立體幾何存在性問題

1、立體幾何存在性問題未命名一、解答題1.在多面體ABCDEF中，底面ABCD是梯開齊四邊開條DEF是正方開久AB/DC CD丄AD， ffilABCD 丄面ADEF，AB = AD = 1CD = 2-(1) 求證：平面EBC丄平面EBD：(2) 設M為線段EC上一點，3EM = EC試問在線段BC上是否存在一點T，使得MT平 面BDE，假設存在，試指出點T的位置：假設不存在，說明理由？(3) 在(2)的條件下，求點A到平面MBC的距離.2 .如圖，四棱錐R-ABCD中，底面ABCD是直角梯形， AB/CD AB 1 AD* AB = 2CD = 2AD = 4 側(cè)JHpAB是等腰直角三角形，P

2、A = PB 平而 PAB丄平面ABCD點E,F分別是棱AB,PB上的點，平面CEF/平面PAD(I )確定點E,F的位置，并說明理由；(II)求三棱矗F-DCE的體積.3.如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1 中，AB = AD = 6,AAi = 25，點E在棱BC上，CE = 2 點F為棱C1D】的中點，過E,F的平面a與棱A】Di交于G，與棱AB交于H，且四邊形EFGH 為菱形.(1) 證明：平面A1G1E丄平面BDD1B1：(2) 確定點GH的貝體位置(不需說明理由)，并求四棱錐B-EFGH的體積.4.如圖2,在四棱錐P-ABCD中，平面PAD丄平面ABCD，底面ABCD為矩形(

3、1)求證：平面PAB丄平面PAD；5.如圖，三棱錐B-ACD的三條側(cè)棱兩兩垂航 BC=BD = 2 E F分別是棱CD，AD的中 點(1)證明:平面ABE丄平ACD；假設四面體ABEF的體枳為止求線段AE的長6.如圖，在四棱錐pABCD中，AD/BC* AB = AD = 2BC = 2* PB = PD PA =(1)求證：PA丄BD；假設PA丄AB，BD=2邁，E為PA的中點(i) 過點C作一直線I與BE平行，在圖中畫出直線I并說明理由：(ii) 求平面BEC將三棱錐P-ACD分成的兩局部體枳的比.7.如圖1所示，在梯形BCDE中，DEBC，且DE = ?BC, Zc = 90*分別延長兩

4、腰交于點A，點F為線段CD上的一點，將ADE沿DE折起到A A1DE的位置使A1F丄CD，如圖2所 示.1求證：AiF 丄 BE： 假設BC = 6，AC = 8四棱錐Ai-BCDE的體枳為12回 求四棱錐A1-BCDE的外表積.8.如圖.在四棱錐p-ABCD求證：BC丄平面ACFE： 當EM為何值時，AM 平面BDF?證明你的結(jié)論.10. 10.如圖,己知菱形AECD的對角線AC, DE交于點F，點E為的ABADE沿線段DE折起到 PDE的位置如圖2所示. 求證：DE丄平面PCF： 證明：平面PBC丄平面PCF； 在線段PD,BC上足否分別存在點M,N，使得平fflcFM平面PEN?假設存在

5、，請指 出點M,N的位置并證明；假設不存在，請說明理由.!1*底面ABCD為矩形.平面PBC丄平面ABCD* PB丄PDP 證明：平面PAB丄平面PCD；2假設pg = PC* E為棱CD的中點，PEA = 90* BC= 2求四面體A-PED的體積.9.如圖,在梯形ABCD中，AB W CDAD= DC = CB = a乙ABC = 6T，四邊形ACFE是矩形, 且平面ACFE丄半面ABCD點M在線段EF上.參考答案1. (1)見解析(2)見解析氏【解析】分析：在梯形ABCD中，過點作B作BH丄8于H，可得厶DBC = 9CT，所以BC丄BD， 由面ABCD丄面ADEF，可得出ED丄BC，利

6、用線面垂直的判定定理得BC丄平面EBD，進而町得平 面EBC丄 卩面EBD；(2在線段BC上取點T，使得3BT= BE連接MT，先證明ACMT與ACEB相 似，于是得MT/EB，由線面平行的判定定理可得結(jié)果：(3)點A到平而MBC的距離就是點A到 平面EBC的距離，設A到平面EBC的距離為h，利用體積相等可得,討詁阪 解 得h母O詳解：因為面ABCD丄面ADEF 面ABCD n面ADEF = AD，ED丄AD，所以ED丄面 ABCD ED 丄 BC故四邊形ABHD親正方形，所以Z.ADB = 45-在 ABCHP BH = CH = b ZBCH=45BC 二詛，乙BDC = 45， 乙DBC

7、 = 90BC 丄 BD因為BDn ED = D BDU平面EBD，ED u平面EBDBC丄平面EBD,BCc平面EBC，平面EBC丄平面EBD(2) 在線段BC上存在點T，使得MT平面BDE在纟戈段BC上取點T，使得3BT= BE連接MT在AEBC中,因為詐詈嶺所以ACMT與ACEB相似,所以MT/EB又MTC平面BDEEBU平面BDE所以MT平面BDE(3) 點A到平面MBC的距離就是點A到平面EBC的距離，設A到平面EBC的距離為h，利用同角點睛：證明線面平行的常用方法：利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關鍵是設法 在平面內(nèi)找到i條與直線平行的直線，町利用幾何體的特征，合理利用中位線

8、定理、線 面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.利用面而平行的性質(zhì)， 即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面.2. ( I )見解析(II) Vf-dce = I【解析】試題分析：(1)根據(jù)而而平行的性質(zhì)得到CEAD，EF/PA，根據(jù)平行關系和長度關 系得到點E是AB的中點，點F是PB的中點；(2： Vf-dce = Vp-dec*因為PA = PB,AE = EB*所以 PE丄AB，進而求得體積.詳解：(I) 因為平面CEF/平面PAD，平面CEF n平面ABCD = CE 平面PAD n平面ABCD = AD所以CE/AD*又因為AB/DC， 所以四邊形AEC

9、D是平行四邊形，所以DC = AE = ；AB, 即點E是AB的中點.因為平面CEF/平面PAD，平fficEF H平面PAB = EF，平面PAD n平面PAB = PA所以EF/PA，又因為點E是AB的中點，所以點F是PB的中點，綜上：e,F分別是AB,PB的中點：(II) 因為PA = PB.AE = EB所以PE丄AB，又因為平面PAB 1平面ABCD*所以PE丄平面ABCD；又因為AB/CD.AB丄AD，所以 Vf - DCE = ；Vp - DEC = fSdDEC xPE = xx2x2x2 = -.點睛:這個題目考査了面面平行的性質(zhì)應用，空間兒何體的體積的求法，求椎體的體枳，一

10、 般直接應用公式底乘以高乘以三分Z,會涉及到點面距離的求法，點面距町以通過建立空 間直角坐標系來求得點面距離，或者尋找面面垂直，再直接過點做交線的垂線即町；當點面 距離不好求時，還可以等體枳轉(zhuǎn)化.3. (1)見解析(2) G為棱AiDi.靠近A】的三等分點，H為棱AB中點，86【解析】分析:要證平面AiCiE丄平面BDD1B1，即證AiCi丄平面BDD1B1，即證A1C1丄BiDv AiCi丄BBi： (2)g為棱AiDi上靠近A】的三等分點，H為棱AB中點，利用等體積法 Vb-efgh = 2Vb- EFH = 2VF-BEH 即可求得結(jié)果.詳解：在矩形A1B1C1D1 中,VAB = AD

11、, AA1B1 = A1D1.* AiCi 丄 BiDi.又BB1 丄平面AiBiCiDi， - BBi 丄 AiCi. BBi n BiDi = Bn A AiCi 丄平面BDDiBi又AiCi c 平面A1C1& 平面AiCiE 丄平面BDDiBi-(2)g為棱AiDi靠近A】的三等分點，H為棱AB點，HB = 3,BE = 4* 所以AHBE的面積Sahbe = xHBxBE = x4x3 = 6.于是四棱錐B-EFGH的體枳11廠 廠Vb EFGH = 2Vb EFH = 2Vf BEH = 2 X J X sahbe x BBi = 2 X J x 6 x 23 = 8V3.點睹：求

12、錐體的體積要充分利用多面體的截面和旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問 題求解，注意求體積的一些特姝方法分割法、補形法、等體枳法割補法：求一些不 規(guī)那么幾何體的體積時，常用割補法轉(zhuǎn)化成體枳公式的兒何體進行解決.等積法：等枳 法包括等面枳法和等體枳法.等枳法的前捉是幾何圖形或幾何體的而積或體枳通過 條件可以得到，利用等積法可以用來求解幾何圖形的奇或幾何體的高，特別是在求三角形的 高和三棱錐的高時，這一方法回避了通過具體作圖得到三角形或三棱錐的高，而通過直接 計算得到高的數(shù)值.4. 1見解析；2卑【解析】分析：1由平面PAD丄平面ABCD，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得AB丄平面PAD，由面 面垂直的判

13、定定理可得結(jié)論；2取AD的中點0,那么po丄平面ABCD, PO = vW，由Vp.abcd = Sabcd PO # 4x 4二=竽=x = 1，從而利用棱錐的體積公式可得結(jié)果.=AB丄平面PAD AB U平面pab丿平而PAD丄平面ABCD.詳解1證明平而PAD C平匝ABCD = AD.AB 丄 AD=平面PAB丄平面PAD-2解：取AD的中點0,那么PO丄平面ABCD,且PO = 4-x2,Vp. ABCD = Sabcd PO = p4x- 4 - x2 = 1 或舍去，那么 AD = 2 又易知PB = BD = 2返且 PD = 2=Sapbd = V7所以Vc PBD = A

14、P8D h = 7 h = Vp-BCD = Vp-ABCO = ,解出h =點睛：解答空間兒何體中垂直關系時，一般要根據(jù)條件把空間中的線線、線面、面面之 間垂直關系進行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化時要正確運用有關的定理，找出足夠的條件進行推理：證明直線 和平面垂直的常用方1利用判定定理；2利用判定定理的推論a|b,aia=b丄a：3利用面面平行的性質(zhì)a丄a,a|P=a丄B：心利用面而垂U的性質(zhì)，肖兩個平面垂直 時，在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面.5. 1證明見解析；2尼.【解析】分析：1推導出BE丄CD, AB丄CD,從而CD丄平面ABE,由此能證明平面ABE丄 平面ACD：2取BD的中點G,連

15、接EG,那么EGBC.推導出BC丄平面ABD,從而EG丄平面ABD,由 此能求出線段AE的長.詳解：1證明：因為BC = BD E是棱CD的中點，所以BE丄CD又三棱錐B-ACD的三條側(cè)棱兩兩垂直，且BC n BD = B所以AB丄平面BCD，那么AB丄CD因為AB n BE = B*所以CD丄平面ABE，又CDU平面ACD，所以平IffiABE丄平面ACD.2解：取BD的中點G，連接EG，那么EG/BC易證BC丄平面ABD，從而EG丄平面ABD，所以四面體ABEF的體積為詁扌X ABxBDx EG = y=WJaB = 3在RtAABE中，BE 二邁AE = 32 + 2 =點時：垂直.平行

16、關系證明中應用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型.(1) 證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行.(2) 證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.(3) 證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.6. (1)見解析；(2)見解析，|【解析】分析:取BD中點0,連接A0,P0,先證明BD丄面PA0,再證明PA丄BD取PD中點 F，連接CF.EF,那么CF/BE，CF即為所作直線I,證明四邊形BCFE為平行四邊形即得證.()先分別 計算出兩局部的體枳，再求它們的比.詳解: 證明：取BD中點0,連接AOPO EF/BCHEF = BC，-四邊形BCFE為平行四邊形 A CF/BE(U) v PA 丄 AB，PA 丄

17、BD，AB n BD = B A PA 丄面ABD 又在 AABD 中AB = AD = 2BD = 22, AB2 + AD2 = BD2 A AB 丄 AD又PA 丄 AB.PA n AD = AaAB丄面PAD1 1U 2佰Vp. ACD = 3 x - X 2 X 2 X V3 =11, $ $Vcaefd = rx-x(l + 2)x-x2 = y23 |3 Y33 2 6Vc AUO點睛：(1)此題主要考査空間平行垂直位置關系的證明，考查空間幾何體體積的計算，意 在考査學生對這些根底知識的拿握能力和空間想彖轉(zhuǎn)化能力.(2)對于空間平行垂直位置關 系的證明有幾何法和向量法兩種方法，空

18、間幾何體體枳的計算有公式法、割補法和體積變換 法三種方法.7. (1)見解析； 36 + 43 + 2V9【解析】分析：(1)先利用直角三角形和線線平行的性質(zhì)得到線線垂直，再利用線面垂直的 判定定理和性質(zhì)得到線面垂直和線線垂直：(2)分析四棱錐的各面的形狀，利用相關面積公 式進行求解.詳解：因為Z*90 ,即ACLBC,肚DEBC、所以 DE丄&C,那么 DE丄DC, DE.LDA1，又因為DCCDA、= D,所以丄平面因為AiFu平面AiDC,所以DE丄如F.又因為AZ CD, CDC DE= D、所以4F丄平面8宓，又因為3EU平而BCDE,所以&廬丄BE.1(2)由應；社DE=BC,得Q

19、, 分別為M的屮點,在中，AB = 62 + 82 = 10.那么 A、E=EB=5, A：D=DC=4,那么梯形 BCDE 的面積 5i=2x(G 43)x4 = 18,四核錐Ai-BCDE的體積為U= 3x18x4= 12.即十=2可，在RtAAZZF中，DF = V42 - (2V5)2 = 2,即尸是仞的中點,所以 AiC=AiD=4,風対DE/BC, DE丄平面所以BC丄平而AlDC,所以8C丄ZhC,所以AiB = 62 + 42 = 2V13, 在等腰TUBE中，底邊A/匕的高為、1正匚面 =2命，所以四棱錐 AlBCDE 的外表枳為 S=Si + S ae + S “AiDc

20、+ S a AiBc+S AiBE= 18+Lc3x4+0x4x2帀+Ex6x4+Lc2Vx2 西=36+4可+2廂.點睛：此題考查空間中的垂直關系的轉(zhuǎn)化、空間幾何體的外表枳等知識，總在考查學生的空 間想象能力和數(shù)學轉(zhuǎn)化能力.& (1)見解析；(2) y【解析】分析：(1)由面面垂直的性質(zhì)定理得到CD丄平而PBC，即CD丄PB，進而得到平面PAB丄平面PCD，(2)由等體積法求解，Va-ped = Vp-aed詳解：(1)證明：四邊形ABCD是矩形，:CD丄BC平面PBC丄平面ABCD,平而PBCC平面ABCD=BC, Cu平面ABCD,CD丄平面PBC,:CD1PB.PB丄PD, CDCPD=D, CD、PDU平面PCD,.陽丄平面PCD.PBU平面PAB,:.平面刊B丄平面PCD(2)取BC的中點O,連接OP、OE.TPB 丄平面PCD，：PB 丄 PC， .*.OP = BC= 1,V PB = PC，：PO 丄 BC平iffiPBC丄平面 ABCD,平iffiPBCC 平而 ABCD=BC, POU 平面 PBC,:.PO丄平面 ABCD, :AEU 平面 ABCD, PO丄AE. V ZPEA=9Q, .PE丄AEPOCPEuP, :.AE丄平面 POE, :.AE-LOE.V ZC=ZD=90,