矩陣運算及其應用

1、第二章第二章 矩陣運算及其應用矩陣運算及其應用 2.1 矩陣的加減乘法矩陣的加減乘法2.2 矩陣的逆矩陣的逆2.3 矩陣的分塊矩陣的分塊2.4 初等矩陣初等矩陣2.5 應用實例應用實例2.6 習題習題2.1 矩陣的加減乘法矩陣的加減乘法2.1.1 矩陣的加法矩陣的加法定義定義2.1 設有兩個同型的 矩陣， ，矩陣矩陣A與矩陣與矩陣B的和的和記作 ，規(guī)定為：nmijm naA ijm nbBA +B111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnabababababababababA+B若 ，把 記作 ，稱為A的負矩陣。顯然有： 由此可定義矩陣的減法矩陣的減法為：ijm

2、naAnmijaAA+ -AOA-B = A+ -B2.1.2 矩陣的數(shù)乘矩陣的數(shù)乘定義定義2.2 數(shù) 與矩陣 的乘積，簡稱數(shù)乘數(shù)乘，記作 或 ，規(guī)定為ijm naAAA111212122212nnmmmnaaaaaaaaaAA矩陣的加法和數(shù)乘統(tǒng)稱為矩陣的線性運算，矩陣的線性運算滿足下列運算規(guī)律（A、B、C是同型矩陣， 、 是數(shù)） （1）加法交換律 （2）加法結(jié)合律 （3） （4） A+B=B+AA+B +C = A+ B+CA+O = AA+ -A =O（5）（6）（7）（8）數(shù)乘分配律 AAAA+BAB1A = A AAA2.1.3 矩陣的乘法矩陣的乘法定義定義2.3 設A是矩陣，B是矩陣

3、，那么矩陣矩陣A 和矩陣和矩陣B的乘積的乘積是一個矩陣C，其中記作 C=ABsjisjijiskkjikijbabababac22111njmi,2, 1;,2, 1由定義知，只有當?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)和第二個矩陣的行數(shù)相等，即它們的內(nèi)階數(shù)相等時，兩個矩陣才能相乘。 乘積矩陣的第 元素等于前一個矩陣的第 行各元素與后一個矩陣的第 列相應元素乘積之和，即： ji,ij定義定義2.4 對于變量 ，若它們都能由 變量線性表示，即有： （2-1）則稱此關系式為變量 到變量 的線性變換線性變換。 nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay22112222121212121111myyy,

4、21nxxx,21nxxx,21myyy,21可以寫成輸出向量Y等于系數(shù)矩陣A左乘輸入向量X：1111211221222212nnmmmmnnyaaaxyaaaxyaaax Y =AX例例2.4 式（2-2）給出變量 到變量 的線性變換；式（2-3）給出變量 到變量 的線性變換。請寫出變量 到變量 的線性變換。 （2-2） （2-3） 321,xxx21, yy21,tt321,xxx21,tt21, yy32322212123132121111xaxaxayxaxaxay232131322212122121111tbtbxtbtbxtbtbx解：方法一方法一，代換法。 將式（2-3）代入式（

5、2-2），得： （2-4） 方法二方法二，矩陣運算法。 根據(jù)矩陣乘法的定義，可以把式（2-2）和式（2-3）分別寫為式（2-5）和式（2-6）的矩陣等式： 232232222122113123212211212232132212121113113211211111tbababatbababaytbababatbababay （2-5） （2-6） 把式（2-6）代入式（2-5）中，得：11112131221222323xaaayxaaayx11112122122233132xbbtxbbtxbb 11121312122232aaayaaay11121212223132bbtbbtbb （2-7

6、） 式（2-7）和式（2-4）等價。通過這個例子，可以看出矩陣乘法在線性變換中的運用。 11 1112 2113 3111 1212 2213 321121 1122 2123 3121 1222 2223 3222a ba ba ba ba ba byta ba ba ba ba ba byt 有了矩陣乘法的定義后，可以把一般的線性方程組（1-3）寫為矩陣形式： （2-8） 若用A表示系數(shù)矩陣，X表示未知量構(gòu)成的向量，b表示常數(shù)項所構(gòu)成的向量，則式（2-8）可以化簡為： AX=b1112111212222212nnmmmnnmaaaxbaaaxbaaaxb 例例2.5 已知 ， ， 求 AB

7、，BA解：根據(jù)矩陣乘法定義，有：121340256A1020103058 BAB =12134025610201030581 10 2 ( 10) ( 1) ( 5) 1 20 2 30 ( 1) 83 10 4 ( 10) 0 ( 5)3 20 4 30 0 8( 2) 10 5 ( 10) 6 ( 5) ( 2) 20 5 30 6 8 由于矩陣有2列，矩陣有3行，所以B不能左乘A。由矩陣乘法定義和前面的例題可以看出：（1）矩陣乘法不滿足交換律，即在一般情況 下 （2）不能由 ，推出 或57210180100158ABBAAB = OA =OB = O（3）不能由 ， ，推出 在一般情況下

8、有：矩陣乘法滿足下列運算規(guī)律： （1） （2） AC= ABAOB = C22222(A +B)A + 2AB+B(A +B)(A-B)A -BAB C= A BCA B +C = AB + ACA+B C= AC+BC（3） ， 為數(shù) （4）（5） ， ，其中 為正 整數(shù)， 必須為方陣。 ABA BABm nnmm nm nAII AAklk lA AAlkklAAlk,A2.1.4 矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣的轉(zhuǎn)置定義定義2.5 設是 一個 矩陣，將矩陣 中的行換成同序數(shù)的列得到的一個 矩陣，稱為矩陣 的轉(zhuǎn)置矩陣轉(zhuǎn)置矩陣，記作 ，或 。例如， ， 則ijaAnmAmnATAA153294A125934

9、TA矩陣轉(zhuǎn)置滿足以下運算規(guī)律（1） （2） （3） （4） TTAATTTA+BABTTAATTTABB A在此只證明（4）證明：設 , ,記 ， ，據(jù)矩陣乘法定義及矩陣轉(zhuǎn)置定義知：而 的第 行就是 的第 列，為： ， 的第 列就是 的第 行，為： ，因而有ijm saAijs nbB ijm ncAB = CTTijn mdB ADskkjikijbac1TBjBjsjjjbbb,21TAiAiisiiaaa,21即得 ，亦即 。定義定義2.6 如果n階方陣 滿足 ，則稱為對稱矩陣對稱矩陣。如果n階方陣 滿足 ，則稱為反對稱矩陣反對稱矩陣。顯然反對稱陣的主對角線上元素都是零。 issjiji

10、jjiabababd2211sjisjijibababa2211ijcnjmi,2,1;,2,1TC = DTTTAB= B ATA = AAATA =A2.2 矩陣的逆矩陣的逆2.2.1 逆矩陣的定義逆矩陣的定義定義定義2.7 設 為n階方陣，若存在n階方陣 ，使得 ，其中 為n階單位矩陣，則稱 為可逆矩陣可逆矩陣或 是可逆的可逆的，并稱 為 的逆矩陣。如果 的逆矩陣為 ，記 ，顯然，則 的逆矩陣為 ，記 ，我們也稱矩陣 和矩陣 互逆互逆。 ABnAB = BA = InIAAABAAABBB-1A= B-1B= A例例2.7 設 , , ,分析矩陣 和矩陣 、矩陣 和矩陣 的關系。解： 1

11、213A3211B369C1/31/61/9DABCD1213AB12131001BA32121113 1001所以，矩陣 和矩陣 互為逆矩陣。矩陣 和矩陣 也互為逆矩陣。B369CD1/31/61/9111111CDA1/331/ 661/99 DC =2.2.2 逆矩陣的性質(zhì)逆矩陣的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 如果矩陣 可逆，則 的逆矩陣唯一性質(zhì)性質(zhì)2 若 和 為同階方陣，且滿足 則 ，即矩陣 和矩陣 互逆。性質(zhì)性質(zhì)3 若 可逆，則 也可逆，且 性質(zhì)性質(zhì)4 若 可逆，數(shù) ，則 可逆， 且 性質(zhì)性質(zhì)5 若 、 均為 階可逆方陣，則 也可 逆，且 AABAB = IBA = IABA-1A-1-1A= A

12、A0A11-1AAA BnAB-1-1-1AB= B A A性質(zhì)性質(zhì)6 若 可逆，則 也可逆，且例例2.8 設方陣 滿足 ，試證 可逆，并求 。解：根據(jù)已知條件，可以得到： 則有： 所以矩陣 可逆，且 。ATA 11TTAAA2A +2A-5I = OA-1AA A+2I = 5IA+2IA= I5A25-1A+ IA=2.3 矩陣的分塊矩陣的分塊在矩陣運算中，特別是針對高階矩陣，常常采用矩陣分塊的方法將其簡化為較低階的矩陣運算。 用若干條縱線和橫線將矩陣分為若干個小矩陣，每一個小矩陣稱為的子塊子塊，以子塊為元素的矩陣，稱為分塊矩陣分塊矩陣。比如將43矩陣 分為 , , ,它們可分別表示為：

13、A11122122AAAA123AAA111221223132AAAAAA111213212223AAAAAA分塊矩陣的運算與普通矩陣類似，1加法運算加法運算設 ，都是 矩陣，且將 ， 按完全相同的方法分塊：AABBnm11121s21222sr1r2rsAAAAAAAAAA11121s21222sr1r2rsBBBBBBBBBB111112121s1s212122222s2sr1r1r2r2rsrsA+BA+BA+BA+BA+BA+BA+BA+BA+BA+B2數(shù)乘運算數(shù)乘運算設 ,有：3乘法運算乘法運算設 為 矩陣， 為 矩陣，將它們分別分塊成11121s21222sr1r2rsAAAAAA

14、AAAA11121s21222sr1r2rsAAAAAAAAAAAlmBnl11121s21222sr1r2rsAAAAAAAAAA11121s21222sr1r2rsBBBBBBBBBB其中 的列數(shù)分別等于 的行數(shù) ，即 可以左乘 。則有：其中 i1i2itA ,A ,A1j2jtjB ,B ,B;, 2 , 1risj, 2 , 1ikAk jB1,2,;1,2, ;1,2,ir js kt11121s21222sr1r2rsCCCCCCABCCC1tkiji11ji22jittjikk jC= A B + A B+ A BA B4轉(zhuǎn)置運算轉(zhuǎn)置運算 設 有：注意分塊矩陣的轉(zhuǎn)置，不僅要把每個

15、子塊內(nèi)的元素位置轉(zhuǎn)置，而且要要把子塊本身的位置轉(zhuǎn)置。 11121s21222sr1r2rsAAAAAAAAAA2TTTTTTTTTT1121s11222s21rrsrAAAAAAAAAA5分塊對角矩陣分塊對角矩陣如果將方陣 分塊后，有以下形式：其中主對角線上的子塊 均是方陣，而其余子塊全是零矩陣，則稱 為分塊分塊對角矩陣對角矩陣，記為 。A12rAAAAiAri, 2 , 1A,diag12rAA ,A ,A設有兩個同型且分塊方法相同的對角矩陣則有 r21AAAAr21BBBBrr2211BABABAABkrk2k1kAAAA對于上面的分塊矩陣 ，若對角線上的所有子塊 都可逆，則有：例例2.9

16、 利用分塊矩陣的概念，把下列線性方程組寫成向量等式。A12rA ,A ,A1111r21AAAA34432422262243214321421xxxxxxxxxxx解：線性方程組的矩陣表示為：把系數(shù)矩陣按列分成4塊：與常數(shù)矩陣 分別用向量 和向量 來表示，則有： 3224413421260224321xxxx446,420,112,3223221234 , , ,b進而得到向量等式： 1234xxxx1234 , , ,b1234xxxx1234 = b2.4 初等矩陣初等矩陣定義定義2.8 單位矩陣 經(jīng)過一次初等變換所得到的矩陣稱為初等矩陣初等矩陣或初等方陣初等方陣。前面介紹了三種初等變換，

17、每一種初等變換，都有一個相對應的初等矩陣（1）交換單位矩陣 的 , 兩行（或 , 兩列），得到的初等矩陣記為 ，即： IIijji, i jE （2-12） 11011,11011ii jjE行行（2）用一個非零數(shù) 乘單位矩陣 的第 行（或第 列），得到的初等矩陣記為 ，即： （2-13） kIii i kE 1111i kkiE行（3）將單位矩陣 第 行的 倍加到第 行上（或?qū)挝痪仃嚨?列的 倍加到第 列上）得到的初等矩陣記為 ，即： （2-14） Ijjkkii , i j kE 11,11kii j kjE行行例例2.10 設求：E1*A，E2*A，E3*A。 111213212223

18、313233 a a a a a a a a aA 0 1 0 1 0 0 0 0 1E1 1 0 0 0 4 0 0 0 1E2 1 0 0 0 1 0 4 0 1E3解：111213212223212223111213313233313233 0 1 0 a a a a a a 1 0 0 a a a a a a 0 0 1 a a a a a a A1= E1*A111213111213212223212223313233313233 1 0 0 a a a a a a 0 4 0 a a a 4a 4a 4a 0 0 1 a a a a a a A2 = E2*A11121311121

19、3212223212223313233311132123313 1 0 0 a a a a a a 0 1 0 a a a aa a 4 0 1 a a aa +4a a +4a a +4a A3=E3*A定理定理2.1 設設 是一個是一個 矩陣，對矩陣，對 施行一施行一次初等行變換，其結(jié)果等于在次初等行變換，其結(jié)果等于在 的左邊乘以的左邊乘以相應的相應的 階初等矩陣；對階初等矩陣；對 施行一次初等列變施行一次初等列變換，其結(jié)果等于在換，其結(jié)果等于在 的右邊乘以相應的的右邊乘以相應的 階初階初等矩陣。等矩陣。AAAAAnmmn定理定理2.2 設設 為為 階方陣，那么下面各命題階方陣，那么下面各

20、命題等價：等價：（1） 是可逆矩陣；是可逆矩陣；（2）線性方程組）線性方程組 只有零解；只有零解；（3） 可以經(jīng)過有限次初等行變換化為單位可以經(jīng)過有限次初等行變換化為單位 矩陣矩陣 ；（4） 可以表示為有限個初等矩陣的乘積?？梢员硎緸橛邢迋€初等矩陣的乘積。AAAAnAx =OnI例例2.11 設判斷 、 是否可逆，如果可逆，請求之。解： 132365111 A362241121BA BIA13-2100-3-6501011-100113123rrrr13210003131002110122321rrr1 321000 10.50.5 00.50 31310232133rrrr1 00.50.5

21、 01.50 10.50.500.50 00.51.511.5則矩陣 可逆，且其逆為： 32r1 00.50.5 0 1.50 10.50.5 00.50 0132332315 . 05 . 0rrrr100113010211001323113211323-1AAB I 3 6 21 0 02 4 10 1 01 2 10 0 131rr 121001241010362100顯然矩陣 通過初等行變換不能化為單位矩陣，則矩陣 不可逆。 是降秩的。它通過初等行變換，可以化出一個零行，則其秩為2。故當A不可逆時，(2-15)式應改為：其中是 秩為r的nn方陣，rM=0.1,0.3,0.15;0.3,

22、0.4,0.25;0.1,0.2,0.15;P=4000,4500,4500,4000;2000,2800,2400,2200;5800, 6200,6000,6000;Q=M*P Q = 1870 2220 2070 1960 3450 4020 3810 3580 1670 1940 1830 1740Q = M PQQ為了進一步計算矩陣Q的每一行和每一列的和，可以繼續(xù)鍵入：Q*ones(4,1)ans = 8120 14860 7180ones(1,3)*Qans = 6990 8180 7710 7280并可以繼續(xù)算出全年的總成本：ans*ones(4,1)ans =30160 根據(jù)以

23、上計算結(jié)果，可以完成每季度總成本分類表，如表2.8所示。表2.8 每季度總成本分類表成本（元）夏 秋 冬 春 全年 原材料 18702220 2070 19608120勞動 34504020 3810 3580 14860企業(yè)管理費 16701940 1830 17407180總成本（元） 69908180 7710 7280 301602.5.2 特殊矩陣的生成特殊矩陣的生成例例2.13 在Matlab環(huán)境下生成矩陣X：矩陣X有相同的10行，每一行都是公差為1的等差數(shù)列。解：令則 ，就實現(xiàn)了矩陣賦值。 1090910109091010909102110X1T2vvX 10 10, 9,9,1

24、0,1,1,1,1 12vv 鍵入MATLAB語句： v1= -10:10; v2=ones(1,10) X=v2*v1例例2.14 在Matlab環(huán)境下生成范德蒙矩陣。解：這里用了Matlab的符號運算功能。鍵入：syms x1 x2 x3 x4 real% 令x1 x2 x3 x4為實數(shù)符號變量x=x1,x2,x3,x4; y=0:3;A= x*ones(1,4)B=(ones(4,1)*yV=A.B % 兩個方陣的元素群求冪 程序的運行結(jié)果為：Matlab內(nèi)置的范德蒙矩陣生成函數(shù)vander.m是不能用符號表示的，只能產(chǎn)生數(shù)值矩陣。 x1, x1, x1, x1 0 1 2 3 1 x1

25、 x12 x13 x2, x2, x2, x2 0 1 2 3 1 x2 xA=,B=, V= x3, x3, x3, x3 0 1 2 3 x4, x4, x4, x4 0 1 2 322 x23 1 x3 x32 x33 1 x4 x42 x432.5.3 逆矩陣的求解逆矩陣的求解例例2.15 設 試求其逆陣解：當矩陣的階數(shù)較高時，利用Matlab輔助計算就尤顯重要。用Matlab來求矩陣的逆，其方法很多。首先在Matlab環(huán)境下鍵入：A=3,0,3,-6;5, -1,1, -5; -3,1,4, -9;1, -3,4, -4; 3 0 3 65 1 1 531 4 913 4 4A方法1, A-1, 方法2, inv(A), 方法3, Aeye(4),方法4, U=rref(A,eye(4); U(:,5:8)運行結(jié)果都為：ans = 0.2323 -0.0101 -0.1313 -0.0404 0.5354 -0.3131 -0.0707 -0.2525 0.5859 -0.4747 -0.1717 0.1010 0.2424 -0.2424 -0.1515 0.0303例例2.16 求矩陣 的逆。解：矩陣求逆命令inv也可以用符號變量。在Matlab環(huán)境下，鍵入：syms a b c d,