第1章數(shù)值計算引論

1、第第1 1章章 數(shù)值計算引論數(shù)值計算引論第第2 2章章 非線性方程的數(shù)值解法非線性方程的數(shù)值解法第第3 3章章 線性代數(shù)方程組的數(shù)值解法線性代數(shù)方程組的數(shù)值解法第第4 4章章 插值法插值法第第5 5章章 曲線擬合的最小二乘法曲線擬合的最小二乘法第第6 6章章 數(shù)值積分和數(shù)值微分?jǐn)?shù)值積分和數(shù)值微分第第7 7章章 常微分方程初值問題的數(shù)值解法常微分方程初值問題的數(shù)值解法數(shù)值計算方法數(shù)值計算方法 第第1 1章章數(shù)值計算引論1.1 數(shù)值計算方法 1.2 誤差的來源1.3 近似數(shù)的誤差表示法1.4 數(shù)值運(yùn)算誤差分析1.5 數(shù)值穩(wěn)定性和減小運(yùn)算誤差 第第1 1章章 數(shù)值計算引論 數(shù)值計算方法與誤差分析數(shù)值

2、計算方法與誤差分析 理工科大學(xué)本科生理工科大學(xué)本科生 科學(xué)研究。科學(xué)研究。 現(xiàn)代科學(xué)研究的三大手段現(xiàn)代科學(xué)研究的三大手段 理論分析、科學(xué)實(shí)驗(yàn)、科學(xué)計算。理論分析、科學(xué)實(shí)驗(yàn)、科學(xué)計算。1.11.1數(shù)值計算方法數(shù)值計算方法1.1.1 1.1.1 數(shù)值計算方法及其主要內(nèi)容數(shù)值計算方法及其主要內(nèi)容 1. 1.課程名稱：科學(xué)與工程數(shù)值計算方法課程名稱：科學(xué)與工程數(shù)值計算方法 簡稱：科學(xué)計算、科學(xué)與工程計算、數(shù)值分析、簡稱：科學(xué)計算、科學(xué)與工程計算、數(shù)值分析、計算方法、數(shù)值計算方法。計算方法、數(shù)值計算方法。 科學(xué)與工程：從實(shí)用的角度，將科學(xué)研究與工科學(xué)與工程：從實(shí)用的角度，將科學(xué)研究與工程技術(shù)上遇到的實(shí)際

3、問題用數(shù)學(xué)模型來描述，以程技術(shù)上遇到的實(shí)際問題用數(shù)學(xué)模型來描述，以便進(jìn)行定量的分析、研究。便進(jìn)行定量的分析、研究。 數(shù)值：數(shù)、數(shù)字，由數(shù)值：數(shù)、數(shù)字，由0-90-9十個數(shù)字、小數(shù)點(diǎn)和正十個數(shù)字、小數(shù)點(diǎn)和正負(fù)號等組成的數(shù)。負(fù)號等組成的數(shù)。 計算方法：解題的方法?？梢杂米匀徽Z言、計算方法：解題的方法?？梢杂米匀徽Z言、數(shù)學(xué)語言或約定的符號語言來描述。數(shù)學(xué)語言或約定的符號語言來描述。 計算：只能包括計算機(jī)能夠直接處理的運(yùn)算計算：只能包括計算機(jī)能夠直接處理的運(yùn)算, ,即加減乘除等基本運(yùn)算。即加減乘除等基本運(yùn)算。 數(shù)值計算：相對于非數(shù)值計算，如查表、排數(shù)值計算：相對于非數(shù)值計算，如查表、排序等。用（序等。

4、用（0-90-9十個數(shù)字、小數(shù)點(diǎn)、正負(fù)號等組成十個數(shù)字、小數(shù)點(diǎn)、正負(fù)號等組成的）數(shù)，通過計算機(jī)進(jìn)行加減乘除等基本運(yùn)算。的）數(shù)，通過計算機(jī)進(jìn)行加減乘除等基本運(yùn)算。 2 2。數(shù)值算法：對科學(xué)研究與工程技術(shù)上遇到的。數(shù)值算法：對科學(xué)研究與工程技術(shù)上遇到的實(shí)際數(shù)學(xué)問題的解法歸結(jié)為用數(shù)值進(jìn)行加減乘除等實(shí)際數(shù)學(xué)問題的解法歸結(jié)為用數(shù)值進(jìn)行加減乘除等基本運(yùn)算，并有確定運(yùn)算順序，完整而準(zhǔn)確的描述基本運(yùn)算，并有確定運(yùn)算順序，完整而準(zhǔn)確的描述稱為數(shù)值算法。稱為數(shù)值算法。 數(shù)值計算方法是研究用數(shù)字計算機(jī)解決數(shù)學(xué)問數(shù)值計算方法是研究用數(shù)字計算機(jī)解決數(shù)學(xué)問題的數(shù)值算法及其理論的一門課程。題的數(shù)值算法及其理論的一門課程。

5、3.主要內(nèi)容：工程上遇到的數(shù)學(xué)問題 數(shù)值計算的誤差分析 非線性方程 線性方程組 插值法 最小二乘法 數(shù)值積分和數(shù)值微分 常微分方程1.1.2 用計算機(jī)解題的步驟 當(dāng)給定一個科學(xué)研究與工程技術(shù)上遇到的實(shí)際問題時，首先根據(jù)專業(yè)知識建立實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，即模型化（modeling)或建模。然后對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解。 數(shù)學(xué)模型（包括公式、表格、圖形等）求解有兩條途徑：求解析解和數(shù)值解。 求解析解，解以表達(dá)式表示，這是準(zhǔn)確解。 求數(shù)值解，解是以一些離散點(diǎn)上取值的形式表示，多數(shù)情況下，數(shù)值解是近似的，求數(shù)值解要用計算機(jī)。求數(shù)學(xué)模型數(shù)值解的方法稱為數(shù)值計算方法。 選擇計算方法以后進(jìn)行程序設(shè)計，即用程序語言把

6、算法編成程序，然后上機(jī)得出數(shù)值解。 實(shí)際問題-數(shù)學(xué)問題(建模)-構(gòu)造數(shù)值計算方法- 程序設(shè)計-上機(jī)計算-數(shù)值解-結(jié)果分析離散化插值法迭代法逼近法設(shè)f(x)是定義在a,b上的連續(xù)函數(shù)，當(dāng)它們的表達(dá)式很復(fù)雜，甚至寫不出來時，我們可以選擇若干個離散點(diǎn) x0, x1, xna,b 求出f(x)在這些點(diǎn)處的函數(shù)值或函數(shù)值的近似值 fi= f(xi) i=0,1,n, 從而得到一個如下的函數(shù)值列表：xx0 x1xnyf(x0)f(x1)f(xn)對于任意給出的某個函數(shù)y=f(x)的函數(shù)值列表: 我們可以構(gòu)造一個簡單函數(shù)，比如n次多項(xiàng)式pn(x)，滿足條件 pn(xi)=yi, i=0,1,n 并利用pn(

7、x)近似表示f(x)。提示：由于pn(x)是一個多項(xiàng)式函數(shù)，用它在某一點(diǎn)處的函數(shù)值、導(dǎo)數(shù)值、區(qū)間上的定積分等來近似未知函數(shù)y=f(x)的值、微分、定積分xx0 x1xnyy0y1yn設(shè)f(x)是滿足某種特定條件的函數(shù)，表達(dá)式比較復(fù)雜甚至寫不出來，但是我們可以把它表示為一個簡單函數(shù)系列 fn(x),n=1,2,的極限,即 lim fn(x)=f(x) (n) 這樣我們就可以根據(jù)不同的精度要求選取適當(dāng)大的正數(shù)N,利用fN(x)近似替代f(x)。提示：如果f(x)可以展為泰勒級數(shù)，那么我們可以取fn(x)為f(x)的泰勒展式前n+1項(xiàng)。如要計算某個真值 x*，可構(gòu)造一個序列xn,n=0,1,2,，該

8、序列滿足： x0 已知； 有一個簡單函數(shù)(t)， 且xn+1=(xn)，n=0,1,2, lim xn=x* (n) 則，可反復(fù)利用xn+1=(xn)， 經(jīng)過N 次后，用xn+1 作為x* 的近似值。 實(shí)例：求5的平方根的迭代格式1.初值x0=2，xn+1=2+1/(xn+2) 簡單迭代法2.初值x0=2，xn+1=（xn+1/xn)/2 牛頓迭代法請大家練習(xí)用兩種迭代法求解的結(jié)果算法：為解決某一特定問題或完成某個特定任務(wù)而設(shè)計或規(guī)定的一個有限步的操作指令序列稱為算法。提示：算法具有如下一些特征：輸入：有0個或多個輸入輸出：有一個或多個輸出(處理結(jié)果)確定性：每步定義都是確切、無歧義的有窮性：

9、算法應(yīng)在執(zhí)行有窮步后結(jié)束有效性：每一步操作均可由有限次最基本的運(yùn)算來完成。算法的描述：自然語言：流程圖：偽代碼：算法的評價：程序的可讀性好；節(jié)省計算時間節(jié)省存儲空間數(shù)值穩(wěn)定性與收斂性 既然研究典型的數(shù)學(xué)問題的計算方法、或者說數(shù)值解方法最后都要用“算法”來描述，所以對具體的計算方法的評價也就轉(zhuǎn)化為對算法的評價。一個算法的好壞可用下面幾個指標(biāo)來刻劃程序的可讀性好；節(jié)省計算時間節(jié)省存儲空間數(shù)字穩(wěn)定性好在一個迭代過程中，如果我們有 其中c為非零常數(shù)，則稱xn p階收斂于x*。術(shù)語：當(dāng)p=1時，稱算法具有線性速率收斂；當(dāng)1p2時，稱算法具有超線性收斂速率；當(dāng)p=2時，稱算法具有二次終結(jié)性質(zhì)或二次收斂速率

10、。cp|nx*x|1nx*x|limn*xnxnlim0,1,n)n(x1nx本書程序的基本結(jié)構(gòu)采用模塊化程序設(shè)計思想主要分四大模塊FormProblem( )：主要完成程序的參數(shù)（常量）設(shè)置Operation( )：完成算法的基本操作ShowTable( )：完成計算結(jié)果（含中間結(jié)果）的屏幕輸出SaveTable( )：計算結(jié)果的保存（寫文件）誤差的來源即產(chǎn)生誤差的原因。主要有四種：誤差的來源即產(chǎn)生誤差的原因。主要有四種：1. 1.模型誤差模型誤差-建立的數(shù)學(xué)模型和實(shí)際的距離，建立的數(shù)學(xué)模型和實(shí)際的距離，客觀量的準(zhǔn)確值與數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確解的差?？陀^量的準(zhǔn)確值與數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確解的差。例如自由落體

11、運(yùn)動方程例如自由落體運(yùn)動方程誤差的來源誤差的來源2.觀測誤差：數(shù)學(xué)模型當(dāng)中的參數(shù)或常數(shù)常常是是觀測或?qū)嶒?yàn)來的，這樣必然有誤差，稱為觀測誤差或測量誤差，由觀測數(shù)據(jù)而產(chǎn)生的誤差。例如自由落體運(yùn)動方程3.截斷誤差(方法誤差)-數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確解與利用數(shù)值計算方法得到的準(zhǔn)確解之差。無窮過程用有窮項(xiàng)代替例如:無窮級數(shù)取前n項(xiàng)代替()0k= 01()!kfxk1()0k= 01()!nkfxk1()()()000k= 0k= 0k=n111()()()!nkkkfxfxfxkkk截斷誤差用有限的過程代替無限的過程，和用簡單的計算問題代替復(fù)雜的計算問題所產(chǎn)生 的誤差。230.66666666667(230.6

12、6666666666）4.舍入誤差 ：計算工具字長是有限位，在計算時只能對有限位數(shù)字進(jìn)行運(yùn)算，超過這個位數(shù)時，要舍入，于是產(chǎn)生舍入誤差。原始數(shù)據(jù)、中間步驟和最終結(jié)果都可能產(chǎn)生舍入誤差。 如圓周率3.14159265 一般實(shí)數(shù)不能精確存儲，例如：在10位十進(jìn)制數(shù)限制下：1.3.1 絕對誤差 1 1 定義定義 設(shè)*x是精確值x的一個近似值， 則 *)(xxxe 為近似值*x的絕對誤差，簡稱誤差。其特點(diǎn)： *exx *e可正可負(fù) *e越小越好 有量綱 2 絕對誤差限：估計*e的上界* 定義定義 設(shè)*x是真值x的近似值，若 *e=*xx 則稱*是*x的絕對誤差限，簡稱誤差限（界） 。 *為正 *e在*

13、的范圍內(nèi) 有量綱 *盡可能的小，取末位的半個單位。 例如： 有毫米刻度的尺子， 讀出的近似值的誤差，不會超過毫米的一半（半個毫米） 。 讀出 35 毫米代表 34.5 到 35.5 之間。 誤差是半個毫米，誤差限是末位的半個單位。 3 四舍五入的誤差限：設(shè) mnxxxx10. 021 其中), 2 , 1(ixi是0,1,9中的數(shù)字，且01x，m為整數(shù)，n為正整數(shù)。 四舍時 mnxxxx10. 0*21 其中14nx， 五入時 1 21*0.(1) 10mnnxx xxx 其中15nx， 則四舍五入的誤差限nmxx1021*。即用四舍五入得到的近似數(shù)的誤差限是末位的半個單位。 四舍時的誤差限：

14、 *110.000100.0049910102mmm nnxxx 五入時的誤差限： *1(0.0001 0.00) 10mnxxx 11(1 0.) 10102m nm nnx 則四舍五入的誤差限nmxx1021*。即用四舍五入得到的近似數(shù)的誤差限是末位的半個單位。 例 圓周率取四舍五入的近似數(shù) 3.1416，求其誤差限。 解法 1： 誤差限是末位的半個單位，41021* 解法 2：1*10,1,52m nmn1 54mn ， 41*10 .2 1. 引入：引入： 10mm 誤差誤差 1mm 1m 誤差誤差 2mm 2 定定義義 設(shè)*x是精確值x的一個近似值， 則 xxx 為近似值*x的相對誤

15、差。 相對誤差無量綱，用百分?jǐn)?shù)表示。 實(shí)際上精確值x往往是未知的， 所以常常把*()rxxexx 作為*x的相對誤差。 3 相對誤差（限） ：估計re的上界 定義定義 設(shè)*x是真值x的近似值，若 rrxxxxxee 則稱r是近似數(shù)*x的相對誤差（限） 。 例：用 3.14 作為的近似值，求其相對誤差。 解：四舍五入的近似值 3.14 的絕對誤差2*1021， 相 對 誤 差%159. 014. 310212*xr 1.3.2 有效數(shù)字：由絕對誤差決定。 定義定義 設(shè)x的近似值mnxxxx*10. 021，若*x的絕對誤差nm*x-x1021 則稱近似值*x為x的有n位有效數(shù)字的近似值。 其中1

16、2,nx xx是*x的有效數(shù)字。近似值*x具有n位有效數(shù)字，它準(zhǔn)確到第n位。 定定義義 設(shè)x的近似值mnxxxx*10. 021，若*x的絕對誤差nm*x-x1021 則稱近似值*x為x的有n位有效數(shù)字的近似值。 其中12,nx xx是*x的有效數(shù)字。近似值*x具有n位有效數(shù)字，它準(zhǔn)確到第n位。 1.3.3 有效數(shù)字：由絕對誤差決定。有效數(shù)字：由絕對誤差決定。 若近似值x*的絕對誤差(限)是某位的半個單位，則說 x* 精確到該位，若從該位到 x* 的左面第一位非零數(shù)字一共有n位，則稱近似值x*有n位有效數(shù)字。例：求 3.142 和 3.141 作為圓周率的近似值有幾位有效數(shù)字。 解：313.1

17、420.0004070.0005102，1m， 3,4m nn。有 4 位有效數(shù)字。 213.1410.000590.005102，1m， 2,3mnn。有 3 位有效數(shù)字。 例： 以722作為圓周率的近似值有幾位有效數(shù)字。 解解:7223.142857， 3.141592。 2102100126. 0722。因?yàn)?m=1，m-n=-2 ，所以 n=3，有 3 位有效數(shù)字。 1.用四舍五入得到的近似數(shù)的誤差限是末位的半個單位。近似數(shù)的誤差限是末位的半個單位，則有n位有效數(shù)字。因此用四舍五入得到的近似數(shù)是有效數(shù)字。 2.在公式運(yùn)算中，要先區(qū)分準(zhǔn)確量和近似數(shù)。準(zhǔn)確數(shù)有無窮多位有效數(shù)字. 3.有效數(shù)

18、字位與小數(shù)點(diǎn)后有多少位數(shù)無直接關(guān)系。絕對誤差、相對誤差、有效數(shù)字三者關(guān)系。 *和 n 的關(guān)系 1*102m n *和r的關(guān)系 *rx n 和r的關(guān)系 兩個定理。 定理 若近似數(shù)mnxxxx10. 021具有 n 位有效數(shù)字，則其相對誤差 )1(1*1021nrx 證 因mnxxxx10. 021，有1110.mxx， 又，x有 n 位有效數(shù)字，即1102m nxx，因此 )1(111*1021101021nmnmrxxxxxe，即)1(1*1021nrx 例：用 3.14 作為的近似值，求其相對誤差。 解：四舍五入的近似值各位都是有效數(shù)字，即 n=3,由定理 %17. 010321)13(*r

19、 和前例比較，說明結(jié)果不同的原因。 已知近似數(shù)x有兩位有效數(shù)字， 求其相對誤差。 解解 因 n=2, )1(1*1021nrx第 1 位1x未給出， 11x %5101211021)1()1(1*nnrx 91x %56. 0109211021)1()1(1*nnrx， 取 %5*r。 1.定理給出的是一個充分條件，而不是必要條件。定理的逆命題不成立。 2.在實(shí)際應(yīng)用時，為了要使所取近似數(shù)的相對誤差滿足一定要求，可以用定理，確定所取近似數(shù)應(yīng)具有有效數(shù)字的位數(shù)。 定理 若近似數(shù)mnxxxx*10. 021，的相對誤差限 (1)11102(1)nrx 則它至少具有n位有效數(shù)字。 證 mnxxxx*

20、10. 021有11(1) 10mxx 則 xxxxxx(1)1111110(1)10102(1)2nmm nxx， 即它至少具有n位有效數(shù)字。 例 已知近似數(shù)x*的相對誤差限為 0.25%，問x*至少有幾位有效數(shù)字？ 解解 由*0.25%r，根據(jù)定理，有 (1)110.25%102(1)nx x1的取值范圍是 1 到 9，由于x1未給出，取 x1=1，n= 3 x1=9，n=2.3 按最不利情況，x*至少有 2 位有效數(shù)字。 1.1.定理給出的是一個充分條件，而不是必要條件。定理的定理給出的是一個充分條件，而不是必要條件。定理的逆命題不成立。即若近似數(shù)有逆命題不成立。即若近似數(shù)有n n位有效

21、數(shù)字，相對誤差不一定滿位有效數(shù)字，相對誤差不一定滿足定理。足定理。 2.2.在實(shí)際應(yīng)用時，為了要使所取近似數(shù)具有在實(shí)際應(yīng)用時，為了要使所取近似數(shù)具有n n位有效數(shù)字，位有效數(shù)字， 要要求所取近似數(shù)的相對誤差滿足定理的要求。求所取近似數(shù)的相對誤差滿足定理的要求。 1.4 1.4 數(shù)值運(yùn)算誤差分析數(shù)值運(yùn)算誤差分析 函數(shù)運(yùn)算誤差函數(shù)運(yùn)算誤差 算術(shù)運(yùn)算誤差算術(shù)運(yùn)算誤差函數(shù)y=f(x1,x2)的全微分為： 若x1,x2的準(zhǔn)確值為x1*,x2*,則y的準(zhǔn)確值為y*=f(x1*,x2*) 又 的dx1x1*-x1= dx2 x2*-x2= dy y*-y= 故： 相對誤差： )(1x22112211xxfx

22、xfdxxfdxxfdy)(2x)(y)()()(222111xyxxfxyxxfy2211dxxfdxxfdy和差積商的誤差估計：(x1x2)= (x1) (x2)(x1x2)= x2(x1)+x1 (x2)(x1/x2)= (x1)/x2- (x2)x1/x22 (x1x2)=(x1/(x1x2）)(x1) (x2/(x1x2）)(x2)(x1x2)= (x1)+ (x2)(x1/x2)= (x1)- (x2)定義：設(shè)y=f(t)是在某個x附近連續(xù)可微的實(shí)函數(shù)， 也稱為是一個數(shù)學(xué)問題，記 稱cond(f,x)為數(shù)學(xué)問題y=f(t)在t=x處的條件數(shù)， 也可簡稱為數(shù)學(xué)問題 y=f(x)的條件

23、數(shù)。注釋 在表示一個數(shù)學(xué)問題的條件數(shù)時，有時候需要明確指出f的自變量x，以及f(x)在x=x0處的條件數(shù)，這時，也可以把條件數(shù)更具體地表示為)()( ),cond(xfxfxxf )()( ),(cond0000 xfxfxxxf 計算數(shù)學(xué)問題的條件數(shù)舉例 例： 試求tan(x)在x=/6處的條件數(shù)。21.10.57741.3330.5236),condtan(333.1)cos(1)tan(5774.031)tan(5236.06/020000 xxxxxx解：分析：記(x0)、(x0)和f(x0)、f(x0)分別為x0和f(x0)的絕對誤差和相對誤差，則有 (x0)=(x0)/x0 f(x

24、0)=f(x0)/f(x0) 利用f(x0)=f(x0)(x0), 即得結(jié)論1：f(x0)=condf(x),x0(x0)000000000 x)x()x(f)x( fx)x(f)x()x( f)x(f 結(jié)論2：如果一個數(shù)學(xué)問題y=f(x)的條件數(shù)的絕對值|condf(x),x0|1，那么有|f(x)|1，則數(shù)學(xué)問題是不穩(wěn)定的，或者說是病態(tài)的，輸入值的微小誤差可以導(dǎo)致輸出值的較大的誤差復(fù)合函數(shù)的條件數(shù)：假設(shè)函數(shù)關(guān)系y=f(x)是通過一個中間變量u復(fù)合而成的，即y=y(u)，u=u(x)。利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)規(guī)則 我們有亦即：condy(u(x),x0=condy(u),u0 condu(x),x

25、0 udxduxydudyuxfdxdududyxxfdxxdfxxf)()()(),cond(dxdududydxxdf)( 1.5 1.5 數(shù)值穩(wěn)定性和減小運(yùn)算誤差數(shù)值穩(wěn)定性和減小運(yùn)算誤差 在計算過程中誤差不會擴(kuò)大或?qū)τ嬎憬Y(jié)果的精度要求影在計算過程中誤差不會擴(kuò)大或?qū)τ嬎憬Y(jié)果的精度要求影響不大。響不大。 減小運(yùn)算誤差減小運(yùn)算誤差: :1 1 要避免兩相近數(shù)相減。要避免兩相近數(shù)相減。2 2 要防止大數(shù)吃掉小數(shù)要防止大數(shù)吃掉小數(shù) 。3 3 要避免除數(shù)絕對值遠(yuǎn)小于被除數(shù)絕對值要避免除數(shù)絕對值遠(yuǎn)小于被除數(shù)絕對值 。4 4 注意簡化計算步驟，減少運(yùn)算次數(shù)注意簡化計算步驟，減少運(yùn)算次數(shù) 。例：計算積分例

26、：計算積分110ed ,1,2,8nxnExxn寫成遞推公式寫成遞推公式 1112,3,81/ ennEnEnE)(!)1()()(111EnEnEnnn 誤差傳遞規(guī)律誤差傳遞規(guī)律公式改為公式改為 nEEnn 11則誤差按規(guī)律則誤差按規(guī)律 |1| )(|1nnEnE 逐漸縮小逐漸縮小 1.5.1 1.5.1 數(shù)值穩(wěn)定性數(shù)值穩(wěn)定性: : 一個算法，如果計算結(jié)果受誤差的影響一個算法，如果計算結(jié)果受誤差的影響小，就稱這個算法具有較好的數(shù)值穩(wěn)定性。否則，就稱數(shù)值小，就稱這個算法具有較好的數(shù)值穩(wěn)定性。否則，就稱數(shù)值穩(wěn)定性不好。因此要設(shè)法控制誤差的傳播穩(wěn)定性不好。因此要設(shè)法控制誤差的傳播 。1.5.2 1

27、.5.2 減小運(yùn)算誤差減小運(yùn)算誤差1.1.要避免相近兩數(shù)相減要避免相近兩數(shù)相減 13.5846-13.5839=0.000713.5846-13.5839=0.00076 6位有效數(shù)字變成了位有效數(shù)字變成了1 1位有效數(shù)字。損失了有效數(shù)字的位數(shù)。位有效數(shù)字。損失了有效數(shù)字的位數(shù)。111 xxxx)1(1111 xxxx當(dāng)當(dāng)x x接近于接近于0 0時，應(yīng)時，應(yīng)2cos1sinsincos1xtgxxxx或或 8 9 7 68 9 7 59 4 .7 4 29 4 .7 3 60 .0 0 6例例 解一元二次方程解一元二次方程a x2+ bx+c=0 ，其中其中-b , c21,242bbacxa

28、 100.1 10b 910101010.1 100.0000000001 10b 91210 ,0 xx224bacb2 2 要防止大數(shù)要防止大數(shù)“吃掉吃掉”小數(shù)，注意保護(hù)重要物理參數(shù)。小數(shù)，注意保護(hù)重要物理參數(shù)。 9101910在在8位十進(jìn)制計算機(jī)上計算。要規(guī)格化和對階。位十進(jìn)制計算機(jī)上計算。要規(guī)格化和對階。結(jié)果，結(jié)果，大數(shù)大數(shù)“吃掉吃掉”小數(shù)。小數(shù)。類似地類似地21,242bbacxa 92911011 10cxax改變計算方法改變計算方法假如一元二次方程有絕對值不同的兩個實(shí)根，記sign(b)表示取b符號，記x1為絕對值較小的那一個實(shí)根，也就是分子是同號兩數(shù)相減的那一個；x2為絕對值較大的那一個實(shí)根，從而有對于求x1來說，可以把分子有理化，從而得到aacbbbx24)sign(21aacbbbx24)sign(22acbbbcx4)sign(221如果記 那么x1，x2還可進(jìn)一步簡單地表示為x1=c/Quad(a,b,c)，x2=Quad(a,b,c)/a其中x1，x2分別為一元二次方程的絕對值較小，較大的根。求解Quad(a,b,