直線與拋物線的位置關(guān)系60

1、課時(shí)跟蹤檢測(cè)(六十)直線與拋物線的位置關(guān)系高考根底題型得分練1. 假設(shè)過(guò)拋物線y = 2x2的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于 A(xi, yi),B(X2 , y2),貝S X1X2 =()1 1A . 2 B. 2 C. 4 D. 16答案：D11i解析：由y= 2x2，得x2 =尹.其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F 0, 8 ,取直線y=g,1111 11 1那么其與 y=2x2交于 A dg , B4, 1，AX1X2= 4 匸=-屁.2. A, B為拋物線C: y2 = 4x上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，假設(shè)FA= 4FB,那么直線AB的斜率為()A2B±3C±3D-±A.

2、 ±3B .±2C .±4D .±3答案：D解析：由題意知焦點(diǎn)F(1,0),直線AB的斜率必存在，且不為0, 故可設(shè)直線AB的方程為y= k(x1)(kz0),代入y2 = 4x中化簡(jiǎn)，得 ky2 4y 4k = 0.設(shè) A(X1, yj, Bg y2),4那么 y + y2=k yy2 = 4,又由 FA= 4fB，可得 y1 = 4y2.4聯(lián)立，解得k= ±3.x2 y3. 拋物線y2 = 2px(p>0)的焦點(diǎn)F與雙曲線12才=1的一個(gè)焦點(diǎn)重合，直線y= x 4與拋物線交于A, B兩點(diǎn)，貝S |AB|=()A. 28 B. 32 C

3、. 20 D. 40答案：BX2 y2解析：雙曲線12才=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±0)，故拋物線的焦點(diǎn)F 的坐標(biāo)為(4,0),因此p= 8,故拋物線方程為y2= 16x,易知直線y=x 4過(guò)拋物線的焦點(diǎn).設(shè) A, B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(xi, yi), (x, y2).y2= 16x,由y=x4,可得 x2 24x+ 16= 0,故 xi + X2= 24.故 |AB|= X1 + x2 + p= 24+ 8= 32.4. 頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的拋物線與直線y= 2x+ 1交 于P, Q兩點(diǎn)，假設(shè)|PQ|= 15，貝拋物線的方程為()A . y2= 4xB. y2= 12xC. y2= 4

4、x或y2= 12xD .以上都不對(duì)答案：C解析：由題意設(shè)拋物線的方程為y2= 2px，聯(lián)立方程得y2= 2px,消去 y, 得 4x2 (2p 4)x + 1 = 0,那么= (2p 4)2 16y= 2x+ 1,p_ 2=4p 1A. 2 B. 4 Cq D.4 答案：D 解析：根據(jù)題意，拋物線的焦點(diǎn)為(0,1),設(shè)直線AB的方程為y1y= kx+1,=kx+ 1(kz 0)，直線CD的方程為y= kx +1,由得kx2 = 4y,y2 (2 + 4k2)y + 1 = 0,由根與系數(shù)的關(guān)系，得 yA + yB = 2 + 4k2,所以 |AB| 11=yA+yB + 2= 4 + 4K2,

5、冋理 |CD| = yc + y + 2= 4+k2,所以 |AB|+ |CD| 16p>0, p<0 或 pP(xi, yi), Q(X2,目2，貝S Xi + X2 = 廠,X1X2_ 1=4.|PQ|= ；1 + 22|xi X2|= . 5 Xi + X2 2 4xiX2=質(zhì)p-22 4X 4=Vi5,所以 牛p= 3, p2 4p 12 = 0,解得p= 2或6,所以拋 物線的方程為y2= 4x或y2= 12x.5. 2022河北衡水中學(xué)調(diào)研過(guò)拋物線x2 = 4y的焦點(diǎn)作兩條互相1 11k24k2 + 4 + 4k2 + 4應(yīng)選D.垂直的弦 AB, cd，那么|AB|+|

6、CD|=()6. 拋物線y2= 2px(p>0),過(guò)其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于A, B兩點(diǎn)，假設(shè)線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,那么該拋物線 的準(zhǔn)線方程為()A . x= 1 B. x= 1 C. x= 2 D. x= 2 答案：Bp解析：ppy =x 2,F 2, 0 , AB: y=x 2,由y2= 2px,得 y2 2py p2= 0, yA + yB = 2p=4,p.p= 2,準(zhǔn)線 x= 2= 1.7. 2022杭州二中質(zhì)檢拋物線y2= 2px(p>0)與直線ax+ y 4= 0相交于A, B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,2),如果拋物線的焦點(diǎn) 為 F，那么 |FA|+

7、|FB=()A. 5 B. 6 C. 3 5 D. 7答案：D解析：把點(diǎn)A的坐標(biāo)(1,2)分別代入拋物線y2= 2px與直線方程axy2 = 4x,+ y4= 0,得 p= 2, a= 2,由消去 y,得 x2 5x2x+y 4= 0,+ 4= 0,貝S xa + Xb = 5.由拋物線定義，得 |FA|+ |FB|=Xa + Xb + p= 7, 應(yīng)選D.8. 拋物線y2 = 4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為I,經(jīng)過(guò)F且斜率為3 的直線與拋物線在x軸上方的局部相交于點(diǎn) A, AK丄I,垂足為K, 那么厶AKF的面積是()A . 4B. 3 3 C. 4 3 D. 8答案：C解析：由拋物線的定義，知|A

8、F|= |AK|,又v/KAF等于直線AF的傾斜角，/KAF = 60° 以FK是正三角形.y2 = 4x,聯(lián)立方程組消去y,y=V3x 1 ,1 得 3x2 10x + 3= 0,解得 x= 3 或 x= 3.由題意得A(3,2 3),3那么MKF的邊長(zhǎng)為4,面積為萬(wàn)X 42= 4 3.9. 2022東北三校聯(lián)考設(shè)拋物線y2 = 4x的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)M(1,0)的直線在第一象限交拋物線于A, B,且滿足AF BF = 0,那么直線AB的斜率k=()A. 22-3B.y C. 3 D. 3答案：B解析：依題意，設(shè)直線AB的方程為y= k(x+ 1)(kz0),代入拋物線方程y2 =

9、4x并整理，得k2x2 + (2k2 4)x + k2 = 0.因?yàn)橹本€與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以= (2k2 4)2 4k4A(X1, y1), B(X2, y£，那么4-2k2k ' 又因?yàn)?AF BF= 0,所以(xi 1)(x2 1) + yiy2 = 0, X1X2 = 1.(xi 1)(X2 1)+ k2(xi + 1)(X2 + 1)= 0, (1 + k2)xix2 + (k2 1)(xi + X2)+ k24 2k2(1 I- X221+ 1 = 0,把1k2 ，代入并整理，得k2=2.又 k>0，所以X1X2= 1,2k=2",應(yīng)選 B

10、.10. 拋物線C: y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，拋物線C與直線1仁y= x的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為8.(1) 求拋物線C的方程；(2) 不過(guò)原點(diǎn)的直線12與11垂直，且與拋物線相交于不同的兩點(diǎn) A,B, 假設(shè)線段AB的中點(diǎn)為P,且|OP| = |PB|，求 FAB的面積.解：(1)易知直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(8, 8),( 8)2 = 2pX 8,二 2p= 8，拋物線方程為 y2 = 8x.(2)直線12與11垂直，故可設(shè)直線12： X= y+ m, A(X1, y), B(x, y2)，直線12與x軸的交點(diǎn)為M.y2 = 8x,由得 y2 8y 8m= 0,x = y+ m,=

11、 64+ 32m>0 , m> 2.y1 + y2= 8, y1y2= 8m,. X1X2= §4 = m2.由題意可知 OA丄OB, 即卩 X1X2 + y1y2= m2 8m= 0, m= 8 或 m= 0(舍去)，直線 12： x = y+ 8, M(8,0).故 S FAB = S FMB + S FMA1=2lFM| |yi-y2|=3 yi + y22 4yiy2 = 24 5.沖刺名校能力提升練1. 2022遼寧沈陽(yáng)監(jiān)測(cè)拋物線y = 4ax2(a 0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A. (0, a) B. (a,0)1 丄 cC. 0， 16a D. 16a， 0答案：C

12、1解析：將y= 4ax2(a 0)化為標(biāo)準(zhǔn)方程得x2=亦丫心工0)，所以焦1點(diǎn)坐標(biāo)為0,花a，應(yīng)選C.2. 2022皖北協(xié)作區(qū)聯(lián)考拋物線C: x2 = 2py(p>0)，假設(shè)直線y= 2x被拋物線所截弦長(zhǎng)為4.5，那么拋物線C的方程為()A. x2= 8yB. x2= 4yC. x2= 2yD. x2= y答案：C玄=2py,x= 0,x= 4p,解析：由得或即兩交點(diǎn)坐標(biāo)y= 2xy=0,y= 8p,為(0,0)和 (4p,8p)，貝卩4p2 + 8p2 = 4 5，得 p= 1(舍去負(fù)值)，故拋物線C的方程為x2= 2y.3. 2022江西贛州二模拋物線C: y2= 2px(p>

13、0)的焦點(diǎn)為F, A是拋物線上一點(diǎn)，假設(shè) A到F的距離是A到y(tǒng)軸距離的兩倍，且三 角形OAF的面積為1, O為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么p的值為A. 1 B. 2 C. 3D. 4答案：B解析：不妨設(shè)Axo , yo在第一象限，由題意可知pXo + 2 = 2xo,1 pssaf=2 2 yo = i,Xo=P2,Ap 4A 2，p，yo=P'又t點(diǎn) A 在拋物線 y2 = 2px 上, a-6 = 2px號(hào)，即 p4 = 16,又Tp>o, p= 2,應(yīng)選 B.4. 2oi8豫南九校聯(lián)考點(diǎn)P是拋物線x2= 4y上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸上的射影是點(diǎn)Q,點(diǎn)A的坐標(biāo)是8,7,那么|FA|+ |PQ|

14、的最小值為A . 7答案：B. 8 C. 9 D. 10C解析：拋物線的焦點(diǎn)為F0,1，準(zhǔn)線方程為y=1，根據(jù)拋物線的定義知，|PF|= |PM|= |PQ |+ 1.+ 7- 1 2- 1= 10- 1= 9.1 =當(dāng)且僅當(dāng)A, P, F三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，那么|FA|+ |PQ|的最小值為9.應(yīng)選C.5. 2022全國(guó)新課標(biāo)卷I 在直角坐標(biāo)系xOy中，直線I: y=t(t工0) 交y軸于點(diǎn)M，交拋物線C: y2= 2px(p>0)于點(diǎn)P, M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì) 稱點(diǎn)為N,連接ON并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)H.求他；(1) 求 |ON| ；(2) 除H以外，直線MH與C是否有其他公共點(diǎn)？說(shuō)明理由.t2

15、解：(1)由得 M(0, t), P2p, t .t2又N為M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)，故N p t ,ON的方程為y = px,代入 y2 = 2px, 整理得 px2 2t2x= 0,解得 Xi = 0, X2=p.p因此H , 2t .p所以N為OH的中點(diǎn)，即|OH|= 2.(2)直線MH與C除H以外沒(méi)有其他公共點(diǎn).理由如下：p2t直線MH的方程為yt = 2x,即卩x=(y t).代入 y2 = 2px 得 y2 4ty + 4t2 = 0,解得 yi = y2 = 2t,即直線MH與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以除 H以外直線MH與C 沒(méi)有其他公共點(diǎn).6. 2022江西聯(lián)考點(diǎn)F是拋物線C: x2 =

16、 2py(p>0)的焦點(diǎn)，13點(diǎn)P(3, yo)(yo>1)是拋物線C上一點(diǎn)，且|PF|=4，° Q的方程為x2+ (y 3)2= 6,過(guò)點(diǎn)F作直線I，與拋物線C和° Q依次交于點(diǎn)M , A,B, N(如下列圖).(1)求拋物線C的方程；求(|MB| + |NA|) |AB|的最小值.解：(1)由P(3, yo)在拋物線C上，得2pyo= 9. 又|PF|=字，得y°+2=曽.yo=1,9上述兩個(gè)等式聯(lián)立，解得或 y0=4,p=9p= 2.9又 y°>1，二y0=4，p= 2.所以拋物線C的方程為x2= 4y.(2)由題意，知直線I的斜率一定存在.設(shè)直線I的方程為y= kx+ 1,2那么圓心Q(0,3)到直線I的距離為d= 2+ |AB|= 2 r2-d2 = 26-k2 + 1.x2 = 4y,設(shè) M(xi, yi), N(x, y2), 由 y= kx+ !,得 y2- (2 + 4k2)y + 1 = 0,那么 yi + y2=4k2+2.由拋物線定義，知 |MN|= yi + y2 + 2= 4(1 + k2), (|MB|+ |NA|) |AB| = (|MN| +