析V=3<2h = - ttX3± 2h2兀仁12,125 /口 157 拓八八府"lh,由石;T94?信廣而,故選C.5 .（2018營(yíng)口*II擬）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A與B.20C.16D.2033992的正方形為底面，高為 2答案B解析由給定的三視圖可知，該幾何體表示左側(cè)是一個(gè)以邊長(zhǎng)為的四棱錐，其體積為V1=：X2X2X2=8；右側(cè)為一個(gè)

18、直三棱柱，其底面如俯視圖所示，高33為2,其體積為V2=：X2X2X2=4,所以該幾何體的體積為V=V1+V2=+4=g，故選B.2336 .如圖所示，一個(gè)底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水.若放入一個(gè)半徑為r的實(shí)心鐵球，水面高度恰好升高r,則R=.必答案233解析由水面高度升高r,得圓柱體積增加了2求，恰好是半徑為r的實(shí)心鐵球的體積，因3爐4- 3有匕止233=R-r故2的正六邊形，側(cè)棱長(zhǎng)都相等，則該六棱錐的7 .一個(gè)六棱錐白體積為2由，其底面是邊長(zhǎng)為側(cè)面積為.答案121解析設(shè)六棱錐的高為h,則V=：Sh,3所以呼X4X6h=2V3,解得h=1.34設(shè)六棱錐的斜高為h',則h2+

19、雨2=h，2,故h，=2.所以該六棱錐的側(cè)面積為卜2X2X6=12.左視憎8 .一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為答案2f解析由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)組合體,它由半個(gè)圓錐與四分之一球體組成，其中，圓錐的底面半徑為x兀x12x2=r；3球半徑為1,體積為4x3.x13=；,所以，該幾何體的體積為尹;二,9.某組合體的三視圖如圖所示，則該組合體的體積為巨T 左視圖解析 如圖所示，該組合體由一個(gè)四棱錐和四分之一個(gè)球組成，球的半徑為1,四棱錐的高為球的半徑，四棱錐的底面為等腰梯形，上底為2,下底為1,高為呼,所以該組合體的體積丫=1*2*（2+1）*乎x1+4*410.（2017全國(guó)n

20、）長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為3,2,1,其頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為答案14兀解析二.長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)都在球。的球面上,長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)度就是其外接球的直徑設(shè)球的半徑為R,則2R=31“ c、 c c c=-X-X (1+ 2)X 6X 8=24, 2則幾何體的體積為V= V1+V2= 72 + 24= 96.方法二 用“補(bǔ)形法”把原幾何體補(bǔ)成一個(gè)直三棱柱， 使AA'111=2V 三棱柱=2 X SaabcX AA = 2* 24X 8= 96.+22+12=/4.球O的表面積為S=4兀R2=4兀*=14兀.11.（2019呼倫貝爾模擬）已知一幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何

21、體的體積為幡覘圖答案解析由三視圖可得該幾何體由左、右兩部分組成,左邊為圓錐,右邊為三棱錐.該幾何體的體積V=1X1X612X1+1X1X1X2X1=-7+1.4332123ABC,且 AE / FC / BD, BD =12.如圖，在ABC中，AB=8,BC=10,AC=6,DB，平面3,FC=4,AE=5.求此幾何體的體積.解 方法一 如圖，取 CM=AN=BD,連接DM, MN, DN ,用“分割法”把原幾何體分割成一個(gè)直三棱柱和一個(gè)四棱錐則V幾何體=V三棱柱+V四棱錐由題知三棱柱ABCNDM的體積為V1=1x8X6X3=72.四棱錐DMNEF的體積為1、，=BB = CC =8,所以V幾

22、何體V2=QXS梯形MNEFXDN3力技能提升練13 .某幾何體的三視圖如圖所示，依次為主視圖、左視圖和俯視圖，則這個(gè)幾何體的體積為()主現(xiàn)圖 左覘圖俯覘圖A.6 7t+ 4 B.8 tt+ 8 C.6 tt+ 23334D.8ti+-3答案 B解析 由三視圖可知，該幾何體是如圖所示的組合體,該組合體由一個(gè)三棱錐與四分之三球體組成,2,所以可得該幾何體的其中棱錐的底面是等腰直角三角形，一側(cè)面與底面垂直，球半徑為體積為V=3X45X23+1X1X4X2X2=8tt+8,故選B.43323其中俯視圖是等腰直角三角形，則該14 .(2019湛江*II擬)已知一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示,三棱錐的外接球體積為-Zfl 主視圖左視圖俯視圖答案4,3兀解析如圖所示，在長(zhǎng)、寬、高分別為2，冊(cè),2的長(zhǎng)方體中,點(diǎn)E,F分別為對(duì)應(yīng)棱的中點(diǎn)，則三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體為三棱錐E-ABF,將三棱錐補(bǔ)形為三棱柱ABFA1B1E,則三棱錐的外接球即三棱柱的外接球，取AB,A1B1的中點(diǎn)G,H,易知外接球的球心為GH的中點(diǎn)，據(jù)此可得外接球半徑R=叱平2+12=8外接球的體積V=（tR3=4371.3V拓展沖刺練1,則該幾何體的外接球